LECCIÓN N° 07

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
LECCIÓN N° 07
COSTOS DE PRODUCCIÓN
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el capítulo, el alumno:
Podrá explicar cómo se construye las curvas de costo total, promedio y marginal, de corto y
de largo plazo.
OBJETIVOS PARTICULARES
El alumno podrá:
a) Obtener geométricamente las curvas de costo promedio y marginal, a partir de la curva
de costo total;
b) Definir el costo fijo y el costo variable, así como el costo fijo promedio y el costo variable
promedio;
c) Relacionar las funciones de producción y las curvas de costos, y
d) Obtener geométricamente la curva de costo promedio de largo plazo, a partir de las
curvas de costo promedio de corto plazo.
7.1 Curvas del costo total a corto plazo
Las curvas del costo muestran el costo mínimo de obtener diversos niveles de
producción. Se incluyen costos tanto explícitos como implícitos. Los costos específicos
se refieren a los gastos reales de la empresa para comprar o alquilar los insumos que
necesita. Los costos implícitos se refieren al valor de los insumos propiedad de la
empresa y que utiliza en sus propios procesos de producción. El valor de estos insumos
propios debe imputarse o estimarse a partir de lo que podrían ganar en su mejor uso
alternativo (véase el problema 7.1).
El corto plazo, la cantidad de uno o más factores de la producción (pero no todos) son
fijos. Los costos fijos totales (CTF) se refieren a las obligaciones totales en que incurre la
empresa por unidad de tiempo para todos los insumos fijos. Los costos variables totales
(CVT) son las obligaciones totales en que incurre la empresa por unidad de tiempo para
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todos los insumos variables que utiliza. Los costos totales (CT) son iguales a los CFT
más los CVT.
Ejemplo 1. La tabla 7.1 presenta valores hipotéticos de CFT, CVT y CT. Estos valores
se trazan en la figura 7-1.
Tabla 7.1
Q
0
1
2
3
4
5
6
CFT ($)
60
60
60
60
60
60
60
CVT ($)
0
30
40
45
55
75
120
CT ($)
60
90
100
105
115
135
180
Con base en la tabla 7.1 se observa que los CFT son $60, con cualquier nivel de
producción. Esto se presenta en la figura 7-1 en una curva CFT paralela al eje de las
cantidades y $60 por encima de él. Los CVT son cero cuando la producción es cero y
aumenta según se incrementa la producción. La forma específica de la curva CVT se
deriva directamente de la ley de los rendimientos decrecientes. Hasta el punto 7’ (el
punto de inflexión), la empresa está utilizando una cantidad tan pequeña de los insumos
variables junto con sus insumos fijos que la ley de los rendimientos decrecientes aún no
opera. Por eso la curva CVT es cóncava descendente y aumenta a una tasa decreciente.
En el punto 7’ comienza a operar la ley de los rendimientos decrecientes, por lo que a la
derecha de dicho punto la curva CVT es cóncava ascendente y aumenta a una tasa
creciente. Para cualquier nivel de producción CT es igual a CFT más CVT. Por lo tanto,
la curva CT tiene la misma forma que la curva CVT pero en todas partes se encuentran
$60 por encima de ella.
7.2 Curvas del costo unitario a corto plazo
Aun cuando las curvas de costo total son muy importantes, las de costo unitario son
incluso más importantes en el análisis a corto plazo de la empresa. Las curvas del costo
unitario a corto plazo que se estudiarán son las del costo fijo promedio, costo variable
promedio, costo promedio y las curvas de costo marginal.
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El costo fijo promedio (CFP) es igual al costo fijo total dividido entre la producción. El
costo variable promedio (CVP) es igual al costo variable total dividido entre la
producción. El costo promedio (CP) es igual al costo total dividido entre la producción; el
CP también es igual al CFP más el CVP. El costo marginal (CM) es igual al cambio del
CT o del CVT, debido al cambio de una unidad en la producción.
Ejemplo 2. La Tabla 7.2 presenta los programas de CFP, CVP, CP y CM derivadas de
los programas CFT, CVT y CT de la tabla 7.1. El programa CFP (columnas 5) y 1)] se
obtiene dividiendo CFT (columna 2)] entre las correspondientes cantidades de
producción obtenida [Q, en la columna 1)]. El programa CVP (columnas 6) y 1)] se
obtiene dividiendo CVT (columna 3)] entre Q. El programa CP (columnas 7) y 1] se
obtiene dividiendo CT (columna 4)] entre Q. Para cualquier nivel de producción, CP
también es igual a CFP (columnas 5)] más CVP (columna 6)]. El programa del CM
(columnas 8) y 1] se obtiene restando los valores sucesivos del CT (columna 4)] o del
CVT (columna 5)]. Por lo tanto, el CM no depende del nivel del CFT.
Tabla 7.2
(1)
Q
1
2
3
4
5
6
(2)
CFT ($)
60
60
60
60
60
60
(3)
CVT ($)
30
40
45
55
75
120
(4)
CT ($)
90
100
105
115
135
180
(5)
CFP ($)
60
30
20
15
12
10
(6)
CVP ($)
30.00
20.00
15.00
13.75
15.00
20.00
(7)
CP ($)
90.00
50.00
35.00
38.75
27.00
30.00
(8)
CM ($)
..
10
5
10
20
45
Los programas CFP, CVP, CP y CM de la tabla 7.2 se grafican en la figura 7-2. Observe
que los valores del programa CM (columnas 8) y 1) en la tabla 7.2] se grafican en el
punto medio de los niveles sucesivos de la producción en la figura 7-2.
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Observe también que mientras que la curva del CFP baja continuamente a medida que
se aumenta la producción, las curvas CVP, CP y CM tienen forma de U. La curva del CM
alcanza su punto más bajo a un nivel inferior de producción que las curvas CVP o CP.
Igualmente, la parte ascendente de la curva CM intercepta las curvas CVP y CP en sus
puntos más bajos.
7.3 La geometría de las curvas del costo unitario a corto plazo
Las curvas del costo unitario a corto plazo pueden derivarse geométricamente de las
correspondientes curvas del costo total a corto plazo, exactamente de la misma forma en
que se derivan las curvas PPT y PMT (n el capítulo 6) de la curva PT. Así, el CFP para
cualquier nivel de producción está dado por la pendiente de la línea recta que va del
origen al punto correspondiente de la curva CFT. El CVP se obtiene mediante la
pendiente de la línea recta que va del origen a los diversos puntos de la curva CVT. De
igual forma, se obtiene el CP de la pendiente de la línea que va del origen a diversos
puntos de la curva CT. Por otra parte, el CM para cualquier nivel de producción se
obtiene de la pendiente de la curva CT o de la curva CVT en ese nivel de producción.
Ejemplo 3. En las secciones de la figura 7-3 a) y b) se observa cómo las curvas CFP,
CVP, CP y CM de la figura 7-2 se derivan geométricamente de las curvas CFT, CVT, CT
de la figura 7-1.
En la sección A de la figura 7-3 a) el CFP a una unidad de producción se obtiene por la
pendiente la línea OE. Esto es igual a CFT/1 = $60/1 = $60 y se grafican como el punto
E’ de la curva CFP. El punto F’ de la curva CFP se obtiene de la pendiente de OF, que
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es igual a $60/3 = $20. En forma similar se pueden obtener otros puntos sobre la curva
CFP. Observe que al aumentar la producción, la pendiente de la línea desde el origen
hasta la curva CFT (que es igual al CFP) declina continuamente.
En la sección B, el CVP para dos y seis unidades de producción se determina mediante
la pendiente de las líneas OH u OM, que es $20. Esto da los puntos H’ y M’ sobre la
curva CVP. Observe que la pendiente de una línea que va del origen a la curva CVT
declina hasta el punto J y después asciende. Por lo tanto, la curva CVP desciende hasta
el punto J’ y luego asciende.
