Principios de conteo - Ciencias Computacionales

Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE
Matemáticas Discretas
Principios fundamentales de conteo
Cursos Propedéuticos 2010
Ciencias Computacionales
INAOE
Contenido
Introducción
 Reglas de la suma y el producto
 Permutaciones
 Combinaciones
 Generación de permutaciones

Dr. Luis Villaseñor Pineda
[email protected]
http://ccc.inaoep.mx/~villasen
2
Introducción

Introducción
En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes
permutaciones/combinaciones de elementos se
pueden generar a partir de cierto conjunto, por
ejemplo:




En esta sesión veremos la teoría matemática que nos
permite hacer estos cálculos, así como algunos
ejemplos de aplicación
¿Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a
partir de un grupo de 10 individuos?
¿De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a
partir de 52 cartas (poker)?
¿De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas
formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que
cada vez que se saca una, se regresa a la urna?
3
4
1
La regla de la suma
Experimento
Un proceso físico que tiene un número de posibles
resultados
 Ejemplos:






Tirar una moneda y observar que cara queda arriba
Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en
cada moneda
Sacar m pelotas de una caja con n pelotas
Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de n
personas
De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer
Si se puede realizar una primera tarea de m maneras,
mientas que una segunda se puede efectuar de n
maneras, y no se pueden realizar las dos tareas
simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas
se puede lograr de m + n maneras.
EJEMPLO. La biblioteca de un colegio tiene 40 libros de
texto sobre sociología y 50 sobre antropología. Por la
regla de la suma, un estudiante de ese colegio puede
elegir entre 40 + 50 = 90 libros de texto para ampliar sus
conocimientos sobre alguno de los dos temas.
5
Regla del producto
Ejemplo
Si un procedimiento se puede separar en las etapas
primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la
primera etapa y n para la segunda, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en el orden
designado, de n  m maneras.
Aquí se muestran varias extensiones de la regla del
producto, al considerar la fabricación de placas para autos
que constan de dos letras seguidas de 4 dígitos.
EJEMPLO. El grupo de teatro de la Universidad Central
está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vistas
de que se presentan seis hombres y ocho mujeres para los
papeles principales masculino y femenino, por la regla del
producto el director puede formar el reparto de su pareja
principal de 6  8 = 48 maneras.
b) Si se permiten repeticiones de letras y dígitos, hay
2626 10 10 10 10 = 6 760 000 placas posibles.
a) Si no se pueden repetir las letras ni los dígitos, hay
2625 10 9 8 7 = 3 276 000 placas distintas.
2
Permutaciones
Permutaciones
Dados n objetos, queremos obtener las diferentes
formas de ordenar r de estos objetos
En una clase de diez estudiantes se seleccionan cinco para
sentarlos en fila y fotografiarlos. ¿Cuántas disposiciones
lineales de cinco estudiantes pueden hacerse?
Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas
podemos arreglar 2 de ellas:
ab, ba, ac, ca, bc, cb
 Esto se conoce como las permutaciones de
r de n, P(n, r)
Para responder a la pregunta, se considerarán las
posiciones y los números posibles de estudiantes que se
pueden elegir para ocupar cada posición.


10

9

1ª
2ª
Posición
Posición
8

3ª
Posición
7

4ª
Posición
6
5ª
Posición
9
Ejemplo
Permutaciones

Cualquiera de los diez estudiantes puede ocupar la primera
posición de la fila,

No se permiten las repeticiones,


prosiguiendo de esta manera,


sólo se pueden seleccionar uno de los nueve estudiantes restantes
para ocupar la segunda posición,
se halla que sólo se puede elegir entre seis estudiantes para ocupar
la quinta y última posición,
Tenemos un total de 30240 disposiciones posibles de cinco
estudiantes seleccionados de una clase de diez.
11
Dada una colección de n objetos, cualquier
disposición de ellos se denomina permutación de la
colección.
 El número de permutaciones se obtiene de la
siguiente manera:
P(n, r) = n! / (n-r)!
 Donde n! es el factorial de n, definido como:
n! = n (n-1) (n-2) …. x 2 x 1
(Por definición: 0! = 1)

12
3
Permutaciones

Permutaciones
En general si hay n objetos, denominados a1, a2, .... ,an, y r
es un entero, con 1  r  n, entonces, por la regla del
producto, el número de disposiciones o permutaciones de
tamaño r para n objetos es
n
 (n–1)  (n–2)  ...  (n – r + 1) =
1ª
Posición
2ª
3ª
r ava
Posición
Posición
Posición
n!
(n  r )!

