Alanís Rodríguez, Juan Antonio La predicción: un hilo conductor

Alanís Rodríguez, Juan Antonio
La predicción: un hilo conductor para el rediseño
del discurso escolar del cálculo
Director de Tesis: Dr. Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza
Graduación: 16 de diciembre de 1996
Doctor en Ciencias
Introducción
Una creencia ampliamente difundida supone una relación de transferencia
simple de la enseñanza hacia el aprendizaje: el alumno graba lo que se le
comunica por medio de la enseñanza, tal vez con algunas pérdidas de
información. La investigación ha demostrado lo inexacto de este punto de
vista,
evidenciando
que
los
alumnos
regularmente
construyen
conocimientos que no forman parte del discurso de la enseñanza y, para
desgracia de quienes transmiten dichos discursos, tales conocimientos no
pocas veces son inadecuados e inclusive erróneos. Estas evidencias dan
razón de ser a investigaciones, que como el presente trabajo, están
encaminadas a caracterizar condiciones que deben ponerse en actividad en
la enseñanza para favorecer el que se den, en el aprendizaje de los saberes
matemáticos en situación escolar, las regularidades deseadas.
En cuanto a la presente investigación se refiere, son los saberes del cálculo
los que están en juego. En este sentido, se han diseñado una serie de
secuencias didácticas con las cuales se pretende que los estudiantes inicien
un proceso de apropiación de las ideas fundamentales de esta rama de las
matemáticas. El diseño de estas secuencias se realizó con base en un
análisis de carácter epistemológico, otro de carácter didáctico, ciertos
aspectos de la psicología cognitiva y otros de la psicología social.
El análisis epistemológico condujo, por una parte, al establecimiento de un
hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del cálculo, cuando se
ha puesto como meta el que los estudiantes se apropien de la idea
paradigmática que llevó a Newton a la invención de su cálculo. El predecir
cuál va a ser el valor de una magnitud que está cambiando, es dicho hilo
conductor, en el sentido de que el ir construyendo una respuesta cada vez
más elaborada a esta cuestión, hará que las nociones sobre las cuales
finalmente se logró estructurar el cálculo, aparezcan en primer instancia
como herramientas que permitan a los estudiantes abordar eficaz y
eficientemente problemas en sus áreas de interés.
Por otra parte, el análisis epistemológico marcó la pauta para pensar en la
cinemática como un contexto inicial adecuado para abordar el problema de
predecir, precisando, se ha considerado conveniente iniciar un curso de
cálculo abordando la siguiente cuestión: predecir cuál va a ser la posición
de una partícula que se está moviendo a lo largo de una línea recta. Se ha
considerado, además, que esta cuestión se aborde primero para los casos en
que la partícula se mueva de tal manera que uno de sus sucesivos cambios
(velocidad, aceleración, etc.) es constante. Con estos casos se pretende
favorecer el que se den, en los estudiantes, los mecanismos que permiten el
pasaje de la predicción, noción propia de las ciencias físicas, a lo analítico,
noción propia de la matemática.
El análisis didáctico muestra que consideraciones de este tipo no están
presentes ni en la enseñanza predominante del cálculo, ni en la de la física.
En los libros de física, los problemas, como el de determinar la distancia
recorrida por una partícula cuyo movimiento es, uniformemente acelerado,
no son explotados para facilitar el tránsito de la matemática de las
magnitudes constantes a la matemática de las magnitudes variables o sea al
cálculo; esto se debe a que en dichos libros se supone que tal tránsito es
tratado en los libros de cálculo, lo cual tampoco sucede así.
Con las secuencias didácticas que se han diseñado se pretende,
precisamente, propiciar que los estudiantes construyan una respuesta al
problema de predecir la posición de una partícula que se mueve a lo largo
de una línea recta con aceleración constante; pero, a diferencia de lo que se
hace en los libros de física, aquí, se trata de dar razón de ser a los métodos
que caracterizan al cálculo o a las ideas que subyacen a los mismos.
