Soluciones Ejercicios 5: Lógica de Predicados

Soluciones Ejercicios 5: Lógica de Predicados
TAII(I)-Lógica
26 de abril de 2006
1.
Ejercicio 5.1
Formalizar en el cálculo de predicados las siguientes sentencias en lenguaje
natural.
1. Todos los actores son famosos.
a) D = las personas
A(-): - es actor
F(-): - es famoso
∀x[A(x) −→ F (x)]
b) D = los actores
F(-): - es famoso
∀xF (x)
2. Algunos padres son responsables.
a) D = las personas
P(-): - es padre
R(-): - es responsable
∃x[P (x) ∧ R(x)]
b) D = los padres
R(-): - es responsable
∃xR(x)
3. Todos los miembros son padres o son maestros.
a) D = las personas
M(-): - es miembro
P(-): - es padre
MA(-): - es maestro
∀x[M (x) −→ P (x) ∨ M A(x)]
b) D = los miembros
P(-): - es padre
MA(-): - es maestro
∀x[P (x) ∨ M A(x)]
4. Algunos polı́ticos son incompetentes o son corruptos.
1
a) D = las personas
P(-): - es polı́tico
I(-): - es incompetente
C(-): - es corrupto
∃x[P (x) ∧ (I(x) ∨ C(x))]
∃x[(P (x) ∧ I(x)) ∨ (P (x) ∧ C(x))]
∃x¬[P (x) −→ ¬(I(x) ∨ C(x))]
b) D = los polı́ticos
I(-): - es incompetente
C(-): - es corrupto
∃x[I(x) ∨ C(x)]
5. Las manzanas y los plátanos son nutritivos.
a) D = las frutas
M(-): - es manzanza
P(-): - es plátano
N(-): - es nutritivo
∀x[M (x) ∨ P (x) −→ N (x)]
∀x[(M (x) −→ N (x)) ∧ (P (x) −→ N (x))]
b) D1 = las manzanas (x)
D2 = los plátanos (y)
N(-): - es nutritivo
∀xN (x) ∧ ∀yN (y)
6. Algunas frutas y verduras son nutritivas.
a) D = los alimentos
F(-): - es fruta
V(-): - es verdura
N(-): - es nutritivo
∃x∃y[F (x) ∧ V (y) ∧ N (x) ∧ N (y)]
∃x[F (x) ∧ N (x)] ∧ ∃x[V (x) ∧ N (x)]
∃x[(F (x) ∨ V (x)) ∧ N (x)]
b) D1 = las frutas (x)
D2 = las verduras (y)
N(-): - es nutritivo
∃xN (x) ∧ ∃yN (y)
7. Si algo anda mal, entonces todos se quejan.
D1 = las cosas (x)
D2 = las personas (y)
M(-): - anda mal
2
Q(-): - se queja
∃xM (x) −→ ∀yQ(y)
8. Luis es Guapo.
D = las personas
G(-): - es guapo
G(l)
9.
a) Pedro es amigo de todos.
b) Algunos son amigos de Pedro.
c) Todos son amigos de todos.
D = las personas
A(-,-): - es amigo de a) ∀xA(p, x)
b) ∃xA(x, p)
c) ∀x∀yA(x, y)
10. Sólo los ejecutivos llevan cartera.
D = las personas
E(-): - es ejecutivo
C(-): - lleva cartera
∀x[C(x) −→ E(x)]
∀x[¬E(x) −→ ¬C(x)]
11. Hay por lo menos una cosa que es humana y que es mortal.
D = las cosas
H(-): - es humana
M(-): - es mortal
∃x[H(x) ∧ M (x)]
12. Nadie sino los valientes merecen a bella.
D = las personas
V(-): - es valiente
M(-,-): - merece a ∀x[M (x, b) −→ V (x)]
∀x[¬V (x) −→ ¬M (x, b)]
13. Ningún abrigo es impermeable a menos que haya sido especialmente tratado.
3
a) D = los abrigos
I(-): - es impermeable
T(-): - está especialmente tratado
∀x[¬T (x) −→ ¬I(x)]
∀x[I(x) −→ T (x)]
b) D = las cosas
A(-): - es abrigo
I(-): - es impermeable
T(-): - está especialmente tratado
∀x[A(x) −→ (I(x) −→ T (x))]
∀x[A(x) ∧ I(x) −→ T (x)]
14. Ningún coche que tenga más de 10 años será reparado si está realmente averiado.
a) D = los coches de más de diez años
R(-): - es reparado
A(-): - está realmente averiado
∀x[A(x) −→ ¬R(x)]
b) D = los coches
D(-): - tiene más de diez años
R(-): - es reparado
A(-): - está realmente averiado
∀x[D(x) ∧ A(x) −→ ¬R(x)]
c) D = las cosas
C(-): - es coche
D(-): - tiene más de diez años
R(-): - es reparado
A(-): - está realmente averiado
∀x[C(x) ∧ D(x) ∧ A(x) −→ ¬R(x)]
∀x[C(x) −→ (D(x) −→ (A(x) −→ ¬R(x)))]
15. En toda pareja de vecinos hay algún envidioso.
D = las personas
V(-,-): - es vecino de E(-): - es envidioso
∀x∀y[V (x, y) −→ E(x) ∨ E(y)]
4
2.
Ejercicio 5.2
Dada la siguiente frase en lenguaje natural:
¿ sólo los amigos de Juan son divertidos À
Se pide:
1. Formalizarla en el cálculo de predicados utilizando como domino general
¿ las personas À
Solución:
D = las personas
A(-,-): - es amigo de D(-): - es divertivo
F1 (x, j) : ∀x[D(x) −→ A(x, j)] Primera posibilidad
F2 (x, j) : ∀x[A(x, j) −→ D(x)] Segunda posibilidad
2. Evaluarla en el dominio D = {P edro, Juan, Luis}, sabiendo que:
Pedro es divertido y Juan y Luis no lo son.