En la sección C, 1 CP para 2 unidades de producción lo determina la pendiente de ON,
que es $50. Esto da el punto N’ sobre la curva CP. El CP para 6 unidades de producción
se determina mediante la pendiente de OS, que es $30. Esto se grafica como el punto S’
sobre la curva CP. Observe que al aumentar la producción la pendiente de la línea que
va del origen a la curva CT desciende hasta el punto R y luego asciende. Así la curva CP
desciende hasta el punto R’ y asciende a partir de ahí.
En la sección D, la pendiente de la curva CVT y la de CT son iguales para cualquier nivel
de producción. Por lo tanto, el CM se determina por la pendiente de la curva CVT o por
la de CT. A medida que aumenta la producción, estas pendientes descienden
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continuamente hasta los puntos T y T’ (puntos de inflexión) y a partir de ahí ascienden.
De esta formal, la curva CM desciende hasta 2.5 unidades de producción (punto T’) y
después asciende. Para 4 unidades de producción el CM lo determina la pendiente de la
curva CVT en el punto Z. Esto es $55/4, o sea $13.75 y es igual al CVP más bajo. Para 5
unidades de producción, el CM lo determina la pendiente de la curva CT en el punto w.
Esto es $135/5, o sea $27 y es igual al CP más bajo.
7.4 La curva del costo promedio a largo plazo.
En el capítulo 6 se definió el largo plazo como el periodo los suficientemente largo que le
permita a la empresa variar la cantidad utilizada de todos los insumos. Por lo tanto, en el
largo plazo no hay factores fijos ni costos fijos y la empresa puede construir una planta
de cualquier tamaño o escala.
La curva del costo promedio a largo plazo (CPL) muestra el costo unitario mínimo de
obtener cada nivel de producción cuando se puede construir cualquier planta a la escala
que se desee. El CPL se obtiene mediante una curva tangente a todas las curvas del
costo promedio a corto plazo (CPC) que representa todos los tamaños alternos de
plantas que la empresa podría construir a largo plazo. Matemáticamente, la curva CPL
es la curva envolvente de las curvas CPC.
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Ejemplo 4. Suponga que cuatro de las escalda alternas de planta que la empresa podría
construir en el largo plazo se determinan por CPC1, CPC2, CPC3 y CPC4, de la tabla 7.3
y la figura 7-4. Si la empresa esperara obtener 2 unidades de producción por unidad de
tiempo, construirá la escala de planta determinada por CPC1 y la operaría en el punto A,
donde CPC es $17. Sin embargo, si la empresa esperara obtener 4 unidades de
producción, construiría la escala de planta dad por CPC2 y la operaría en el punto B
donde CP es $13. (Obsérvese que también pueden obtenerse 4 unidades de producción
en el punto más bajo de CPC1 pero al CP más alto de $15.) Si la empresa esperara
obtener 8 unidades de producción, construiría la planta de mayor escala señalada por
CPC3 y la operaría en el punto C. Por último, para 12 unidades de producción, la
empresa operaría en el punto D sobre CPC4. Podrían haberse dibujado muchas otras
curvas CPC en la figura 7-4, una para cada una de las diferentes opciones de tamaño de
planta que la empresa podría construir en el largo plazo. Si se trazara después una
tangente a todas estas curvas CPC, se obtendría la curva CPL.
Tabla 7.3
CPC1
CPC2
CPC3
CPC4
Q
CP ($)
Q
CP ($)
Q
CP ($)
Q
CP ($)
1
20.00
3
16.00
5
13.00
9
12.00
2
17.00
4
13.00
6
11.50
10
11.50
3
15.50
5
12.20
7
10.50
11
11.70
4
15.00
6
12.00
8
10.00
12
12.00
5
16.00
7
13.00
9
10.50
13
13.50
6
18.00
8
15.00
10
11.00
11
12.00
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7.5 La forma de la curva del costo promedio a largo plazo
Aunque las curvas CPC y la curva CPL de la figura 7-4 se dibujaron en forma de U, la
razón de esas formas es bastante diferente. Las curvas CPC declinan al principio, pero
finalmente ascienden debido a la operación de la ley de los rendimientos decrecientes
(que resulta de la existencia de insumos fijos en el corto plazo). En el largo plazo no hay
insumos fijos y la forma de la curva CPL la determinan las economías y deseconomías
de escala. Es decir, a medida que aumenta la producción desde niveles muy bajos, los
rendimientos crecientes a escala ocasionan que la curva CPL decline inicialmente. Pero
a medida que la producción aumenta cada vez más, pueden prevalecer las
deseconomías a escala, haciendo que la curva CPL comience a ascender.
Los estudios empíricos parecen indicar que para algunas empresas la curva CPL tiene
forma de U con la parte inferior plana (lo que implica rendimientos constantes a escala a
lo largo de una amplia gama de producciones) o tiene forma de L (lo que indica que en
los niveles de producción observados no existen deseconomías de escala) (véase el
problema 7.14).
7.6 La curva del costo marginal a largo plazo
El costo marginal a largo plazo (CML) mide el cambio en el costo total a largo plazo
(CTL) debido a un cambio de una unidad en la producción. El CTL para cualquier nivel
de producción puede obtenerse multiplicando la producción por el CPL para ese nivel de
producción. Al graficar los valores del CML en el punto intermedio de los niveles de
producción sucesivos y uniendo estos puntos se obtiene la curva CML. Esta curva tiene
forma de U y llega a su punto mínimo antes de que la curva CPL llegue al suyo.
Asimismo, la parte ascendente de la curva CML pasa por el punto más bajo de la curva
CPL.
Ejemplo 5. Los valores del CPL que dan las columnas 2) y 1) en la tabla 7.4 se toma o
se estima de la curva CPL de la figura 7-4. El CTL (mínimo) para obtener varios niveles
de producción (columna 3)] se obtiene multiplicando la producción por el correspondiente
CPL. Los valores del CML de la columna 4) se obtienen, entonces, encontrando la
diferencia entre valores sucesivos del CTL. En la figura 7-5 se grafica la curva CML
resultante (junto con su correspondiente curva CPL).
Observe que cuando la curva CPL está descendiendo, la curva CML, está por debajo de
ella; cuando CPL está ascendiendo CML está por encima de ella y cuando la curva CPL
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está en su punto mínimo, CML = CPL. La razón de esto es que para que descienden el
CPL, la adición al CTL para obtener una unidad más de producción (es decir, el CML)
tiene que ser menor que o estar por debajo del CPL anterior. En forma similar, para que
aumente el CPL, la adición al CTL para obtener una unidad más de producción (es decir,
el CML), tiene que ser mayor que o estar por encima del CPL anterior. Para que el CPL
se mantenga sin cambio, el CML tiene que ser igual al CPL.
7.7 La curva del costo total a largo plazo
En la sección 7.6 y en el ejemplo 5 se observó que el CTL para cualquier nivel de
producción se puede obtener multiplicando la producción por el CPL para ese nivel de
producción. Al trazar los valores del CTL para diversos niveles de producción y uniendo
Tabla 7.4
(1)
Q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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(2)
CTL ($)
19.60
17.00
14.90
13.00
11.70
10.80
10.20
10.00
10.20
10.60
(3)
CTL($)
19.60
34.00
44.70
52.00
58.50
64.80
71.40
80.00
91.80
106.00
(4)
CML ($)
..
14.40
10.70
7.30
6.50
6.30
6.60
8.60
11.80
14.20
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estos puntos, se obtiene la curva CTL. Esta curva muestra los costos totales mínimos de
obtener cada nivel de producción cuando se puede construir cualquier escala de planta
que se desee. La curva CTL se obtiene también mediante una curva tangente a todas
las curvas del costo total a corto plazo (CTC) que representan todos los tamaños
alternos de planta que podría construir la empresa en el largo plazo. Matemáticamente,
la curva CTL es la curva envolvente de las curvas CTC (véase el problema 7.17).
Las curvas CPL y CML y la relación entre ellas podrían derivarse también de la curva
CTL, en la misma forma en que las curvas CPC y CMC y la relación entre ellas se
derivan de la curva CTC en el ejemplo 3 (véase el problema 7.18). Además, a partir de la
relación entre las curvas CTC y la curva CTL derivadas de ellas, puede explicarse la
relación entre las curvas CPC y la correspondiente curva CPL y entre las curvas CMC y
la correspondiente curva CML (véase el problema 7.19).