Las actividades centrales de las secuencias didácticas consisten en resolver
problemas, aquellos problemas que en conjunto se han diseñado para el fin
anteriormente mencionado (a diferencia de aquellas investigaciones que
fijan la atención en una noción determinada como función, límite,
continuidad, derivada o integral, la presente tiene como foco de atención
los problemas cuyo tratamiento implica, en estrecha relación, a tales
nociones). Los problemas son primero abordados de manera individual por
cada uno de los alumnos, posteriormente son discutidos por equipos de tres
o cuatro alumnos y, finalmente, el profesor coordina una puesta en común
de las respuestas que a estos problemas den los equipos. Con ello se
pretende que los alumnos interactúen con el objeto de conocimiento,
discutan entre iguales las ideas que de él se formen y que se dé un proceso
de socialización de las mismas; respetando con esto algunos supuestos de la
psicología cognitiva y de la psicología social.
Las secuencias didácticas diseñadas se han implementado en más de una
ocasión en un curso no precisamente de cálculo, sino en un curso en el que
una introducción al estudio de esta rama de las matemáticas da ocasión de
reforzar algunos tópicos de álgebra, trigonometría, y geometría analítica.
Las regularidades que se presentaron en estas implementaciones tienen que
ver, por una parte, con la falta de dominio, por parte de los estudiantes, de
los tópicos que se están reforzando; por otra parte, tienen que ver con las
limitaciones que tienen los estudiantes para emprender el estudio del
cálculo por su pobre involucramiento con aquellos problemas (en este caso
de la cinemática) para cuya solución son necesarios las nociones y
procedimientos propios del cálculo.
A estas regularidades habrá que
agregarles aquéllas que tienen que ver con la actitud de los estudiantes
hacia el aprendizaje de las matemáticas.
Los pormenores de lo anteriormente expuesto se darán a lo largo de los 6
capítulos en los que se ha dividido este reporte.
En el capítulo 1, se presenta una descripción general de la situación actual
de la enseñanza de esta rama de las matemáticas, en la que se puntualiza un
estado de crisis, reflejado en los nada halagadores resultados de las
prácticas predominantes; una desvinculación entre las investigaciones y las
acciones sobre los sistemas de enseñanza que se han generado como efecto
de dicha crisis; y, cómo surge el presente trabajo al retomar una línea de
investigación que tiene por objetivo, precisamente, el rediseño del discurso
matemático escolar del cálculo.
En el capítulo 2, se describe el marco teórico y metodológico a la luz del
cual se desarrolló el presente trabajo de investigación. Ahí se explican, con
cierto detalle, algunos de los instrumentos conceptuales con los cuales este
marco intenta construir una racionalidad de los fenómenos tan complejos
que cubren las relaciones entre enseñanza y aprendizaje.
En el capítulo 3, se presenta el análisis epistemológico, el cual centra la
atención en la idea paradigmática que llevó a Newton a la invención del
cálculo. En él se puntualiza cómo, en cierto modo, dicha idea estaba ya
presente en etapas anteriores a Newton y, cómo se logra finalmente
sistematizarla, en etapas posteriores a la de este matemático inglés.
En el capítulo 4, se presenta el análisis didáctico el cual consistió en revisar
los libros de cálculo y física usados como textos en la institución educativa
en la que se implementaron las secuencias didácticas finalmente diseñadas.
La intención de esta revisión fue la de analizar si las implicaciones
didácticas derivadas del análisis epistemológico están presentes en las
enseñanza de estas asignaturas.
En el capítulo 5, se explicitan las implicaciones didácticas que se han
desprendido del análisis epistemológico.
Unas de carácter global, dan
cuenta de un camino que puede conducir a la meta de un curso de cálculo;
otras de carácter local, dan cuenta de cómo podría ser recorrida una primera
etapa de dicho camino. Estas últimas, en las que entran no sólo cuestiones
de carácter epistemológico, sino también cuestiones de la psicología
cognitiva y de la psicología social, quedan finalmente plasmadas en el
diseño de las secuencias didácticas.
En el capítulo 6, se presentan las regularidades que se dan cuando las
secuencias didácticas se implementan en un determinado curso al interior
de una determinada institución educativa.
La ordenación de los capítulos coincide, fundamentalmente, con la de los
pasos seguidos en la realización de la investigación aquí reportada.