Filtros Activos: Conceptos Básicos

Filtros Activos: Conceptos Básicos
J.I.Huircan
Universidad de La Frontera
January 25, 2012
Abstract
Se revisan los conceptos básicos de …ltros activos, presentando procedimientos básicos de implementación mediante Ampli…cadores Operacionales, diseño simple y basado en los …ltros clásicos Butterworth y
Chebyshev.
1
Introduction
Los …ltros juegan un importante rol en la electrónica actual, principalmente en
el área de comunicaciones y procesamiento de señal. Estos se pueden clasi…car
en …ltros análogos, digitales y de capacitor conmutado (híbrido, el cual contiene
elementos análogos y digitales).
Un …ltro es un dispositivo de dos puertas capaz de transmitir una banda
de frecuencias limitada. Estos pueden ser pasivos, construidos en base a resistencias, bobinas y condensadores o activos, construidos con resistores, condensadores y Ampli…cadores Operacionales. Sus principales características son:
Pequeño tamaño y peso.
Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz)
Valores de resistencias y condensadores razonables a frecuencias muy bajas.
Tiene elevadas características de aislamiento.
Puede proveer ganancia si se requiere.
A continuación se dará un marco teórico para los …ltros activos, sus especi…caciones y diseño.
1
2
Tipos de Filtros y Especi…caciones de Respuesta
en Frecuencia
Los …ltros se representa mediante la función de transferencia H(s), la cual se
expresa en términos de su ganancia o atenuación, así se tiene
Vo (s)
Vi (s)
H(s) =
+
Vi (s)
_
(1)
+
Vo (s)
_
H(s)
Figure 1: Red de dos puertas, …ltro activo.
Donde Vi (s) es la entrada de …ltro y Vo (s), la salida.
La transmisión del …ltro se encuentra evaluando H(s)js=j! , así en términos
de magnitud y fase se tiene
H(j!) = jH(j!)j ej
(!)
(2)
El espectro de la señal de salida será obtenido por
jVo (j!)j = jH(j!)j jVi (j!)j
(3)
De acuerdo al criterio de selección de frecuencia de paso o de rechazo, existen
cuatro tipos de …ltros.
2.1
Pasa Bajos (BandPass Filter)
Tienen ganancia ha frecuencias
menores que la frecuencia de corte ! C , la cual
i
es expresada en rad
o
[Herz]
y corresponde a la frecuencia en la cual la
seg
p
ganancia es dividida por 2 (cae en 3dB): La banda de paso estará dada para
0 < ! < ! C . La ganancia disminuira a medida que se supere ! C , de acuerdo a
la Fig. 2, esta zona se llama banda de rechazo.
H(j ω )
G
G
2
ωC
[rad/seg]
Figure 2: Respuesta en frecuencia de un …ltro pasabajos.
La función de transferencia para un …ltro de orden n y ganancia G será
2
H(s) =
2.2
sn
+ bn
Gb0
n 1 + :: + b
1s
0
(4)
Pasa Altos (HighPass Filter)
Permite el paso de frecuencias superiores a ! C . Su función de transferencia se
obtiene a partir de (4) reemplazando s = 1s , su respuesta en frecuencia se indica
en la Fig. 3.
H(s) =
sn + bn
Gbo
n 1
1s
+ :: + b0
js= 1s
(5)
Luego se tiene
H(s) =
sn + an
Gsn
n 1 + :: + a
1s
0
(6)
Donde bn = 1, an i = bb0i ; i = 1; 2; :::; n:
H(jω )
G
G
2
[rad /seg ]
ωC
Figure 3: Respuesta en frecuencia de un …ltro pasaaltos.
Para n = 2, se tiene
H(s)
=
=
2.3
Gb0
j 1 =
s2 + b1 s + b0 s= s
1
b0
Gb0
1 2
s
2
+ b1
1
s
=
+ bo
s2 G
Gs
= 2
s + a1 s + ao
+ bb10 s + s2
Pasa Banda (BandPass Filter)
Este …ltro deja pasar las frecuencias que se encuentran dentro una de banda B
(expresado en [rad=seg] o en Herz), centrado en ! o , atenuando todas las otras
frecuencias. La Fig. 4 muestra la respuesta en frecuencia del …ltro centrado en
! o cuyo ancho de banda está de…nido por (7).
