Secciones de paredes del

Secciones de paredes delgadas abiertas
con alabeo restringido
{
Resolución del ejercicio:
Se estudiarán las deformaciones y el estado tensional debidas a
un momento torsor con alabeo restringido sobre el larguero
principal de un avión de mediano porte similar al Piper Azteca,
con las siguientes características geométricas:
* Dimensiones en mm
** Material: Aluminio 7075 – T6
UNLP – FI
Estructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas
Guía de clase
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1
Interpretación conceptual de C.C.:
Repaso
y
Qy
z
Equilibrio de fuerzas y momentos en
todos los puntos del sólido (principios de
la estática).
∑M
∑F
En la sección transversal:
INT
τ
y
¿Cuánto vale
A
x
x
INT
τ=
Qy S x
Jx t
= ∑ M EXT
= ∑ FEXT
τ?
Válido para los ejes
principales de la sección.
y
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2
Interpretación conceptual de C.C.:
Repaso
En la sección transversal:
∑M = ∑M
∫ τ r dA = Q l
INT
a
A
EXT
a
A
∑F = ∑F
∫ τ dA = Q
INT
EXT
A
¿Dónde debe aplicarse la carga de corte para
que se cumplan éstas condiciones de
equilibrio en flexión simple?
lA
Qy
¿Cuánto es el giro de la sección en su plano?
φ =0
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3
Interpretación conceptual de C.C.:
Otro caso:
¿Se cumple el equilibrio de fuerzas con
las tensiones de corte de flexión simple?
HAY EQUILIBRIO DE FUERZAS
A
Qy
¿Se cumple el equilibrio de momentos
en la sección?
NO HAY EQUILIBRIO DE MOMENTOS
lA
e
Por lo tanto, la sección gira:
φ ≠0
Qy S x ⎞
⎛
El estado tensional planteado ⎜ τ =
⎟ es incompleto si la
Jx t ⎠
⎝
resultante (Q) no pasa por el Centro de Corte de la sección.
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4
Interpretación conceptual de C.C.:
Si Q no está aplicado en el CC, las tensiones tangenciales totales
son:
τ Total = τ Q +τ Mt
τQ =
Qy S x
τ Mt
Jx t
Mt
=
α h t2
Considere un caso general de Q:
τ Total =
Qy S x
Jx t
+
Qx S y
Jy t
El equilibrio de esfuerzos en la sección se
satisface cuando la resultante pasa por el C.C.
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5
Interpretación conceptual de C.C.:
Qy
A
A
C.C.
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τQ =
Qx S y
y
C.C.
Qx
τQ =
Qy S x
x
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Jx t
Jy t
6
Interpretación conceptual de C.C.
Recordar:
Centro de flexión = Centro de corte (C.C.):
{
Es el punto donde aplicada una carga de corte la
sección transversal de una viga no se genera un giro
de la sección en el plano de la misma (torsión).
{
Ante una solicitación de momento torsor puro, todos
los puntos de la sección giran alrededor del C.C.
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7
Calcular:
1.
2.
3.
4.
Obtener el diagrama de área sectorial con polo (P) en el
C.C. (centro de flexión)
Est
“ 4.5”
Est
“ 2”
Est
“0”
Considerando que la viga se encuentra libre de alabear y
que la fuerza de sustentación excéntrica respecto del C.C.
genera un Mt de 25Nm sobre la viga, determine y
grafique el diagrama de alabeo de la sección. (Calcule el
giro unitario a partir de la teoría de Saint Venant de
torsión)
Si la raíz del ala se encuentra impedida de alabearse,
obtenga y grafique la variación del giro unitario de las
secciones en función de z.
Calcule las tensiones normales, tangenciales principales y
secundarias para el inciso 3 en las estaciones indicadas en
el esquema.
Considerando los puntos donde la tensión tangencial
resultante es máxima en las secciones analizadas, indique
en una tabla el valor de las tensiones de cada sección
analizada e indique el valor porcentual de las tensiones
tangenciales principales y secundarias referidas a la
tensión tangencial total.
z
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8
Resolución inciso 1:
Recordar:
xc =
− ∫ y.w`.dA
Ix
; yc
x.w`.dA
∫
=
Iy
{ Válido para el sistema de ejes principales de
la sección con origen en el baricentro de la
sección
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9
Resolución inciso 1:
{
Baricentro de la sección:
ycg
{
y .A
∑
=
i
At
i
y=yp
= 0,112 m
xp
Momento de inercia y
I y p = 2,77e m
-06
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4
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x
10
Resolución inciso 1:
{
Diagrama de área sectorial con polo y
origen en el baricentro:
-
+
CG ≡ P ≡ O
+
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-
W´
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Resolución inciso 1:
{
Como el diagrama w´ es antisimétrico
y el diagrama de “y” es simétrico la
integral
es igual a cero.
