TEORÍA DE LA CARTERA ASPECTOS TEÓRICOS Y

TEORÍA DE LA CARTERA
ASPECTOS TEÓRICOS
Y
TRATAMIENTO PRÁCTICO
EN EL MERCADO LOCAL
Casparri, María Teresa
Bernardello, Alicia Blanca
Vicario, Aldo Omar
García Fronti, Javier
Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires
RESUMEN:
Se hace una breve introducción a la Teoría de la Cartera en
base a los desarrollos de Markowitz y Sharpe, y en base al
análisis estadístico de la evolución de cuatro acciones se
determina la frontera eficiente utilizando herramientas del
Excel.
ASPECTOS TEÓRICOS
Problema de selección de la cartera de valores
Bajo ciertos supuestos sobre el comportamiento del inversor
Markowitz1 supuso que la función de utilidad del individuo es:
U = f [E(RP);σ( RP)].
con
∂U
>0
∂E (RP )
y
∂U
<0
∂σ (RP )
donde:
E(RP) es el valor esperado de la rentabilidad del portafolio
σ( RP) es el desvío estandar de la rentabilidad del portafolio
Y suponiendo que cuenta con P unidades monetarias para
invertir en un conjunto de n acciones desea saber cuánto le
1
Markowitz, Portfolio Selection, marzo de 1952 reproducido en Teoría de la Financiación
de la Empresa recopilación de J. Fred Weston y Donald H. Woods, editorial Gustavo Gilli
S.A., Barcelona, 1970
2
conviene invertir en cada acción (wi = proporción de P
invertida en la acción i).
Entonces se plantea el problema
n
min V(R P )
s.a. E(R P ) = ∑ wi Ri
i =1
con wi ≥ 0
Donde V(RP) = [w1
∧
n
∑w
i =1
i
=1
1≤i≤n ∧ i∈N
w2 " wn ]
σ 11 σ 12 " σ 1n   w1 
σ
  
 21 σ 22 " σ 2 n   w2 
 #
#
#   # 

  
σ n1 σ n 2 " σ nn   wn 
Donde:
σ ij es la covarianza del rendimiento de la acción i con la j ( si i
= j σ ii es la varianza de la acción i)
Ri es el rendimiento de la acción i
2
Se puede demostrar que la función V(RP) es semidefinida
positiva (concepto amplio)3 y al ser las restricciones lineales
se puede resolver por programación cuadrática.
2
3
Ver Anexo III
Ver Anexo III
3
Haciendo depender el valor de la función objetivo de E*(RP),
aplicando lo demostrado en Anexo I y considerando que al ser
V(RP) convexa4 y la restricción E(RP)
cóncava (por ser una
función lineal),

v[E * (R p )] = MinV ( R p ) tal que∑ wi Ri = E * ( RP ), con

con wi ≥ 0
n
∑w
i =1
i

= 1

1≤i≤n ∧ i∈N
∗
que asigna a cada vector  E ( RP ) el valor óptimo v[E*(RP)] de

1

V(RP), será convexa obteniéndose la frontera eficiente en el
espacio E(RP); σ( RP), donde σ( RP) =
V ( RP )
5
Gráficamente:
σ( RP)
E(RP)
O como más frecuentemente se presenta
4
Ver Anexo II
v[E*(RP)] es no decreciente en la variable E*(RP), ya que si ésta crece (baja) y la otra
restricción permanece fija, la exigencia de una mayor rentabilidad del portafolio, hará que
el riesgo medido por v[E*(RP)] aumente (disminuya)
4
5
E(RP)
σ( RP)
Observación:
El problema de selección de la cartera de valores, si se levanta
el supuesto de que las ponderaciones sean no negativas (wi ≥
0) lo que implica desde el punto de vista financiero aceptar
“venta descubierta” (en inglés: “short sale”)6, se puede
resolver por optimización clásica (Maximización sujeta a
restricciones de igualdad)7
Con estos elementos el problema consiste en determinar qué
combinación riesgo-rendimiento maximiza la utilidad.
Max. U = f[E(RP); σ( RP)]
(responde a las preferencias de cada
inversor) sujeto a las combinaciones que estén sobre la
6
significa venta de un título del cual no se es propietario
5
frontera eficiente (posibilidades objetivas del mercado). Esto
es la función valor v[E*(RP)].
Esto dará en el espacio [E(RP); σ( RP)] un par [E(0)(RP); σ(0)( RP)]
que representa la combinación riesgo-rendimiento óptima.
Una vez que se ha obtenido dicho punto se reemplaza en (1) el
valor E(0)(RP) y optimizando se obtendrá la combinación de
valores (w1; w2;.............; wn) que indicará cómo distribuir el
presupuesto de inversión entre los distintos valores para
obtener la cartera óptima.
Este problema también se puede resolver en el espacio R2:
[E(RP); σ( RP)].
En efecto considerando las curvas de nivel de la función de
utilidad (curvas de indiferencia que indican para un nivel
dado de utilidad las combinaciones de riesgo-rendimiento que
las satisfacen) que por los supuestos de Markowitz son
convexas y crecientes, se busca aquella que resulta ser
tangente a la frontera eficiente que es cóncava y creciente.
7
Para un tratamiento del tema ver “Selección de Inversiones” Messuti D.J,; Alvarez,V.A.
y Graffi,H.R. cap 5 y 12
6
Este punto de tangencia es el óptimo [E(0)(RP); σ(0)( RP)]
buscado. Gráficamente:
E(RP)
curvas de nivel de
la función Utilidad
E(0)(RP)
frontera eficiente
σ(0)( RP)
σ( RP)
El trabajo que se presenta tiene como objetivo determinar la
frontera eficiente basada en la información histórica, (que es
igual para todos los inversores siempre que tengan la misma
información acerca del mercado de valores). Se considera que
n (número de acciones) es cuatro.
Para hallar la frontera eficiente existen dos posibilidades:
a) que las ponderaciones puedan tomar valores negativos (se
admiten operaciones de venta descubierta)
b) que las ponderaciones sean no negativas
7
a) ponderaciones irrestrictas:
1) min V(R P )
s.a.
n
∑w
i =1
i
=1
con 1 ≤ i ≤ n ∧ i ∈ N
Resolviendo este problema se encuentra el punto inicial
de la frontera eficiente
2) min V(R P )
n
s.a. E * (R P ) = ∑ wi Ri
i =1
∧
n
∑w
i =1
i
=1
con 1 ≤ i ≤ n ∧ i ∈ N
Donde E*(RP) es un parámetro al que hacemos variar
para obtener los
puntos de varianza mínima con
rendimientos esperados dados.
1) y 2) se pueden resolver con los métodos de optimización
clásica sujeto a condiciones de igualdad (utilizando el
Lagrangeano).
b) ponderaciones no negativas:
Dado que la función objetivo es cuadrática y convexa y las
restricciones son lineales, se puede aplicar programación
cuadrática8.
8
Ver “ Condiciones de Kuhn y Tucker: Aplicaciones a la Economía y al Mercado de
Capitales” Bernardello, Alicia y Vicario, Aldo O. Presentado en las XIV Jornadas de
Matemática de Facultades de Ciencias Económicas y Afines. Jujuy, octubre de 2000
8
Así se debe resolver el problema:
1)
min V(R P )
s.a.
n
∑w
i =1
i
=1
con wi ≥ 0 ∧ 1 ≤ i ≤ n ∧ i ∈ N
2)
n
min V(R P )
s.a. E * (R P ) = ∑ wi Ri
i =1
con wi ≥ 0 ∧
∧
n
∑w
i =1
i
=1
1≤i≤n ∧ i∈N
Que es similar al anterior con el agregado de la condición
de no negatividad.
Es posible una vez obtenido el óptimo con ponderaciones
irrestrictas adaptarlo a ponderaciones no negativas9.
Modelo Diagonal de Sharpe:
Con el objeto de facilitar la aplicación práctica del modelo de
Markowitz, Sharpe hace una suposición: Considera que la
dependencia estadística entre los rendimientos de los títulos,
no es una dependencia directa, sino derivada de la relación
existente entre estos rendimientos y un grupo fundamental de
índices: producto nacional bruto, índice general de precios,
9
Para un tratamiento del tema ver “Selección de Inversiones” Messuti, O.J.; Alvarez, V.A.
y Graffi Hugo Romano pag. 389-394
9
índice general de la Bolsa, etc., representativos de la evolución
de la actividad económica.
Estudia primero el caso en que el rendimiento depende de un
solo índice y toma un índice bursatil, para estudiar luego el
caso en que los rendimientos dependen de varios índices.
Tomando el Merval que figura en el Anexo IV, se podría
ejemplificar el modelo de un solo índice.
Sharpe supone que la relación de dependencia entre dichas
variables viene definida por un modelo econométrico del tipo:
Ri = ai + bi(I) + εi
con 1 ≤ i ≤ n ∧ i ∈ N
Donde
Ri: rendimiento del título i durante el período de referencia
(variable endógena).
I: índice bursátil (Merval, en nuestro caso) variable exógena.
εi: error o perturbación aleatoria.
bi: parámetro a estimar. Pendiente de la recta de regresión.
ai: ordenada al origen de la recta de regresión.
Si se dispone de T observaciones (en nuestro caso 251),
tamaño de la muestra.
10
(
Para un par de valores I t ; Rit
)
(donde 1 ≤ t ≤ T ∧ t ∈ N) de
datos históricos los parámetros ai y bi se pueden estimar
utilizando el método de los “mínimos cuadrados” que supone:
1- La esperanza de las perturbaciones es nula:
( )
E ε it = 0
1≤t≤T ∧ t∈N
2- Homocedasticidad:
[( ) ] = σ
E ε it
2
(
2
1≤t≤T ∧ t∈N
i
)
cov ε it ; I t = 0
1≤t≤T ∧ t∈N
3- No autocorrelación:
(
)
Cov ε it ; ε it ' = 0
t ≠ t’
1≤t≤T ∧ t∈N
1 ≤ t’ ≤ T
∧ t’ ∈
N
4- Normalidad:
(
ε i ⇒ N 0; σ i 2
t
)
1≤t≤T ∧ t∈N
Además los ε de la empresa i-ésima están incorrelacionados
con los ε de cualquier otra empresa ( cov(εi; εj) = 0).
Entonces para cada título se estima:
Ri = ai + bi(I) + εi
11
Y aplicando el operador esperanza E:
pues E(εi) = 0
E(Ri) = ai + bi E(I)
1≤i≤n ∧ i∈N
Y la varianza será:
(
)
pues cov ε it ; I t = 0
σ2 (Ri) = bi2 σ2(I) + σ2 (εi)
1≤i≤n ∧ i∈N
El rendimiento de la cartera será:
RP =
n
∑w R
i =1
RP =
n
∑ wi (ai + bi(I) + εi) =
i =1
i
i
n
∑ wi ai + I
i =1
n
∑ wi bi +
i =1
Donde I y εi son variables aleatorias.
Entonces:
n
∑ wi ai + E(I)
E(RP) =
i =1
n
σ2 (RP) = ( ∑ wi bi)2 σ2(I) +
i =1
12
n
∑w
i =1
bi
i
n
∑w
i =1
i
2
σ2εi
n
∑w
i =1
i
εi
(supuesto que todos los términos covariantes de la misma son
iguales a cero) cuya expresión matricial es:
σ2