B = !2
!1
(7)
La función de transferencia se obtiene de (4) como
H(s) =
sn + bn
Gbo
j
n 1 + :: + b s=
s
1
o
3
s2 +! 2
o
Bs
(8)
H(jω )
G
G
2
B
ω1
ωo
[rad/seg]
ω2
Figure 4: Respuesta en frecuencia de un …ltro pasabandas.
Así, el orden del …ltro pasabanda se incrementará al doble. Se de…ne el factor
de calidad Q de acuerdo (9) el cual mide la selectividad del …ltro. Un Q muy
alto indica que el …ltro es muy selectivo con banda de paso muy pequeña.
!o
fo
=
(9)
B
B
La ganancia será la amplitud de la función de transferencia a la frecuencia
p
! o = ! 2 ! 1 . Note que ! o corresponde a la media geométrica, pues está en
escala logarítmica.
Usando (8), para un pasabajos de n = 1 , se obtiene el pasa banda de n = 2.
Q=
H (s)
=
=
2.4
1
j
s + b0 s=
s2
=
s2 +! 2
o
Bs
1
s2 +! 2o
Bs
+ b0
Bs
+ Bb0 s + ! 2o
Rechaza Banda (BandReject Filter)
Llamado elimina banda o …ltro Notch, deja pasar todas las frecuencias excepto
una única banda, la cual está de…nida por B, como se indica en la Fig. 5.
H (jω )
G
G
2
B
ω1
ωo
ω2
[ra d /seg ]
Figure 5: Respuesta en frecuencia de un …ltro rechaza banda.
La función de transferencia se obtiene haciendo la sustitución indicada en
(10) donde las características de banda son iguales al …ltro pasabanda.
H(s) =
sn + bn
Gbo
j
n 1 + :: + b s=
s
1
o
4
Bs
s2 +! 2
o
(10)
Usando (10), para un …ltro pasabajos de n = 1 de (10), se obtiene el …ltro
rechaza banda.
H (s)
1
j
s + b0 s=
=
3.1
1
=
Bs
s2 +! 2o
+ b0
1
2
2
b0 s + ! o
s2 + bB0 s + ! 2o
=
3
Bs
s2 +! 2
o
Especi…caciones de un Filtro
Respuesta en Frecuencia
La respuesta en frecuencia se expresa a través de su curva de ganancia o atenuación versus frecuencia, ya sea con escala lineal o logaritmica. En escala logaritmica la ganancia esta expresada en dB y la frecuencia e décadas u octavas.
H(j ω ) dB
H(j ω )
H(jω ) dB
1
0 dB
0 dB
1
2
-3 dB
-3 dB
ω
C
ω
[
rad
seg
]
ω
C
(a)
ω
[
rad
seg
]
(b)
Figure 6: (a) Respuesta lineal G = 1. (b) Respuesta a ganancia normalizada.
(c) Respuesta Normalizada en ganancia y frecuencia.
Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia máxima, se tiene una
curva de ganancia 1 ó 0 [dB]. La frecuencia de corte ! C , se puede normalizar o
hacer igual 1 [rad=seg].
3.2
Polos y Respuesta En La Región De Transición
En la práctica, la respuesta ideal del …ltro no es factible ya que aparece una
zona llamada región de transición (o banda de transición). Para lograr una
aproximación que represente un …ltro ideal, debe incrementarse el número de
polos, pero esta cantidad no puede ser in…nita dado que no puede implementarse
prácticamente. Cada polo de H (s) introduce una pendiente de 20 dB/Década ó
6 dB/Octava. Si la H (s) tiene dos polos tendrá una pendiente de -40dB/Década
en la región de transición, lo que determina el orden del …ltro (Fig. 7).
5
1
(c)
ω
rad
[ seg
]
H (jω )
G
G
2
n=2
Banda de Rechazo
n=4
n=8
ωc
Banda de Paso
1
[rad/seg]
ωc 2
Banda de Transición
Figure 7: Polos en la región de transición.
3.3
Especi…cación básica de un …ltro
En los …ltros análogos, las especi…caciones están dadas por rangos de valores. Se
tienen cinco parámetros basados en las características de atenuación los cuales
se indican en la Fig. 8.
