M479: Altura de los estudiantes

M479: Altura de los estudiantes
A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
Durante una clase de matemáticas se midió la altura de cada uno de los estudiantes. El
promedio de la altura de todos los varones fue 160 cm, y el promedio de la altura de todas
las niñas fue 150 cm.
Alena es la niña con mayor altura de todos los niños y niñas. Ella mide 180 cm. Por su
parte Zdnek es el niño con menor altura de todos los niños y niñas y mide 130 cm.
Dos estudiantes faltaron ese día a clases, pero al ir el siguiente día sus alturas fueron
medidas, los promedios recalculados y asombrosamente el promedio de las niñas y el
promedio de los niños no cambió.
B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA
En base a la información proporcionada en el problema, selecciona las conclusiones que
sean factibles de afirmar, circulando la opción “Sí” en el espacio correspondiente. Si es
imposible hacer la afirmación con esa información, circula la opción “No”.
Conclusión
Se puede asegurar que los dos estudiantes que habían faltado
son niñas.
Se puede asegurar que los estudiantes que habían faltado son
un niño y una niña.
Se puede asegurar que los dos estudiantes que habían faltado
tienen la misma altura.
Se puede asegurar que los promedios de la altura de todos los
estudiantes no cambia.
Se puede asegurar que Zdenek sigue siendo la persona más
baja del salón.
Es correcta esta
conclusión
Sí / No
Sí / No
Sí / No
Sí / No
Sí / No
C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA
Sabemos que:
El promedio de la altura de las niñas es 150 cm.
El promedio de la altura de los niños es 160 cm.
La niña más alta mide 180 cm.
El niño más bajito mide 160 cm.
Dos estudiantes faltaron, pero al ir el siguiente día sus alturas se midieron, los
promedios se volvieron a calcular y el promedio de las alturas de las niñas y niños
no cambió.
De la estadística sabemos que dada una población con un determinado promedio, si se
adiciona un nuevo elemento precisamente con este valor promedio, el promedio de la
población aumentada no cambia.
¿Qué podemos asegurar sobre los estudiantes que faltaron?
CONCLUSIÓN
PROPUESTA
¿SE PUEDE
ASEGURAR LA
CONCLUSIÓN?
Se puede asegurar que
los dos estudiantes
que habían faltado son
niñas.
Se puede asegurar que
los estudiantes que
habían faltado son un
niño y una niña.
Se puede asegurar que
los dos estudiantes
que habían faltado
tienen la misma altura.
Se puede asegurar que
los promedios de la
altura de todos los
estudiantes no cambia.
Se puede asegurar que
Zdenek sigue siendo la
persona más baja del
salón.
SI / NO
SI / NO
SI / NO
SI / NO
SI / NO
RAZONES
No se puede asegurar. Pudo haber
faltado una niña de la estatura promedio
de las niñas del día anterior y un niño de
estatura igual a la estatura promedio de
los niños del día anterior.
No se puede asegurar. Dos niñas
midiendo la estatura promedio cada una
o ambas teniendo la estatura promedio
hubieran producido tal resultado. Igual
hubiera pasado con dos niños.
No se puede asegurar. Si dos niñas
hubieran tenido estaturas de 1.60 m y
1.40m por ejemplo, la estatura promedio
de ellas dos hubiera sido 1.50m. Si esto
sucede la estatura promedio de la
población no cambia.
Sí se puede asegurar, esa es la
condición del problema.
Sí se puede asegurar. No es posible
encontrar una combinación de estaturas
de dos niños cuyo promedio sea 1.60 m
y en los cuales la estatura máxima sea
menos de 1.80 m. Por ejemplo: si la
estatura promedio debe ser 1.60m y el
más bajo de ellos mide 1.30m entonces
el más alto tendría que medir 1.90m.
D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS ESTÁNDARES
DE PISA
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA:
Evaluar la habilidad del alumno para establecer conclusiones a partir de información
proporcionada, para lo cual deberá plantearse nuevas preguntas, establecer restricciones
y evaluar las opciones.
Criterio de evaluación para la pregunta
Código 1: Respuesta correcta: “No” en las primeras 3 conclusiones y “Si” en las últimas 2
conclusiones.
Código 0: Respuesta incorrecta: cualquier otra respuesta.
Código 9; No hay respuesta.
E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE
MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA.
Identificación de un
problema matemático.
El problema que se plantea consiste en establecer
conclusiones a partir de información proporcionada:
“Selecciona las conclusiones que pueden obtenerse a partir
de la información proporcionada, indicando Sí o No en cada
conclusión”.
El problema pertenece al dominio de Incertidumbre porque
se debe establecer cuáles opciones son verdaderas a partir
de información que se proporciona. El alumno requiere
establecer nuevas preguntas y con base a las respuestas
llegar a conclusiones.
Identificación de los
elementos matemáticos
asociados al problema,
reorganización del
problema en términos de
las matemáticas
identificadas.
El alumno debe identificar de la información proporcionada
aquello que es relevante para el problema:
El promedio de la altura de las niñas es 150 cm.
El promedio de la altura de los niños es 160 cm.
La niña más alta mide 180 cm.
El niño más bajito mide 130 cm.
Dos estudiantes faltaron, pero al ir el siguiente día
sus alturas se midieron, los promedio se volvieron a
calcular y el promedio de las alturas de las niñas y el
promedio de la altura de los niños no cambió.
De la estadística el alumno debe saber, o intuir, que dada
una población con un determinado promedio, si se adiciona
un nuevo elemento precisamente con este valor promedio
el promedio de la población aumentada no cambia.