 w1 " wn

(RP)
σ 2 (ε 1 )
0

2
0
σ (ε 2 )
n

wi bi   #
∑
#
i =1

0
 0
 0
0

=
"
"
0
0
#
" σ (ε n )
2
"
0
0   w1 


0   w2 
#   # 

0   n wn 


σ 2 (I ) ∑ wi bi 
 i =1

Que se llama “modelo diagonal” por ser la matriz asociada a
la forma cuadrática diagonal que implica un menor número
de estimadores y facilidades de cálculo.
Los valores ai y bi se obtienen mediante:
ai = Ri − bi I
∑ (R
T
bi =
t =1
it
)(
− Ri RIt − I
∑ (R
T
t =1
It
−I
)
2
)
=
cov(Ri ; I )
σ 2I
1≤t≤T ∧ t∈N
13
Ri = E (Ri ) =
I = E (I ) =
1 T
∑ Ri media muestral de la variable Rit
T t =1 t
1 T
∑ It
T t =1
media muestral de la variable It
Entonces el problema a resolver será:
n
1) min. σ2 (RP) = ( ∑ wi bi)2 σ2(I) +
i =1
n
n
∑w
i
i =1
n
2) min. σ2 (RP)= ( ∑ wi bi)2 σ2(I) + ∑ wi
i =1
s.a.
n
∑w
i =1
i
ai + E(I)
2
2
σ2εi
s.a.
n
∑w
i =1
i
=1
σ2 εi
i =1
n
∑w
i =1
i
bi = E*(RP)
n
∑w
i =1
i
=1
En sus dos versiones:
a) Ponderación irrestricta (optimización sujeta a restricciones
de igualdad).
b) Ponderación no negativa (programación cuadrática).
Además
con
los
supuestos
mencionados
sobre
el
comportamiento relativo al error aleatorio ε se puede
demostrar10 que:
cov(Ri Rj) = bi bj σ2 (RI)
14
Con lo que se podría proceder a armar la matriz de varianzas
y covarianzas, y calcular la frontera eficiente como en el
modelo de Markowitz que se alterará por los supuestos
adoptados.
Observación:
Con motivo de homogeneizar el significado económico de las
variables
independientes
y
dependientes,
J.L.
Treynor
sustituyó el índice bursátil I, por su rendimiento:
RI =
I t +1 − I t
It
Para ejemplificar lo anteriormente expuesto se consideró la
evolución de la cotización (ex - cupón) de las acciones de
cuatro empresas desde el 21 de enero de 1999 al 20 de enero
de 2000 (Anexo IV), y se realizó el análisis estadístico
correspondiente, que nos brinda los datos que se utilizarán
para resolver el siguiente problema de cartera.
10
Ver Francis Jack Clark y Archer Stephen H. “Análisis y Gestión de Carteras de valores”
o Messuti D.J., Alvarez V.A.y Graffi Hugo R. “Selección de Inversiones”
15
Minimizar:
V(RP) = σ12 w12 + σ22 w22 + σ32 w32 + σ42 w42 + 2 σ12 w1 w2 + 2 σ13 w1 w3
+ 2 σ14 w1 w4 + 2 σ23 w2 w3 + 2 σ24 w2 w4 + 2 σ34 w3 w4 =
= [w1
w2
s.a.
w3
w4 ]
σ 12

σ 12
σ 13

σ 14
σ 12 σ 13 σ 14   w1 
  
σ 22 σ 23 σ 24   w2 
σ 23 σ 32 σ 34   w3 
  
σ 24 σ 34 σ 42   w4 
w1 + w2 + w3 + w4 = 1
L = σ12 w12 + σ22 w22 + σ32 w32 + σ42 w42 + 2 σ12 w1 w2 + 2 σ13
w1 w3 +
+ 2 σ14 w1 w4+ 2 σ23 w2 w3+ 2 σ24 w2 w4+ 2 σ34
w3 w4+ λ (1- w1- w2- w3- w4).
∂L
= 2 σ12 w1 + 2 σ12 w2 + 2 σ13 w3 + 2 σ14 w4 - λ = 0
∂w1
∂L
= 2 σ22 w2 + 2 σ12 w1 + 2 σ23 w3 + 2 σ24 w4 - λ = 0
∂w2
∂L
= 2 σ32 w3 + 2 σ13 w1 + 2 σ23 w2 + 2 σ34 w4 - λ = 0
∂w3
∂L
= 2 σ42 w4 + 2 σ14 w1 + 2 σ24 w2 + 2 σ34 w3 - λ = 0
∂w4
∂L
= 1 - w1 - w2 - w3 - w4 = 0 ⇒ w1 + w2 + w3 + w4 = 1
∂λ
16
 2σ 12 2σ 12 2σ 13 2σ 14

2
2σ 12 2σ 2 2σ 23 2σ 24
 2σ 13 2σ 23 2σ 32 2σ 34
2σ
2
 14 2σ 24 2σ 34 2σ 4
1
1
1
1
A
− 1

− 1
− 1

− 1
0 
.
0 
 w1 
0 
w 
2
 
 
0 
=
 w3 
 
w 
0 
 4
1
λ 
X
= B
Se resuelve el sistema:
X = A-1 B
y se obtienen w1 ; w 2 ; w 3 ; w 4 que se reemplazan en la función
objetivo para calcular V ( RP ) min y también σ(RP)min =
V ( RP ) min
(riesgo mínimo), y en E(RP)min = w1 E(R1) + w2 E(R2) + w3 E(R3)
+ w4 E(R4) (el valor esperado del rendimiento cuando el riesgo
es mínimo).
Esto proporciona el punto [σ(RP)min; E(RP)min] en el gráfico
E(RP)
E(RP)min
σ(RP)min
σ(RP)
17
Ahora planteamos el problema de hallar
Min.
V(RP) = σ12 w12 + σ22 w22 + σ32 w32 + σ42 w42 + 2 σ12 w1 w2 + 2
σ13 w1 w3 + 2 σ14 w1 w4 + 2 σ23 w2 w3 + 2 σ24 w2 w4 + 2 σ34 w3
w4 =
= [w1
w2
w3
w4 ]
σ 12 σ 12 σ 13 σ 14   w1 

  
2
σ 12 σ 2 σ 23 σ 24   w2 
σ 13 σ 23 σ 32 σ 34   w3 


2  
σ 14 σ 24 σ 34 σ 4   w4 
s.a.
w1 E(R1) + w2 E(R2) + w3 E(R3) + w4 E(R4) = E*(RP)
w1 + w2 + w3 + w4 = 1
Con el parámetro E*(RP) > E(RP)min
L = σ12 w12 + σ22 w22 + σ32 w32 + σ42 w42 + 2 σ12 w1 w2 + 2 σ13 w1
w3 + 2 σ14 w1 w4 + 2 σ23 w2 w3 + 2 σ24 w2 w4 + 2 σ34 w3 w4 + λ1 (
1 - w1 - w2 - w3 - w4) + λ2 [E*(RP) - w1 E(R1) - w2 E(R2) - w3 E(R3)
- w4 E(R4)]
18
∂L
= 2 σ12 w1 + 2 σ12 w2 + 2 σ13 w3 + 2 σ14 w4 - λ1 - λ2 E(R1) = 0
∂w1
∂L
= 2 σ22 w2 + 2 σ12 w1 + 2 σ23 w3 + 2 σ24 w4 - λ1 - λ2 E(R2) = 0
∂w2
∂L
= 2 σ32 w3 + 2 σ13 w1 + 2 σ23 w2 + 2 σ34 w4 - λ1 - λ2 E(R3) = 0
∂w3
∂L
= 2 σ42 w4 + 2 σ14 w1 + 2 σ24 w2 + 2 σ34 w3 - λ1 - λ2 E(R4) = 0
∂w4
∂L
= 1 - w1 - w2 - w3 - w4 = 0 ⇒ w1 + w2 + w3 + w4 = 1
∂λ1
∂L
= E*(RP) - w1 E(R1) - w2 E(R2) - w3 E(R3) - w4 E(R4) = 0
∂λ 2
⇒ w1 E(R1) + w2 E(R2) + w3 E(R3) + w4 E(R4) = E*(RP)
 2σ 12
2σ 12
2σ 13

2
2σ 2
2σ 23
 2σ 12
 2σ 13
2σ 23
2σ 32

2σ 34
2σ 24
2σ 14
1
1
1

 E ( R1 ) E ( R2 ) E ( R3 )
2σ 14
− 1 - E(R 1 ) 

2σ 24 − 1 - E(R 2 ) 
2σ 34 − 1 - E(R 3 ) 

2σ 42 − 1 - E(R 4 )
1
0
0 

E(R 4 ) 0
0 
 0 
 w1 
 0 
w 


 2
 w3  =  0 


w 
 0 
 4
λ1 
 1 
λ 
 E * ( R )
P 

 2
19
Se resuelve este sistema para varios valores de E*(RP) >
E(RP)min, obteniéndose los wi correspondientes a cada valor
de E*(RP), que se reemplazan en la función objetivo para
calcular los respectivos V ( R P ) y también los respectivos σ(RP)
=
V ( R P ) , y en E(RP) = w1 E(R1) + w2 E(R2) + w3 E(R3) + w4
E(R4) (el valor esperado del rendimiento para cada nivel de
riesgo).
Esto proporciona otros puntos [σ(RP); E(RP)] en el gráfico que
conforman la frontera eficiente11
E(RP)
E(RP)5
frontera eficiente
E(RP)4
E(RP)3
E(RP)2
E(RP)1
E(RP)min
σ(RP)
σ(RP)min σ1(RP) σ2(RP) σ3(RP) σ4(RP) σ5(RP)
11
La función v[E*(RP)] es cóncava y creciente (ver Anexo I y II)
20
Con
los
datos
obtenidos
en
el
análisis
estadístico
mencionado:
V(RP) = 0,0374% w12 + 0,0379% w22 + 0,0593% w32 + 0,0603%
w42 +. 0,0036% w1 w2 + 2. 0,0051% w1 w3 + 2. 0,0050% w1 w4
+ 2. 0,0082 w2 w3 + 2. 0,0078% w2 w4 + 2. 0,0140% w3 w4 =
= [w1
w2
w3
0,0374%
0,0036%
w4 ] 
0,0051%

