Secciones de paredes delgadas abiertas con alabeo restringido { Resolución del ejercicio: Se estudiarán las deformaciones y el estado tensional debidas a un momento torsor con alabeo restringido sobre el larguero principal de un avión de mediano porte similar al Piper Azteca, con las siguientes características geométricas: * Dimensiones en mm ** Material: Aluminio 7075 – T6 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 1 Interpretación conceptual de C.C.: Repaso y Qy z Equilibrio de fuerzas y momentos en todos los puntos del sólido (principios de la estática). ∑M ∑F En la sección transversal: INT τ y ¿Cuánto vale A x x INT τ= Qy S x Jx t = ∑ M EXT = ∑ FEXT τ? Válido para los ejes principales de la sección. y UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 2 Interpretación conceptual de C.C.: Repaso En la sección transversal: ∑M = ∑M ∫ τ r dA = Q l INT a A EXT a A ∑F = ∑F ∫ τ dA = Q INT EXT A ¿Dónde debe aplicarse la carga de corte para que se cumplan éstas condiciones de equilibrio en flexión simple? lA Qy ¿Cuánto es el giro de la sección en su plano? φ =0 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 3 Interpretación conceptual de C.C.: Otro caso: ¿Se cumple el equilibrio de fuerzas con las tensiones de corte de flexión simple? HAY EQUILIBRIO DE FUERZAS A Qy ¿Se cumple el equilibrio de momentos en la sección? NO HAY EQUILIBRIO DE MOMENTOS lA e Por lo tanto, la sección gira: φ ≠0 Qy S x ⎞ ⎛ El estado tensional planteado ⎜ τ = ⎟ es incompleto si la Jx t ⎠ ⎝ resultante (Q) no pasa por el Centro de Corte de la sección. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 4 Interpretación conceptual de C.C.: Si Q no está aplicado en el CC, las tensiones tangenciales totales son: τ Total = τ Q +τ Mt τQ = Qy S x τ Mt Jx t Mt = α h t2 Considere un caso general de Q: τ Total = Qy S x Jx t + Qx S y Jy t El equilibrio de esfuerzos en la sección se satisface cuando la resultante pasa por el C.C. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 5 Interpretación conceptual de C.C.: Qy A A C.C. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica τQ = Qx S y y C.C. Qx τQ = Qy S x x Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero Jx t Jy t 6 Interpretación conceptual de C.C. Recordar: Centro de flexión = Centro de corte (C.C.): { Es el punto donde aplicada una carga de corte la sección transversal de una viga no se genera un giro de la sección en el plano de la misma (torsión). { Ante una solicitación de momento torsor puro, todos los puntos de la sección giran alrededor del C.C. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 7 Calcular: 1. 2. 3. 4. Obtener el diagrama de área sectorial con polo (P) en el C.C. (centro de flexión) Est “ 4.5” Est “ 2” Est “0” Considerando que la viga se encuentra libre de alabear y que la fuerza de sustentación excéntrica respecto del C.C. genera un Mt de 25Nm sobre la viga, determine y grafique el diagrama de alabeo de la sección. (Calcule el giro unitario a partir de la teoría de Saint Venant de torsión) Si la raíz del ala se encuentra impedida de alabearse, obtenga y grafique la variación del giro unitario de las secciones en función de z. Calcule las tensiones normales, tangenciales principales y secundarias para el inciso 3 en las estaciones indicadas en el esquema. Considerando los puntos donde la tensión tangencial resultante es máxima en las secciones analizadas, indique en una tabla el valor de las tensiones de cada sección analizada e indique el valor porcentual de las tensiones tangenciales principales y secundarias referidas a la tensión tangencial total. z UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 8 Resolución inciso 1: Recordar: xc = − ∫ y.w`.dA Ix ; yc x.w`.dA ∫ = Iy { Válido para el sistema de ejes principales de la sección con origen en el baricentro de la sección UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 9 Resolución inciso 1: { Baricentro de la sección: ycg { y .A ∑ = i At i y=yp = 0,112 m xp Momento de inercia y I y p = 2,77e m -06 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica 4 Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero x 10 Resolución inciso 1: { Diagrama de área sectorial con polo y origen en el baricentro: - + CG ≡ P ≡ O + UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica - W´ Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 11 Resolución inciso 1: { Como el diagrama w´ es antisimétrico y el diagrama de “y” es simétrico la integral es igual a cero. y.w`.dA ∫ { Recordar que el C.C. se ubica en los ejes de simetría de la sección, si ésta los tiene -> xc.c.