En caso de permitir repeticiones, entonces, por la
regla del producto, hay nr disposiciones posibles, con
r0.

EJEMPLO El número de permutaciones de las letras
de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman sólo
cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de
tamaño cuatro) es P(8,4)=8!/(8–4)!=8!/4!=1680. Si se
permiten repeticiones de letras, el número de
disposiciones posibles es 88 = 16 777 216.
13
14
Permutaciones – Generalización
Otro ejemplo
Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos,
de forma que los de una clase son indistinguibles
entre sí
 Cómo podemos ordenar n objetos, con n1 del tipo 1,
n2 del tipo 2, …, nt del tipo t?
 Por ejemplo, 3 letras, 2 a’s y 1 b:
aab, aba, baa


15
¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de
la palabra DEDO?
16
4
Otro ejemplo

Otro ejemplo (cont)
¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de
la palabra DEDO?
DDEO
D1 D2 E O
DDOE
D1 D2O E
D 2 D1O E
DEDO
D1 E D2 O
D 2 E D1 O
DEOD
D1 E O D2
D 2 E O D1
DODE
D1 O D2 E
D 2 O D1 E
DOED
D1 O E D2
D 2 O E D1
EDDO
E D1 D2 O
E D 2 D1 O
EDOD
E D1 O D2
E D 2 O D1
EODD
E O D1 D2
E O D 2 D1
ODDE
O D1 D2 E
O D 2 D1 E
ODED
O D1 E D2
O D 2 E D1
OEDD
O E D1 D2
O E D 2 D1

Con los cuatro símbolos diferentes, D1, E, D2, O, se
tienen 4!=24 permutaciones.

Al examinar la tabla se observa que a cada
permutación en la que no se diferencian las D
corresponde un par de permutaciones con distintas D.
17
18
Permutaciones – Generalización
En consecuencia,

2  (número de permutaciones de los símbolos D,E,D,O)=
=(número de permutaciones de los símbolos D1, E, D2,O)

Si se diferencian las dos D representándolas por D1 y
D2, entonces se pueden utilizar las ideas anteriores
sobre permutaciones de objetos diferentes;
D 2 D1 E O
Otro ejemplo (cont)


si hay n objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un
segundo tipo,..., y nr de un r-ésimo tipo, donde
n1+n2+...+nr=n, entonces hay
n!
n1!n2 !nr !
y la respuesta al problema original de hallar todas las
permutaciones de las letras de DEDO es 4!/2=12.
19
permutaciones de los n objetos dados.
20
5
Permutaciones – Generalización

Combinaciones

Otros ejemplos:


Para el código morse (puntos y rayas), ¿cuántos mensajes
se pueden hacer con dos puntos y tres rayas?
Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot
2, y 3 el robot 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden
organizar los robots para explorar las oficinas?
Una baraja de póquer consta de 52 naipes, repartidos
en cuatro palos: tréboles, diamantes, corazones y
picas.

Cada palo tiene 13 naipes: As, 2,3,...,9, 10, J, Q, K.
21
26
Combinaciones

Combinaciones
Si se tienen que sacar tres naipes de la baraja,
seguidos y sin sustituirlas, entonces, por la regla del
producto, hay
52  51 50 
una de las cuales es AC(As de corazones), 9T(nueve de
tréboles), KD(rey de diamantes);
27
Pero dado que el orden de selección no es importante
entonces las seis permutaciones,

52!
 P52,3
49!
posibilidades


AC-9T-KD, AC-KD-9T, 9T-AC-KD, 9T-KD-AC, KD-9TAC, KD-AC-9T,

corresponden a una sola selección (desordenada).

Por tanto, cada selección o combinación de tres
naipes, sin referencia al orden, corresponde a
3! permutaciones.
28
6
Combinaciones

Combinaciones
En general,


si se comienza con n objetos distintos, cada selección o
combinación de r de estos objetos, sin referencia al orden,
corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n
objetos.

Así el número de combinaciones de tamaño r de un
conjunto de tamaño n, denotado C(n, r), 0  r  n, cumple
(r!)  C(n, r) = P(n, r) y
C n, r  
Además del símbolo C(n, r), se suele utilizar el
símbolo
 n
 
r
Pn, r 
n!