Por último, los problemas 7.20 a 7.24 muestran la relación entre las funciones de
producción y las curvas de costo.
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Glosario
Costo fijo promedio (CFP) Es igual al costo fijo total dividido entre la producción.
Costo marginal (CM) Es igual al cambio del costo total o el costo variable total por un
cambio de una unidad de producción.
Costo marginal a largo plazo (CML) Mide el cambio del costo total a largo plazo por un
cambio de una unidad en la producción.
Costo promedio (CP) Es igual al costo total dividido entre la producción; CP también es
igual al costo fijo promedio más el costo variable promedio.
Costo promedio a largo plazo (CPL) Muestra el costo unitario mínimo de obtener cada
nivel de producción cuando puede construirse cualquier escala de planta que se desee.
Costo total a largo plazo (CTL) Muestra los costos totales mínimos de obtener cada nivel
de producción cuando puede construirse cualquier escala de planta que se desee.
Costo variable promedio (CVP) Es igual al costo variable total dividido entre la producción.
Costos Explícitos Los gastos reales de la empresa para comprar o contratar los insumos
que necesita.
Costos fijos totales (CFT) Las obligaciones totales contraídas por la empresa por unidad
de tiempo para todos los insumos fijos.
Costos implícitos El valor de los insumos propiedad de la empresa utilizados en sus
propios procesos de producción.
Costos totales (CT) La suma de los costos fijos totales más los costos variables totales.
Costos variables totales (CVT) Las obligaciones totales contraídas por la empresa por
unidad de tiempo para todos los insumos variables que utiliza.
Curvas del costo Muestran el costo mínimo de obtener diversos niveles de producción.
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Preguntas de Repaso
1. El costo en que incurre una empresa al comprar o contratar cualquier factor de la
producción se denomina a) costo explícito, b) costo implícito, c) costo variable, o d) costo
fijo.
Respuesta
a) Véase la sección 7.1
2. Un empresario que opera su negocio se adjudica anualmente $20 000 dólares como su
“sueldo”, de los ingresos totales de la empresa. El costo implícito de este empresario es
a) $ 20 000 dólares anuales, b) más de $20 000 anuales, c) menos de $20 000 dólares
anuales, o d) cualesquiera de los anteriores.
Respuesta
d) El costo implícito de este empresario depende de cuanto pudieran ganar
colectivamente, en su mejor uso alternativo, el trabajo y los otros factores propiedad de la persona y que use
en la empresa.
3. Si sólo una parte de la fuerza de trabajo que emplea una empresa se pudiera despedir
en cualquier momento sin indemnización, el total de los salarios y sueldos que paga ésta
tiene que considerarse como a) un costo fijo, b) un costo variable c) en parte como un
costo fijo y en parte como un costo variable, o d) cualesquiera de los anteriores.
Respuesta
c) Los salarios pagados a la parte de la fuerza de trabajo que puede despedirse en
cualquier momento y sin indemnización, son un costo variable. La parte de la fuerza de trabajo que debido a
un contrato laboral no puede despedirse sin indemnizarla, representa un costo fijo hasta el vencimiento del
contrato.
4. Cuando comienza a operar la ley de los rendimientos decrecientes, la curva del CVT
comienza a) descender a una tasa creciente, b) ascender a una tasa decreciente, c)
descender a una tasa decreciente, o d) ascender a una tasa decreciente.
Respuesta
d) Véase la curva CVT del a figura 7-1, a la derecha del punto T’.
5. Todas las curvas siguientes tienen forma de U, con excepción de a) la curva CVP, b) la
curva CFP, c) la curva CP, o d) la curva CM.
Respuesta
b) Véase la figura 7-2
6. Al CM lo determina
a) la pendiente de la curva CFT,
b) la pendiente de la curva CVT pero no la pendiente de la curva CT,
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c) la pendiente de la curva CT pero no la de la curva CVT, o
d) la pendiente de la curva CVT o de la curva CT.
Respuesta
d) Véase la sección D de la figura 7-3 y el análisis relacionado con ella en el ejemplo 3.
7. La curva CM llega a su punto mínimo antes que la curva CVP y la curva CP. Además, la
curva CM interseca las curvas CVP y CP en sus puntos más bajos. Las dos afirmaciones
anteriores son ciertas. a) Siempre, b) nunca, c) con frecuencia, o d) en ocasiones.
Respuesta
a) Véase las figuras 7-2 y 7-3.
8. En el punto donde una línea recta proveniente del origen es tangente a la curva CT, el
CP a) es mínimo, b) es igual al CM, c) es igual al CVP más el CFP, o d) todo lo anterior.
Respuesta
d) Para las respuestas a) y b) véase las secciones C y D de la figura 7-3. La respuesta
c) siempre es verdadera.
9. La curva CPL es tangente al punto más bajo de las curvas CPC cuando la curva CPL
está descendiendo. a) siempre, b) nunca, c) en ocasiones, o d) no puede determinarse.
Respuesta
b) Véase la figura 7-4
10. Si la curva CPL desciende a medida que aumenta la producción, esto se debe a) a
economías de escala, b) a la ley de los rendimientos decrecientes, c) a deseconomías
de escala, o d) a cualesquiera de los anteriores.
Respuesta
a) Véase la figura 7.5
11. La curva CPL a) desciende cuando la curva CML desciende, b) asciende cuando
asciende la curva CML, c) para por el punto más bajo de la curva CML, o d) desciende
cuando CML < CPL y asciende cuando CML > CPL.
Respuesta
d) Véase la figura 7-5
12. CTC nunca puede ser menor que CTL. a) Esto es siempre verdadero, b) con frecuencia
verdadera, c) en ocasiones verdadero, o d) nunca es cierto.
Respuesta
a) Véase la sección 7.7.
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Problemas resueltos
CURVAS DEL COSTO A CORTO PLAZO
7.1 a) ¿Cuáles son algunos de los costos implícitos en que incurre un empresario al manejar
una empresa? ¿Cómo se estiman estos costos implícitos? ¿Por qué se tienen que incluir
como parte de los costos de producción? b) ¿Qué precio paga la empresa para comprar
o contratar los factores que no posee?
a) El empresario tiene que incluir como parte de los costos de producción no sólo lo que
realmente paga para contratar trabajo, comprar materias primas y semiterminadas,
tomar dinero prestado y alquilar tierras y edificios (los costos explícitos), sino también
el sueldo máximo que el empresario podría haber ganado trabajando para otro en un
empleo similar (por ejemplo, como gerente de otra empresa). Asimismo, el
empresario tiene que incluir, como parte de los costos de producción, el rendimiento,
en su mejor uso alternativo, del capital, la tierra y cualquier otro factor de producción
que posea y utilice la empresa. Estos recursos propiedad de la empresa y utilizados
por ella no son “gratuitos”. El costo implícito para la empresa al utilizarlos es igual (a
la mejor) de las opciones perdidas (es decir, lo que hubieran ganado estos mismos
recursos en su mejor uso alternativo). Siempre que se habla de costos en economía
o se trazan curvas del costo, se incluyen los costos tanto explícitos como implícitos.
b) Por los insumos que compra o contrata la empresa, está tiene que pagar un precio
por lo menos igual a lo que dichos insumos podrían ganar en su mejor uso alterno.
De lo contrario, la empresa no podría comprarlos o conservarlos para su uso. Por lo
tanto, el costo para la empresa por utilizar cualquier insumo ya sea de su propiedad
(costo implícito) o comprado (costo explícito), es igual a lo que ese mismo insumo
podría ganar en su mejor uso alternativo. Esta es la teoría del costo alternativo o de
oportunidad.
En este capítulo se supone que los precios de los factores permanecen constantes,
cualquiera que sea la cantidad de cada factor que demande la empresa por unidad
de tiempo. Es decir, se supone que la empresa es un competidor perfecto en el
mercado de factores. (En el capítulo 9 se estudian los cambios en los precios de los
factores y su efecto sobre las curvas del costo. El estudio de la forma en que se
determinan en realidad los precios de los factores se verá en el capítulo 13.)