0,0050%
s.a.
0,0036% 0,0051% 0,0050%  w1 
0,0379% 0,0082% 0,0078%  w2 
 
0,0082% 0,0593% 0,0140%  w3 
  
0,0078% 0,0140% 0,0603%  w4 
w1 + w2 + w3 + w4 = 1
Resolviendo este problema con la herramienta Solver del
Excel obtenemos:
 w1 
 
 w2  =
 w3 
 
 w4 
0,35725193
0,32470983

 que se reemplazan en la función objetivo para
 0,15894818


 0,15909105
calcular
V ( R P ) min = 0,000161369
21
También σ(RP)min =
V ( RP ) min
= 0,01270310985 (riesgo
mínimo)
y en E(RP)min = 0,1339% w1 + 0,0920% w2 + 0,1505% w3 +
0,2115% w4 = 0,135278795952% = 0,00135278795952 (el
valor esperado del rendimiento cuando el riesgo es mínimo)
Esto proporciona el punto [σ(RP)min; E(RP)min] = [0,01270;
0,00135] en el gráfico.
Ahora planteamos el problema de hallar:
Min.
V(RP) = 0,0374% w12 + 0,0379% w22 + 0,0593% w32 + 0,0603%
w42 + 2. 0,0036% w1 w2 + 2. 0,0051% w1 w3 + 2. 0,0050% w1
w4 + 2. 0,0082% w2 w3 + 2. 0,0078% w2 w4 + 2. 0,0140% w3
w4 =
= [w1
w2
w3
w4 ]
0,0374%
0,0036%

0,0051%

0,0050%
0,0036% 0,0051% 0,0050%
0,0379% 0,0082% 0,0078%
0,0082% 0,0593% 0,0140%

0,0078% 0,0140% 0,0603%
 w1 
w 
 2
 w3 
 
 w4 
s.a.
0,1339% w1 + 0,0920% w2 + 0,1505% w3 + 0,2115% w4 = E*(RP)
w1 + w2 + w3 + w4 = 1
22
Con el parámetro E*(RP) > E(RP)min
Hemos resuelto con la herramienta Solver del Excel fijando
los valores de E*(RP) que se detallan a continuación y hemos
obtenido
las
siguientes
ponderaciones
irrestrictas,
y
agregando la restricción de no negatividad las siguientes
ponderaciones no negativas:
E*(RP)
0,15%
ponderaciones irrestrictas
ponderaciones no negativas
w1
0,348327661
0,348327661
w2
0,201748511
0,201748511
w3
0,16984961
0,16984961
w4
0,280074216
0,280074216
V
0,000173817
0,000173817
σ
0,013183967
0,013183967
23
E*(RP)
0,16%
ponderaciones irrestrictas
w1
0,342253731
0,342253731
w2
0,118227212
0,118227212
w3
0,1772616
0,1772616
w4
0,362257451
0,362257451
V
0,00019647
0,00019647
σ
0,01401677566
0,01401677566
E*(RP)
0,17%
24
ponderaciones no negativas
ponderaciones irrestrictas
ponderaciones no negativas
w1
0,336179798
0,336179798
w2
0,034705929
0,034705929
w3
0,18467357
0,18467357
w4
0,4444407
0,4444407
V
0,00023061
0,00023061
σ
0,015185849
0,015185849
E*(RP)
0,18%
ponderaciones irrestrictas
w1
0,2766577733
w2
-0,04881536
0
w3
0,19208555
0,16444849
w4
0,526623952
0,558893779
V
0,000276237
0,000278854
σ
0,016620379057
0,016698922
E*(RP)
0,19%
0,330105865
ponderaciones no negativas
ponderaciones irrestrictas
ponderaciones no negativas
w1
0,324031933
0,178282795
w2
- 0,13233665
0
w3
0,19949754
0,12422566
w4
0,608807182
0,69749154
V
0,00033335
0,00035335
σ
0,018257875
0,0187976062
25
E*(RP)
0,20%
ponderaciones irrestrictas
ponderaciones no negativas
w1
0,317958001
0,08161535
w2
- 0,21585796
0
w3
0,20690953
0,08470111
w4
0,690990424
0,833684543
V
0,000401949
0,00045313
σ
0,020048666
0,021286850
rendimiento
Frontera Eficiente
200
150
100
50
0
1500 1600 1700 1800 1900
riesgo
26
Serie1
Serie2
ANEXO I
Propiedades de la función valor:
El valor de la función objetivo f(x) depende de c = (c1; c2;
c3;.....;cm).
La función definida por:
v(c) = max { f(x) sujeta a gj(x) ≤ cj con 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N ∧ x ∈
Rn}
asigna a cada vector c el valor óptimo v(c) de f y se llama
función valor para el problema.
Si f(x) es cóncava y g(1)(x); g(2)(x);.......... g(m)(x) son todas
convexas entonces v(c) es cóncava.
En efecto, designemos con x(c) a una solución óptima del
problema cuando el vector de los miembros de la derecha de
las desigualdades es
c = (c1; c2; c3;.....;cm).
Sean c(1) y c(2) dos vectores arbitrarios de miembros de la
derecha, entonces:
v(c(1)) = f[x(c(1))]
y
v(c(2)) = f[x(c(2))],
27
con
gj[x(c(1))] ≤ cj
y
gj[x(c(2))] ≤ cj
con 1 ≤ j ≤ m
∧j∈N
y
sea λ ∈ [0; 1] correspondiente al vector ( 1 -λ) c(1) + λ
c(2).
Hay una solución óptima x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] para la cual:
v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] = f { x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]}
Anotando x = ( 1 -λ) x(c(1)) + λ x(c(1)).
La convexidad de gj implica que para 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N :
gj(x) ≤ ( 1 -λ) gj [x(c(1))] + λ gj [x(c(2))] ≤ ( 1 -λ) cj(1) + λ cj(2)
donde la última desigualdad se deduce del hecho de que los
dos vectores x(c(1)) y x(c(2)) sean factibles.
Así x es factible para el problema cuyo miembro de la derecha
es el vector
( 1 -λ) c(1) + λ c(2) .
Por definición x = [( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]
problema. Por lo tanto:
28
es óptimo de este
f(x) ≤ f{x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]} = v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]
(a)
Además la concavidad de f implica que:
f(x) ≥ ( 1 -λ) f [x(c(1))] + λ f [x(c(2))] = ( 1 – λ) v(c(1)) + λ v(c(2))
(b)
De (a) y (b) se deduce que:
v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] ≥ ( 1 -λ) v(c(1)) + λ v(c(2))
que responde a la definición de concavidad de v.
Para v(c) = min { f(x) sujeta a gj(x) ≤ cj con 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N ∧
x ∈ Rn} con f(x) convexa y g1(x); g2(x);.......... gm(x)
todas
cóncavas, de forma similar, se puede demostrar que la
función valor v(c) es convexa.
•
v(c) es no decreciente en cada variable cj con 1 ≤ j ≤ m ya
que si cj crece y todas las otras variables están fijas, el
conjunto factible se agranda. Por lo tanto v(c) no puede
decrecer.
ANEXO II
Una forma cuadrática semidefinida positiva (negativa), es una
función convexa (cóncava) sobre Rn.
29
Se demostrará esta propiedad para una forma cuadrática
semidefinida positiva.
Sea f(x) = xT A x ≥ 0 para todo x distinto del vector nulo con
x∈ Rn y nAn simétrica.
Tomando dos puntos cualesquiera x(1) y x(2) y sea z = [( 1 -λ)
x(1) + λ x(2)] con λ ∈ [0; 1] .
Por definición de función convexa hay que demostrar que:
zT A z ≤ ( 1 -λ) x(1)T A x(1) + λ x(2)TA x(2)
Por definición de z:
zT A z = [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]T A [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]
zT A z = [( 1 -λ) x(1) A + λ x(2) A]T [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + (1 -λ) λ x(1)TA x(2) + λ x(2)TA (1 -λ) x(1) + (1 -
λ)2 x(1)T A x(1)
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) + λ x(2)TA x(1) - λ2
x(2)TA x(1)
+ x(1)TA x(1) - 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
30
Aplicando x(1)TA x(2) = [x(1)TA x(2)]T = x(2)TA x(1) en el 4° término
(♣)
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) -
λ2 x(2)TA x(1)
+ x(1)T A x(1) - 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
Sumando el 2° y el 4° término
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + 2 λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) - λ2 x(2)TA x(1)
+ x(1)T A x(1)
- 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
zT A z = λ2 (x(2)TA x(2) - x(1)TA x(2) - x(2)TA x(1) + x(1)TA x(1))
+ 2 λ (x(1)TA x(2) - x(1)T A x(1)) + x(1)T A x(1)
zT A z =λ2 (x(2) - x(1))TA x(2) – (x(2) - x(1))TA x(1)) + 2 λ x(1)TA (x(2) x(1)) + x(1)T A x(1)
zT A z = λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ x(1)TA (x(2) - x(1)) + x(1)T A
x(1)
Aplicando la propiedad (♣) en el 2° término:
31
zT A z = λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ (x(2) - x(1))T A x(1) + x(1)T
A x(1)
Como λ ∈ [0; 1] y xT A x ≥ 0 se deduce que:
λ (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) ≥ λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1))
Entonces :
zT A z ≤ λ (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ (x(2) - x(1))T A x(1) + x(1)T A
x(1)
zT A z ≤ (λ x(2)T A -λ x(1)TA) (x(2)– x(1)) + 2 λ x(2)T A x(1) - 2 λ x(1)T A
x(1)+ x(1)T Ax(1)
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(2)T A x(1) - λ x(1)TA x(2) + λ x(1)TA x(1) + 2
λ x(2)T A x(1)
- 2 λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
Aplicando la propiedad (♣) en el 3° término:
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(2)T A x(1) - λ x(2)TA x(1) + λ x(1)TA x(1) + 2
λ x(2)T A x(1)
- 2 λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
Cancelando 2°, 3° y 5° términos y sumando 4° y 6° términos:
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
32
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) + (1- λ) x(1)T A x(1)
que es lo que se quería demostrar.
El razonamiento para una forma cuadrática semidefinida
negativa es análogo.
33
ANEXO III
a.
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN VALOR
MOBILIARIO O ACTIVO FINANCIERO EN PARTICULAR
Se entiende por rendimiento en economía la renta generada
por cualquier actividad o negocio expresada en términos
relativos (tanto por un uno o tanto por ciento). La renta es
aquella parte de los ingresos (cobrados o simplemente
devengados) percibidos por un sujeto económico que puede
ser consumida sin disminuir su riqueza o patrimonio. A
efectos de la teoría de la formación o selección de carteras, el
tanto o tipo de rentabilidad, o simplemente retorno o
rendimiento, se define del siguiente modo:
Rit =
Dit + Pit +1 − Pit
Pit
( I)
donde, Rit es la rentabilidad expresada en tanto por uno del
valor i durante el período t, Dit los dividendos (o intereses en
el caso de obligaciones) percibidos por una acción del tipo i
durante el período t, Pit+1 precio de mercado o valor de
cotización de la acción i al final del período t, y Pit valor de
34
dicha acción al comienzo del período. En Dit se incluye
también el valor de los derechos de suscripción preferente, en
el caso de ampliaciones de capital, que para simplificar
suponemos que se venden en su totalidad. Relación que se
obtiene, teniendo en cuenta que el valor de un activo se
determina por el valor actual de sus flujos de caja a futuro.
Una acción ofrece dos tipos de flujos de caja. Primero, la
mayoría de las acciones pagan dividendos con una base
regular. Segundo, el accionista recibe el precio de venta
cuando vende la acción. Por tanto, para valorar una acción se
puede proceder en forma alternativa:
- considerando el valor presente de la suma del dividendo
durante el período más el precio del valor en el período
siguiente;
- considerando el valor descontado de todos los dividendos
futuros.
Es decir, si el período de tenencia es de un año y si el
individuo sabe que el precio de la acción i en el período t es
Pit, entonces calcula:
P it =
Pit +1 + Dit
1 + Rit
35
que es la alternativa a)
(II)
Donde Rit es la tasa de interés a la que el mercado descuenta
la clase de renta representada por el título, Pit+1 proviene de
que existirá un comprador al final del año que determinará su
precio, utilizando el procedimiento expuesto en la alternativa
a) es decir,
Pit +1 =
Pit + 2 + Dit +1
1 + Rit
Que sustituyéndolo en (I) queda:
Pit =
D + Pit + 2 
Dit
Dit +1
Pit + 2
1 
Dit + it +1
=
+
+