y.w`.dA
∫
{
Recordar que el C.C. se ubica en los
ejes de simetría de la sección, si ésta
los tiene -> xc.c.= 0
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Resolución inciso 1:
-
Iy
-
+
= 0, 071m
CG ≡ P ≡ O
W´
Referido a los ejes
principales
de
inercia con origen
en el baricentro
-
xp
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+
+
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+
-
yc.c. =
∫ x.w`.dA
-
-
13
Resolución inciso 1:
Punto
w´ [m2]
w [m2]
1
-4,4E-03
-8,8E-04
2
-6,9E-03
-3,4E-03
cg
0
0
3
0
0
0
0
0
4
2,8E-03
4,6E-03
5
3,8E-03
5,6E-03
-
-
+
+
-
-
ycc ≡ P ≡ O
W
-
+
-
W´
+
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CG ≡ P ≡ O
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Resolución inciso 2:
{
Alabeo de la sección:
W= -θsv.w
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θ SV =
Mt
1
.G.∑ Si .ti 3
3
Punto
Alabeo (m)
Alabeo (mm)
1
1,4E-05
0,01
2
5,4E-05
0,05
cg
0
0
3
0
0
0
0
0
4
-7,2E-05
-0,07
5
-8,8E-05
-0,09
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Resolución inciso 3:
θ = C1.senh( z ) + C2 .cosh( z ) + SP
SP = θ SV
dθ
= C1 .α . cosh( α .z ) + C2 .α .senoh( α .z )
dz
{
Condiciones de borde
1. Z=0, W=0 entonces θ = 0
2. Z=L, σ =0 entonces
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dθ
=0
dZ
C2 =
−M t
1/ 3.G.∑ Si .ti 3
Mt
.tanh(α .L)
C1 =
3
1/ 3.G.∑ Si .ti
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Resolución inciso 3:
{
A partir de la obtención de las constantes se
podrán obtener las derivada primera y segunda
del giro unitario o específico:
2
.M t
−
α
d 2θ
2
.
−
α
θ
=
3
dz 2
1 / 3.G .∑ Si .ti
α=
ϕ=
C1
α
. cosh( α .z ) +
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C2
α
1/3.G.∑ Si .ti
3
I w .E
.senoh( α .z ) +
Mt
M t .tanh( α .L )
−
.
z
3
3
1 / 3.G .∑ Si .ti
1 / 3.G .α .∑ Si .ti
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Resolución inciso 3:
2.0E-02
1.5E-02
1.0E-02
5.0E-03
θtheta
0.0E+00
theta.
θ
θtheta..
-5.0E-03
0
1
2
3
4
5
θtheta
S.V.SV
-1.0E-02
-1.5E-02
-2.0E-02
z (m)
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Resolución inciso 3:
8.0E-02
7.0E-02
6.0E-02
Rad .
5.0E-02
4.0E-02
3.0E-02
2.0E-02
1.0E-02
0.0E+00
0
1
2
3
4
5
z (m)
Phi - Alabeo restringido
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"Phi - SV
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Resolución inciso 4:
{
Tensiones normales originadas por la restricción
del alabeo:
dθ
σ = − E .w.
dz
{
Tensiones tangenciales originadas por la
restricción del alabeo:
− M2
2
-08
6
τ2 =
w.dA, I w = ∫ w .dA = 2.4e [ m ]
∫
I w .t
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Resolución inciso 4:
-
+
ycc ≡ P ≡ O
+
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∫ w.dA
-
W
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21
Resolución inciso 4:
Estación
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1
950
585
360
221
135
82
49
27
12
0
2
3644
2243
1379
848
519
315
187
105
47
0
cg
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Estación
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1
112
69
42
26
16
10
6
4
3
3
UNLP – FI
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2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cg
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
σ (KPa)
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
τ2 (KPa)
3
-331
-204
-126
-77
-48
-30
-19
-13
-9
-8
0
135
83
51
31
19
12
8
5
4
3
4
-4913
-3023
-1860
-1143
-700
-425
-253
-141
-63
0
4
-212
-130
-80
-50
-31
-19
-12
-8
-6
-5
5
-5991
-3687
-2268
-1393
-853
-519
-308
-172
-77
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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22
¿Por qué τ2 no es cero en
el extremo libre?
Las
tensiones
normales
producto de la restricción del
alabeo varían a lo largo de la
sección, así como en la
dirección longitudinal de la
viga. La tensión tangencial
secundaria
aparece
para
equilibrar estas variaciones
en las tensiones normales.
σb+dσb
σa+dσa
τ2b
y
τ2a
x
σa
x
dxa
y
σb
dxb
z
z
UNLP – FI
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23
¿Por qué τ2 no es cero en
el extremo libre?
