Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios

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Tabla de Contenidos
Teorema de Pitágoras
Distancia y
Puntos Medios
Teorema de Pitágoras
Haga clic en un tema
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Fórmula de la Distancia
Puntos Medios
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Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Este es un teorema que se utiliza para los triángulos
rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y
Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido
extensamente hasta que Pitágoras lo declaró.
Haga clic para volver a
la tabla de contenidos
Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el
Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de
Italia. Fue un filósofo y un profesor.
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Las etiquetas de un triángulo rectángulo
c
a
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados
de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el
cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c).
haga clic en para revelar
Hipotenusa
- Opuesto al ángulo recto
haga
para revelar
- Más largo
declic
los en
3 lados
b
Catetos
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haga clic en para revelar
- 2 lados que forman el ángulo recto
haga clic en para revelar
a2 + b 2 = c2
Enlace a la animación de la
prueba
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Cateto que falta
Cateto que falta
15 pies
a2 + b 2 = c2
Escribe la Ecuación
52 + b2 = 152
Sustitue los números
25 + b2 = 225
Números cuadrados
-25
Sustrae
-25
b
9 plg
18 plg
14 pies
2
-81
2
Escribe la Ecuación
2
2
2
Sustitue los números
4 +7 =c
7 plg
16 + 49 = c
65 = c
2
2
c = √65 pulgadas
4 plg
c
8 pulgadas
b = √243 pulgadas
b
16 pulgadas
Etiqueta Respuesta
Cómo utilizar la fórmula para encontrar lados que faltan.
Números cuadrados
Agrega
Encuentra la Raíz
Cuadrada y Etiqueta
Respuesta
Cateto que falta
Hipotenusa que falta
Escribe la Ecuación
Escribe la Ecuación
Sustitue los números
Sustitue los números
Números cuadrados
Números cuadrados
Sustrae
Agrega
Encuentra la Raíz Cuadrada
Encuentra la Raíz Cuadrada
Etiqueta Respuesta
Etiqueta Respuesta
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2 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Respuesta
Respuesta
1 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
7
Encuentra la Raíz
Cuadrada
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x
Sustrae
-81
b2 = 243
Hipotenusa que falta
2
Números cuadrados
2
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2
Sustitue los números
81 + b = 324
Etiqueta Respuesta
a +b =c
Escribe la Ecuación
2
92 + b2 = 182
Encuentra la Raíz
Cuadrada
b2 = 200
5 pies
2
a +b =c
x
41
4
15
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4 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
7
Respuesta
Respuesta
3 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
x
3
4
z
4
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Ternas Pitagóricas
Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier
otras ternas funcionan.
12 = 1
22 = 2
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
Ternas
Hay combinaciones de
números enteros que
trabajan en el Teorema de
Pitágoras. Estos conjuntos
de números son conocidos
como Ternas Pitagóricas.
5
3
¿Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas?
3-4-5 es la más famosa de las
ternas. Si reconoces los
lados del triángulo como una
terna (o múltiple de una), ¡no
será necesario usar una
calculadora!
4
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Respuesta
Respuesta
6 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
5
13
8
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 400
302 = 900
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5 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
6
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
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7 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Respuesta
Respuesta
48
8 Los catetos de un triángulo rectángulo
son 7,0 y 3,0, ¿cuál es la longitud de la
hipotenusa?
50
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10 La hipotenusa de un triángulo
rectángulo tiene una longitud de 4,0 y
uno de sus catetos tiene una longitud de
2,5. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?
Respuesta
Respuesta
9 Los catetos de un triángulo rectángulo
son 2,0 y 12, ¿cuál es la longitud de la
hipotenusa?
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11 La hipotenusa de un triángulo
rectángulo tiene una longitud de 9,0 y
uno de sus catetos tiene una longitud de
4,5. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?
Corolario al Teorema de Pitágoras
Respuesta
Si a y b son medidas de los lados cortos de un triángulo,
c es la medida del lado más largo, y
c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo.
Si c2≠ a2 + b2, Entonces el triángulo no es un triángulo
rectángulo.
a = 3 pies
c = 5 pies
b = 4 pies
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Corolario al Teorema de Pitágoras
8 plg, 17 plg, 15 plg
2
2
a +b =c
En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un
triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es
cierto.
2
82 + 152 = 172
64 + 225 = 289
Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdad,
entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es
falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.
289 = 289
¡Sí!
Escribe la ecuación
Inserta los números
Números cuadrados
Simplifica ambos lados
¿Son iguales?
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10 pies
Respuesta
6 pies
NO
36 pies
24 pies
Respuesta
13 ¿Es el triángulo un triángulo
rectángulo?
Sí
12 ¿Es el triángulo un triángulo
rectángulo?
Sí
NO
¿Es un triángulo rectángulo?
30 pies
8 pies
10 pulgadas
NO
8 pulgadas
12 pulgadas
15 ¿Es el triángulo un triángulo
rectángulo?
Sí
NO
5 pies
13 pies
12 pies
Respuesta
14 ¿Es el triángulo un triángulo
rectángulo?