A partir de las conclusiones que se proponen para validar,
el alumno requiere reconocer que debe obtener información
en relación a los estudiantes que faltaron.
Abstracción matemática
progresiva de la realidad
Si tal escenario se ve matemáticamente podemos decir
que:
Para obtener el valor promedio de los niños o las niñas:
xi
x1
N
Para obtener el nuevo valor promedio un día después:
xi
x1
N 1
x2
Realizando operaciones y simplificando:
xi
N
x1
xi
N
N x1 x1
x1 ( N 1)
x1
x2 ( N 1)
x1
x2 ( N 1)
x2 ( N 1)
x2 ( N 1)
x2
Por lo tanto, si dada una población con una media
determinada sumamos un nuevo elemento con el valor
promedio y calculamos el nuevo promedio, este valor es
igual que el anterior.
Resolución del modelo
matemático
A la luz de la información que ha encontrado, el estudiante
puede revisar las opciones propuestas y establecer que:
1) No se puede asegurar que los dos estudiantes que
habían faltado son niñas. Pudo haber faltado una niña de la
estatura promedio de las niñas del día anterior y un niño de
estatura igual a la estatura promedio de los niños del día
anterior.
2) No se puede asegurar que los estudiantes que habían
faltado son un niño y una niña. Dos niñas midiendo la
estatura promedio cada una o ambas teniendo la estatura
promedio hubieran producido tal resultado. Igual hubiera
pasado con dos niños.
3) No se puede asegurar que los dos estudiantes que
habían faltado tienen la misma altura. Si dos niñas
hubieran tenido estaturas de 1.60 m y 1.40m por ejemplo, la
estatura promedio de ellas dos hubiera sido 1.50m. Si esto
sucede la estatura promedio de la población no cambia.
4) Sí se puede asegurar que los promedios de la altura de
todos los estudiantes no cambia. Esta es precisamente la
condición del problema.
5) Sí se puede asegurar que Zdenek sigue siendo la
persona más baja del salón, ya que no es posible encontrar
una combinación de estaturas de dos niños cuyo promedio
sea 1.60 m y en los cuales la estatura máxima sea menos
de 1.80 m. Por ejemplo: si la estatura promedio debe ser
1.60m y el más bajo de ellos mide 1.30m entonces el más
alto tendría que medir 1.90m. Tal situación contradice las
condiciones del problema que indica que la persona más
alta mide 1.80.
Uso de la solución del
modelo matemático
como herramienta para
interpretar el mundo
real.
Con frecuencia el estudiante se enfrenta a situaciones en la
vida diaria en que tiene que tomar decisiones
seleccionando una opción entre varias propuestas. Este
problema detona la reflexión sobre el impacto que tiene en
la media de un conjunto de datos el modificar, agregar o
quitar alguna de las cantidades. Sin lugar a dudas es un
antecedente importante de problemas más complejos como
el análisis estadístico.
F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL
MARCO PISA.
Contexto
Dominio
Incertidumbre: El estudiante debe
El contexto es de
Educacional/Profesional pues el
analizar la información proporcionada
escenario del problema es en una
para establecer qué opciones se
escuela donde se ha obtenido el
cumplen.
promedio de la altura de algunos
estudiantes y se analiza el impacto
que tiene en dicha cantidad al
modificar los valores que se utilizan
para calcularlo.
G) G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL
PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA.
Se marcan en amarillo las áreas dominantes:
MACRO-PROCESOS
PROCESOS
Reproducción
Pensamiento y razonamiento
Argumentación
Comunicación, utilización de
operaciones y lenguaje técnico (formal
y simbólico).
Construcción de modelos
Planteamiento y solución de problemas
Representación
Uso de herramientas de apoyo.
Conexión
Reflexión
Lo más probable es que el alumno haya adquirido conocimiento de la media, pero es muy
poco probable que el alumno haya pensado en lo que le sucede a una población cuando
se suma un nuevo dato a ella que tiene precisamente el valor medio. El que la media no
cambia cuando se suman datos con la media es algo que el alumno tiene necesariamente
que reflexionar para demostrarlo o intuirlo. Pensamiento y razonamiento y
argumentación están al nivel de reflexión.
La construcción del modelo matemático, es estándar para el que ha aprendido estadística
en forma matemática, o simplemente reproductivo (como sería el caso de un alumno de
secundaria). El alumno simplemente sabe que si suma un valor medio a una población
que ya tenía ese valor medio entonces la media de la nueva población no cambia.
La solución del problema obviamente demanda gran creatividad y reflexión y tomar en
cuenta todos los detalles asociados al problema. Nótese la sofisticación mental que
demanda dar respuesta a la pregunta 5.
Finalmente la representación del problema es una forma de tabla para ordenar la
información. Esto ya está dado en el problema mismo. El alumno por lo tanto representa
el problema de manera reproductiva.
H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA
DE LA SEP.
En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones
curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular
véase “Programa Mate SEP”
Manejo de la
información
Mediciones de
Representación
tendencia
de la
central y de
información
dispersión
Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de
datos referidos a una misma situación o fenómeno a
partir de sus medidas de tendencia central.
Manejo de la
2.2.7
información
Mediciones de
Representación
tendencia
de la
central y de
información
dispersión
Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de
un conjunto de datos agrupados, considerando de
manera especial las propiedades de la media aritmética.
1.5.6
3.2.6
Manejo de la
información
Análisis de
Nociones de
la
probabilidad
información
Utilizar la simulación para resolver situaciones
probabilísticas.