, 0r n
r!
r!(n  r )!
29
Ejemplo - combinaciones

30
Otro ejemplo
Un tesista ofrece una cena para algunos de los
miembros de la facultad. Debido al tamaño de su
casa, sólo puede invitar a 11 de los 20 miembros de
la facultad. Como el orden no importa, puede invitar a
11 de entre
20

En un examen, un estudiante debe responder a siete
preguntas de un cuestionario de diez. Como no
importa el orden, el estudiante puede responder al
examen de
10  10! 10  9  8
  

 120
 7  7!3! 3  2  1
 
   20! 11!9!  167960
 11 
formas
combinaciones posibles.
31
32
7
Otro ejemplo

Otro más
Si el estudiante tiene que responder a tres preguntas
de las cinco primeras y a cuatro de las cinco últimas,

El número de permutaciones de las letras de
11!
TALLAHASSEE es
 831600.
3!2!2!2!1!1!
 5
se tiene que para la primera parte    10 formas y
3
 5
 
para la segunda parte    5 formas.
4

 

¿Cuántas no tienen las A adyacentes?
Así por la regla del producto, el estudiante puede
 5  5 
hacer el examen de     10  5  50 formas.
 3 4 
33
Otro más
34
Teorema Binomial

Sin tener en cuenta las A, hay 5040 formas de ordenar las
letras restantes.

Si sólo es posible colocar las As en 9 posiciones posibles
para no ser adyacentes
 9

Tres de estas posiciones se pueden seleccionar de    84
 3
formas

como esto también es posible para las 5039 ordenaciones
restantes, por la regla del producto, hay 5040  84 =
423360 permutaciones de las letras de TALLAHASSEE sin
35
A adyacentes.

Obsérvese en primer lugar que para los enteros n, r
con n  r  0,  n    n  .
r  n  r
  


Es decir al tratar con una selección de tamaño r de una
colección de n objetos distintos, el proceso de selección deja
fuera n - r objetos.
36
8
Teorema Binomial

Teorema Binomial
En consecuencia,  n    n  afirma la existencia de una
r  n  r
correspondencia entre las selecciones de tamaño r (los objetos
elegidos) y las selecciones de tamaño n – r (los objetos
desechados).
Selecciones de tamaño r = 2
Selecciones de tamaño n – r = 3
1. 1, 2
6. 2, 4
1. 3, 4, 5
6. 1, 3, 5
2. 1, 3
7. 2, 5
2. 2, 4, 5
7. 1, 3, 4
3. 1, 4
8. 3, 4
3. 2, 3, 5
8. 1, 2, 5
4. 1, 5
9. 3, 5
4. 2, 3, 4
9. 1, 2, 4
5. 2, 3
10. 4, 5
5. 1, 4, 5
10. 1, 2, 3
37
Coeficiente Binomial
Del coeficiente binomial resulta que el coeficiente de x5y2 de (x + y)7 es
 7  7
      21
 5  2

Teorema 1.1 (Teorema Binomial) Si x e y son variables y n es
un entero positivo, entonces
x  y n  
n  0 n  n  1 n1  n  2 n2
 n  n1 1  n  n 0
 x y    x y    x y    
 x y    x y
 0
 1
 2
 n  1
 n
n
 n
    x k y n k
k 0  k 
n
 n  k nk
De este resultado se observa que x  y n   
 x y
k 0  n  k 
n
Debido a este teorema   suele denominarse coeficiente


binomial.
k
Teorema 1.2 Para los enteros positivos n, t, el coeficiente
n
n
n
n n
de x1 1 x2 2 x3 3  xt t en x1  x2  x3    xt  es
n!
n1! n2 ! n3!nt !
 7
a)  n    n    n      n   2 n
 0  1  2
 n
     
 
Dem. x=1,y=1 en T1.1
b)  n   n   n 
n  n
 0    1    2      1  n   0
     
 
Dem. x=-1,y=1 en T1.1
38
Coeficiente Multinomial
5
2
El coeficiente de a5b2 de (2a – 3b)7 es  5 2  3 .
 