2
1 + Rit 
1 + Rit  1 + Rit (1 + Rit )
(1 + Rit )2
Repitiendo el proceso con Pit+2 y así sucesivamente se llega a
que:
Pit =
D it
D it +1
D it + 2
+
+
+ .... =
1 + R it (1 + R it )2 (1 + R it )3
oo
D it + j
∑ (1 + R )
j =0
j +1
it
que es la alternativa b).
Es decir que despejando Rit de (II) se llega a la fórmula (I).
Ex post o a posterior, la rentabilidad es una magnitud
conocida con certeza. Sin embargo, ex ante o a priori es una
variable aleatoria de carácter subjetivo, que tomará diferentes
valores con sus correspondientes probabilidades en el caso
36
discreto, o se ajustará a alguna de las distribuciones de
probabilidad
teórica
de
tipo
continuo.
La
esperanza
matemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una
medida de la rentabilidad media del correspondiente activo
financiero, mientras que la varianza (o la desviación típica)
nos proporciona una medida de la dispersión de los
rendimientos con respecto a la media. Los coeficientes de
asimetría y kurtosis pueden proporcionarnos información
adicional acerca de la distribución de los rendimientos.
Todas aquellas actividades económicas que no garantizan un
rendimiento seguro entrañan riesgo. Riesgo significa siempre
peligro o proximidad de un daño. En el modelo de selección
de carteras formulado inicialmente por Markowitz, así como
en los posteriores desarrollos, se ha convenido en tomar como
medida del riesgo de la inversión en un valor mobiliario en
particular
mobiliarios)
o
en
la
una
cartera
varianza
o
(combinación
desviación
de
típica
valores
de
sus
rendimientos. Tanto para la medida del rendimiento como
para la medida del riesgo se podrían haber utilizado, y de
hecho se han utilizado en algunos trabajos teóricos, otros
promedios (como la media geométrica) y otras medidas de
dispersión (como la semivarianza12 y la entropía).
12
La semivarianza (svr) del rendimiento se define como:
37
El adquirente de un determinado valor mobiliario o activo
financiero invierte dinero durante un cierto período de
tiempo, que variará según las preferencias individuales, si
bien suele ser bastante frecuente el período comprendido
entre tres y doce meses, con la esperanza de obtener un cierto
rendimiento al final del mismo. No en vano se dice que el
inversor
financiero
acude
al
mercado
para
comprar
rentabilidad. Pero esa rentabilidad o rendimiento no puede
conocerlo con certeza hasta el final del período, cuando se
liquida o realiza la inversión.
Ex ante o a priori, cuando tiene que decidir en qué tipo de
activos va a invertir sus ahorros, el inversor sólo puede
conocer el valor de Rit en términos de probabilidad. De ahí
que se diga también, y con razón, que el inversor financiero
compra distribuciones de probabilidad a priori, ya sean de
tipo normal, de Student, Pareto-estables o cualesquiera otras.
La distribución del rendimiento:
(svr ) = ∑
pi [bar
− E (r )]
2
i
i
donde bar son los tantos de rendimiento inferiores a E(r) o inferiores a la media del tanto de rendimiento. La raíz
i
cuadrada de svr (semidesviación) es un equivalente del riesgo.
38
El rendimiento, tal como éste ha sido definido por (I), se
comportará en un principio siguiendo la misma ley de
probabilidad que los cambios en los precios. Pues, en efecto,
si se considera un período de tiempo inferior al año (de tres
meses, por ejemplo) no habrá lugar al reparto de dividendos,
reflejándose
dividendos
la
en
proximidad
el
mayor
a
la
precio
fecha
de
del
reparto
mercado
de
para
el
correspondiente activo. De aquí, pues, que con bastante
frecuencia, y a propósito del análisis de carteras y la teoría
del mercado eficiente, en la definición del rendimiento se
incluya únicamente el cambio en los precios, es decir:
Rit =
Pt +1 − Pt ∆Pt
=
Pt
Pt
Durante bastante tiempo se ha creído que los cambios en los
precios,
y,
comportaban
por
tanto,
también
normalmente13
.
los
Se
fundamentaba
hipótesis en el teorema central del límite14
13
rendimientos
(#).
se
esta
Pues, en efecto,
1 Si ∆pt se comporta normalmente, la variable aleatoria Rit resultante de multiplicar ∆Pt por una constante
(1/Pt) se distribuirá de igual modo, aunque con distinto origen y diferente valor para los parámetros media y
varianza.
14
Teorema central del límite: Sean X1, X2, …, Xn variables aleatorias independientes, todas con igual función
de probabilidades, igual media e igual desvío se puede demostrar que cuando n sea suficientemente grande la
distribución de la variable aleatoria Y= X1 + X2 + …Xn es:
Y =
n
∑
i =1
(
x i ≈ N nxm .
n xσ
) n→∞
donde m es la media poblacional
39
los cambios en los precios de un activo financiero en los
sucesivos períodos de tiempo (días, semanas, meses, etc.)
vienen determinados por la suma de los cambios de precio
habidos en las innumerables transacciones realizadas en
cada uno de esos períodos. Si los cambios en los precios de
cada una de estas transacciones individuales son variables
aleatorias independiente, dicho teorema límite nos permite
sustentar la hipótesis de que los cambios de precio de un
valor mobiliario a lo largo de los sucesivos períodos o
intervalos de tiempo se comportan normalmente. La hipótesis
de
normalidad
presenta
indudables
ventajas
de
orden
práctico:
La distribución normal queda completamente especificada por
tan sólo dos parámetros: media y varianza, pudiendo ser
ignoradas la asimetría y la kurtosis.
O también: Sean X1, X2,…, Xn variables aleatorias independientes, todas con su propia función de
probabilidades, media y desvío se puede demostrar que cuando n sea suficientemente grande la distribución de la
variable aleatoria Y = X1 + X2 + … + Xn es
Y =
n
∑
i=1
N: función normal
40

Xi ≈ N 

n
∑
i =1
n
mi .,
∑ σi
i =1
2



 n→∞
Es una distribución bien conocida con una teoría de las
muestras muy desarrollada.
Tiene varianza finita.
Algunos autores, concretamente Mandelbrot y Fama, han
rechazado la hipótesis de normalidad para los cambios en los
precios. Estos parecen ajustarse a un tipo de distribución
“Pareto-estable”, no normal, perteneciente a la familia de
distribuciones de cuatro parámetros, a la que también
pertenecen la distribución normal, la distribución de Student
con un grado de libertad, la distribución de Beta, etc. La
distribución se llama “Pareto-estable” porque las colas de la
misma siguen la ley de Pareto. A los tests de Mandelbrot y
Fama siguieron otros muchos, con resultados dispares,
confirmando en unos casos la hipótesis de normalidad y en
otros la Pareto-estable. Ello no obstante, incluso en los tests
que resultaron favorables a la hipótesis de Mandelbrot, las
desviaciones con respecto a la distribución normal fueron en
general bastante pequeñas.
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UNA CARTERA
Una cartera es una combinación de valores mobiliarios o
activos individuales en determinadas proporciones. Así,
41
llamando wi, para i = 1, 2, …, n, a la fracción (expresada en
tanto por uno) que el inversor destina de su presupuesto de
inversión a la adquisición del valor i, n al número de valores
que se toman en consideración (que puede ser la totalidad de
los que se cotizan en el mercado) y Ri al rendimiento o tasa de
retorno del valor i (expresado también en tanto por uno), el
rendimiento de la cartera Rp, vendrá dado por:
n
R p = w1 R1 + w2 R2 + ... + wn Rn = ∑ wi Ri
(II)
i =1
Como ya se dijo en la sección anterior, ex post o a posteriori el
rendimiento Ri del valor mobiliario i toma siempre un valor
concreto, mientras que ex ante o a priori es una variable
aleatoria. Por consiguiente, ex ante o a priori el rendimiento
de la cartera Rp será una variable aleatoria al ser suma de
variables aleatorias15. Su esperanza matemática vendrá dada
por:
[ ]
E R p = E p = w1 E [R1 ] + w2 [R2 ] + ... + wn E [Rn ] =
n
= w1 E1 + w2 E 2 + ... + wn E n = ∑ wi Ei
(IV)
i =1
15
Cuando los rendimientos de los títulos individuales que forman parte de la cartera se distribuyen normalmente,
la variable Rp que describe el rendimiento de la cartera se distribuye también normalmente, aún siendo
estadísticamente dependientes las variables sumando Ri.
42
Donde, E = Operador de la esperanza matemática, y Ei =
Esperanza matemática de Ri, para i = 1, 2, …, n.
En las teorías de la selección de carteras y del equilibrio en el
mercado
de
capitales,
desde
que
Markowitz
y
Tobin
establecieron su fundamentación básica, se ha convenido en
tomar como medida del riesgo de la cartera de valores la
varianza (y también la desviación típica o estándar) del
rendimiento
Rp.
Cuando
la
función
de
densidad
de
probabilidad de esta variable aleatoria es simétrica, el uso de
la varianza conduce en un principio a un resultado correcto.
De lo contrario, los resultados obtenidos en base a la varianza
pueden ser engañosos, y de ahí que se haya sugerido el uso
de otras medidas del riesgo, tales como la semivarianza, la
entropía, etc. La varianza de la variable aleatoria Rp, definida
por (III)16, será:
V (R p ) = σ 2p = ∑ wi2σ i2 + ∑ wi w jσ ij ∑
n
i =1
n
i . j =1
i# j
i =1
n
∑w w σ
j =1
i
j
ij
(V)
Donde:
V ( R p ) = σ p2 = Varianza del rendimiento de la cartera p.
16
Ver Anexo V
43
σ i2 = Varianza del rendimiento del título i, para i = 1, 2, …n =
σii
σ i = σ i2 = σ ii
σ ij = σ ji = Covarianza de los rendimientos de los títulos i y j,
para
i = 1, 2, …, n y j = 1, 2, … n, y sabiendo que σ ii = σ i2 .
Expresión que se puede expresar, teniendo en cuenta que
V(Rp) es una forma cuadrática (caso particular de las formas
bilineales), como:
σ
σ
V ( R p ) = [w 1 w 2 .... w n ] 
#
 σ
11
21
n1
σ 12 ...
σ 22 "
σ
σ
#
#
σ
σ
n 2 ...
1n
2n
nn