G(jω)
RW (Ancho de ripple)
0 dB
Atenuación
APB
Banda de paso
Banda de rechazo
ASB
ωPB
ωSB
ω
Banda de transición
Figure 8: Ventana de diseño para un …ltro pasabajos.
Máxima atenuación en la banda de paso (AP B )
Ripple de la banda de paso o Ancho de ripple (RW )
Mínima atenuación de la banda de rechazo (ASB )
Frecuencia de esquina de la banda de paso (! P B )
Frecuencia de esquina de la banda de rechazo (! SB )
Las respuestas indican una variación G(!)
G(!), dado que los componentes siempre varían, lo que obliga a hablar de una ventana de especi…cación o
ventana de diseño. Cuando el diseño cae fuera de esta ventana, éste es descartado. Existe una gran cantidad de herramientas computacionales que permiten
trasladar las especi…caciones de la Fig. 8 a una función de transferencia H. Para
distintas especi…caciones existen numerosas funciones que satisfacen las respuestas de ganancia o fase, luego se debe considerar los objetivos de prestación y
costo para reducir este número de funciones a una.
6
Un método para obtener H es usar funciones prototipos o funciones de aproximación. Estas funciones permiten determinar H(s) mediante una aproximación
en el dominio de la frecuencia, para esto jH(j!)j se aproxima a la característica
de un …ltro pasabajos ideal de acuerdo a un criterio de error predeterminado.
3.4
Funciones de Aproximación
Las funciones de aproximación en el dominio de la frecuencia de acuerdo a (11),
donde Sn (!) representa un polinomio de orden n, Butterworth o Chebyshev.
1
jH (j!)j = p
1+
3.5
Escalamiento
2S2
n
(11)
(!)
Permite plantear el diseño en torno una frecuencia de referencia, para luego
trasladar el …ltro y los componentes a otros diseños. Esto se consigue haciendo
s = p; donde p es la variable compleja de la función original y s es la variable
de la nueva función. Sea Ho (p) la función de transferencia original, entonces la
nueva función de transferencia será
H (s) = Ho (p) jp= s = Ho
s
(12)
Sea la red RC de la Fig. 9a, su función de transferencia está dada por (13) :
V (s)
i
H(j ω )
R
Vo (s)
H(j ω )
1
ωC =
RC
1
1
1
= 1 rad
seg
ωC =
1
1
10
rad
= 10
seg
RC
2
2
sC
ω
1
[
rad
seg
]
10
(b)
(a)
Figure 9: (a) Filtro RC. (b) ! C = 1
(c)
h
rad
seg
i
: (c) ! C = 10
h
rad
seg
i
.
1
(13)
1 + sRC
Si R = 1 [ ] y C = 1 [F ], se tiene que ! C = 1 [r=s] ; escalando para una
nueva frecuencia ! C = 10 [r=s] ;se tiene que s = ! C p = 10p
H (s) =
H (s)
=
=
1
1
jp= !s =
C
1 + pRC
1 + !sC RC
1
1
1
=
=
RC
R
C
1 + s !C
1 + s 10 C
1 + sR 10
7
ω
rad
[ seg
]
Lo que implica dividir R o C por 10, lo cual asegura un desplazamiento de
la frecuencia de acuerdo a la Fig. 9c.
4
Funciones Prototipos
4.1
Butterworth
Este …ltro tiene una respuesta plana en la banda de paso (llamada máximamente plana), a expensas de la respuesta en la región transición, la cual es
de 20 dB/Década por polo. El módulo de la respuesta en frecuencia del …ltro
pasabajos, para ganancia G, y frecuencia de corte ! C esta dado en (14).
G
jH (j!)j = r
1+
!
!C
2n
(14)
Donde n = 1; 2; ::: es el orden. La Fig. 10 muestra jH (j!)j para distintos n.
H(j ω )
G
G
n=2
2
n=4
n=6
ω
ω
C
rad
[ seg
]
Figure 10: Respuesta del Filtro Butterworth.
4.1.1
Propiedades del Filtro
Una respuesta máximamente plana tiene muchas derivadas que son cero en el
origen, ! = 0. Para ganancia unitaria y una frecuencia ! = ! C , se tiene que
1
jH (j!)j h p
2
También llamada
(15)
3[dB]. Para ! >> ! C , se tiene que
jH (j!)j h
1
!n
(16)
o
1
!n
jH (j!)jdB h 20 log
Así, la variación será de
=
20n log(!)