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7.2 a) En el mismo sistema de ejes, trace las curvas CFT, CVT y CT de la tabla 7.5. b)
Explique la razón de la forma de las curvas.
Tabla 7.5
Q
0
1
2
3
4
5
6
CFT ($)
120
120
120
120
120
120
120
CVT ($)
0
60
80
90
105
140
210
CT ($)
120
180
200
210
225
260
330
b) Puesto que CFT permanece constante en $120 por periodo, cualesquiera que sea el
nivel de la producción, la curva CFT es paralela al eje horizontal y está $120 por
encima del él, CVT es cero cuando la producción es cero y asciende según se
incrementa la producción. Antes de que comience a operar la ley de los rendimientos
crecientes, CVT aumenta a una tasa decreciente. Después de que comienza a
operar la ley de los rendimientos decrecientes, CVT aumenta a una tasa creciente.
Así, la curva CVT comienza en el origen y tiene pendiente positiva. Es cóncava
descendente hasta el punto de inflexión y cóncava ascendente a partir de dicho
punto. Puesto que CT es igual a CFT más CVT, la curva CT tiene exactamente la
misma forma que la curva CVT pero en todos sus puntos se encuentran $120 por
encima de ella. Al trazar las curvas CFT, CVT y CT, se valoran todos los recursos de
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acuerdo a su costo de oportunidad, lo que incluye los costos explícitos e implícitos.
Asimismo, las curvas CFT, CVT y CT indican, respectivamente, los CFT, CVT y CT
mínimos de obtener varios niveles de producción por periodo de tiempo.
7.3 a) Proporcione algunos ejemplos de factores fijos y variables en el corto plazo. b) ¿Cuál
es la relación entre la cantidad de los insumos fijos utilizados y el nivel de producción a
corto plazo?
a) Los factores fijos en el corto plazo incluyen los pagos por el alquiler de tierra y
edificios por lo menos una parte de la depreciación y de los gastos de
mantenimiento, la mayor parte de los tipos de seguros, los impuestos sobre las
propiedades y algunos sueldos (como los de la alta dirección), que son fijos por
contrato y que quizá se tengan que pagar durante la vigencia de éste, produzca la
empresa o no. Los factores variables incluyen las materias primas, los combustibles,
la mayor parte de los tipos de trabajo, los impuestos al consumo y los intereses
sobre préstamos a corto plazo.
b) La cantidad de insumos fijos que se utilicen determina el tamaño o la escala de la
planta que opera la empresa en el corto plazo. Dentro de los límites impuestos por su
escala de planta, la empresa puede variar su producción en el corto plazo
modificando la cantidad de los insumos variables utilizados por unidad de tiempo.
7.4 Con base en la tabla 7.5, a) determine los valores CFP, CVP, CP y CM y b) grafíquelos
sobre un sistema de ejes.
a)
Tabla 7.6
Q
CFT ($)
CVT ($)
CT ($)
CFP ($)
CVP ($)
CP ($)
CM ($)
0
120
0
120
1
120
60
180
120
60.00
180.00
60
2
120
80
200
60
40.00
100.00
20
3
120
90
210
40
30.00
70.00
10
4
120
105
225
30
26.25
56.25
15
5
120
140
260
24
28.00
52.00
35
6
120
210
330
20
35.00
55.00
70
EDUCA INTERACTIVA
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CFP es igual a CFT dividido entre la producción CVP es igual a CVT dividido entre la
producción. CP es igual a CT dividido entre la producción. CM es igual al cambio, en
CVT o en CT, debido a un cambio de una unidad en la producción.
b)
7.5 Con base en la curva CFT del problema 7.2, derive geométricamente la curva CFP y
explique su forma.
Véase la figura 7-8 CFP es igual a CFT dividida entre la producción CFT es igual a $120.
Por lo tanto, cuando la producción es 2, CFP es igual a $120 dividido entre 2 o sea $60.
Esto es igual a la pendiente de la línea delgada OA y se grafica como el punto A’ sobre
la curva CFP. En el punto B sobre la curva CFT se determine CFP mediante la pendiente
de la línea delgada OB. Esto es igual a $30 por unidad ($120/4 unidades) y se grafica
como el punto B sobre la curva CFP. En el punto C de la curva CFT, la CFP es igual a la
pendiente de la línea delgada OC que es $20. Esto da el punto C’ sobre la curva CFP.
En forma similar podrían obtenerse otros puntos sobre la curva CFP.
La curva CFP es asintótica respecto a ambos ejes. Es decir, a medida que nos alejamos
del origen a lo largo de cualesquiera de los ejes, la curva CFP se acerca pero nunca
llega a tocarlos. También, CFP multiplicada por una cantidad siempre da la misma suma
(es decir, CFT es constante). Por lo tanto, la curva CFP es una hiperbólica rectangular.
7.6 Con base en la curva CVT del problema 7.2 derive geométricamente la curva CVP y
explique su forma.
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Véase la figura 7-9. El CVP es igual al CVT dividido entre la producción. Por ejemplo, en
el punto D sobre la curva CVT, el CVT es igual a $60. Por lo tanto, el CVP es igual a $60
dividido entre 1, o sea $60. Esto es igual a la pendiente de la línea delgada OD y se
grafica como el punto D’ sobre la curva CVP. En el punto E de la curva CVT se
determina el CVP mediante la pendiente de la línea delgada OG. Esto es igual a $26.50
($105/4) y se grafica como el punto E’ sobre la curva CVP. En el punto F de la curva
CVT, el CVP es igual a la pendiente de la línea delgada OF, que es $35 ($210/6). Esto
da el punto F’ sobre la curva CVP. En forma similar, podrían obtenerse otro puntos sobre
la curva CVP. Observe que la pendiente de una línea delgada que va del origen a la
curva CV, desciende hasta el punto E (donde la línea delgada desde el origen es
tangente a la curva) y asciende de ahí en adelante. Así, la curva CVP desciende hasta el
punto E’ y asciende después.
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 232
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7.7 Con base en la curva CT del problema 7.2, derive geométricamente la curva CP y
explique su forma.
Véase la figura 7-10. El CP en los puntos H, J y N de la curva CT se determinan
respectivamente por la pendiente de las líneas delgadas OH, OM y ON. Éstas son
iguales a $70, $52 y $55, respectivamente y se grafican como los puntos H’, J’ y N’ de la
curva CP. El CP en otros puntos de la curva CT podrían obtenerse en forma similar.
Obsérvese que la pendiente de una línea delgada desde el origen hasta la curva CT,
desciende hasta el punto J (donde la línea delgada desde el origen es tangente a la
curva CT) y asciende a partir de ahí en adelante. De esta manera, la curva CP
desciende hasta el punto J y asciende después.
7.8 Con base en las curvas CT y CVT de problema 7.2 derive geométricamente la curva CM
y explique su forma.
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 233
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Véase la figura 7-11. Las pendientes de las curvas CR y CVT son exactamente las
mismas para cualquier nivel de producción. Por lo tanto, el CM lo determina la pendiente
de cualesquiera de las dos curvas. La pendiente de la curva CT y de la curva CVT (es
decir, el CM) en el punto D es $32. (El valor de $32 se obtiene midiendo la pendiente de
la tangente a la curva CT en el punto D. Es decir, al pasar de D a R se asciende $40 y
hay un desplazamiento hacia la derecha en 1.25 unidades; así la pendiente de DR es
igual a 40/1.25, o sea $32). Esto da el punto D’ sobre la curva CM. El punto S’ es el
punto de inflexión de las curvas CT y CVT. En este punto la pendiente de las curvas CT
y CVTA está en su valor más bajo. Este valor da el punto más bajo (es decir el punto S’)
de la curva CM. Más allá de los puntos S’ y S’ está operando la ley de los rendimientos
decrecientes y la curva CM asciende. La pendiente de (la tangente a) las curvas CT y
CVT (es decir, el CM) en el punto E es igual al CVP más bajo, que es $26.25. Esto da el
punto E’ sobre la curva CM. La pendiente de (la tangente)
a) las curvas CT y CVT (es decir, el CM) en el punto J es igual al CP más bajo, que es
$52. Esto da el punto J sobre la curva CM.