Sí
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Respuesta
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16 ¿Puedes construir un triángulo rectángulo con tres
longitudes de madera que miden 7,5 plg, 18 plg y 19,5 plg?
Respuesta
Sí
NO
Pasos para los problemas de aplicación del Teorema
de Pitágoras.
1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la
situación.
2. Resuelve la longitud del lado desconocido.
3. Redondea a la décima más cercana.
19 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la base
tercera, y ves al jugadordel otro equipo correr hacia
primera base. ¿Hasta dónde hay que tirar la pelota para
conseguir que llegue de tercera base a la primera base,
y sacar al corredor? (Una diamante de béisbol es un
cuadrado)
Segunda
90 pies
90 pies
Primera
Tercera
90 pies
90 pies
Casa
Respuesta
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Respuesta
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18 Un árbol fue golpeado por un rayo durante una
tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3
metros de altura. La parte superior del árbol está en
reposo 8 metros desde la base del árbol, y aún está
parcialmente adjunto a su tronco. Supongamos que el
suelo es plano. ¿Qué tan alto es el árbol originalmente?
20 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana
abierta está en el segundo piso, 25 pies sobre el
suelo. Hay arbustos a lo largo del borde de tu casa,
entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies
de distancia de la casa. ¿Qué longitud de la escalera
necesitas para alcanzar la ventana?
Respuesta
17 Los tamaños de monitores de televisión y de
ordenador son dados en pulgadas. Sin embargo,
estas dimensiones son en realidad la medida
diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos
que un monitor de ordenador de 14 pulgadas tiene
una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. ¿Cuál
es la altura de la pantalla?
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Respuesta
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Imagen
Fórmula de la Distancia
Respuesta
21 Scott quiere nadar a través de un río que es 400 metros
de ancho. Comienza la natación perpendicular a la
costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la
corriente. ¿Hasta qué punto nadó en realidad desde su
punto de inicio?
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Haga clic para volver a
la tabla de contenidos
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22
¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos?
Jale
Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y
(5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos al simplemente
contar las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una
línea vertical.
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La distancia entre
estos dos puntos es 4.
El punto más alto es 4
sobre el punto más
bajo.
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23
¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos?
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24
¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos?
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La mayoría de conjuntos de puntos no se encuentran en una
línea vertical u horizontal.
Por ejemplo:
Dibuja un triángulo rectángulo alrededor de estos dos puntos.
Luego utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la
distancia en rojo.
Contar las unidades
entre estos dos
puntos es imposible.
Así que los
matemáticos han
desarrollado una
fórmula que utiliza el
Teorema de Pitágoras
para encontrar la
distancia entre dos
puntos.
c
c2 = a2 + b 2
c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c=5
b
a
La distancia entre
los dos puntos (2,2)
y (5,6) es de 5
unidades.
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Ejemplo:
Intenta esto:
c2 = a2 + b 2
c2 = 32 + 62
c2 = 9 + 36
c2 = 45
c
c2 = a2 + b 2
c2 = 92 + 122
c2 = 81 + 144
c2 = 225
c = 15
6,7
La distancia entre los
dos puntos (-5, 5) y
(7, -4) es de 15
unidades.
La distancia entre los
dos puntos (-3,8) y (9,5) es
aproximadamente 6,7
unidades.
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Derivar una fórmula para calcular la distancia ...
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Crea un triángulo rectángulo
alrededor de los dos puntos.
Etiqueta los puntos como se
muestra. Luego sustituye a la
Fórmula de Pitágoras.
(x2, y2)
d
longitud =
y2 - y1
(x1, y1)
longitud = x 2 - x1
c2 = a2 + b 2
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d = (x 2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Esta es la fórmula de la
distancia, ahora sustituye
en valores.
d=
(5 - 2)2 + (6 - 2)2
d=
(3)2 + (4)2
d=
9 + 16
d=
25
d=5
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para la fórmula
Encuentra la distancia entre:
Punto 1 (-7 -4)
Punto 2 (-5, -2)
Puedes encontrar la distancia d entre dos
puntos (x 1, y1) y (x 2, y2) Utilizando la fórmula a
continuación.
d=
Jale
Cuando sólo se dan dos puntos, utiliza la
fórmula.
Fórmula de la Distancia
(x 2 - x1)2 + (y2 - y1)2
5,1
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Jale
Jale
para la fórmula
para la fórmula
Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8).
Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
para responder
para responder
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Jale
Slide 54 / 78
Jale
Jale
27
Encuentra la distancia entre (-7, -2) y (11,3).
Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
Indicio
26
Jale
Indicio
25
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para la fórmula
para la fórmula
Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5).
Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
28
para responder
para responder
Jale
Encuentra la distancia entre (7, -5) y (9, -1).
Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
Jale
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¿Cómo encontrarías el perímetro de este rectángulo?
¿Podemos contar cuántas unidades de largo mide cada
segmento de línea que hay en el cuadrilátero para
encontrar el perímetro?
Puedes contar las unidades
o encontrar la distancia
entre los puntos de los
pares ordenados.
D (3,3)
A (0,-1)
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AB =
para la fórmula
Encuentra el perímetro de EFG. Redondea el
resultado a la décima más cercana.