(17)
20n [dB] por década, donde n es el orden del …ltro.
8
4.1.2
H(s) basada en polinomios de Butterworth
Los polinomios de Butterworth se indican en la Tabla 1. Estos corresponde al
denominador de H(s).
Table 1: Polinomios de Butterworth en forma factorizada.
n
2
4
6
4.2
Polinomios
de Butterworth
p
s2 + 2s + 1
s2 + 0:7653s + 1 s2 + 1:8477s
+1
p
s2 + 0:5176s + 1 s2 + 2s + 1 s2 + 1:9318s + 1
Chebyshev
Este …ltro tiene una ondulación (ripple) en la banda de paso. Mientras mayor es
el orden, mayor es la pendiente en la región de transición, pero mayor es el ripple
y el número de ondulaciones en la banda de paso. El módulo de la función de
transferencia está dado por (18), donde K1 y , son valores constantes y Cn (x)
es el polinomio Chebyshev de grado n. La Fig. 11 muestra la respuesta en
frecuencia para diferentes n y la tabla 2, los polinomios correspondientes.
H(jω )
RW = 1 -
1
2
K1
K1
2
n=2
n=4
n=6
ω
ω
C
rad
[ seg
]
Figure 11: Respuesta del …ltro Chebyshev Pasabajos ( = 1).
K1
jH(j!)j = q
1+
Cn (!) está dados por
Cn (!)
Cn (!)
= cos n cos
1
= cosh n cosh
9
(18)
2C 2 ( ! )
n !c
(!)
1
(!)
0
!
!>1
1
(19)
(20)
De (19) se determina una ecuación de recurrencia para encontrar los polinomios, los que se indican en la Tabla 2.
Cn+1 (!)
2!Cn (!) + Cn
Con C1 (!) = ! y C2 (!) = 2!
2
1
(!) = 0
(21)
1:
Table 2: Polinomios de Chebyshev.
n
1
2
4
6
RW será la distancia 1
Polinomios de Chebyshev
!
2! 2 1
8! 4 8! 2 + 1
32! 6 48! 4 + 18! 2 1
p 1
1+
2
RW jdB
, tomando la diferencia respecto de 0 [dB],
p
(22)
= 20 log 1 + 2
RW queda determinado por la elección de , el cual ‡uctúa entre 0 y 1. Si
= 1, entonces RW = 1 p12 ; es decir, 3 [dB] : En la Fig. 11, cuando ! = ! C
la ganancia cae en 3 [dB] respecto del máximo.
4.2.1
Propiedades del …ltro
Sea K1 = 1, para ! = ! C ; como Cn2 (1) = 1 de acuerdo a la tabla 2, la magnitud
es igual al ancho del ripple
1
jH(j!)j = p
1+
Para ! >> ! C se tiene que
2
2 C 2 (1)
n
=p
1
1+
2
(23)
Cn2 (!) >> 1, luego
jH(j!)j w
1
Cn (!)
(24)
en dB,
jH(j!)jdB =
20 log
20 log Cn (!)
Para ! >> ! C ; Cn (!) se puede aproximar a 2
jH(j!)jdB
=
=
20 log
20 log
n 1
(25)
n
! ; así
20 log 2n 1 ! n
6 (n 1) 20 log !
(26)
De acuerdo a (26), la atenuación para un mismo orden en la región de transición es mayor que 20 [dB=Dec] ; esto debido al término 20 log
6 (n 1).
Como es menor que 1, el valor obtenido resulta ser negativo luego para compensarlo, se puede escoger un valor de n más grande.
10
4.3
H(s) basada en polinomios de Chebyshev
Los polinomios de H(s) se obtienen combinando (11) con la Tabla 2. Para una
ondulación RW = 0:5 [dB], = 0:349; se obtienen los polinomios de la Tabla 3.