w
 1
w2
 ...
 w n





que será una forma cuadrática semidefinida positiva en
sentido
amplio17,
ya
que
si
son
los
rendimientos
independientes las covarianzas (σij con i σ≠ j) serán cero y la
matriz de varianzas y covarianzas será una matriz diagonal
que tendrá en su diagonal principal elementos elevados al
17
ver Bernardello Alicia, Vicario Aldo O. “Condición de segundo orden en la
optimización libre y sujeta a restricciones de igualdad
44
cuadrado (σii2) – condición necesaria para ser definida positiva
-.
Si los rendimientos están perfectamente correlacionados
positiva o negativamente (la otra situación extrema):
ρ ij =
σ ij
1
=
σ i σ j − 1
⇒ σ iσ j = ±σ ij
Donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre el rendimiento
i y el rendimiento j.
(V) será:
2
 n

V (R p ) = σ =  ∑ wi σ i  que será siempre ≥ 0.
 i =1

2
p
Para calcular los valores de E(Rp) y σ2Rp dados por (IV) y (V),
hay que estimar previamente los valores de ERi σ2i y σij. Ello
puede hacerse a partir de datos históricos si se dispone de
series estadísticas de los rendimientos de los títulos y se
considera que el pasado es representativo del futuro. En ese
caso, las medias, varianzas y covarianzas poblacionales se
45
estimarán
a
partir
de
los
correspondientes
valores
muestrales, una vez corregidos de la pérdida de grados de
libertad18, los cuales serán tanto más representativos cuanto
mayor sea el tamaño de la muestra. Cuando no se dispone de
datos históricos, o bien se condiera que éstos no son
representativos del futuro, hay que inferir las distribuciones
de probabilidad subjetivas (ya sean éstas de tipo discreto o
contínuo) de los rendimientos de los distintos títulos en base
a la experiencia y las premoniciones intuitivas, para calcular
luego las correspondientes medias, varianzas y covarianzas,
haciendo uso de la metodología que al efecto se estudia en la
Estadística Matemática.
El modelo simplificado o “modelo de mercado” de Sharpe194,
constituye un valioso instrumento para resolver el problema
de las estimaciones, simplificándolo considerablemente.
18
Para corregir a los estimadores muestrales de la pérdida de grados de libertad hay que multiplicar por n/n – 1
las fórmulas de la varianza y covarianza, siendo n el tamaño de la muestra. La media muestral constituye un
ϑ es insesgado para estimar el parámetro
ϑ si la esperanza del estimador es igual al valor del parámetro. E ϑ = ϑ
estimador insesgado de la media poblacional. Se dice que el estimador
()
46
ANEXO III
b. RENTABILIDAD SIMPLE Y CONTINUA EN ACCIONES.
Los conceptos de rentabilidad simple, compuesta y continua
son de extendido uso en el caso de activos de renta fija; así,
hablamos de tipos de interés simple, compuesto y continuo.
En este punto se pretende aplicarlos a un activo financiero
como son las acciones.
RENTABILIDAD SIMPLE POR PERIODO
Se obtiene dividiendo el valor de la acción al final del período,
más dividendos, derechos y otros ingresos inherentes a la
acción, por el valor al inicio:
Rit =
Pit + 1 + Div it
−1
Pit
como fue indicado en (I)
19
W. F. Sharpe, A Simplified Model for Portfolio Analysis. “Management Science”, vol. IX, n° 2, enero 1963,
págs. 277-293.
47
Es frecuente que los precios vengan ajustados por dividendos,
derechos
y
otras
remuneraciones,
en
cuyo
caso
la
rentabilidad simple de un período (día, mes, años, etc.) viene
dada por:
Rit =
Pit + 1
−1
Pit
La rentabilidad anual, por ejemplo, sería el cociente entre el
valor de la acción el último mes del año, P12
,
y el valor al
inicio, P0.
En la Tabla 1 hemos calculado la rentabilidad mensual de
una acción durante un año, a partir de los precios de cierre
mensuales.
Seguiremos esta tabla como guía de nuestra
explicación.
En la fila 10 y 14 se han calculado la media y la desviación
estándar de esta rentabilidad simple mensual, utilizando las
siguientes fórmulas:
Media:
µ=
1 n
1
× ∑ Rt = (R1 + R2 + ... Rn )
n t =0
n
Desviación estándar:
48
σ2 =
n
1
2
× ∑ (Ri − µ )
n − 1 i =0
Tabla I: Rentabilidad simple y continua de una acción A
(Rentabilidades en %)
Filas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Período
0
1
2
3
4
5
6
Precio
10
10
11
13
14
15
12,5
Rentab.
R.Cont.
Período
Precio
Rentab.
R.Cont.
0,00
10,00
18,18
7,69
7,14
-16,67
0,00
9,53
16,71
7,41
6,90
-18,23
7
8
9
10
11
12
13
14
13,5
13
12,5
12
4,00
7,69
-3,57
-3,70
-3,85
-4,00
3,92
7,41
-3,64
-3,77
-3,92
-4,08
Rentabilidad simple anual
Rentabilidad continua anual
Media de rentabilidad simple mensual
Media de rentabilidad continua mensual
Rentabilidad sumple mensual anualizada
Rentabilidad continua anual
Desviación estándar mensual de la rentabilidad simple
Desviación estándar mensual de la rentabilidad continua
Desviación estándar continua anualizada
20,00
18,23
1,91
1,52
0,20
18,23
9,08
9,08
31,45
rentabilidad continua anual = ln (P12 /P0)
49
RENTABILIDAD CONTINUA
Supongamos que en vez de calcular la rentabilidad anual de
una sola vez, queremos hacerlo a partir de las rentabilidades
obtenidas cada mes. La rentabilidad anual no es la suma de
las rentabilidades mensuales, como a primera vista podría
parecer, sino el producto de las mismas.
Efectivamente, la
rentabilidad en el mes de febrero, por ejemplo, se aplica sobre
el principal de la inversión más la rentabilidad obtenida en
enero; se trata de una situación equivalente a la del interés
compuesto, que se devenga cada mes.
En
nuestra
formulación,
y
utilizando
rentabilidades
mensuales, la rentabilidad anual del activo sería:
P P
P P 
R A =  1 × 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 11 × 12  − 1 = (1 + R1 )× (1 + R2 )× ⋅ ⋅ ⋅ × (1 + R12 ) − 1
P10 P11 
 P0 P1
Si en la Tabla I multiplicamos las rentabilidades mensuales
más uno y restamos uno, llegaremos al resultado del 20 por
100
como
rentabilidad
anual,
compuesta
a
rentabilidades mensuales. La fórmula genérica es:
 t P 
 t

R A = ∏ (1 + Rt ) − 1 = ∏ t  − 1
 i =0

 i =0 Pt −1 
50
base
de
Supongamos que quisiéramos obtener la rentabilidad anual a
partir de períodos infinitamente pequeños. Tendríamos de
nuevo la ecuación primera, pero con infinitos términos en el
lado derecho de la ecuación. Si tomáramos logaritmos
naturales en cada lado de la ecuación, tendríamos:
LN
P1
P
P
+ LN 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + LN 12 = LN (1 + R1 ) + LN (1 + R2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + LN (1 + R12 ) = Rc
P0
P1
P11
donde Rc es la rentabilidad continua de la acción durante el
año; es decir, aquella tasa de rentabilidad (δ) que compuesta
continuamente nos da la tasa simple anual.
Por tanto,
tenemos:
Rc = LN (1 + RA ) = LN
Pt + n
Pt
Si en esta expresión tomamos antilogaritmos, obtenemos:
Pt + n
= e Rc = (1 + RA )
Pt
Pt + n = Pt × e Rc = Pt × (1 + RA )
⇒
e Rc −1 = RA
51
Con estas fórmulas tenemos un método rápido de saber cuál
será el valor de una acción para una rentabilidad continua
dada: basta multiplicar el precio inicial Pt por e^Rc. Además,
siempre podemos saber la rentabilidad simple a partir de la
rentabilidad continua, y viceversa, aplicando la última
fórmula.
En la tabla 1 hemos calculado la rentabilidad continua para
cada mes, tomando el logaritmo natural del cociente entre los
precios de dos meses consecutivos. Hemos calculado también
la rentabilidad continua para todo el año.
Podemos calcular también la media y la desviación estándar
de la rentabilidad continua mensual.
Los resultados se
presentan en las filas 11 y 15. Se utiliza el mismo método de
cálculo que para cualquier otra media y desviación estándar.
USO
DE
LA
RENTABILIDAD
SIMPLE
Y
CONTINUA:
ANUALIZACION DE RESULTADOS.
Un problema típico que se presenta con las rentabilidades es
su anualización. Habitualmente, se estudia la rentabilidad de
las acciones con abundantes datos -diarios, mensuales-, para
ver cuál es el comportamiento de la acción en cortos períodos
de tiempo, sin tener que esperar a un año entero. Esto,
52
además, tiene la ventaja, desde el punto de vista estadístico,
de que el número de datos es mucho mayor que si utilizamos
datos anuales, y por tanto la fiabilidad de nuestra estimación
(media
y
desviación
estándar
estimadas)
aumenta
considerablemente.
Es frecuente que los datos de rentabilidad diaria o mensual
así obtenidos se anualicen para poderlos interpretar más
fácilmente, pues intuitivamente estamos familiarizados con
datos anuales (una rentabilidad diaria del 0,07% tiene poco
sentido para nosotros, aunque sea equivalente a un 29,1%
anual;
necesitamos
este
último
dato
de
rentabilidad
anualizada para hacernos una idea de la magnitud).
La anualización de la rentabilidad se realiza del siguiente
modo:
Ranual = (1 + µ g ) − 1
n
Donde n es el número de períodos por año y ug es la media
geométrica de rentabilidad por período (mensual en este
caso), y Ranual la rentabilidad por período anualizada; en
nuestro caso, la rentabilidad mensual anualizada, o cuál
sería la rentabilidad anual en caso de mantenerse constante
la rentabilidad mensual ug.
53
El cálculo de la media geométrica ug
resulta engorroso: es
igual al producto de todas las rentabilidades mensuales más
uno, al que le restamos uno y obtenemos la raíz 12.
µ g = (R A )
1
t
1
 t
t
=  ∏ (1 + Rt ) − 1
 i =0