F (3,4)
AB =
BC =
B (8,0)
BC =
CD =
Encuentra el perímetro de ABCD.
Utiliza la fórmula de la distancia
para encontrar las longitudes de
los cuatro lados.
Luego agregalos juntos.
G (1,1)
CD =
DA =
perímetro
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para la fórmula
Encuentra el perímetro del paralelogramo. para la fórmula
Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
L (1,2)
H (1,5)
para responder
I (3,3)
Jale
O (0,-1)
M (6,2)
N (5,-1)
para responder
J (1,1)
31
Jale
Jale
Encuentra el perímetro del cuadrado.
Redondea tu respuesta a la décima más
cercana.
K (-1,3)
Jale
E (7,-1)
DA =
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30
para responder
A (0,-1)
29
Jale
C (9,4)
B (8,0)
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Puedes utilizar la Fórmula de la Distancia
para resolver problemas de geometría.
D (3,3)
C (9,4)
Jale
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Haga clic para volver a
la tabla de contenidos
Encuentra el punto medio del segmento de
línea.
¿Qué es un punto medio?
¿Cómo se encuentra el punto medio?
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?
Puntos Medios
(2, 10)
(2, 2)
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Encuentra el punto medio del segmento de línea.
Encuentra el punto medio del segmento de línea.
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?
¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los
extremos?
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?
¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los
extremos?
Punto medio = (6, 4)
(3, 4)
(9, 4)
(3, 4)
Está en el centro del segmento.
(9, 4)
Promedio de coordenada x.
Promedio de coordenada y.
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La fórmula del Punto Medio
Para calcular el punto medio de un segmento de
línea con extremos (x 1,y1) Y (x 2,y2) utiliza la
fórmula:
(
x1 + x2
y1 + y2
,
2
2
)
Las coordenadas x e y del punto medio son los
promedios de las coordenadas X e Y de los extremos,
respectivamente.
El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la
mitad de los extremos A y B.
A (2,5)
B (8,1)
Vea la página siguiente para
la respuesta
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Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3)
El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la
mitad de los extremos A y B.
Usa la fórmula del punto medio:
Usa la fórmula del punto medio:
(
A (2,5)
M
B (8,1)
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
(
)
(
)
y1 + y2
2
)
)
)
(-2, 1,5) Es el punto medio
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32
,
(
)
(
2
Sustituye los valores:
1 + -5 , 0 + 3
2
2
Simplifica los numeradores:
-4 , 3
2
2
Escribe fracciones en forma
reducida:
Sustituye los valores:
2+8 , 5+1
2
2
Simplifica los numeradores:
10 , 6
2
2
Escribe fracciones en forma
reducida:
(5,3) es el punto medio de AB
(
x1 + x2
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¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que
tiene los extremos (2,10) y (6, -4)?
33
¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que
tiene los extremos (4,5) y (-2,6)?
A (3,4)
A (3, 6,5)
B (4,7)
B (1, 5,5)
C (4,3)
C (-1, 5,5)
D (1,5, 3)
D (1, 0,5)
para la fórmula
Jale
para la fórmula
Jale
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¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que
tiene los extremos (-7 -4) y (-12,2)?
35
¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que
tiene los extremos (10,9) y (5,3)?
A (6,5, 2)
B (-4, -4,5)
B (6, 7,5)
C (-1, -6,5)
C (7,5, 6)
D (-8,-4)
D (15,12)
Jale
A (-8, -2,5)
para la fórmula
Jale
para la fórmula
34
Slide 72 / 78
Slide 73 / 78
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36 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene
los extremos (-4,3) y (0,2).
37 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene
los extremos (-4,3) y (0,2).
¿Qué fórmula se debe utilizar para resolver este
problema?
A Fórmula de Pitágoras
A (2,5, -2)
Ya que el centro se encuentra en
el punto medio de cualquier
diámetro, encuentra el punto
medio de los dos dados
extremos.
B (2, 2,5)
C (-2, 2,5)
B Fórmula de la Distancia
D (-1, 1,5)
C Fórmula del Punto Medio
D Fórmula para el área de un
círculo
para la fórmula
Jale
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El punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra
las coordenadas del punto que falta.
38 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene
los extremos (-12,10) y (2,6).
Q=?
A (-7,8)
M (8,1)
para la fórmula
Jale
D (7,8)
para la fórmula
C (5,8)
Jale
B (-5,8)
P (8,-6)
Use la fórmula del punto medio y resolver la
incógnita.
x1 + x2
y1 + y2
,
2
2
(
)
Sustituye
Multiplica ambos lados
por 2
Sumar o restar
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para la fórmula
D (-12,5, -6,5)
A (1,-1)
B (-13,19)
C (-8,11)
D (-19,8)
Q = (-6,9)
M = (-7,10)
P=?
Jale
C (-4,5, -7,5)
P = (-4,3)
M = (-8,5, -9,5)
Q=?
Jale
A (-13,-22)
40 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P:
¿Cuáles son las coordenadas del punto que falta?
para la fórmula
39 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P:
¿Cuáles son las coordenadas del punto que falta?
B (-8,5, -9,5)
(8, 8)