Table 3: Polinomios de Chebyshev 0.5 dB.
n
2
4
6
4.4
Polinomios de Chebyshev (0.5 [dB])
0:6593s2 + 0:9405s + 1
0:940s2 + 0:3298s + 1 2:806s2 + 2:376s + 1
0:9774s2 + 0:1518s + 1 1:6949s2 + 0:7191s + 1
6:369 s2 + 3: 6916s + 1
Comparando la respuesta Butterworth y Chebyshev
Para un mismo orden la respuesta de Chebyshev cae con mayor pendiente que
el Butterworth, la Fig. 12 muestra la situación tanto en escala lineal como
logaritmica para un …ltro de n = 4 y RW = 3 [dB] ( = 1): Sin embargo, a
medida que aumenta la frecuencia ambos …ltros caen con 80 [dB=dec].
H(jω ) dB
H(jω )
ω
C
0
-3
1
1
ω
rad
[ seg
]
2
Chebyshev con mayor caida
Chebyshev con mayor caida
ω
ω
C
Ca ida con -8 0 dB/Dec
rad
[ seg
]
(b)
(a )
Figure 12: Comparación de Butterworth y Chebyshev (a) Escala lineal. (b)
Logaritmica.
5
Implementación de Filtros
La implementación de los …ltros requiere de un circuito activo que permite la
construcción en forma práctica de una función de transferencia. A partir de (4),
(5), (6) y (7), se obtienen las funciones de 2o orden pasabajo (27), pasaalto (28),
11
pasabanda (29) y rechazabanda (30).
G! 2C
s2 + !QC s + ! 2C
H(s) =
H(s)
=
H(s)
=
(27)
Gs2
(28)
s2 + !QC s + ! 2C
G !Qo s
2
s2 + !o
Q s + !o
G s2 + ! 2o
2
s + !Qo s + ! 2o
H(s) =
(29)
(30)
Donde G es la ganancia del …ltro, Q el factor de calidad y ! C la frecuencia de
corte inferior o superior y ! o representa la frecuencia central.
5.1
Implementación con Ampli…cadores Operacionales
Las funciones de transferencia de 2o orden se implementan con Ampli…cadores
Operacionales, resistores y capacitores. Existen dos circuitos clásicos, el VCVS
o Sallen-Key (SK) y el de Múltiple Realimentación (MFB) o Rauch .
5.1.1
Circuitos Pasabajos
La Fig. 13 muestra los circuitos SK y MFB, donde (31) y (32) representan las
funciones de transferencia.
C1
v
i
R1
R
R2
C2
+
vo
_
C2
vi
RB
RA
R2
R1
_
C1
+
(a )
v
o
(b)
Figure 13: (a) Pasabajos SK. (b) Pasabajos MFB.
Para el …ltro SK se tiene
H (s) =
s2 +
n
RB
RA
1
C1
1
R1
2
B
Donde G = R
RA + 1, ! c =
transferencia será
+
+1
1
R2
1
R1 R2 C1 C2 :
12
1
R1 R2 C1 C2
1 RB
R2 C2 RA
o
s+
1
R1 R2 C1 C2
(31)
Para el …ltro MFB, la función de
n
H (s) =
s2 +
Donde G =
de 180o .
5.1.2
R
R1
y ! 2c =
R
R1
1
C1
1
R
1
RR2 C1 C2 :
+
1
R1
1
RR2 C1 C2
1
R2
+
o
s+
(32)
1
RR2 C1 C2
Note que la célula MFB tiene un desfase
Circuitos Pasaaltos
Las estructuras SK y MFB se muestran en la Fig. 14, donde las funciones serán
(33) y (34) respetivamente.
C3
R1
C
vi
1
C2
R2
+
_
R2
vo
v
i
RB
C2
C1
_
R1
vo
+
RA
(b)
(a)
Figure 14: (a) Pasa alto SK. (b) Pasa alto MFB.
H (s) =
s2 +
Donde G =
RB
RA
n
RB
RA
1
R1
+ 1, ! 2c =
H (s) =
Donde G =
5.1.3
C1
C3 ,
! 2c =
1
C1
+
+ 1 s2
1 RB
R2 C2 RA
1
C2
1
R1 R2 C1 C2 :
s2 +
o
s+
1
R1 R2 C1 C2
C1 2
C3 s
C1 +C2 +C3
1
C2 C3 R2 s + R1 R2 C2 C3
(33)
(34)
1
R1 R2 C2 C3 :
Circuitos Pasabandas
Las versiones SK y MFB se muestran en la Fig. 15 y la función de transferencia
SK está dada por (35) y la MFB por (36).