En el extremo libre, la
tensión normal es cero. A
pesar
de
esto,
debe
aparecer una tensión τ2 para
equilibrar
la
variación
longitudinal de las tensiones
normales:
dσb
dσa
τ2b
y
τ2a
x
dxa
y
x
dxb
z
z
UNLP – FI
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24
Resolución inciso 4:
Tensiones normales
Tension normal
pto 1
6000
4000
Tension normal
pto 2
KPa
2000
Tension normal
pto cg - 3 & 0
0
-2000
0
1
2
3
4
5
-4000
Tension normal
pto 4
Tension normal
pto 5
-6000
-8000
z (m)
UNLP – FI
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25
Resolución inciso 4:
Tensiones tangenciales secundarias
KPa
200
100
Tension de corte2 - pto 1
0
Tension de corte2 - pto 2cg -5
Tension de corte2 - pto 3
-100
0
1
2
3
4
5
Tension de corte2 - pto 4
-200
-300
-400
z(m)
UNLP – FI
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26
Resolución inciso 4:
Alabeo de las secciones
6.0E-02
4.0E-02
Alabeo punto 1
w (m)
2.0E-02
Alabeo punto 2
0.0E+00
-2.0E-02 0
1
2
3
4
5
Alabeo punto cg
Alabeo punto 3
-4.0E-02
Alabeo punto 4
-6.0E-02
Alabeo punto 5
-8.0E-02
-1.0E-01
z (m)
UNLP – FI
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27
Resolución inciso 4:
{
Valores porcentuales de τ2
Estación
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
UNLP – FI
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1
3.7
2.3
1.4
0.9
0.6
0.3
0.2
0.1
0.1
0.1
2
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
cg
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
τ2 %
3
-10.3
-6.6
-4.2
-2.6
-1.6
-1.0
-0.7
-0.4
-0.3
-0.3
0
4.5
2.8
1.7
1.1
0.7
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
4
-6.8
-4.3
-2.7
-1.7
-1.0
-0.7
-0.4
-0.3
-0.2
-0.2
5
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
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28
Momento torsor de SV y momento
torsor por restricción de alabeo
d 2θ
M 2 = − E .I w . 2
dz
1
3
M 1 = .G .∑ Si .ti .θ
3
UNLP – FI
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29
Variación del momento torsor
Momento torsor
30.0
Nm
25.0
20.0
M1
15.0
M2
10.0
Mtotal
5.0
0.0
0
1
2
3
4
5
z(m)
En la raíz de la viga el momento es absorbido únicamente por la restricción
del alabeo producto que el giro unitario de esa sección es 0.
UNLP – FI
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30
Simulación numérica
Modelo de Elementos Finitos (FEM)
UNLP – FI
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31
Simulación numérica
Tensiones Normales
UNLP – FI
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32
Simulación numérica
Tensiones Normales. Comparación con resultados analíticos
Estación [m]
0
2
4.5
Analítico
Punto en la sección
2
5
3644212
-5990723
519166
-853457
0
0
FEM
Punto en la sección
2
5
3770000
-6080000
480000
-790000
285000
-240000
Error %
Punto en la sección
2
5
3.5%
1.5%
-7.5%
-7.4%
-
Tensiones Normales en Pascales
¿Tiene sentido el valor de tensión normal encontrado para
el extremo libre en el modelo de elementos finitos?
UNLP – FI
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33
Simulación numérica
Tensiones Tangenciales
UNLP – FI
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34
Simulación numérica
Tensiones Tangenciales. Comparación con resultados analíticos
Estación [m]
0
2
4.5
Analítico
Punto en la sección
2
5
2887948
2887948
2887948
2887948
2887948
2887948
FEM
Punto en la sección
2
5
180000
170000
2160000
2150000
300000
365000
Error %
Punto en la sección
2
5
-93.8%
-94.1%
-25.2%
-25.6%
-89.6%
-87.4%
Tensiones Tangenciales en Pascales
¿Son confiables los resultados del modelo de elementos
finitos en los extremos de la viga? ¿Por qué?
UNLP – FI
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35
Simulación numérica
Tensiones de Von Mises
UNLP – FI
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36
Simulación numérica
Giro de la sección
Giro en el extremo [Rad.]
Analítico
FEM
Error %
0.0551
0.0574
4.25%
UNLP – FI
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37
Simulación numérica
Alabeo
UNLP – FI
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38
Simulación numérica
Alabeo de la sección. Comparación con resultados analíticos
Estación [m]
0
2
4.5
Analítico
Punto en la sección
2
5
0
0
4.59E-05
-7.55E-05
5.23E-05
-8.60E-05
FEM
Punto en la sección
2
5
0
0
4.75E-05
-7.83E-05
5.00E-05
-8.78E-05
Error %
Punto en la sección
2
5
0%
0%
3.5%
3.8%
-4.4%
2.1%
Alabeo en metros.
UNLP – FI
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39
Simulación numérica
Conclusiones:
• La simulación numérica es una herramienta que debe ser
utilizada con precaución dado que sus resultados pueden no
ser correctos.
•La resolución numérica del problema no asegura la
obtención
del
resultado
exacto
de
las
incógnitas
(desplazamientos y rotaciones). Es de esperar que, si las
variables del problema tienen error, los parámetros obtenidos
a partir de éstas (por ej. tensiones), tengan mayor error.
• Los resultados de una simulación numérica deben validarse
mediante otro tipo de cálculos o mediante ensayos.
• Sin criterio, la simulación numérica es otra herramienta mal
usada.
UNLP – FI
Estructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas
Guía de clase
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