CONDICIONES DE PLASTIFICACIÓN. CRITERIOS DE

CONDICIONES DE PLASTIFICACIÓN. CRITERIOS DE COMPARACIÓN
La normativa de cálculo establece como resistencia de cálculo del acero fyd la tensión de límite
elástico fy (o la tensión de rotura fu, según el análisis efectuado), afectada por el coeficiente
parcial de seguridad correspondiente.
f yd

fy
 M0
La normativa admite que cuando en un punto sometido a una tensión según un solo eje, se
cumple  > fyd, se produce el agotamiento por plastificación del material en dicho punto.
En las piezas reales las tensiones no suelen ser monoaxiales; es frecuente que sean biaxiales
(tensiones normales en dos direcciones perpendiculares o tensión normal y tensión tangencial) e
incluso triaxiales.
Por este motivo resulta necesario para saber hasta que valor aumentar las solicitaciones, en
dichos estados bi o triaxiales sin que se produzca la rotura o el agotamiento de la sección.
Será necesario establecer una tensión de comparación co, función del estado tensional de la
pieza analizada, tal que cumpla que cuando es menor que el límite elástico del material, este no
entre en fluencia (co ≤ fyd).
CRITERIO DE RANKINE O DE LA TENSIÓN PRINCIPAL MAYOR
Se supone que la plastificación en un punto se alcanzará cuando la tensión principal mayor,
positiva o negativa, llegue a ser igual al límite elástico por tracción simple del material, es decir,
supuesto que:
I ≥ II ≥ III
la plastificación se alcanzará cuando:
I = fyd
y como por definición se tiene:
co ≤ fyd
deberá ser:
co = I
Puede comprobarse que co es independiente de II y III según este criterio, lo que está en
contradicción con la experiencia.
Por otra parte se ha observado que sometidos a compresión hidrostática, los metales soportan
grandes cargas sin romperse ni plastificar, en contra de lo afirmado por este criterio; por ello no
tiene interés práctico, citándose únicamente a título de curiosidad histórica.
CRITERIO DE TRESKA O DE LA TENSIÓN TANGENCIAL MAYOR
Se supone que la plastificación en un punto se alcanzará cuando la máxima tensión tangencial en
dicho punto alcanza el mismo valor que la máxima tensión tangencial en el ensayo de tracción
simple. En el ensayo:
I = fyd
y como:
max=(I - III) / 2
II = III =
se tendrá:
max= fyd / 2
Por otro lado, en el punto en el que se estudia el agotamiento:
max=(I - III) / 2
luego:
fyd = I - III
o sea:
co = I - III
En el caso de tensiones planas, conocidas:
x ; y ; xy
se pueden hallar fácilmente las tensiones principales I , III mediante las expresiones:
I 
x  y
III 
2
x  y
2
2

 x   y 

   xy 2
 2 
2
 x  y 
   xy 2
 
 2 
Sustituyendo en la expresión de co se obtiene:
co 
x  y2  4  xy 2
Si el estado tensional en el punto en que se estudia viene dado por:
;
x  
y  0
;
 xy  
se tendrá:
co 
2
  4
2
Para el caso de esfuerzo cortante puro ( = 0), se tendrá:
co  2  
luego:
 
fyd
2
que tampoco coincide exactamente con la experiencia.
Sí es cierto que en el caso de compresión hidrostática, las tensiones tampoco están limitadas.
CRITERIO DE BELTRAMI
Se supone que la plastificación en un punto comienza cuando en él se ha almacenado una
cantidad de energía por unidad de volumen igual a la que se acumula en el punto de la probeta
del ensayo de tracción simple en el que se inicia la plastificación. El trabajo acumulado por unidad
de volumen resulta:
dT
dV

1
2


 I   I  II  II  III  III
Sustituyendo las deformaciones por sus valores en función de la tensión:
 I 
1
E
 II 


 I    II  III 


1
E


 II    I  III 


1


 III 
 III    I  II 

E 
dT
I  II  III
se obtiene:
dV
2

2
2
2 E


E


 I II  I III  II III
En el ensayo de tracción simple se tiene:
I  fyd
;
II  0
;
III  0
luego:
dT
dV

fyd
2
2 E
Igualando:
2
2
2
2


fyd   I   II   III  2     I  II   I  III  II  III
Como por definición debe ser:
co  fyd
resulta:
2
co 
2