RB
RA
H (s) =
s2 +
1
C
+1
1
R1
+
1 1
R1 C C
2
R2
1
R1
1 RB
R3 RA
13
+
2
R2
s+
1 RB
R3 RA
1
R2 C 2
1
R1
s
+
1
R3
(35)
R3
R1
C
C
vi
R3
C
+
C
vo
_
R2
R1
v
R2
RB
RA
_
i
vo
+
(a)
(b)
Figure 15: (a) Pasabanda SK. (b) Pasabanda MFB.
B
Donde G = R
RA + 1 ; B =
Para el …ltro MFB se tiene
1
C
1
R1
2
R3 C s
s2 +
5.1.4
R3
2R1
,B=
1 RB
R3 RA
2
R2
R3
2R1
H (s) =
Donde G =
+
2
R3 C
y ! 2o =
1
R2 C 2
1
R1
+
2
R3 C s
1
R3 C 2
+
y ! 2o =
1
R3 C 2
1
R1
1
R1
+
+
:
(36)
1
R2
1
R2
1
R3
:
Circuitos Rechaza Banda
La Fig. 16a corresponde a un VCVS rechaza banda con ganancia unitaria,
donde R3 = R1 jjR2 :
R3
_
C
C
vi
+
R1
R2
v
i
vo
_
R
R
+
vo
2C
2C
R 2
C
C
(a)
(b)
Figure 16: Filtro Rechaza Banda.
Luego su función de transferencia será
s2 +
H (s) =
Donde, G = 1 y ! 2o =
s2 +
1
R1 R2 C 2
2
R2 C s
1
R1 R2 C 2 :
14
+
1
R1 R2 C 2
(37)
El circuito de la Fig. 16b se conoce como …ltro Notch, el cual también es
rechaza banda. Su función de transferencia se indica en (38).
H (s) =
Donde G = 1 y ! 2o =
6
s2 + R21C 2
Vo
= 2
4
Vi
s + s RC
+ R21C 2
(38)
1
R2 C 2 :
Diseño Simple de Filtros Activos
Para requerimientos básicos es posible implementar los …ltros de 2o orden usando
circuitos SK y MFB.
6.1
Pasabajo y Pasaalto
El …ltro equal component pasabajo o pasaalto, es un un circuito SK con R1 =
R2 = R y C1 = C2 = C, así la función dada en (31) queda
RB
RA
H (s) =
+1
1 RB
RC RA
2
RC
s2 +
1
R2 C 2
s+
(39)
1
R2 C 2
1
B
Luego se desprende que ! C = RC
yG= R
RA + 1 : Finalmente, para ! C , G;
C; RB dados se determina R y RA . Esta situación es válida para el …tro pasaalto
SK, considerando la igualación de componentes.
6.2
Filtros Pasabanda
Usando el …ltro pasabanda MFB de la Fig.15b; considerando un Q bajo que
satisfaga los requerimientos de ganancia, ancho r
de banda y frecuencia central,
determinando de (36) las expresiones ! o =
!o
Q
=
2
R3 C ;
1
C
1
R3
1
R1
+
1
R2
; G =
R3
2R1
y
se tiene que
R3
Q
=
2G
! o GC
2Q
R3 =
!o C
R1 =
Finalmente
R2 =
Q
! o C(2Q2
G)
(40)
(41)
(42)
Considerando que se debe cumplir
Q>
G
2
1
2
Dados G, C, Q y ! o el diseño queda concluido.
15
(43)
6.3
Filtro Rechaza Banda
Para el diseño de …ltros rechaza banda puede utilizarse la con…guración N otch,
1
y ganancia unitaria.
con la red doble-T de frecuencia central ! o = RC
7
Método de Diseño Basado en polinomios
Este método consiste en usar una respuesta de …ltro basada en un polinomio.
Se selecciona un circuito donde implementarlo. Dado que los polinomios están
desarrollados para ! C = 1 rs , y los coe…cientes de los polinomios son di…ciles
de memorizar, se proponen ecuaciones de diseño. Pero para ello deben adaptar
los polinomios para que el diseño se pueda realizar para cualquier frecuencia.