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 234
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7.9 a) En el mismo sistema de ejes, dibuje las curvas CVT y CT del problema 7.2 en otro
sistema de ejes directamente debajo del primero, dibuje las correspondientes curvas
CVP, CP y CM. b) Explique, brevemente, la relación entre la forma de las curvas CT y
CVT y la forma de las curvas CVP, CP y CM. c) Explique la relación entre las curvas del
costo unitario.
a) Véase la figura 7-12
b) El CVP es igual al CVT dividido entre la producción. CVP lo determina la pendiente
de una línea delgada desde el origen hasta la curva CVT. Hasta el punto E (donde
una línea delgada desde el origen es tangente a la curva CVT), CVP desciende.
Pasado el punto E asciende. El CP es igual al CT dividido entre la producción. El CP
lo determinada la pendiente de una línea delgada desde el origen hasta la curva CT.
Hasta el punto J (punto de tangencia), la pendiente de la línea (es decir, el CP)
desciende. Después del punto J asciende. La curva CM puede obtenerse de la
pendiente de la curva CVT o de la pendiente de la curva CT. La pendiente de la
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Pág. 235
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curva CT y CVT (es decir, el CM) desciende hasta el punto de inflexión (punto S) y
asciende después. Observe que el CM entre dos puntos de la curva CT o de la curva
CVT lo determina la pendiente de la cuerda entre dichos puntos. Éste es el CM
promedio. A medida que la distancia entre los dos puntos se aproxima a cero en el
límite, el valor del CM se acerca al valor de la pendiente de las curvas CT o CVT en
un punto.
Las curvas CVP, CP y CM incluyen los costos implícitos y explícitos y dan los costos
unitarios mínimos de obtener varios niveles de producción. La forma de CVP, CP y
CM puede explicarse por la ley de los rendimientos decrecientes. Como se verá en el
capítulo 9, cuando cambien los precios de los factores, las curvas CVP, CP y CM, se
desplazan en forma ascendente si los precios de los factores aumentan y en forma
descendente si bajan.
c) Las curvas CVP y CP tienen forma de U. Puesto que el CP es igual al CVP más el
CFP, la distancia vertical entre el CP y la curva CVP da el CFP. Así, no se necesita
una curva CFP por separado y por lo general no se dibuja. Observe que a medida
que aumenta la producción, la distancia vertical entre el CP y la curva CVP (es decir,
el CFP) desciende. Esto siempre es cierto.
La curva CM también tiene forma de U y llega a su punto mínimo antes que la curva
CVP y CP. El CM está por debajo de CVF cuando el CVP está descendiendo y es
igual al CVP en el punto más bajo de la curva CVP y está por encima de CVP
cuando CVP está ascendiendo. Se da exactamente la misma relación entre las
curvas CM y CP y la curva CP llega a su punto mínimo después de CVP. Esto se
debe a que, por un tiempo, el CFP descendente excede al CVP ascendente.
En los capítulos 9 a 12 se utilizará mucho una figura como la de este problema que
muestra las curvas CM, CVP y CP. Lo importante en la figura es la relación entre las
diversas curvas más bien que los valores reales utilizados para dibujarlas.
7.10 Si se supone para mayor simplificación que el trabajo es el único insumo variable en el
corto plazo y que su precio es constante, explique la forma de U de a) la curva CVP y
b) la curva CM en términos de la forma de las curvas PPL y PML, respectivamente.
a) Cuando el trabajo es el único insumo variable, el CVT es igual al precio del trabajo
(PL) multiplicado por el número de unidades de trabajo utilizadas (L). Por lo tanto
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 236
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CVP = CVT = (PL)(L) = PL = PL
Q
Q
Q/L PPL
Ahora, con un PL constante (como supuesto) y con el conocimiento obtenido en el
capítulo 6 de que PPL normalmente asciende, llega a un punto máximo y después
desciende, se desprende que normalmente el CVP desciende, llega a un punto
mínimo y después asciende. Es decir, en cierto sentido, la curva CVP es el reflejo
monetizado a la recíproca de la curva PPL (véase el problema 7.23).
b) Cuando el trabajo es el único insumo variable y se supone que PL es igual al precio
del trabajo, L es igual a la cantidad de trabajo utilizado por unidad de tiempo y “∆”
se refiere a “el cambio en”, se tiene
CM = ∆(CVT) = ∆[(PL)(L)] = PL ∆L = PL 1 .
∆Q
∆Q
∆Q
PML
En esta identidad, puesto que PL es una constante, puede rescribirse ∆ [(PL)(L)]
como PL (∆L). También ∆Q/ ∆L es igual a PML. Por lo tanto, ∆L/∆Q es igual a
1/PML. Ahora puesto que se conoce (del capítulo 6) que normalmente la curva PML
primero asciende, llegue a un punto máximo y después desciende, se desprende
que normalmente la curva CM primero desciende, llega a un punto mínimo y
después asciende. Así, en cierto sentido, la curva CM es el reflejo monetizado a la
recíproca de la curva PML (véase el problema 7.23). Obsérvese que también podría
explicarse la relación entre la forma de la curva CVP (y CP) y la forma de la curva
CM de la misma manera en que se explicó la relación entre la curva CPL y la curva
CML en el ejemplo 5.
CURVAS DEL COSTO A LARGO PLAZO
7.11 a) ¿Cuál es la relación entre el largo plazo y el corto plazo? b) ¿Cómo puede derivarse
la curva CPL? ¿Qué muestra la curva?
a) El largo plazo puede definirse como el precio para el cual la empresa planea por
anticipado construir la escala de planta más apropiada para obtener el nivel de
producción previsto (futuro). Una vez que la empresa ha construido una escala de
planta específica, la opera en el corto plazo. De esta manera, puede decirse que la
empresa opera a corto plazo y planea para el largo plazo. El establecimiento de
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 237
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estos planes a largo plazo determina la situación particular a corto plazo en que
operará al empresa en el futuro.
b) La curva CPL es la curva envolvente de todas las curvas CPC y muestra el costo
unitario mínimo de obtener cada nivel de producción. Obsérvese que en la figura 74, para producciones inferiores a 8 unidades por periodo, la curva CPL es tangente
a las curvas CPC a la izquierda de sus puntos mínimos. Para producciones
mayores de 8 unidades, la curva CPL es tangente a las curvas CPC a la derecha
de sus puntos mínimos. A un nivel de producción de 8 unidades, la curva CPL es
tangente a la CPC3 en su punto mínimo. Este es también el punto mínimo de la
curva CPL. A la escala de planta cuya parte CPC forma el punto mínimo de la
curva CPL (CPC3 en la figura 7-4) se le conoce como la escala de planta óptima,
mientras que el punto mínimo de cualquier curva CPC se denomina tasa óptima de
producción para esa planta.
7.12 Suponga que cinco de las escalas alternas de planta que puede construir una empresa
en el largo plazo son las que muestran las curvas CPC de la tabla 7.7. a) Dibuje esta
cinco cuevas CPC en el mismo sistema de ejes y b) defina la curva CPL de la empresa
si estas cinco plantas son las únicas factibles desde un punto de vista tecnológico,
¿Cuál planta utilizaría en el largo plazo si quisiera obtener tres unidades de
producción? c) Defina la curva CPL de la empresa si está pudiera construir una
número infinito de plantas (o un número muy grande de plantas).
