TALLER Nº 1 DE CONTROL AVANZADO 1. Obtenga tres diferentes

TALLER Nº 1 DE CONTROL AVANZADO
1. Obtenga tres diferentes representaciones en el espacio de estado para cada uno
de los siguientes sistemas discretos. Considere condiciones iniciales iguales a cero.
𝑎) 𝑦(𝑘) − 2𝑦(𝑘 − 1) + 𝑦(𝑘 − 2) = 𝑢(𝑘) + 2𝑢(𝑘 − 1)
𝑏) 𝑦(𝑘 + 3) − 0.7𝑦(𝑘 + 2) − 0.4𝑦(𝑘 + 1) + 0.1𝑦(𝑘) = 2𝑢(𝑘 + 1) + 𝑢(𝑘)
2. Obtenga la función de transferencia de pulso correspondiente a cada uno de los
sistemas cuya representación en el espacio de estado discreto se da a continuación:
1
0.5 0.8
𝑎) 𝑥(𝑘 + 1) = [
] 𝑥(𝑘) + [ ] 𝑢(𝑘)
0
−0.4 0.6
1
0.5 0
0
𝑏) 𝑥(𝑘 + 1) = [ 0 0.4 0 ] 𝑥(𝑘) + [1] 𝑢(𝑘)
1
0
0 0.8
𝑦(𝑘) = [1 1]𝑥(𝑘)
𝑦(𝑘) = [2 −1 0.8]𝑥(𝑘)
3. Dado el sistema:
[
𝑥1 (𝑘 + 1)
1 −1 𝑥1 (𝑘)
1
]=[
][
] + [ ] 𝑢(𝑘)
𝑥2 (𝑘 + 1)
−2 0 𝑥2 (𝑘)
−4
𝑦(𝑘) = [−1
1] [
𝑥1 (𝑘)
] + 2𝑢(𝑘)
𝑥2 (𝑘)
Hallar 𝑥(4) si: 𝑢(0) = 2, 𝑢(1) = 0, 𝑢(2) = 1, 𝑢(3) = 2, 𝑦(1) = 3 y 𝑦(2) = 0
4. Para cada uno de los sistemas de control discretos dados a continuación
determinar: a) la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 de modo que el sistema
tenga polos de lazo cerrado en el lugar indicado. b) El valor del factor de corrección
𝐾𝑜 para que la respuesta del sistema tenga error de estado estable igual a cero.
1.9 −1.1 0.2
1
a) 𝑥(𝑘 + 1) = [ 1
0
0 ] 𝑥(𝑘) + [0] 𝑢(𝑘)
0
1
0
0
0
1
0
0
b) 𝑥(𝑘 + 1) = [ −1
0
0 ] 𝑥(𝑘) + [0] 𝑢(𝑘)
−1.7 −0.1 1.9
1
𝑦(𝑘) = [0 0 0.2]𝑥(𝑘)
Polos en: 𝑧 = 0; 0.2 𝑦 04
𝑦(𝑘) = [0.5 0
0]𝑥(𝑘)
Polos en: 𝑧 = 0.2; 0.4 y 0.4
5. Para los sistemas de control discreto que se dan a continuación: a) Evalúe la
matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz del observador de orden
completo 𝐿 de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga sus polos en el lugar
especificado. b) Obtenga, para cada caso, la ecuación del controlador. c) Calcule,
si es necesario, el factor de corrección de error en el circuito del set-point 𝐾𝑜 , de
modo que el sistema tenga error igual a cero ante una entrada en escalón unitario.
0.8 0
1
] 𝑥(𝑘) + [ ] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [2 −1]𝑥(𝑘)
0 0.4
1
Polos para la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 en: 𝑧 = 0.4 y 0.6
𝑥(𝑘 + 1) = [
Polos para el observador en: 𝑧 = 0.2 y 0.3
0.3 0 0
3
a) 𝑥(𝑘 + 1) = [0.2 −1 0] 𝑥(𝑘) + [ 0 ] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [0
0
1 1
−1
Polos Para la matriz K en: 𝑧 = 0.4 ± 𝑗0.2 y 𝑧 = 0.5
1 1]𝑥(𝑘)
Polos Para el observador en: 𝑧 = 0.3 ± 𝑗0.2 y 𝑧 = 0.4
6. La dinámica de un intercambiador de calor se puede describir mediante un
modelo de segundo orden de la forma:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝐾𝑃
(𝑎𝑆 + 1)(𝑏𝑆 + 1)
Asumiendo 𝐾𝑃 = 0.5 , 𝑎 = 50 𝑠, 𝑏 = 10 𝑠, período de muestreo 𝑇 = 5 𝑠, y que el
sistema está precedido por un retenedor de orden cero obtener: a) La función de
transferencia de pulso del intercambiador b) La representación del sistema en el
espacio de estado discreto en forma canónica controlable c) La matriz de ganancia
de realimentación 𝐾, de modo que el sistema tenga tiempo de establecimiento igual
al 75% del correspondiente en lazo abierto c) Diseñe un estimador de estados de
manera que el tiempo de establecimiento sea del 60% del correspondiente en lazo
abierto. e) Obtenga la función de transferencia del controlador.
Profesor:
Luis Edo García Jaimes