Dinámica de Fluidos - Universidad de Sonora
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Mecánica y fluidos Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb ©2007 Departamento de Fí Física Universidad de Sonora Dinámica de Fluidos 1 Temario 7. Dinámica de fluidos Diná Dinámica de fluidos (2.5 semanas) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Caracterí Características de los fluidos ideales y viscosos Concepto de gasto o flujo volumé volumétrico y su conservació conservación Flujo de masa y ecuació ecuación de continuidad Ecuació Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos Presió Presión en fluidos no viscosos en movimiento a travé través de tuberí tuberías Aplicació Aplicación de la ecuació ecuación de Bernoulli Medidor de Venturi Ventura de vací vacío y sus aplicaciones Velocidad de salida de un lí líquido por un orificio en un recipiente con diferentes condiciones geomé geométricas Elevació Elevación de aviones y otros ejemplos 7. La viscosidad de las sustancias y sus caracterí características Comportamiento de viscosidad con temperatura Temario Continuación Dinámica de fluidos Diná Dinámica de fluidos (2.5 semanas) 8. 9. 10. 11. Ley de HagenHagen-Poiseuille para flujo laminar Perfil de velocidad en ré régimen laminar Número de Reynolds y regimenes de flujo Estudio de objetos movié moviéndose en un fluido viscoso en reposo Ley de Stokes Velocidad terminal Sedimentació Sedimentación en centrifugas 2 1. Características de los fluidos ideales y viscosos Fluido ideal 1. 2. 3. 4. Flujo estacionario: estacionario: Cada punto del fluido no varia en funció función del tiempo. Incompresible (su densidad no puede cambiar): Los lí líquidos generalmente son incompresibles, aunque tambié también puede tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de presió presión no son muy grandes Fluido no viscoso: viscoso: Es un fluido NO viscoso, cuando la fricció fricción interna es nula o despreciable. Un objeto desplazá desplazándose en un fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas. Irrotacional: Un fluido es irrotacional si no posee velocidad angular. Imaginemos una pequeñ pequeña rueda de paletas sumergida en un lí líquido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin girar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacional. rotacional. 1. Características de los fluidos ideales y viscosos Al estudiar la diná dinámica de fluidos, se supondrá supondrá que todos los fluidos en movimiento exhiben un flujo laminar. El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda partí partícula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un punto en partí partículas) que la seguida por las partí partículas anteriores. Flujo laminar Flujo turbulento 3 1. Características de los fluidos ideales y viscosos El flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en el cual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecible. predecible. Pudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el que que aparece en la figura. En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido a su complejidad fí física y matemá matemática, quedando para cursos elevados. Flujo laminar Flujo turbulento Líneas de corriente Representació Representación de las lí líneas de flujo. Los flujos que trataremos son la zona correspondiente a la regió región má más pró próxima al tubo. La trayectoria que toma una partí partícula de un fluido es denominada lí línea de flujo. La velocidad de la partí partícula siempre es tangencial a las lí líneas de flujo. Dos lí líneas de flujo NUNCA se cruzan, si esto ocurre, una partí partícula de fluido podrí podría seguir por cualquiera de las dos, y el flujo serí sería no estacionario Un conjunto de lí líneas de flujo forman un tubo de flujo. 4 2. Concepto de gasto o flujo volumétrico y su conservación EL fluido de la parte baja de la imagen que se encuentra en el tubo, se desplaza en un Δt, un Δx1=v1 Δt A1 es el área de la secció sección transversal en esta regió región, entonces la masa que se desplaza es Δm1= A1v1 Δx1 =ρ1A1v1 Δt Para la parte superior se tiene de manera similar, A2, y la masa Δm2= A2v2 Δx2 =ρ2A2v2 Δt Por la conservació conservación de la masa Δm1= Δm2 o ρ1A1v1 = ρ2A2v2 Se le conoce como ecuació ecuación de continuidad Si la densidad es constante ρ, se tiene entonces A v = A v = cte. 1 1 2 2 Se denomina a la constante, Razó Razón de flujo, gasto o flujo de volumen Ejemplo de GASTO Una señ señora esta regando el jardí jardín y le tapa con el dedo a la manguera, dejando una abertura de aproximadamente 1/3 del área original. ¿Saldrá Saldrá más rá rápido el agua tapando la boca de la manguera con el dedo o sin tapar? Respuesta: Si en la tele nos dicen que normalmente de la llave salen 20 litros por minutos, y la manguera es de aproximadamente de 2cm. de diá diámetro. La velocidad entonces puede ser determinada utilizando la ley del gasto. A1v1 = A2 v2 = cte. = Q donde 2 2 π ⎜⎛ d1 2 ⎟⎞ v1 = π ⎜⎛ d 2 2 ⎟⎞ v2 = cte. = Q ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ despejando 2 ⎛ d 2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ d1 ⎠ ⎝ v1 ⎠ Sabemos que d1=3d2 y ademá además que 1lt = 1dm3 =(0.1m)3, así así se tiene que 20lt =20(0.1m)3 cada 60 seg. Así Así v1=(20lt/60seg)/A1 =(20*(0.1m) π∗(0.01m) .01m)2) =(20*(0.1m)3/60seg)/( 60seg)/(π∗(0 Ademá Además sabemos que v2=9v1 5 4. Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos Daniel Bernoulli ¾ Físico y matemá matemático suizo, nació nació el 8 de Febrero de 1700. Hizo importantes aportaciones en hidrodiná más hidrodinámica. mica. Su trabajo má importante trata sobre el estudio teó teórico experimental de fluidos tanto en equilibrio como en movimiento. Su má máxima obra, llamado hoy en dí día Principio de Bernoulli, Bernoulli, versa sobre la descripció descripción de fluidos desplazá desplazándose al interior de un tubo. Su obra esta basada en una descripció descripción utilizando el principio de conservació conservación de la energí energía. 4. Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos Cuando un fluido pasa a travé través de un tubo donde los extremos está están a diferente altura y tienen diferente área transversal, la presió presión del fluido varia. Daniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presió presión con la velocidad del fluido, y elevació elevación, utilizando la conservació conservación de la energí energía. Suposiciones de Bernoulli ¾ ¾ ¾ El fluido es incompresible, irrotacional, y no viscoso, ademá fluye de manera además estacionaria. El área en los extremos del tubo son A1 (punto 1) y A2 (punto 2) respectivamente y se encuentran a una elevació elevación respecto al plano horizontal y1 y y2. La velocidad de entrada y salida son v1 (punto 1) y v2 (punto 2) Punto 2 Punto 1 6 Continuación 1 En un Δt, se aplica una fuerza F1 sobre el fluido en P1, es decir sobre la secció sección transversal A1. Esto hace que se efectú efectúe un trabajo para poder desplazar el fluido un Δx1. Dando como resultado Punto 2 Punto 1 W1 = F1Δx1 = P1 A1 x1 = P1ΔV donde ΔV es el volumen de la regió región sombreada en el punto 1. De manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre el fluido en a travé través del punto 1 en un tiempo Δt, es igual al volumen que pasa por el punto 2. El trabajo en punto 2 esta dado por W2 = − P2 A2 x2 = P2 ΔV Los volú volúmenes en los puntos 1 y 2 son iguales. El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va hacia la izquierda Y se desplaza hacia la derecha. Continuación 2 Así Así el trabajo neto llevado a cabo sobre el segmento, por estas dos fuerzas en el intervalo Δt esta dado por Punto 2 Punto 1 W1 = ( P1 − P2 ) ΔV parte de este trabajo se transforma en energí energía ciné cinética y parte en energí energía potencial gravitacional. El cambio de energí energía ciné cinética en el intervalo de tiempo Δt, se da como un cambio en la velocidad al pasar de v1 a v2. Esto es debido a que se considera que la masa permanece constante, porque el volumen permanece constante. constante. La forma del cambio de energí energía ciné cinética esta dada por: 1 2 1 2 ΔK = mv2 − mv1 2 2 El cambio en la energí energía potencial gravitacional, se da por cambios en la elevació elevación (cambio de y1 a y2) de una porció porción del fluido en el intervalo de tiempo Δt. ΔU = mgy2 − mgy1 7 Continuación 3 El trabajo total llevado a cabo por el fluido sobre la regió región sombreada es igual a la energí energía mecá mecánica W = ΔK + ΔU Punto 2 Punto 1 Sustituyendo los té términos de las energí energías da como resultado 1 1 ( P1 − P2 )V = ⎛⎜ mv22 − mv12 ⎞⎟ + mg ( y2 − y1 ) 2 ⎝2 ⎠ Si dividimos entre V y definiendo a ρ=m/V, tenemos 1 1 ( P1 − P2 ) = ⎛⎜ ρ v22 − ρ v12 ⎞⎟ + ( ρ gy2 − ρ gy1 ) ⎝2 2 Reagrupando té términos ⎠ 1 1 P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2 2 2 Esta es la ecuació ecuación de Bernoulli para un fluido ideal Continuación 4 La expresió expresión de Bernoulli para un fluido ideal, es expresada comú comúnmente como: Punto 2 Punto 1 1 P + ρ v 2 + ρ gy = cte. 2 Esta expresió expresión indica: 9 Si la velocidad aumenta la presió presión disminuye 9 Así Así tambié también podemos decir que cuando la altura aumenta la presió presión disminuye. 