Tabla 7.7
CPC2
CPC1
CPC3
CPC4
CPC5
Q
CPC ($)
Q
CPC ($)
Q
CPC ($)
Q
CPC ($)
Q
CPC ($)
1
15.50
2
15.50
5
10.00
8
10.00
9
12.00
2
13.00
3
12.00
6
8.50
9
9.50
10
11.00
3
12.00
4
10.00
7
8.00
10
10.00
11
11.50
4
11.75
5
9.50
8
8.50
11
12.00
12
13.00
5
13.00
6
11.00
9
10.00
12
15.00
13
16.00
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Pág. 238
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a)
b) La curva CPL de la empresa la determinan las parte continuas de las curvas CPC
de la figura 7-13. Es decir, la curva CPL para la empresa la da la línea continua que
une los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, M, N y R. Las partes punteadas de las curvas
CPC son irrelevantes puesto que representan un CP más alto de lo necesario para
la empresa en el corto plazo. Si la empresa quisiera obtener tres unidades de
producción por periodo, utilizaría la planta 1 o la planta 2 y estaría en el punto C
(véase la figura anterior). En ambos casos el CPC para la empresa sería el mismo.
c) Si la empresa pudiera construir un número infinito de plantas, o un número muy
grande de plantas alternas, a largo plazo, se tendría un número infinito o muy
grande de curvas CPC. Al dibujar una tangente a todas estas curvas, se obtiene la
curva denominada CPL de la figura anterior. Esta es la curva envolvente de todas
las curvas CPC y muestra el costo unitario mínimo de obtener cada nivel de
producción cuando la empresa puede construir cualquier escala de planta que
desee.
7.13 Con referencia a la figura 7-13, a) señale en qué punto de su curva CPL está la
empresa operando la escala de planta óptima a su nivel de producción óptima. b)
¿Qué tipo de planta operaría la empresa y como utilizaría su planta para producciones
menores de siete unidades? c) ¿Cómo la utilizaría para producciones mayores a siete
unidades?
a) En el punto F de la curva CPL, la empresa estaría operando su escala de planta
óptima (señalada por CPC3) a su nivel de producción óptima (punto F).
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Pág. 239
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b) Para obtener una producción menor a siete unidades indicada por el punto F, la
empresa subutilizaría (es decir, la produciría menos del nivel de producción óptimo)
una escala de planta menor que la óptima a largo plazo. Por ejemplo, si la empresa
estuviera utilizando la planta indicada por CPC1 en el punto B y quisiera aumentar
su producción de dos a cuatro unidades por periodo, en el corto plazo tendría que
producir el nivel de producción óptimo con la planta 1 (punto T en la figura). Sin
embargo, en el largo plazo la empresa construiría la escala de planta mayor
indicada por CPC2 (o convertiría la plata 1 en plata 2) y la operaría en el punto D.
La planta 2 es menor que la escala de planta óptima (indicada por CPC3 ne la
figura 7-13) y se opera por debajo de su nivel de producción óptimo.
c) Para obtener más de siete unidades de producción por periodo, la empresa
sobreutilizaría una escala de planta mayor que la óptima en el largo plazo (véase la
figura 7-13).
La empresa puede conocer la forma aproximada de las curvas alternas CPC bien
sea por la experiencia o por estudios de ingeniería.
7.14 a) Dibuje una curva CPL que muestre rendimientos crecientes a escala sobre un
pequeño rango de producciones, rendimientos constantes a escala sobre un “gran
rango” de producciones y rendimientos decrecientes a escala de ahí en adelante. b)
¿Qué implica una curva CPL como la que aparece en la parte a) para el tamaño de las
empresas en la misma industria? ¿Existe en este caso una escala de planta óptima?.
a)
En la figura 7-14 se tienen rendimientos crecientes a escalo o un CPL descendente
hasta la producción OA; se tienen rendimientos constantes a escala o un CPL
constante entre los niveles de producción OA y OB; y más allá de OB se tienen
rendimientos decrecientes a escala o un CPL creciente. Así, el CPL y los rendimientos
a escala son caras opuestas de la misma moneda. Observe que pueden estar
EDUCA INTERACTIVA
Pág. 240
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operando economías y deseconomías a escala sobre el mismo rango de producción.
Cuando las economías a escala superan a las deseconomías, la curva CPL desciende;
de otra manera el CPL es constante o ascendente. El nivel real de producción en el
cual CPL deja descender o comienza a ascender, depende, por supuesto, de la
industria.
b) Un curva CPL con la parte inferior plana, que muestra rendimientos constantes a
escala sobre un amplio rango de producciones, implica que coexisten empresas
pequeñas junto a empresas mucho mayores en la misma industria. Si los
rendimientos crecientes a escala operaran sobre un amplio rango de producciones,
las empresas grandes (que operan grandes plantas) tendrían CPL mucho menores
que las empresas pequeñas y sacarían a estas del mercado. Muchos economistas
y expertos en negocios creen (y así lo señalan algunos estudios empíricos) que la
curva CPL en mucha industrias tiene una parte inferior plana como la figura 7-14.
En estos casos no hay una escala de planta óptima única, sino muchas. Es decir,
la parte plana de la curva CPL está formada por el punto más bajo de muchas
curvas CPC.
7.15 Los valores del CPL de la tabla 7.8 se sacan o se estiman de la curva CPL del
problema 7.12. a) Con base en este problema determine el programa CML. b) En el
mismo sistema de ejes grafique los programas CPL y CML. c) ¿Cuál es la relación
entre la curva CPL y la curva CML? ¿Cuál sería la forma de la curva CML
correspondiente a la curva CPL del problema 7.14 a)?.
Tabla 7.8
Q
1
2
LAC ($) 15 13
3
4
5
6
7
11.30
10
9
8.30
8
a)
Q
8
9
10
8.20 8.90 10
11
12
11.30 13
Tabla 7.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
8.30
8.00
8.20
13.00
CPL ($) 15 13
11.30 10.00
8.90
10
11.30
CTL ($) 15 26
33.90 40.00 45 49.80 56.00 65.60 80.10
100
124.30 156.00
LML ($)
..
11
7.90
6.10
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5
4.80
6.20
9.60 14.50 19.90 24.30
31.70
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b)
c) Cuando la curva CPL desciende, la correspondiente curva CML está por debajo
de la curva CPL; CML = CPL cuando el CPL es el más bajo; y cuando la curva
CPL asciende, la curva CML está por encima de ella. Cuando la curva CPL tiene
una parte inferior plana y se aparece a la del problema 7.14 a), la curva CML
estará por debajo de CPL cuando está desciende, el CML coincidirá con el CPL
cuando la curva CPL sea horizontal y la curva CML estará por encima de CPL
cuando CPL ascienda.
7.16
a) Con base en CPC1, CPC3 y CPC4 del problema 7.12 determine CMC1, CMC3 y
CMC4. b) En el mismo sistema de ejes, grafique los programas CPL y CML del
problema 7.15 y los programas CPC1, CPC3, CPC4, CMC1, CMC3 y CMC4 de la parte
a). c) Describa la relación entre las curvas CP y sus respectivas curvas CM y la
relación entre la curva CML y las curvas CMC.
a) Véase la tabla 7.10.
b) Véase la figura 7-16.
c) En el corto o en el largo plazo, la curva CM está por debajo de la correspondiente
curva CP cuando ésta desciende; CM es igual a CP cuando CP está en el punto
más bajo; y la curva CM está por encima de la curva CP cuando ésta asciende.
El nivel de producción donde CPC es igual a CPL (es decir, en el nivel de
producción donde la curva CPC es tangente a la curva CPL), CMC es igual a
CML.
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Tabla 7.10
Planta 1
Q CPC1 ($) CTC1 ($)
Planta 3
Planta 4
CMC1 ($)
Q
CPC3 ($)
CTC3 ($)
CTC3 ($)
Q
CMC4 ($)
CTC4 ($) CMC4 ($)
1
15.50
15.50
..
5
10.00
50.00
..
8
10.00
80.00
..
2
13.00
26.00
10.50
6
8.50
51.00
1.00
9
9.50
85.50
5.50
3
12.00
36.00
10.00
7
8.00
56.00
5.00
10
10.00
100.00
14.50
4
11.75
47.00
11.00
8
8.50
68.00
12.00
11
12.00
132.00
32.00
5
13.00
65.00
18.00
9
10.00
90.00
22.00
12
15.00
180.00
48.00
Cuando la curva CPL está descendiendo, el punto en donde CMC es igual a CML
(por ejemplo, B’ en la fig. 7-16), está exactamente debajo del correspondiente
punto (B) sobre la curva CPL. Cuando CPL está ascendiendo, el punto en donde
CMC es igual a CML (H’), está exactamente encima del correspondiente punto
(H’) sobre la curva CPL. En el punto más bajo de la curva CPL, CPL = CML =
CPC = CMC.