= 0 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 12 Resolución inciso 1: - Iy - + = 0, 071m CG ≡ P ≡ O W´ Referido a los ejes principales de inercia con origen en el baricentro - xp UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica + + Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero + - yc.c. = ∫ x.w`.dA - - 13 Resolución inciso 1: Punto w´ [m2] w [m2] 1 -4,4E-03 -8,8E-04 2 -6,9E-03 -3,4E-03 cg 0 0 3 0 0 0 0 0 4 2,8E-03 4,6E-03 5 3,8E-03 5,6E-03 - - + + - - ycc ≡ P ≡ O W - + - W´ + UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica CG ≡ P ≡ O Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 14 Resolución inciso 2: { Alabeo de la sección: W= -θsv.w UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica θ SV = Mt 1 .G.∑ Si .ti 3 3 Punto Alabeo (m) Alabeo (mm) 1 1,4E-05 0,01 2 5,4E-05 0,05 cg 0 0 3 0 0 0 0 0 4 -7,2E-05 -0,07 5 -8,8E-05 -0,09 Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 15 Resolución inciso 3: θ = C1.senh( z ) + C2 .cosh( z ) + SP SP = θ SV dθ = C1 .α . cosh( α .z ) + C2 .α .senoh( α .z ) dz { Condiciones de borde 1. Z=0, W=0 entonces θ = 0 2. Z=L, σ =0 entonces UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica dθ =0 dZ C2 = −M t 1/ 3.G.∑ Si .ti 3 Mt .tanh(α .L) C1 = 3 1/ 3.G.∑ Si .ti Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 16 Resolución inciso 3: { A partir de la obtención de las constantes se podrán obtener las derivada primera y segunda del giro unitario o específico: 2 .M t − α d 2θ 2 . − α θ = 3 dz 2 1 / 3.G .∑ Si .ti α= ϕ= C1 α . cosh( α .z ) + UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica C2 α 1/3.G.∑ Si .ti 3 I w .E .senoh( α .z ) + Mt M t .tanh( α .L ) − . z 3 3 1 / 3.G .∑ Si .ti 1 / 3.G .α .∑ Si .ti Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 17 Resolución inciso 3: 2.0E-02 1.5E-02 1.0E-02 5.0E-03 θtheta 0.0E+00 theta. θ θtheta.. -5.0E-03 0 1 2 3 4 5 θtheta S.V.SV -1.0E-02 -1.5E-02 -2.0E-02 z (m) UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 18 Resolución inciso 3: 8.0E-02 7.0E-02 6.0E-02 Rad . 5.0E-02 4.0E-02 3.0E-02 2.0E-02 1.0E-02 0.0E+00 0 1 2 3 4 5 z (m) Phi - Alabeo restringido UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica "Phi - SV Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 19 Resolución inciso 4: { Tensiones normales originadas por la restricción del alabeo: dθ σ = − E .w. dz { Tensiones tangenciales originadas por la restricción del alabeo: − M2 2 -08 6 τ2 = w.dA, I w = ∫ w .dA = 2.4e [ m ] ∫ I w .t UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 20 Resolución inciso 4: - + ycc ≡ P ≡ O + UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica ∫ w.dA - W Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 21 Resolución inciso 4: Estación 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 1 950 585 360 221 135 82 49 27 12 0 2 3644 2243 1379 848 519 315 187 105 47 0 cg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Estación 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 1 112 69 42 26 16 10 6 4 3 3 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ (KPa) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 τ2 (KPa) 3 -331 -204 -126 -77 -48 -30 -19 -13 -9 -8 0 135 83 51 31 19 12 8 5 4 3 4 -4913 -3023 -1860 -1143 -700 -425 -253 -141 -63 0 4 -212 -130 -80 -50 -31 -19 -12 -8 -6 -5 5 -5991 -3687 -2268 -1393 -853 -519 -308 -172 -77 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 22 ¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre? Las tensiones normales producto de la restricción del alabeo varían a lo largo de la sección, así como en la dirección longitudinal de la viga. La tensión tangencial secundaria aparece para equilibrar estas variaciones en las tensiones normales. σb+dσb σa+dσa τ2b y τ2a x σa x dxa y σb dxb z z UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 23 ¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre? En el extremo libre, la tensión normal es cero. A pesar de esto, debe aparecer una tensión τ2 para equilibrar la variación longitudinal de las tensiones normales: dσb dσa τ2b y τ2a x dxa y x dxb z z UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 24 Resolución inciso 4: Tensiones normales Tension normal pto 1 6000 4000 Tension normal pto 2 KPa 2000 Tension normal pto cg - 3 & 0 0 -2000 0 1 2 3 4 5 -4000 Tension normal pto 4 Tension normal pto 5 -6000 -8000 z (m) UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 25 Resolución inciso 4: Tensiones tangenciales secundarias KPa 200 100 Tension de corte2 - pto 1 0 Tension de corte2 - pto 2cg -5 Tension de corte2 - pto 3 -100 0 1 2 3 4 5 Tension de corte2 - pto 4 -200 -300 -400 z(m) UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 26 Resolución inciso 4: Alabeo de las secciones 6.0E-02 4.0E-02 Alabeo punto 1 w (m) 2.0E-02 Alabeo punto 2 0.0E+00 -2.0E-02 0 1 2 3 4 5 Alabeo punto cg Alabeo punto 3 -4.0E-02 Alabeo punto 4 -6.0E-02 Alabeo punto 5 -8.0E-02 -1.0E-01 z (m) UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 27 Resolución inciso 4: { Valores porcentuales de τ2 Estación 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica 1 3.7 2.3 1.4 0.9 0.6 0.3 0.2 0.1 0.1 0.1 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 cg 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 τ2 % 3 -10.3 -6.6 -4.2 -2.6 -1.6 -1.0 -0.7 -0.4 -0.3 -0.3 0 4.5 2.8 1.7 1.1 0.7 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 4 -6.8 -4.3 -2.7 -1.7 -1.0 -0.7 -0.4 -0.3 -0.2 -0.2 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 28 Momento torsor de SV y momento torsor por restricción de alabeo d 2θ M 2 = − E .I w . 2 dz 1 3 M 1 = .G .∑ Si .ti .θ 3 UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 29 Variación del momento torsor Momento torsor 30.0 Nm 25.0 20.0 M1 15.0 M2 10.0 Mtotal 5.0 0.0 0 1 2 3 4 5 z(m) En la raíz de la viga el momento es absorbido únicamente por la restricción del alabeo producto que el giro unitario de esa sección es 0. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 30 Simulación numérica Modelo de Elementos Finitos (FEM) UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 31 Simulación numérica Tensiones Normales UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 32 Simulación numérica Tensiones Normales. Comparación con resultados analíticos Estación [m] 0 2 4.5 Analítico Punto en la sección 2 5 3644212 -5990723 519166 -853457 0 0 FEM Punto en la sección 2 5 3770000 -6080000 480000 -790000 285000 -240000 Error % Punto en la sección 2 5 3.5% 1.5% -7.5% -7.4% - Tensiones Normales en Pascales ¿Tiene sentido el valor de tensión normal encontrado para el extremo libre en el modelo de elementos finitos? UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 33 Simulación numérica Tensiones Tangenciales UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 34 Simulación numérica Tensiones Tangenciales. Comparación con resultados analíticos Estación [m] 0 2 4.5 Analítico Punto en la sección 2 5 2887948 2887948 2887948 2887948 2887948 2887948 FEM Punto en la sección 2 5 180000 170000 2160000 2150000 300000 365000 Error % Punto en la sección 2 5 -93.8% -94.1% -25.2% -25.6% -89.6% -87.4% Tensiones Tangenciales en Pascales ¿Son confiables los resultados del modelo de elementos finitos en los extremos de la viga? ¿Por qué? UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 35 Simulación numérica Tensiones de Von Mises UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 36 Simulación numérica Giro de la sección Giro en el extremo [Rad.] Analítico FEM Error % 0.0551 0.0574 4.25% UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 37 Simulación numérica Alabeo UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 38 Simulación numérica Alabeo de la sección. Comparación con resultados analíticos Estación [m] 0 2 4.5 Analítico Punto en la sección 2 5 0 0 4.59E-05 -7.55E-05 5.23E-05 -8.60E-05 FEM Punto en la sección 2 5 0 0 4.75E-05 -7.83E-05 5.00E-05 -8.78E-05 Error % Punto en la sección 2 5 0% 0% 3.5% 3.8% -4.4% 2.1% Alabeo en metros. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 39 Simulación numérica Conclusiones: • La simulación numérica es una herramienta que debe ser utilizada con precaución dado que sus resultados pueden no ser correctos. •La resolución numérica del problema no asegura la obtención del resultado exacto de las incógnitas (desplazamientos y rotaciones). Es de esperar que, si las variables del problema tienen error, los parámetros obtenidos a partir de éstas (por ej. tensiones), tengan mayor error. • Los resultados de una simulación numérica deben validarse mediante otro tipo de cálculos o mediante ensayos. • Sin criterio, la simulación numérica es otra herramienta mal usada. UNLP – FI Estructuras IV - Aeronáutica Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas Guía de clase Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero 40