Esto resulta del teorema al hacer x = 2a e y = –3b.
Corolario 1.1 Para cualquier entero n  0,
Seleccionar k x’s de (x+y)n
donde cada ni es un entero con 0  ni  n, para toda 1  i 
t y n1 + n2 + n3 + ...+ nt = n.
n


también se escribe  n , n , n ,, n 
t
 1 2 3
y se denomina coeficiente multinomial.
n!
n1!n2 !n3!nt !
9
Combinaciones con repetición

Combinaciones con repetición
Siete estudiantes se detienen en un restaurante, donde cada uno
puede escoger entre: una hamburguesa, un hot dog, un
bocadillo o un emparedado de pescado. ¿Cuántos pedidos
diferentes se pueden hacer?
1. h, h, p, p, b, b, e
1. xx  xx  xx  x
2. h, h, h, h, p, b, e
2. xxxx  x  x  x
3. h, h, h, h, h, h, e
3. xxxxxx    x
4. p, b, b, e, e, e, e
4.  x  xx  xxxx
5. b, b, b, b, b, e, e
5.   xxxxx  xx
6. b, b, b, b, b, b, b
6.   xxxxxxx 
7. e, e, e, e, e, e, e
7.    xxxxxxx
a)
b)
10! 10 
 
7!3!  7 
41
Combinaciones con repetición

42
Combinaciones con repetición
En general, dados n objetos distintos de los cuales se
quiere seleccionar, con repetición, r objetos, se toman
en cuenta todas las permutaciones de las r “x” y
n – 1 “”.

EJEMPLO ¿De cuántas formas se pueden distribuir
siete manzanas y seis naranjas entre cuatro niños, de
modo que cada niño reciba al menos una manzana?

Al dar a cada niño una manzana, se tiene C(4 + 3 – 1,
3) = 20 formas de distribuir las tres manzanas
restantes y C(4 + 6 – 1, 6) = 84 formas de distribuir
las seis naranjas.
En el ejemplo anterior n = 4, r = 7, de modo que r
puede ser superior a n cuando se permiten
repeticiones

Por la regla del producto, hay 20  84 =1680 formas
de distribuir la fruta en las condiciones establecidas.
n  r  1!   n  r  1
r!n  1!  r 

Hemos establecido una correspondencia entre dos
colecciones de objetos, y sobre una de ellas sabemos
cómo contar el número de la colección.
 Podemos contar todas las permutaciones de diez
símbolos formados por siete x y tres barras (  ).

43
44
10
Combinaciones con repetición

Combinaciones con repetición
EJEMPLO Determínense todas las soluciones enteras
de la ecuación

x1 + x2 + x3 + x4 = 7, donde xi  0 para toda 1  i  4.

Una posible interpretación de esto

se distribuyen siete centavos (objetos idénticos) entre
cuatro niños (destinatarios distintos);

Si x1 = 3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 1 se puede ver como si se
dieron tres centavos a cada uno de los dos primeros niños,
nada al tercero y el último centavo al cuarto.
Bajo esta interpretación, se observa que cada solución
entera no negativa de la ecuación corresponde a una
selección con repetición, de tamaño 7 (los centavos
idénticos) de una colección de tamaño 4 (los niños
distintos), de modo que hay C(4 + 7 – 1, 7) = 120
soluciones.
45
Combinaciones con repetición

46
Combinaciones con repetición
En este momento es fundamental reconocer la
equivalencia de lo siguiente:
a) El número de soluciones enteras de x1+x2+...+xn = r,
xi  0, 1  i  n.

Otro ejemplo:
For i:=1 to 20 do
For j:=1 to i do
For k:=1 to j do
writeln(i*j+k);
¿Cuántas veces es ejecutada
la función writeln?
b) El número de selecciones, con repetición, de tamaño
r de una colección de tamaño n.
c) El número de maneras de distribuir r objetos
idénticos entre n destinatarios distintos.
47
48
11
Combinaciones con repetición

El orden es
relevante
Otro ejemplo:
For i:=1 to 20 do
For j:=1 to i do
For k:=1 to j do
writeln(i*j+k);

Resumen
Se permiten las
repeticiones
Tipo de
resultado
SI
NO
Permutación
P(n, r )  n!/(n  r )!,
0r n
SI
SI
Permutación
con repetición
n r , n, r  0
NO
NO
Combinación
C( n , r )  n !/[ r !( n  r ) !]
NO
SI
Combinación
con repetición
 n  r  1



r 
¿Cuántas veces es ejecutada
la función writeln?
Cualquier i,j,k satisface 1  k  j  i  20
Esto es, seleccionar 3 números, con repetición, de 20
entre números C(20+3-1,3)=C(22,3)=1540
Fórmula
0 r  n
49
12