7.17 Con base en los valores CPC de la tabla 7.7, a) determine los programas CTC1, CTC2,
CTC3, CTC4, y CTC5 [obsérvese que tres de estos programas ya se determinaron en el
problema 7.16 a)], b) grafique los cinco programas CTC en el mismo sistema de ejes y
derive la curva CTL, y c) comente la forma de la curva CTL de la parte b).
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a)
Tabla 7.11
CTC1
CTC2
CTC3
CTC4
CTC5
Q CP($) CT($) Q CP($) CT($) Q CP($) CT($) Q CP($)
CT($)
Q CP($) CT($)
1 15.50 15.50
2
15.50 31.00
5
10.00 50.00
8
10.00
80.00
9
2 13.00 26.00
3
12.00 36.00
6
8.50
51.00
9
9.50
85.50
10 11.00 110.00
3 12.00 36.00
4
10.00 40.00
7
8.00
56.00 10 10.00 100.00 11 11.50 126.50
4 11.75 47.00
5
9.50
47.50
8
8.50
68.00 11 12.00 132.00 12 13.00 156.00
5 13.00 65.00
6
11.00 66.00
9
10.00 90.00 12 15.00 180.00 13 16.00 208.00
12.00 108.00
b)
c) La curva CTL es la curva tangente a las curves CTC. Observe que, al igual que las
curvas CTC, la curva CTL tiene forma de S, pero comienza en el origen, puesto
que en el largo plazo no existen costos fijos. Las curvas CTC, que representan
escalas de planta mayores, comienzan más arriba del eje vertical debido a costos
fijos mayores. Si en lugar de trazar sólo cinco curvas CTC se hubieran trazado
muchas (cada una de ellas correspondientes a una de las muchas plantas alternas
que podría construir la empresa en el largo plazo), entonces cada punto de la curva
CTL estaría formado por un punto sobre la curva CTC que representa la planta
EDUCA INTERACTIVA
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mas apropiada para obtener esa producción (es decir, la planta que da el costo
más bajo posible para obtener el nivel de producción específico). De esta manera,
ninguna parte de las curvas CTC nunca puede estar por debajo de la curva CTL
derivada de ellas. Por consiguiente, la curva CTL da el CTL mínimo para obtener
cualquier nivel de producción. También debe observarse que los valores CTL para
los diversos niveles de producción indicados por la curva CTL de la parte b)
corresponden a los valores CTL determinados en el problema 7.15 a)
(multiplicando la producción por el CPL a diversos niveles de producción).
7.18 a) Explique la forma de las curvas CPL y CML del problema 7.15 b) y la relación entre
ellas con base en la forma de la curva CTL del problema 7.17 b). b) ¿Cuál sería la
forma de las curvas CPL y CML si la curva CTL fuera la línea recta que pasara por el
origen?
a) CPL la determina la pendiente de una línea desde el origen hasta los diversos
puntos de la curva CTL. Esta pendiente declina hasta el punto F (véase la fig 7-17)
y asciende a partir de ahí. Por lo tanto, la curva CPL de la figura 7-15 desciende
hasta el punto F y después asciende. Por otra parte, el CML para cualquier nivel de
producción lo determina la pendiente de la cueva CTL en ese nivel. La pendiente
de la curva CTL de la figura 7-17 desciende continuamente hasta el nivel de
producción de cinco unidades (el punto inflexión) y a partir de ahí asciende. Así, la
curva CML de la figura 7-15 desciende hasta el nivel de producción de cinco
unidades y después asciende. Por último, la pendiente de la curva CTL (es decir, el
CML) es menor que la pendiente de una línea desde el origen hasta la curva CTL
(es decir, el CPL), hasta el punto F (véase la figura 7-17). Por consiguiente, CML
es menor o está por debajo de CPL. En el punto F las dos pendientes son iguales y
CML es igual a CPL. Más allá el punto F, la pendiente de la curva CTL es mayor
que la pendiente de una línea desde el origen hasta la curva CTL. Así, CML es
mayor o está por encima de CPL.
b) Si la curva CTL hubiera sido una línea recta que pasara por el origen, la curva CPL
sería horizontal a todo lo largo (al valor constante de la pendiente de la curva CTL)
y coincidiría con la curva CML en toda su extensión. Para que la curva CPL se
parezca a la del problema 7.14 a) una parte del CTL tiene que coincidir o ser
tangente a una parte de una línea delgada desde el origen hasta la curva CTL. En
ese caso, la curva CML coincidiría con la parte horizontal de la curva CPL.
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7.19 Con base en la figura 7-17, a) explique la relación entre la curva CPC, y la curva CPL
de la figura 7-16 y b) explique la relación entre la curva CMC, y la curva CML.
a) Para producciones que sean menores o mayores a dos unidades, la pendiente de
una línea delgada desde el origen hasta la curva CTC1 (es decir, CPC) excede a la
pendiente de una línea delgada desde el origen hasta la curva CTL (es decir, CPL)
al mismo nivel de producción (véase la fig. 7-17). Así la curva CPC1 está por
encima de la curva correspondiente CPL para producciones menores y mayores a
dos unidades (véase la fig. 7-16). Para el nivel de producción de dos unidades, la
pendiente de una línea delgada desde el origen hasta la curva CTC1 es la misma
que la de una línea delgada desde el origen hasta la curva CTL. Por consiguiente,
para dos unidades de producción CPC = CPL y la curva CPC1 es tangente a la
correspondiente curva CPL. La relación entre las curvas CPC3 y CPC4 y la curva
CPL de la figura 7-16 puede explicarse en una forma exactamente similar de la
relación entre las curvas CTC3 y CTC4 y la correspondiente curva CTL de la figura
7-17.
b) Para producciones inferiores a dos unidades, la pendiente de la curva CTC1 (es
decir, CMC), es menor que la pendiente de la curva CTL (es decir, CML) al mismo
nivel de producción (véase la fig. 7-17). Por consiguiente, la curva CMC1 está por
debajo de la correspondiente curva CML para producciones inferiores a dos
unidades (véase la fig. 7-16). Para producciones mayores a dos unidades, se da
exactamente lo contrario. Para el nivel de producción de dos unidades, la curva
CTC1 es tangente a la curva CTL y por lo tanto sus pendientes son iguales. De esta
manera, CMC = CML y CML interseca la curva CMC1 en su punto más bajo en las
dos unidades de producción. La relación entre las curvas CMC3 y CMC4 y la
correspondiente curva CML puede explicarse en forma similar a partir de la relación
entre las curvas CTC3 y CTC4 y la correspondiente curva CTL. Observe de nuevo
que en el punto más bajo de la curva CPL, CPL = CML = CPC = CMC (véase el
punto F en la fig. 7-16). Esto siempre es cierto.
FUNCIONES DE LA PRODUCCIÓN Y CURVAS DEL COSTO
7.20 a) Exponga la relación entre las funciones de producción y las curvas de costo. b)
Explique cómo pueden derivarse las curvas PT, PP y PM para un factor de producción,
con base en un diagrama de isocuantas. c) Explique como se deriva la curva CVT a
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partir de una curva PT. d) Establezca la relación entre las curvas CVP y CM y las
correspondientes curvas PP y PM.
a) En el problema 6.17 se observó como una empresa debe continuar los insumos
con el fin de minimizar el costo de obtener los diversos niveles de producción. La
función de producción de una empresa, junto con los precios que tiene que pagar
por sus factores de producción o insumos, determina la curva del costo de la
empresa.
b) Suponga que sólo se tienen dos factores de producción, por ejemplo, trabajo y
capital y que se mantiene fija la cantidad de capital utilizada (por periodo) en un
nivel determinado (por lo tanto se está en el corto plazo). Así el aumentar la
cantidad de trabajo utilizado por periodo se alcanzan isocuantas o niveles
producción cada vez más altos (hasta un máximo). Si graficamos la producción que
se obtiene con las diferentes cantidades de trabajo utilizados por unidad de tiempo
(con las cantidades fijas de capital), se obtiene la función o curva PTL. A partir de
esta curva pueden derivarse las curvas PPL y PML (véase el problema 7.21).
c) Para cada nivel del PTL puede obtenerse el correspondiente CVT multiplicando el
precio unitario del trabajo por la cantidad de trabajo requerido para obtener el nivel
de producción específica. Así, a partir de la curva PTL puede obtenerse la curva
correspondiente CVT, y con base en esta curva, pueden derivarse las curvas CVP
y CM (véase el problema 7.22).
d) La curva CVP que se obtiene es la recíproca monetizada de la correspondiente
curva PP, y la curva CM es la recíproca monetizada de la correspondiente curva
PM (véase el problema 7.23). Obsérvese que a partir de un diagrama de isocuanta
– isocosto pueden obtenerse también las curvas CTL y CPL, y mostrar la relación
entre CTL y CTC y entre CPL y CPC (véase el problema 7.24). Por consiguiente,
los problemas 7.21 a 7.24 resumen la relación entre las funciones de la producción
y las curvas del costo.