Es evidente que el cálculo de la media geométrica resulta
complejo,
y
por
tanto
también
la
anualización.
Para
solucionar esta dificultad se utiliza rentabilidades continuas.
Así la suma de las rentabilidades continuas en cada mes,
dividida por el número de meses dará la media mensual
continua durante ese período.
LN ( Ranual + 1) = n × LN (1 + µ g )
El logaritmo de uno más la rentabilidad anual es igual a la
rentabilidad continua anual. Hemos visto, pues, cómo para
anualizar una rentabilidad continua, por ejemplo mensual,
basta con multiplicarla por 12 o, de modo general, por n
períodos anuales. Esto mismo se puede aplicar no sólo a una
media mensual, sino a la rentabilidad continua obtenida en
un solo mes. La fórmula general es:
Ranual = Rc × n
54
El uso de la rentabilidad continua presenta como ventaja
fundamental la facilidad del cálculo. A partir de esa
rentabilidad continua anual, podemos obtener la rentabilidad
simple anual calculando la exponencial de la rentabilidad
continua. Para anualizar la desviación estándar continua
basta multiplicar por la raíz cuadrada de n.
σ anual = σ × n
VENTAJAS E INCONVENIENTES
El uso de la rentabilidad continua o simple tiene sus
partidarios y detractores; dependerá siempre de qué es lo que
pretendemos estudiar.
Por lo general, si tratamos con datos anuales -sean históricos
o estimados-, será aconsejable utilizar la rentabilidad simple,
por ser su cálculo directo y porque es la que nos da una idea
de la rentabilidad que va a obtener el inversor para el período
siguiente.
Además -y esta no es pequeña razón, aunque no sea muy
justificable desde un punto de vista riguroso-, la rentabilidad
simple es con la que están familiarizados los inversores, por
ser la que observan diariamente en la información económica.
55
Por el contrario, si utilizamos datos mensuales o diarios,
siempre
será
más
conveniente
manejar
rentabilidades
continuas por la facilidad de cálculo y porque son fácilmente
anualizables.
Sea por ejemplo, una acción que experimenta determinados
precios en seis meses consecutivos.
Si calculamos la
rentabilidad simple y continua obtenida cada mes, obtenemos
lo siguiente:
Mes
Precio
Rent.Simple
Rent.Continua
0
100
-
1
120
20,0%
18,2%
2
80
-33,0%
-40,5%
3
120
50,0%
40,5%
4
80
-33,0%
-40,5%
5
120
50,0%
40,5%
6
100
-16,7%
-18,2%
Obsérvese que la rentabilidad simple puede ser un poco
engañosa, puesto que la rentabilidad positiva siempre es
mayor que la negativa; por ejemplo, si el precio sube de 100 a
120, la rentabilidad será de 20%, pero si baja de 120 a 100,
la rentabilidad negativa será sólo del 16,67%. Parece que
habríamos ganado después de estos dos períodos, cuando en
realidad
no
rentabilidades
es
así.
Por
continuas,
el
no
contrario,
si
hay
equívoco:
ese
utilizamos
la
rentabilidad, al pasar de 100 a 120 y de 120 a 100, es la
misma, pero con signo contrario: 18,23%.
56
El error puede ser más grave cuando utilizamos la media de
rentabilidad, por ejemplo, durante varios meses. Veamos los
resultados:
Rentabilidad Simple
Rentabilidad Contínua
Rentabilidad Total
37,33
0
Rentabilidad media
mensual
6,22%
0
Desvío estándar
39,05%
38,06%
La realidad es que nuestra acción, al cabo de seis meses, ha
tenido una rentabilidad total del 0%. Sin embargo, calculando
la rentabilidad mensual (ya sesgada hacia arriba) obtenemos
una rentabilidad media mensual del 6,22% y una rentabilidad
total en los seis meses del 37,33%.
El problema se hace mayor cuando tratamos de anualizar
resultados. Esta media mensual anualizada nos daría una
rentabilidad anual equivalente de R= [(1+0,0622)^12]-1=
106,29%. Lógicamente, un pequeño error en la rentabilidad
de un mes o de un día se incrementa enormemente al
anualizar. En el caso de la rentabilidad continua no se
presenta este problema. La rentabilidad media que se
obtenga, mensual por ejemplo, se multiplica por 12, y el
resultado coincidirá exactamente con la rentabilidad continua
anual obtenida; calculando la exponencial de la rentabilidad
57
anualizada, obtendremos sin error el valor del activo al final
de todos los meses.
Como resumen, podemos decir:
a)
La rentabilidad simple puede llevar a conclusiones
erróneas, pues está sesgada hacia arriba; este sesgo se
incrementa enormemente al anualizar.
b)
La rentabilidad continua no presenta esta dificultad y
además retiene todo el efecto de la volatilidad (ya que la
volatilidad medida sobre rentabilidad simple y rentabilidad
continua es muy similar).
Además, es aceptado entre los estudiosos del mercado que las
rentabilidades del mercado bursátil siguen una distribución
lognormal.
Esto quiere decir que la rentabilidad es una
variable aleatoria cuyo logaritmo sigue una distribución
normal. Esta es la base fundamental para todos los estudios
realizados sobre el comportamiento del mercado bursátil.
La rentabilidad simple y continua son equivalentes: son dos
modos de expresar una misma realidad. Siempre podemos
calcular cuál es la rentabilidad continua correspondiente a
una rentabilidad simple, y viceversa.
58
ANEXO III
c. OBSERVACIÓN
Los Cálculos sobre las rentabilidades de a y b se pueden
relacionar también teniendo en cuenta lo siguiente:
ln Pt+1 - ln Pt
como medida aproximada de rendimiento
Se puede explicar partiendo de:
Rit
=
Pt+1 - Pt = ∆Pt
Pt
Pt
Y dado que:
ln
Pt+1
=
ln Pt+1 - ln Pt
Pt
Donde:
ln = logaritmo natural o neperiano
Haciendo uso del desarrollo en serie de Taylor se tiene que:
ln Pt+1 = ln (Pt + ∆Pt) = ln Pt +
1 1
1 1
∆Pt (∆Pt) 2 + ...
1! Pt
2! Pt
2
59
Y
tomando
los
dos
primeros
términos
de
la
serie
prescindiendo de los restantes, resulta que:
ln Pt+1 - ln Pt
∆Pt
Pt
=
Que es el tratamiento que se realiza en “Análisis de acciones”
explicado
en
los
aspectos
metodológicos
del
Instituto
Argentino de Mercado de Capitales de Noviembre de 1998.
ANEXO IV
Datos históricos:
Evolución del índice Merval y de las cotizaciones de las
acciones:
Fecha
20Ene
1999
21Ene
Merva
l
5
60
7
2
359,4
1999
6
26Ene
i
4
Teco2
5
357,5 3,0 29,1 1,6
22Ene
1999
Mol
380,9 3,0 30,7 1,7 4,83
1999
25Ene
Citi Ypf
3
9
4,5
2
28,4 1,6 4,49
3
5
358,8 2,9 28,4 1,6 4,56
3
4
3
3
361,7 2,9 28,4 1,6 4,58
1999
3
5
27Ene
368,4
3
1999
7
28Ene
2
7
29,1 1,6 4,65
8
3
367,5 2,9 30,3 1,5 4,75
1999
8
9
8
29Ene
371,9
3
31,2 1,6 4,67
1999
9
1 Feb
392,1 3,0 31,4 1,6 4,89
1999
2 Feb
1999
3 Feb
1999
4 Feb
1999
5 Feb
1999
8 Feb
1999
9 Feb
1999
10 Feb
1999
7
2
7
7
7
396,1 3,0 31,4 1,6 4,92
4
6
396,4 3,0
5
4
9
33
1,6
4
5
4
396,8 3,0 31,0 1,6 4,95
9
4
8
6
394,4 3,0 31,1 1,6 4,98
4
4
5
391,3 3,0 30,6 1,6 5,01
5
7
3
5
382,8 3,0 30,4 1,7 5,06
7
7
8
2
381,9 3,0 30,0 1,7 5,15
1
7
4
2
61
11 Feb
1999
12 Feb
391,6 2,9 29,5 1,7 5,29
2
8
15 Feb
390
1999
1999
19 Feb
1999
22 Feb
1999
23 Feb
1999
25 Feb
1999
26 Feb
62
6
2
3,1 29,4 1,7 5,23
1
9
4
8
5
382,1 3,0 29,0 1,7 5,15
8
2
3
384,3 3,0 28,5 1,7 5,21
9
5
8
4
391,0 3,0 28,7 1,8 5,37
9
9
2
389,3 3,1 29,2 1,8 5,54
6
1
1
6
382,2 3,0 28,9 1,8 5,42
1999
24 Feb
4
390,3 3,1 29,3 1,7 5,24
1999
18 Feb
5
5
1999
17 Feb
9
387,3 3,0 29,2 1,7 5,23
1999
16 Feb
6
9
6
3
379,0 3,0 28,9 1,8 5,41
4
9
2
3
374,7 3,0 28,3 1,7 5,35
9
8
9
4
380,7 3,0 28,6 1,7 5,34
1999
1 Mar
1999
2 Mar
1999
3 Mar
1999
4 Mar
1999
5 Mar
1999
8 Mar
1999
9 Mar
1999
10Mar
1999
11Mar
1999
12Mar
1999
15Mar
1999
5
8
8
3
382,2 3,0 29,1 1,7 5,42
5
7
5
4
379,7 3,0 29,7 1,7 5,36
1
7
374,7 3,0
8
3
30
7
3
1,6 5,18
7
383,8 3,0 30,7 1,7 5,22
3
7
7
387,4 3,0 31,2 1,7 5,51
1
6
4
2
388,4 3,0 30,8 1,7 5,52
3
6
8
1
391,0 3,0 31,0 1,7 5,58
6
6
6
3
403,5 3,1 31,7 1,6 5,75
6
2
2
2
410,8 3,1 30,8 1,5 5,98
1
1
4
4
407,9 3,1 30,5 1,5 5,89
4
1
9
417,4 3,0 29,9 1,6
9
2
6
6
63
16Mar
413,6 3,0 30,1 1,6 5,99
1999
17Mar
1999
18Mar
1999
19Mar
1999
22Mar
1999
23Mar
1999
24Mar
1999
25Mar
1999
26Mar
1999
29Mar
1999
30Mar
1999
31Mar
64
8
4
8
411,9 3,0 30,8 1,6 5,95
6
5
3
8
412,7 3,0 30,9 1,6 5,92
3
4
7
2
410,0 3,0 30,5 1,5 5,76
4
6
9
8
401,8 3,0 30,5 1,6 5,68
5
6
8
401,3 3,0 30,6 1,5 5,58
6
7
5
7
399,4 3,0 30,6 1,5 5,51
4
6
9
9
412,3 3,0 30,4 1,5 5,66
1
6
7
7
406,8 3,0 31,0 1,5 5,56
8
6
6
9
415,5 3,0 31,4 1,6 5,56
1
7
1
1
419,0 3,0 31,3 1,6 5,49
2
7
6
2
419,7 3,0 31,2 1,6 5,39
1999
5 Abr
1999