A partir de los polinomios originales el método genera tablas más sencillas y
ecuaciones simples.
Un método propuesto W. Smith (1997), propone una tabla con los coe…cientes de
Butterworth y Chebyshev junto con circuitos SK equal component, de ganancia
distinta de uno. Se diseñan los módulos de segundo orden por separado y se
conectan en cascada para obtener …ltros de orden superior.
7.1
Obteniendo las ecuaciones de diseño
Modi…cando la función pasabajos equal component dada en (31), se tiene (44).
RB
RA
H(s) =
+1
R2 C 2 s2 + RC 2
RB
RA
(44)
s+1
Como está normalizada para ! C = 1 [r=s], haciendo el escalamiento s = ! C p
H(p) =
RB
RA
+1
R2 C 2 ! 2C p2 + RC 2
RB
RA
(45)
!C p + 1
Igualando los coe…cientes del denominador de (45) con los coe…cientes b2 , b1
y b0 de un polinomio de segundo orden
b2
b1
= R2 C 2 ! 2C
= RC 2
(46)
RB
RA
!C =
2
RB
RA
p
b2
(47)
Esto permite generar una tabla simpli…cada y ecuaciones de diseño del …ltro.
16
7.2
Tabla para Filtros Butterworth
Sea el polinomio de n = 2, s2 +
2s + 1 ; de acuerdo a (46) y (47) se tiene.
= R2 C 2 ! 2C
RB
=
2
RA
1
p
p
2
(48)
p
1
(49)
Así se despeja
R
=
1
0:1592
k1
=
=
C! C
fC C
fC C
(50)
RB
RA
=
0:586 = k2
(51)
Para n = 4 se tiene
Etapa 1
Etapa 2
s2 + 1:8477s + 1
s2 + 0:7653s + 1
1 = R2 C 2 ! 2C
1 = R2 C 2 ! 2C
RB
RA
1:8477 = 2
0:7653 = 2
k1
R = 0:159
fC C = fC C
= 0:1523 = k2
RB
RA
k1
R = 0:159
fC C = fC C
RB
RA = 1:235 = k2
RB
RA
Los cálculos pueden ser repetidos para n = 6. Note que la relación entre R
B
y C se mantiene, la relación entre R
RA cambiará.
7.3
Tabla para …ltros de Chebyshev
Sea el polinomio de n = 2, 0:6593s2 + 0:94046s + 1 ; igualando los coe…cientes
= R2 C 2 ! 2C
RB
0:94046 =
2
RA
0:6593
(52)
p
0:6593
(53)
Luego
R
RB
RA
=
1
0:129
k1
=
=
C! C
fC C
fC C
= 0:842 = k2
Para n = 4 se tiene
17
(54)
(55)
Etapa 1
Etapa 2
2:806s2 + 2:376s + 1
0:940s2 + 0:3298s + 1
2:806 = R2 C 2 ! 2C
p
B
2:376 = 2 R
2:806
RA
0:940 = R2 C 2 ! 2C
p
B
0:3298 = 2 R
0:940
RA
R=
RB
RA
= fkC1C
= 0:582 = k2
0:2666
fC C
R=
RB
RA
= fkC1C
= 1:660 = k2
0:1544
fC C
Se repiten los cálculos para n = 6.
Finalmente con los coe…cientes k1 y k2 se construye la Tabla 4.
Table 4: Coe…cientes para Filtros de Butterworth y Chebyshev (6% ripple).
7.4
# polos
2 etapa 1
Butterworth
k1
0.159
k2
0.586
Chebyshev 0.5dB
k1
0.1293
k2
0.842
4 etapa 1
etapa 2
0.159
0.159
0.152
1.235
0.2666
0.1544
0.582
1.660
6 etapa 1
etapa 2
etapa 3
0.159
0.159
0.159
0.068
0.586
1.483
0.4019
0.2072
0.1574
0.537
1.448
1.846
Procedimiento de Diseño
Dados RA , C y fc :
Se determina el orden del …ltro n
Se escogen de la tabla 4 los coe…cientes k1 y k2
Con cada ki se calculan los RB y R usando (56) y (57)
RB
R
= k2 RA
k1
=
fC C
18
(56)
(57)
8
Ejemplos de diseño
8.1
Diseño simple
Diseñar un …ltro pasabajos de n = 2, G = 1, con fC = 5 [KHz] usando SK
equal-component.