7.21 A partir del diagrama de isocuantas de la figura 7-18 y suponiendo que la cantidad de
capital es fija en tres unidades (por lo tanto se trata del corto plazo), a) derive el
programa PTL y de él, los programas PPL y PML y b) grafique estas curvas.
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a)
Tabla 7.12
(1) L
1
2
3
4
5
6
7
(2) PTL
100
300
700
1000
1200
1300 1350
(3) PPL
100
150
233
250
240
217
194
(4) PML
..
200
400
300
200
100
50
b)
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7.22 Con el base en el programa PTL de la tabla 7.12 y suponiendo que el precio del trabajo
es de $300 unidad, a) derive el programa CVT y de él, los programas CVP y CM y b)
grafique estas curvas.
a)
Tabla 7.13
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
L
Q
CVT ($)
CVP ($)
CM ($)
1
100
300
3.00
..
2
300
600
2.00
1.50
3
700
900
1.29
0.75
4
1000
1200
1.20
1.00
5
1200
1500
1.25
1.50
6
1300
1800
1.38
3.00
7
1350
2100
1.56
6.00
b)
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7.23 a) En el mismo sistema de ejes trace de Nuevo la curva CVP y la curva CM de la figura
7-20; en un Segundo sistema de ejes, directamente debajo del primero, grafique los
programas PPL y PML del problema 7.21, pero con el PTL (es decir con Q), en lugar de
L sobre el eje horizontal, b) En un sistema de ejes dibuje de nuevo la curva PPL y PML
exactamente como aparecen en la figura 7-19 (es decir, con L sobre el eje horizontal);
en un segundo sistema de ejes, directamente debajo del primero, grafique los
programas CVP y CM en la tabla 7-13, pero con L, en lugar de Q, sobre el eje
horizontal, c) ¿Cuál es la relación entre la curva PPL y la curva CVP? ¿Cuál es la
relación entre la curva PML y la curva CM?
a)
c) Tanto si se mide Q [sección a)] o L [sección b)] sobre el eje horizontal, la curva
CVP es el reflejo monetizado o la recíproca de la curva PPL y la curva CM es el
reflejo monetizado recíproco de la curva PML. Es decir, cuando las curvas PPL
ascienden la curva CVP desciende; cuando PPL se encuentra en su punto máximo,
CVP está en su mínimo, cuando la curva PPL desciende, la curva CVP asciende.
Existe la misma relación entre la curva PML y la curva CM. Observe que en las
figuras 7-21 y 7-22, la etapa de producción II para el trabajo comienza en el punto
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D’ (es decir, donde la curva PPL comienza a descender o donde la curva CVP
comienza a ascender).
7.24 En la figura 7-23 la línea OA es la ruta de expansión. Si PL = PK = $1000, a) determine
el programa CTL y trácelo y b) con referencia al diagrama de isocuanta-isocosto de la
figura 7-23, y explique por qué CTC nunca pueden ser inferior a CTL.
a)
Tabla 7.14
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
L
PL($)
CTL($)
K
PK($)
CTK()$
CTL (3+6)($)
Q
3
100
300
3
100
300
600
100
5
100
500
5
100
500
1000
200
6
100
600
6
100
600
1200
300
8
100
800
8
100
800
1600
400
11
100
1100
11
100
1000
2200
500
15
100
1500
15
100
1500
3000
600
b) Cuando la empresa emplea cinco unidades de trabajo y cinco unidades de capital
por periodo, se obtienen 200 unidades de producción a un costo de $1000. Esto lo
determina el punto B en el diagrama de isocuanta-isocosto (fig. 7-23). En el punto
B, PMK/PK
= PML/PL. Suponga ahora que la empresa desea aumentar su
producción a 300 unidades por periodo. Si se mantiene la cantidad del capital fijo
en cinco unidades (por lo tanto se trata del corto plazo), la empresa podría obtener
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300 unidades de producción utilizando ocho unidades de trabajo (es decir,
desplazándose al punto D). En este punto la empresa incurre en un CT de $1300 y
PML/PL < PMK/PK. En el largo plazo (es decir, cuando todos los factores son
variables) la empresa obtendrá 300 unidades de producción utilizando seis
unidades de trabajo y seis unidades de capital (punto C) e incurre en un CT de sólo
$1200. En el punto C, PML/PL de nuevo es igual a PMK/PK
Los puntos a lo largo de la ruta de expansión corresponden a los puntos de ajuste
óptimo. Por lo tanto, CTC es igual a CTL y la curva CTC es tangente a la curva
CTL. Los puntos que estén fuera de la ruta de expansión corresponden a puntos
de ajuste subóptimos. Así CTC es mayor que CTL y la curva CTC se encuentra por
encima de la curva CTL. Por consiguiente, CTC nunca es menor que CTL y la
curva CTC nunca se encuentra por debajo de la curva CTL (Observe que de la ruta
de expansión pueden derivarse también directamente el programa CPL y mostrar
la relación entre CPL y CPC. Intente hacerlo).
COSTOS DE PRODUCCIÓN CON CÁLCULO
7.25 Una empresa se enfrenta a la función de costo general de C = wL + rK y la función de
producción Q = f(L, K). Utilizando el cálculo derive la condición para minimizar el costo
de obtener un determinado nivel de producción (Q*).
Con la función Z, que incorpora la función del costo a minimizar para obtener la
producción Q* , se obtiene
Z’ = wL + rK + λ’ [Q* - f(L, K)]
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Donde λ’ es el multiplicador de Lagrange. Si se toma la primera derivada parcial de Z’
en relación con L y K igualándolasa cero, se obtiene
ą Z’ = w - λ’ ąf = 0
ąL
ąL
y
ąZ’ = r – λ’ ąZ’ = 0
ąK
ąK
Si se divide la primera ecuación entre la segunda se obtiene
w = ąf/aL = PML = TMSTLK
r
ąf/ąK
PMK
o
PML = PMK
w
r
7.26 Si Q = 100 K0.5 L0.5, w = $30 y r = $40. a) Determine la cantidad de trabajo y capital que
debe utilizar la empresa con el fin de minimizar el costo de obtener 1444 unidades de
producción. b) ¿Cuál es este costo mínimo?
a)
Z’ = $30L + $40K + λ’ [Q* + 100L0.5K0.5]
ąZ' = $30 - λ’ 50L –0.5K0.5 = 0
ąL
ąZ' = $40 - λ’ 50L –0.5K0.5 = 0
ąK
Al dividir la primera ecuación de derivación parcial entre la segunda, se obtiene
3 = K
4
L
así que
K =
3 (L)
4
Si se sustituye después este valor de K en la función de producción determinada
para 1444 unidades de producción se obtiene
1444 = 100L0,5 (0.75L)0.5
y
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así que
1444 = 100L = √0.75
L = 1444 = 16.67
86.6
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Al sustituir el valor de L = 16.67 en K = (3/4) L, se obtiene entonces
K=
3 16.67 = 12.51
4
b) El costo mínimo de obtener 1444 unidades de producción es
C = $30 (16.67) + $40 (12.51) = $1000.50
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