6 Abr
1999
7 Abr
1999
8 Abr
1999
9 Abr
1999
12 Abr
1999
13 Abr
1999
8
7
3
437,9 3,0 31,5 1,6 5,62
7
7
7
3
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4
7
3
9
449,9 3,1 31,4 1,6 5,82
7
3
2
448,9 3,1 31,2 1,6 5,79
3
4
3
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1
9
1
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9
4
1
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3
6
8
14 Abr
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1999
8
15 Abr
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1999
16 Abr
1999
19 Abr
1999
4
9
6
1
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7
9
9
509,3 3,1 34,8 1,7 6,07
6
5
5
5
65
20 Abr
1999
21 Abr
1999
22 Abr
1999
23 Abr
1999
26 Abr
1999
27 Abr
503,7 3,1 33,8 1,7 5,85
1
1999
29 Abr
1999
30 Abr
1999
3 May
1999
4 May
1999
5 May
66
6
511,4 3,2 32,8 1,6 5,83
2
3
7
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8
7
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4
4
9
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8
5
8
503,4 3,3 33,8 1,6
1999
28 Abr
5
5
9
5,8
4
506,4 3,3 35,0 1,6 5,89
9
2
8
9
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4
1
7
1
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1
4
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7
6
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4
3
2
597,5 3,4 42,6 1,9 7,04
1999
6 May
8
4
590
1999
10May
1999
11May
1999
13May
1999
14May
1999
17May
1999
18May
1999
19May
1999
20May
1999
8
2
7,12
6
3,7 42,3 1,8 6,97
4
3
9
580,3 3,7 42,8 1,8 6,91
7
5
6
4
562,4 3,6 42,3 1,8 6,61
1999
12May
7
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1999
7 May
9
6
8
7
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5
5
5
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4
1
3
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7
4
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7
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2
42
1,8
7
6,2
1
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5
5
1
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5
2
1
67
21May
511,2 3,3 42,1 1,7
1999
24May
1999
26May
1999
27May
1999
28May
1999
31May
3
1999
2 Jun
1999
3 Jun
1999
4 Jun
1999
7 Jun
1999
8 Jun
68
6
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2
2
2
1
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1
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7
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1
8
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7
1
5
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1999
1 Jun
1
5,6
5
1
6
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8
5
2
5,6
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1
2
9
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4
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9
9
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9
7
4
6
530,5 3,3 43,4 1,7
5,9
1999
9 Jun
1999
10Jun
1999
11Jun
1999
15Jun
1999
16Jun
1999
17Jun
1999
18Jun
1999
22Jun
1999
23Jun
1999
24Jun
1999
25Jun
1999
3
9
7
2
522,7 3,3 43,3 1,7 5,82
7
9
2
3
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9
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1
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2
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1
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2
3
535,8 3,1 42,7 1,7 5,75
9
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5
69
28Jun
1999
29Jun
1999
30Jun
1999
535,9 3,1 41,3 1,7 5,82
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7
2
524,2 2,9 39,1 1,6 5,81
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6
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1
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3
12 Jul
1999
13 Jul
1999
14 Jul
70
8
8
8
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6
3
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1
2
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1
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1999
15 Jul
1999
16 Jul
1999
19 Jul
1999
20 Jul
1999
21 Jul
1999
22 Jul
1999
23 Jul
1999
26 Jul
1999
27 Jul
1
1999
29 Jul
1999
1
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3
8
2
4
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5
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5
7
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3
8
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2
4
1
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1999
28 Jul
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5
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9
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3
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9
71
30 Jul
1999
2 Ago
1999
3 Ago
1999
4 Ago
1999
5 Ago
1999
6 Ago
1999
9 Ago
1999
10 Ago
475,6 2,5 40,4 1,5 5,38
8
1999
12 Ago
1999
13 Ago
1999
17 Ago
72
1
8
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5
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2
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5,7
6
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9
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5
2
6
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1999
11 Ago
5
2
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5
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480,3 2,3 39,5 1,5
5,4
1999
18 Ago
1999
19 Ago
1999
20 Ago
1999
23 Ago
1999
24 Ago
1999
25 Ago
1999
26 Ago
1999
27 Ago
1999
30 Ago
1999
31 Ago
1999
1 Sep
1999
6
5
5
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6
5
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6
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3
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5
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5
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1
39
1,7 5,72
7
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5
3
73
2 Sep
1999
3 Sep
1999
6 Sep
514,3 2,5 38,6 1,7 5,72
8
517,4 2,5 38,6 1,7 5,71
8
4
7 Sep
513
1999
1999
9 Sep
1999
13 Sep
1999
14 Sep
1999
15 Sep
1999
16 Sep
1999
17 Sep
74
5
5
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5
5
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5
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1999
10 Sep
5
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1999
8 Sep
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5
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5
2
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4
5,4
5,5
6
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1999
20 Sep
1999
21 Sep
1999
22 Sep
1999
23 Sep
1999
24 Sep
4
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1999
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2
6
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1
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5,3
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1999
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1999
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1999
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27 Sep
5,3
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30 Sep
39
5
4
29 Sep
6
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1999
28 Sep
6
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8
75
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12 Oct
1999
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1999
15 Oct
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1999
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1999
13 Oct
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1999
19 Oct
1999
20 Oct
1999
21 Oct
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1999
22 Oct
1999
25 Oct
1999
26 Oct
1999
27 Oct
1999
28 Oct
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1999
1 Nov
1999
2 Nov
1999
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1999
5 Nov
1999
5
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2
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1999
4 Nov
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1999
29 Oct