2

I  II  III  2    I II  I III  II III
En ejes que no son principales de inercia resulta:
dT
dV

 x 
 y 
 z 
1
2
1
E
1
E

 x   x  y   y  z   z   xy   xy   xz   xz   yz   yz


 x    y  z 


 xy 
 y    x  z 




 xz 


 yz 
1
     x  y 

E  z
Sustituyendo resulta:
 xy
G
 xz
G
 yz
G

dT
dV
2

2
x  y  z
2 E
2


E


 x  y  x  z  y  z 
2
2
 xy   xz   yz
2
2 G
y de la misma forma que anteriormente:
co 


x  y  z  2    x  y  x  z  y  z  2  ( 1  )    xy   xz   yz

2
2
2
Para el caso de estado plano resulta:
co 
2
2
x  y  2    x  y  2  ( 1  )   xy
2
y si:
x  
;
y  0
;
 xy  
2
2
2

resulta:
2
co 
  2  ( 1  )  
co 
  2.6 
2
2
  0.3
2
CRITERIO DE HUBER – VON MISES
Se basa en las mismas hipótesis que el de Beltrami, pero observando que para estados de
compresión hidrostática hay variación de volumen pero no se alcanza la plastificación, se supone
que el trabajo correspondiente a la variación de volumen no influye sobre la misma, por lo que
debe restarse de la expresión del trabajo.
Considerando que el trabajo total por unidad de volumen valía:
dT
dV
2

2
2
I  II  III
2 E


E


 I II  I III  II III
si se aplica un estado de compresión hidrostática:
;
I  
II  
resulta:
2
3    2    3
 dT 
  _v 
2 E
 dV 
2
 dT  _v  3  ( 1  2  )
 
2 E
 dV 
2
;
III  
que será el trabajo por cambio de volumen. En el caso general en que las tensiones principales
sean distintas entre sí (caso no hidrostático), el trabajo de cambio de volumen por unidad de
volumen resulta:
 dT  _v  1  2         2


 I II III
6 E
 dV 
Restando del obtenido anteriormente, y considerando la relación entre los módulos de elasticidad
longitudinal y transversal, resulta:
dT
dV

 dT  _v  1    2   2   2             
 
II
III
I II
I III
II III
6 G  I
 dV 
En el ensayo de tracción simple se tiene:
I  fyd
;
II  0
;
III  0
luego:
2
fyd
dT 


 _v 
6 G
dV  dV 
dT
y como:
co  fyd
resulta:
co 
2
2
2
I  II  III  I II  I III  II III
o lo que es lo mismo:
co 
1

2 
2  I  III2  II  III2
  I  II
Si hay dos tensiones principales iguales, por ejemplo:
II  III
resulta:
co 
2
2
I  III  2  I III
co  I  III
lo que coincide con el criterio de Treska.
Referida a ejes principales, la tensión de comparación resulta:
co 
x  y  z  x  y  x  z  y  z  3    xy   xz   yz

2
2
2
2
En el caso de estado plano de tensiones:
;
y  0
;
 xy  0
 yz  0
y por tanto:
co 
2
2
x  z  x  z  3   xz
2
Cuando solo existen  y  sobre un plano oblicuo, resulta:
co 
2
  3 
2
2
2

Cuando solo existen tensiones tangenciales (cortante puro):
;
x  0
;
z  0
 xz  
la condición de no plastificación será:
co 
3 
 
fyd
3
Este criterio está bastante de acuerdo con la experiencia. Si las tres tensiones principales son del
mismo signo y valores muy similares, el valor de co se mantiene muy pequeño y por tanto, según
este criterio, no se alcanza la plastificación aún para valores muy altos de las tensiones
principales. Si éstas son de compresión concuerda con el hecho experimental de que el acero
puede resistir grandes presiones hidrostáticas sin plastificar. Si las tensiones principales son de
tracción, se observa que tampoco se produce la plastificación, pero si se alcanzan valores
suficientemente altos puede producirse la rotura de la pieza. Por ello se limita el valor de la mayor
tensión principal a:
I  2  fyd