Pedro es amigo de sı́ mismo y de Luis.
Juan es amigo de todos.
Luis es amigo de sı́ mismo y de Juan.
Solución:
D = {pedro, juan, luis}
Predicado A(-,-), aridad 2 (poliádico) ⇒ no de interpretaciones: D2 →
{T, F }, es decir 9 asignaciones (32 → {T, F }).
Predicado D(-), aridad 1 (monádico) ⇒ no de interpretaciones: D1 →
{T, F }, es decir 3 asignaciones (31 → {T, F }).
x
p
j
l
D(x)
T
F
F
5
x
p
p
p
j
j
j
l
l
l
y
p
j
l
p
j
l
p
j
l
A(-,-)
T
F
T
T
T
T
F
T
T
Evaluación de la fórmula:
x
p
j
l
3.
D(x)
T
F
F
A(x,j)
F
T
T
D(x) → A(x, j)
F
T
T
∀xF1 (x, j)
F
F
F
Ejercicio 5.3
Dada la siguiente frase en lenguaje natural:
¿ todos los vecinos del vecindario odian a una persona À
Se pide:
1. Formalizarla en el cálculo de predicados utilizando como domino general
¿ las personas À
Solución:
D = las personas;
O(-,-): - odia a V(-): - pertenece al vecindario
F (x, y) : ∀x[V (x) −→ O(x, y)]
2. Evaluarla en el dominio D = {Begoe
na, M aria, N ieves}, sabiendo que:
Begoña y Nieves pertenecen al vecindario, y Nieves no.
Nieves no odia a nadie.
Begoña y Marı́a sólo odian a Nieves.
(La variable libre representa al elemento Nieves)
6
Solución:
D = {begoe
na, maria, nieves}
Predicado V(-,-), aridad 2 ⇒ no de interpretaciones: 32 → {T, F }; es
decir 9 asignaciones.
Predicado O(-), aridad 1 ⇒ no de interpretaciones: 31 → {T, F }; es
decir 3 asignaciones.
x
b
m
n
V (x)
T
T
F
x
b
b
b
m
m
m
n
n
n
y
b
m
n
b
m
n
b
m
n
O(-,-)
F
F
T
F
F
T
F
F
F
Evaluación de la fórmula, que asignando la variable libre al valor de
nieves quedarı́a: F (x, n) : ∀x[V (x) −→ O(x, n)]
x
b
m
n
4.
V (x)
T
T
F
O(x,n)
T
T
F
V (x) → O(x, n)
T
T
T
∀xF (x, n)
T
T
T
Ejercicio 5.4
Dada la siguiente frase en lenguaje natural:
¿ Si los obreros no son trabajadores, entonces algunos empresarios no son demasiado listos y se arruinarán À
Se pide:
1. Formalizarla en el cálculo de predicados, empleando dos dominios: D1 =¿los
obrerosÀ,D2 =¿los empresariosÀ.
Solución:
D1 = los obreros (x)
D2 = los empresarios (y)
7
T(-): - es trabajador
L(-): - es listo
A(-): - se arruinará
F (x, y) : ∀x¬T (x) −→ ∃y[¬L(y) ∧ A(y)]
2. Evaluarla en los dominios D1 = {obrero − P edro, obrero − Luis, obrero −
Carlos}, y D2 = {empresario−Juan, empresario−M iguel, empresario−
Roberto}, sabiendo que:
Pedro es el único obrero trabajador.
Juan es listo y no se arruinará.
Miguel no es listo y se arruinará.
Roberto se arruinará a pesar de ser listo
Solución:
D1 = {obrero − P edro, obrero − Luis, obrero − Carlos}
D2 = {empresario−Juan, empresario−M iguel, empresario−Roberto}
Los tres predicados son monádicos, y ambos dominios están restrigidos a tres objetos por lo que el número de asignaciones será 3(31 →
{T, F }).
x
p
l
c
T (x)
T
F
F
y
j
m
r
L(y)
T
F
T
A(y)
F
T
T
Evaluación de la fórmula, antecendente:
x
p
l
c
T (x)
T
F
F
¬T (x)
F
T
T
∀x¬T (x)
F
F
F
Evaluación de la fórmula, consecuente:
y
j
m
r
L(y)
T
F
T
A(y)
F
T
T
¬L(y)
F
T
F
¬L(y) ∧ A(y)
F
T
F
8
∃y[¬L(y) ∧ A(y)]
T
T
T
Dado que el antedente de la fórmula predicativa es falso, y el consecuente
es verdadero, puede concluirse que la evaluación de F(x,y) es verdadera
(F → T ⇒ T ).
5.
Ejercicio 5.5
Dada la siguiente fórmula:
∀x∃y(M ayor − que(x, y) −→ Igual − a(y, menor(a, y)))
En el dominio de tres elementos D = {0, 1, 2}, se pide obtener la evaluación
total de la fórmula para dicho dominio.
Suponer que la asignación π(a) = 1
x
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
0
1
2
0
1
2
0
1
2
π(menor(x, y))
0
0
0
0
1
1
0
1
2
x
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
0
1
2
0
1
2
0
1
2
π(Igual − a(x, y))
T
F
F
F
T
F
F
F
T
x
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
0
1
2
0
1
2
0
1
2
π(M ayor − que(x, y))
F
F
F
T
F
F
T
T
F
9