8 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli a) Aplicación a hidrostática Consideremos el caso para la expresió expresión de de Bernoulli en el cual se tiene que las velocidades v1=v2=0 1 1 P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2 2 2 Sustituyendo, las velocidades y reagrupando P1 − P2 = ρ gy2 − ρ gy1 Definiendo y=y2-y1 P = ρ gy Expresió Expresión para la hidrostá hidrostática 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli b) Teorema de Torricelli Consideremos el caso de un lí líquido de densidad ρ, encerrado en un tanque. En la parte inferior y a una altura y1 del fondo tiene un agujero de área A1, que da al exterior. El área del agujero es mucho má más pequeñ pequeño que el área A2 del tanque. El aire en el tanque por encima del lí líquido se encuentra a una presió presión P. ¿Cuá Cuál será será la velocidad de salida del liquido por el agujero, si el nivel del liquido es h? Respuesta: Partiendo de la expresió expresión de Bernoulli, 1 1 P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2 2 2 9 b) Cont. Teorema de Torricelli Como A2 >> A1 y utilizando le expresió expresión para el gasto A1v1 = A2 v2 = cte. → v2 = 0 Y P1=Presió =Presión atmosfé atmosférica, P2=P. Sustituyendo en la ecuació ecuación de Bernoulli, Po + 1 2 ρ v1 + ρ gy1 = P + ρ gy2 2 Reagrupando y haciendo h=y2-y1 ⎛ 2 ( P − Po ) ⎞ v1 = ⎜ + 2 gh ⎟ ρ ⎝ ⎠ si P Po → v1 = 2 ( Po ) ρ b) Cont. Teorema de Torricelli Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la presió presión P=Po P=Po,, así así la expresió expresión de la velocidad se ve modificada por la siguiente expresió expresión v1 = 2 gh La velocidad no depende de la densidad del fluido. 10 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli c) Tubo de Venturi Consiste en un tubo horizontal en donde estrechamiento en una de las partes de un tubo es producido. La estrangulació estrangulación del tubo se da de manera gradual. De esta manera se evita la producció producción de remolinos y queda asegurado un ré régimen estacionario. Respuesta: Se tiene que y1=y2, en la expresió expresión de Bernoulli, P1 + 1 2 1 ρ v1 = P2 + ρ v22 2 2 De la ecuació ecuación de continuidad A1v1 = A2 v2 → v1 = A2 v2 A1 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli c) Continuación Tubo de Venturi Sustituyendo en la expresió expresión de energí energías, se tiene 2 1 ⎛A ⎞ 1 P1 + ρ ⎜ 2 v2 ⎟ = P2 + ρ v22 2 ⎝ A1 ⎠ 2 Reagrupando se tiene 2 P1 − P2 + = 1 2 1 ⎛ A2 ⎞ 2 ρ v2 − ρ ⎜ ⎟ v2 2 2 ⎝ A1 ⎠ Despejando v2 v2 = A1 2 ( P1 − P2 ) ρ ( A12 − A22 ) Como A1 >A2, entonces v2>v1 indicando que P1>P2 11 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Al lanzar una pelota girando y siguiendo una trayectoria horizontal y recta, esta arrastra consigo una pequeñ pequeña capa de aire que la rodea. Entonces se puede ver como si la pelota estuviera inmó inmóvil y el aire se desplazara con la misma velocidad que lo hace la pelota (velocidad relativa). 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Si consideramos que la pelota gira en el sentido de las manecillas del reloj y se desplaza hacia la izquierda. Se tiene entonces: Las lí líneas de flujo se distorsionan La velocidad en la parte superior es mayor que en la parte inferior de la pelota. Utilizando la expresió expresión de Bernoulli, esto implica que la presió presión arriba es menor que en la parte de abajo. 12 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Mayor v Menor P La pelota se desplaza hacia la parte superior debido a la diferencia de presiones que siente. Menor v Mayor P 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo: Curvas y “Screwballs” Screwballs” 13 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli Ejemplo 1 Por una casa circula agua a travé través de un sistema de calefacció calefacción. Si se bombea a una velocidad de 0.5m/s por una tuberí tubería de .1m de diá diámetro situada en el só sótano con una presió presión de 3atm., ¿cuá cuál será será la velocidad de circulació circulación y la presió presión en una tuberí tubería de .06m de diá diámetro situada en el segundo piso a 5mts má más arriba? Respuesta La tuberí tubería en el só sótano: v1 = 0.5m / s, P1 = 3atm, y1 = 0, d1 = 0.1m La tuberí tubería en el só sótano: v2 = ? m / s, P2 = ? atm, y2 = 5m, d 2 = 0.06m 6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli Continuación Ejemplo 1 Ecuació Ecuación de continuidad ⎛A ⎞ A1v1 = A2 v2 → v2 = ⎜ 1 ⎟ v1 ⎝ A2 ⎠ Sustituyendo en la ecuació ecuación de Bernoulli 2 1 1 ⎛A ⎞ P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ ⎜ 1 v1 ⎟ + ρ gy2 2 2 ⎝ A2 ⎠ Sustituyendo los valores para cada uno de los té términos nos queda: P2 = 2.5atm 14 7. La viscosidad de las sustancias y sus características Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua, circula por una tuberí tubería o manguera que se encuentre de manera horizontal a la misma altura y ademá además el diá diámetro de la tuberí tubería no varié varié, entonces la presió presión del fluido no varia 1 1 P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2 2 2 P1 = P2 = cte. En la prá práctica