Gráfico v vs t

Gráfico v vs t
v
v2
∆v = v 2 − v1
v1
∆t = t 2 − t1
t1
aceleración media
t2
∆v v 2 − v1
a≡
=
t 2 − t1
∆t
Corresponde a la pendiente geométrica del gráfico v vs t
t
¿unidades de aceleración?
aceleració n =
velocidad
tiempo
[a] = [m s ] = [m
[s]
Unidades:
s2
]
aceleraciones características:
3.8 m/s2
Auto (Jaguar XK8)
Space Shuttle
g
9.8 m/s2
Gravedad terrestre
29 m/s2
≈3g
≈73.5 m/s2
“black-out” de un piloto de avión
Air-bag
≈588 m/s2
≈60g
Causal de muerte en humanos
Bala (Beretta 9 mm)
≈7.5g
490-735 m/s2
4.4 x 105 m/s2
≈4.5·104 g
50-75 g
Velocidad y aceleración
60
1.5
50
1.0
0.5
0.0
2
a (m/s )
v (m/s)
40
30
20
-1.0
10
0
-0.5
-1.5
0
20
40
60
80
100
-2.0
120
0
20
60
80
t (s)
t (s)
40 [m s] − 20 [m s]
= 1 m s2
40 [s] − 20 [s]
[
0 [s ] ≤ t ≤ 50 [s ]
a=
50 [s ] ≤ t ≤ 90 [s ]
∆v = 0
90 [s ] ≤ t ≤ 120 [s ]
40
a=
]
a=0
0 [m s] − 50 [m s] − 50 [m s]
=
= −1.667 m s2
120 [s] − 90 [s]
30 [s]
[
]
100
120
a=0
movimiento con velocidad constante
v
v=
v0
∆t = t 2 − t1
t2
∆x = v∆t = v (t 2 − t1 )
En este caso:
v0
t1
∆x
∆t
∆x = v 0 (t 2 − t1 )
t
La distancia recorrida es el área bajo la curva del gráfico v vs t
x = x (t )
itinerario
Problema a resolver: si conocemos v(t) y a, ¿podemos determinar x(t)?
v
v (t )
a=
at
v (t )
v0
v0
0
t
Distancia recorrida
t
v 2 − v1
t 2 − t1
v1 = v0
v2 = v(t)
t1 = 0
t2 = t
t
área bajo la curva
1 2
x (t ) = v 0t + at
2
v 2 = v1 + a(t 2 − t1 )
v (t ) = v 0 + at
Otra mirada
Suponemos un objeto que en t = 0 se encuentra en x = x0, moviéndose con
velocidad con velocidad instantánea v0
El objeto está sometido a aceleración constante a
v = v0
v = v (t )
x0
x(t)
t=t
t=0
vm =
Velocidad media en el intervalo de tiempo t
a=
∆v v (t ) − v 0
=
t
∆t
aceleración constante
vm =
v (t ) + v 0
2
v (t ) = v 0 + at
x (t ) − x0
t
x (t ) = x0 + v mt
velocidad media es igual a velocidad promedio
1
v m = v 0 + at
2
1 2
x (t ) = x0 + v 0t + at
2
v = 10 m/s
a = 2 m/s2
t=0
t=8s
x = 10 m
•¿Cuáles son la posición y velocidad en t = 8 s?
•¿Dónde está cuando v = 100 km/h?
¿Qué sabemos?
[
v (t ) = v 0 + at
]
v (t = 8 s ) = 10[m s] + 2 m s2 ⋅ 8[s] = 26[m s]
[
1
x (t ) = x0 + v 0t + at 2
2
]
1
2
x (t = 8s ) = 10[m] + 10[m s] ⋅ 8[s] + 2 m s2 ⋅ (8[s]) = 154[m]
2
v = 100[km h] = 27.778[m s]
Podemos saber cuanto tiempo demora en alcanzar velocidad de 77.778 m/s
v (t ) − v 0
t=
a
77.778 [m/s ] − 10 [m/s ]
= 8.89 [s]
2
2 m/s
1
2
x (t = 8.89s ) = 10[m] + 10[m s] ⋅ 8.89[s] + 2 m s2 ⋅ (8.89[s]) = 177.9[m]
2
t=
[
]
[
]
n
o
x=0
Vehículo n pasa por x = 0 en t = 0, con velocidad
v = 8 m/s y aceleración constante a = 1 m/s
Vehículo o parte desde x = 0 en t = 10 s, con
aceleración 3 m/s2
¿Dónde y cuándo o alcanza a n?
¿Con qué velocidad se mueven n y o en ese
instante?
x (m)
x1(t ) = 8t + 0.5t 2
x2 (t ) = 1.5(t − 10 )
2
si ≥ 10 s
1400
1200
1000
800
600
400
200
Solución gráfica
0
0
10
20
t (s)
30
40
Solución analítica
x1(t ) = x2 (t )
8t + 0.5t 2 = 1.5(t − 10 ) = 1.5t 2 − 30t + 150
2
2
t − 38t + 150 = 0
38 ± 382 − 4 ⋅ 150 33.53 [s]
=
t=
2
4.475 [s]
t = 33.53 [s]
x1 = x2 = 830.37 [m]
v (t ) = v 0 + at
 v1(t ) = 8 + t

v 2 (t ) = 3(t − 10 )
¿Qué pasa con t = 4.475 s?
v1 = 41.53 m/s
v1 = 70.59 m/s
 x2 (t ) = 1.5t 2 − 30t + 150
Movimiento de o equivale a 
v 2 (t ) = −30 + 3t

Aceleración de Gravedad
Todos los cuerpos experimentan aceleración g que apunta en
dirección al centro de la Tierra
[
A nivel del mar: g = 9.8 m s2
]
Objeto en caída libre
v (t ) = −gt
y = y0
En t = 0
v=0
y = y0
1
y (t ) = y 0 − gt 2
2
a = -g
Ejemplo:
y0 = 10 m
•Tiempo de caída tc
•Velocidad vs al llegar al suelo
Al llegar al suelo y = 0
tc =
2y 0
g
v s = − 2gy 0
tc = 1.43 [s]
y=0
vs = 14 [m/s]
Objeto lanzado verticalmente hacia arriba
v (t ) = v 0 − gt
y=0
En t = 0
v = v0
1
y (t ) = v 0t − gt 2
2
a = -g
Ejemplo:
v0 = 10 [m/s]
•Altura máxima ymax
•Tiempo de subida ts
A altura máxima v = 0
v0
ts = 1.02 [s]
ymax = 5.1 [m]
y=0
ts =
v0
g
y max
v 02
=
2g
Movimiento bajo aceleración de gravedad: un caso de cinemática en 2-D
Hecho empírico: todos los objetos sobre la superficie de la Tierra experimentan una
aceleración, llamada aceleración de gravedad, que resulta de la fuerza de atracción
gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el objeto