C
R
RB
RA
=
0:1 [ F ]
1
1
=
=
= 318 [ ]
2 CfC
2 (0:1 [ F ]) 5 [KHz]
= 0
= 1
Luego estandarizando R = 330 [ ], así
H (s) =
s2 +
1
R2 C 2
2
1
RC s + R2 C 2
Donde se desprende que fC =
=
9:183 108
s2 + 60606s + 9:183
1
2 3:14159 330 0:1 10
6
108
= 4:9 [KHZ ]
H(jω)
2π 4.9
2π 49K
0 dB
0.1 µ
330 Ω
v
ω
-6dB
330 Ω
+
i
_
0.1 µ
vo
-40dB
(a)
(b)
Figure 17: Filtro Equal-component Pasabajos.
Diseñe un …ltro Notch de G=1 y fo=2KHz.
Diseñe un …ltro Pasa Banda G=2, fo=5KHz, Q=5
8.2
Diseño usando polinomios
Diseñe un …ltro Butterworth de n = 2,G = 1:5, fC = 2:5 [KHz]
19
rad
[ seg
]
R
=
RB
RA
1
0:1592
k1
=
=
C! C
fC C
2500 (0:1 10
6)
= 637 [ ]
= k2 = 0:586
Dado RA = 1 [K ], RB = 0:586(1 [K ]) = 586 [ ]
RB
RA
H(s) =
R2 C 2 s2
+1
RB
RA
+ RC 2
=
s+1
4:06
10
9 s2
(0:586 + 1)
+ 9:007 10 5 (2
0:586) s + 1
H(jω )
4 dB
1 dB
0 dB
0 .1µ
v
i
637Ω
637 Ω
rad
[ seg
]
vo
_
0 .1µ
ω
2π 2.5K
+
586 Ω
1K Ω
-16 dB
(a)
(b)
Figure 18: (a) Filtro Butterworth pasabajos. (b) Respuesta en frecuencia.
El …ltro tendrá una ganancia G = 1:586 (4 [dB]):
Diseñe un …ltro Chebyshev pasa alto con fC = 3 [KHz ] ; n = 4:
El …ltro requiere 2 circuitos. Calculando los valores de R de acuerdo a
los coe…cientes para n = 4, dado C = 0:01 [ F ] y RA = 1 [K ]se tiene
Etapa 1
R=
k1
fC C
=
0:2666
3000(0:01 10
6)
= 8:9 [K ]
RB = k2 RA = 0:582 (1 [K ]) = 0:582 [K ]
= 5:15 [K ]
RB = k2 RA = 1:660 (1 [K ]) = 1:66 [K ]
Etapa 2
R=
k1
fC C
=
0:1544
3000(0:01 10
6)
De esta forma se tiene el …ltro de la Fig. 19.
20
12 .5 dB
12 dB
5.15K
v
i
0 .0 1µ
0 dB
Ω
0 .0 1µ
+
+
vo
_
8.8K Ω
1 KΩ
2π3K
0 .0 1µ
_
Ω
2π0.3K
8.8K Ω
0 .0 1µ
5.15K
H(jω )
1 .6 6 KΩ
1 KΩ
5 8 6Ω
-80 dB
(a)
(b)
Figure 19: (a) Filtro Chebyshev de cuarto orden pasa alto. (b) Respuesta.
9
Conclusiones
El diseño de …ltros activos consiste en especi…car adecuadamente la respuesta
deseada, elegir la función aproximación que satisface los requerimientos y …nalmente de…nir el circuito activo que permita en la forma más simple la implementación de…nitiva. Si los requerimientos no son tan exigentes, se usa el diseño
simple. La elección del método dependerá de la precisión del …ltro.
References
[1] Savant, C., Roden, M., Carpenter, G. 1992 Diseño Electrónico Circuitos y
sistemas. Adisson-Wesley
[2] Smith, S.W. 1997. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal
Processing.California Technical Publishing
[3] Malik, R.1996. Circuitos Electrónicos. Análisis, Diseño y Simulación.
Prentice-Hall
21
ω
rad
[ seg
]