SI VARIA. La razó razón la vamos a tratar a continuació continuación 7. La viscosidad de las sustancias y sus características La variació variación en la presió presión es debido a fuerzas de frenado o “fricció fricción” que existen entre las diferentes capas que componen el fluido. Este rozamiento es interno al material, y de ninguna manera se esta considerando la fricció fricción entre el fluido y la tuberí tubería por la que circula. Consideraremos una tuberí tubería circular, en donde las capas del fluido que está están en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en reposo) reposo) . Las capas de fluido forman cí círculos concé concéntricos de la forma de la tuberí tubería. La velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas má más externas La expresió expresión de Bernoulli nos indica que la presió presión en las capas má más internas es menor que las capas má más externas. Debido a la diferencia de velocidad que existe. ΔP = P1 − P2 = cte.R La resistencia al flujo, R, depende de la longitud del tubo 15 7. La viscosidad de las sustancias y sus características ¾ La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos pará parámetros fisicoquí fisicoquímicos. ¾ Primeramente consideremos que la viscosidad del material no depende de la temperatura, concentració concentración, etc. ¾La manera má más sencilla de determinar la dependencia y valor de la resistencia es : 9 Consideremos dos placas planas y paralelas entre las cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo). 9A la placa superior se le aplica una fuerza constante y paralela a la placa, mientras que la placa inferior permanece inmó inmóvil 9Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cada una con velocidad constante. 7. La viscosidad de las sustancias y sus características 9 Las capa del fluido en contacto con las placas se desplazan con la misma velocidad que las placas 9Supondremos que el perfil con el que se desplazan entre si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal. F =η vA z 9Las unidades de la viscosidad η son: MKS Nm = Pa.s m2m / s CGS dina = P( poise) cm 2 / s 1Pa.s = 10 P 1cP = 0.01P 16 7. Valores de la viscosidad para algunos fluidos 9La viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta ¿Qué otro tipos de materiales? Cosmé Cosméticos Medicamentos Alimentos Medicina Pinturas y Recubrimientos 17 8. Ley de Hagen-Poiseuille para flujo laminar Para un fluido incomprensible circulando por una tuberí tubería de secció sección transversal circular, la resistencia al flujo se expresa como R= 8η L π r4 ΔP = P1 − P2 = 8η L C π r4 De la expresiones anteriores podemos concluir que: 9Si la viscosidad aumenta, la caí caída de presió presión aumenta 9Si aumenta la longitud del tubo, es mayor la caí caída de presió presión 9La caí caída de presió presión depende fuertemente con el radio del tubo. 9. Perfil de velocidad en régimen laminar En la prá práctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a trav travéés de una tuberí tubería varí varían dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluido, fluido, Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros. Algunos de los perfiles má más comunes vienen a ser: El perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un instante instante de tiempo El perfil parabó parabólico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosidad viscosidad del Fluido no son muy grandes Este último perfil de velocidades es tomado para representar a un fluido fluido turbulento. 18 10. Número de Reynolds y regimenes de flujo ¾La experiencia indica que hay una combinació combinación de cuatro factores que determinan cuando el ré régimen de un fluido viscoso a travé través de un tubo es laminar o turbulento. turbulento. ¾Estas combinaciones se denomina número de Reynolds, Reynolds, NR, y se define mediante la expresió expresión NR = ρ vD η ρ = densidad del fluido v = velocidad media η = coeficiente de viscosidad D = diá diámetro del tubo ¾ La velocidad real no es la misma en toda la secció sección del tubo. ¾La velocidad media se define como la velocidad uniforme que resultarí resultaría para la misma salida de lí líquido por unidad de tiempo. 10. Número de Reynolds y regimenes de flujo ¾El nú número de Reynolds es un nú número abstracto, es decir, su valor numé numérico es el mismo en cualquier sistema de unidades ¾Para un nú número de Reynolds entre 0 y 2000 es un ré régimen lamina ¾NR > 3000 ré régimen turbulento ¾ Ejemplo ¾Cual es el nú número de Reynolds para el agua a 20C circula por una tuberia De 1cm de diá diámetro a una velocidad de 10cm/s. ¾ Sustituyendo NR = ρ vD η ¾NR=1000 19 Número de Reynolds Flujo laminar Flujo turbulento 20 Aire caliente que sube de una lá lámpara de alcohol Humo de un cigarro 21