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8
77
8 Nov
1999
9 Nov
1999
10 Nov
1999
11 Nov
1999
12 Nov
1999
15 Nov
1999
16 Nov
1999
17 Nov
1999
18 Nov
1999
19 Nov
1999
22 Nov
1999
23 Nov
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37
1
2,2
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6,1
7
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5
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7
5
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6
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5
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5
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5
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6
1999
24 Nov
1999
25 Nov
1999
26 Nov
1999
29 Nov
5
1999
5
3
544,2 3,0 38,5 2,4 6,05
8
8
3
549,3 3,2 38,5 2,4 5,99
1
5
555,4 3,3 38,7 2,4 5,85
4
5
5
549,3 3,3 38,7 2,4
1999
30 Nov
8
4
5,9
5
536,1 3,3 37,8 2,4 6,23
1
5
1 Dic 1999 543,5 3,4 39,4 2,4 6,53
1
4
2 Dic 1999 555,0 3,3 41,9 2,4 6,46
4
5
2
3 Dic 1999 560,5 3,3 40,2 2,4 6,49
8
6 Dic 1999 553,6 3,3
2
41
8
2,3
6,7
7
7 Dic 1999 554,7 3,4 41,2 2,3 6,93
6
5
8
9 Dic 1999 553,5 3,3 40,9 2,3
9
8
6,7
5
79
10 Dic
1999
13 Dic
1999
14 Dic
556,8 3,4
6
1999
16 Dic
1999
17 Dic
1999
20 Dic
1999
21 Dic
1999
22 Dic
1999
23 Dic
1999
24 Dic
1999
27 Dic
80
2
2,3 6,51
7
553,4 3,4 39,7 2,4 6,64
2
2
5
1
536,7 3,3 38,5 2,3 6,72
1999
15 Dic
40
8
5
536,7 3,6 38,8 2,3 6,98
1
3
541,9 3,5
39
4
2,4 6,88
1
551,4 3,6
39
5
2,3 6,95
7
550,8 3,6 38,3 2,4
4
6,9
5
551,1 3,6 38,1 2,3 6,82
6
9
549,1 3,6 38,7 2,3 6,82
7
5
6
544,9 3,5 38,1 2,3 6,82
2
5
9
547,3 3,5 38,1 2,3 6,83
3
536,6 3,6
9
38
2,3 6,62
1999
28 Dic
1999
29 Dic
1999
30 Dic
1999
3 Ene
2000
4 Ene
2000
5 Ene
2000
6 Ene
2000
7 Ene
2000
10Ene
2000
11Ene
2000
12Ene
2000
9
5
9
544,1 3,6 37,6 2,3 6,73
6
5
7
544,9 3,6 36,7 2,4
5
5
6,5
8
550,4 3,6 36,5 2,4 6,88
7
5
6
551,8 3,6 36,5 2,4 6,94
3
8
522,9 3,9 36,1 2,3 6,66
7
8
5
532,6 3,9 36,1 2,2 6,58
8
8
6
528,4 3,9 36,4 2,1
7
8
5
5
522,1 3,9 35,7 2,1
2
8
6,6
8
519,9 3,9 35,7 2,1
7
6,6
8
520,8 3,8 35,9 2,1
9
6,6
9
6,6
8
518,7 3,8 35,7 2,1 6,64
2
5
8
81
13Ene
560,0 3,8
2000
7
14Ene
8
17Ene
567,7
2000
4
18Ene
8
566,0 3,9
2000
36
2,2 7,53
3
36
2,2
7,8
6
4
37
2,3 7,65
1
577,9 4,1
37
2000
2,3 7,83
6
19Ene
581,5 4,1
2000
2
20Ene
5
578,7 4,1
2000
37
2,3 7,74
7
37
7
2,3 7,62
7
Estadística descriptiva:
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación
estándar
MERVAL 494,6215079 3,8420225
516,065
534,4
60,99021639
CITI
3,111269841 0,024619341 3,09
3,07
0,390819925
YPF
37,12444444 0,273922985 38,6
38,6
4,348392579
MOLI
1,869801587 0,019206287 1,75
1,73
0,304890354
TECO2
5,767619048 0,039612757 5,68
5,3
0,628833016
82
Varianza de
Kurtosis
Coeficiente de Mínimo Máximo
asimetría
la muestra
MERVAL 3719,806496 -0,5939632 -0,753499741 357,5
604,1
CITI
0,152740214 -0,1127693 0,085169446
4,15
YPF
18,90851802 -0,8248901 -0,579559131 28,39
43,88
MOLI
0,092958128 -0,8670820 0,575789382
1,31
2,48
TECO2
0,395430962 0,9474223
4,49
7,83
0,89787634
2,3
Rentabilidad diaria (ver Anexo III a)
Rendimientos
Diarios
Fecha
Merval
Citi
Ypf
Moli
Teco2
20 Ene 1999
21 Ene 1999 -6,16% -1,63%
-5,04%
-7,43% -6,83%
22 Ene 1999 0,55% -0,66%
-2,60%
1,85% -0,22%
25 Ene 1999 -0,18% -2,00%
0,00%
-1,21% 1,56%
26 Ene 1999 0,81% 0,34%
-0,04%
2,45%
27 Ene 1999 1,86% 1,69%
2,67%
-2,40% 1,53%
28 Ene 1999 -0,24% -0,33%
3,84%
-3,07% 2,15%
29 Ene 1999 1,18% 0,33%
3,27%
5,70% -1,68%
0,44%
1 Feb 1999
5,45% 0,67%
0,58%
0,00%
4,71%
2 Feb 1999
1,01% 1,32%
-0,10%
1,20%
0,61%
83
3 Feb 1999
0,08% -0,65%
4,96%
-2,96% 1,63%
4 Feb 1999
0,11% 0,00%
-5,82%
1,22% -1,00%
5 Feb 1999
-0,62% 0,00%
0,06%
-0,60% 0,61%
8 Feb 1999
-0,78% 0,99%
-1,51%
0,00%
0,60%
9 Feb 1999
-2,17% 0,00%
-0,49%
4,24%
1,00%
10 Feb 1999 -0,25% 0,00%
-1,44%
0,00%
1,78%
11 Feb 1999 2,54% -3,58%
-1,50%
1,16%
2,72%
12 Feb 1999 -1,08% 3,04%
-1,12%
-1,15% -1,13%
15 Feb 1999 0,68% 3,28%
0,79%
1,16%
0,00%
16 Feb 1999 0,08% -1,27%
-0,37%
0,57%
0,19%
17 Feb 1999 -2,10% -0,96%
-1,23%
-1,14% -1,72%
18 Feb 1999 0,60% -0,97%
-1,52%
0,58%
1,17%
19 Feb 1999 1,74% 1,31%
0,49%
3,45%
3,07%
22 Feb 1999 -0,44% 0,65%
1,71%
3,33%
3,17%
23 Feb 1999 -1,84% -0,64%
-0,86%
-1,61% -2,17%
24 Feb 1999 -0,83% 0,00%
-0,14%
0,00% -0,18%
25 Feb 1999 -1,12% -0,32%
-1,83%
-4,92% -1,11%
26 Feb 1999 1,59% 0,00%
1,02%
-0,57% -0,19%
1 Mar 1999
0,39% -0,32%
1,64%
0,58%
2 Mar 1999 -0,66% 0,00%
1,99%
-0,57% -1,11%
3 Mar 1999 -1,30% 0,00%
0,91%
-3,47% -3,36%
4 Mar 1999
2,41% 0,00%
2,57%
1,80%
0,77%
5 Mar 1999
0,93% -0,33%
1,53%
1,18%
5,56%
84
1,50%
8 Mar 1999
0,26% 0,00%
-1,15%
-0,58% 0,18%
9 Mar 1999
0,68% 0,00%
0,58%
1,17%
10 Mar 1999 3,20% 1,96%
2,12%
-6,36% 3,05%
11 Mar 1999 1,80% -0,32%
-2,77%
-4,94% 4,00%
12 Mar 1999 -0,70% -0,32%
-1,07%
3,25% -1,51%
15 Mar 1999 2,32% -0,32%
-1,93%
4,40%
16 Mar 1999 -0,91% -0,32%
0,74%
1,20% -0,17%
17 Mar 1999 -0,40% -0,97%
2,29%
0,00% -0,67%
18 Mar 1999 0,19% -0,33%
0,45%
-3,57% -0,50%
19 Mar 1999 -0,65% 0,66%
-1,23%
-2,47% -2,70%
22 Mar 1999 -2,00% 0,00%
-0,03%
1,27% -1,39%
23 Mar 1999 -0,12% 0,33%
0,23%
-1,88% -1,76%
24 Mar 1999 -0,48% -0,33%
0,13%
1,27% -1,25%
25 Mar 1999 3,22% 0,00%
-0,72%
-1,26% 2,72%
26 Mar 1999 -1,32% 0,00%
1,94%
1,27% -1,77%
29 Mar 1999 2,12% 0,33%
1,13%
1,26%
30 Mar 1999 0,84% 0,00%
-0,16%
0,62% -1,26%
31 Mar 1999 0,18% 0,00%
-0,51%
0,62% -1,82%
1,09%
1,87%
0,00%
5 Abr 1999
4,33% 0,00%
1,19%
0,00%
4,27%
6 Abr 1999
0,38% 0,00%
-0,44%
-2,45% 4,80%
7 Abr 1999
2,35% 0,98%
0,00%
1,89% -1,19%
8 Abr 1999
-0,23% 0,00%
-0,60%
0,62% -0,52%
9 Abr 1999
-1,01% 0,00%
-0,80%
-1,23% -1,90%
85
12 Abr 1999 -0,09% 0,00%
-0,48%
0,00%
13 Abr 1999 -0,44% 0,00%
1,04%
-1,86% -0,35%
14 Abr 1999 0,56% 0,00%
1,67%
-1,27% 0,00%
15 Abr 1999 3,05% 0,00%
0,66%
3,21%
16 Abr 1999 7,82% -0,32%
2,85%
11,18% 2,26%
19 Abr 1999 3,14% 1,94%
6,25%
-2,23% 3,23%
20 Abr 1999 -1,11% 0,00%
-2,84%
-2,86% -3,62%
21 Abr 1999 1,53% 2,54%
-3,13%
-1,76% -0,34%
22 Abr 1999 0,93% 2,17%
-0,30%
0,00%
0,86%
23 Abr 1999 -1,50% 1,21%
1,22%
1,20%
0,85%
26 Abr 1999 -0,52% 0,30%
-0,60%
-0,59% -0,84%
27 Abr 1999 -0,47% 0,00%
3,01%
-2,38% -1,36%
28 Abr 1999 0,61% -0,90%
3,51%
3,05%
1,55%
29 Abr 1999 1,55% -0,30%
18,79%
7,10%
2,21%
30 Abr 1999 9,59% 2,72%
1,54%
7,18% 10,80%
3 May 1999
1,87% -1,18%
0,14%
1,03%
4 May 1999
0,65% 2,38%
0,85%
3,06% -0,71%
5 May 1999
3,40% 1,45%
-0,14%
-1,98% 0,86%
6 May 1999
1,09% 7,16%
-0,73%
1,01%
7 May 1999 -2,33% 0,00%
-0,07%
-5,50% -2,11%
10 May 1999 -1,63% 0,27%
1,25%
-2,65% -0,86%
11 May 1999 -3,10% -2,40%
-1,12%
1,63% -4,34%
12 May 1999 -4,33% -5,74%
0,28%
-1,07% -3,78%
86
0,53%
1,05%
5,40%
1,14%
13 May 1999 1,60% 1,74%
-0,16%
0,54%
2,20%
14 May 1999 -0,11% 1,71%
-0,21%
2,15% -3,38%
17 May 1999 -1,13% 0,00%
0,31%
-4,21% -1,59%
18 May 1999 2,17% 0,00%
-1,11%
-0,55% 0,32%
19 May 1999 -4,30% -3,36%
-1,55%
0,00% -4,03%
20 May 1999 1,19% 0,00%
1,38%
0,00% -3,36%
21 May 1999 -4,31% -3,48%
0,45%
-2,76% -2,61%
24 May 1999 -2,70% -0,30%
-0,69%
-2,84% 1,07%
26 May 1999 4,31% -0,30%
0,41%
3,51% -2,30%
27 May 1999 -2,37% 0,91%
0,52%
0,56%
28 May 1999 2,41% 0,90%
0,71%
-1,69% 1,43%
31 May 1999 1,03% 2,37%
0,00%
0,57%
1 Jun 1999 -0,65% 0,00%
0,49%
-1,70% -1,23%
2 Jun 1999
0,26% -1,16%
0,70%
-2,31% 2,14%
3 Jun 1999 -0,02% 0,29%
0,46%
1,78%
4 Jun 1999
0,94% -1,17%
-0,07%
-1,74% 0,86%
7 Jun 1999 -0,58% -0,30%
0,35%
4,14%
8 Jun 1999
1,29% 0,59%
0,30%
-2,27% 0,17%
9 Jun 1999 -1,46% 0,00%
-0,35%
0,58% -1,36%
10 Jun 1999 -0,40% 0,29%
0,28%
0,00% -3,09%
11 Jun 1999 -1,65% -0,29%
0,58%
-1,73% -0,53%
15 Jun 1999 -1,31% 0,00%
0,16%
-1,18% -1,96%
16 Jun 1999 2,53% 0,29%
-0,21%
0,60%
1,08%
0,00%
1,40%
0,68%
0,36%
87
17 Jun 1999 1,58% 0,00%
0,48%
1,18%
2,90%
18 Jun 1999 -0,12% -0,59%
-0,21%
-1,17% 0,53%
22 Jun 1999 1,45% 0,00%
-0,02%
0,59%
1,93%
23 Jun 1999 2,12% -3,85%
-1,39%
2,35%
3,09%
24 Jun 1999 -0,78% -1,85%
-0,58%
-0,57% -3,50%
25 Jun 1999 -0,85% 0,00%
-0,37%
1,16% -0,69%
28 Jun 1999 0,02% -2,82%
-3,25%
-1,71% 1,22%
29 Jun 1999 -2,18% -4,52%
-5,27%
-2,91% -0,17%
30 Jun 1999 -4,87% -2,36%
0,54%
-1,20% -2,75%
1 Jul 1999
2,81% -3,11%
1,45%
0,00% -0,71%
2 Jul 1999
2,20% 0,00%
-0,83%
-3,64% 0,71%
5 Jul 1999
0,49% 0,00%
1,24%
1,89%
6 Jul 1999
0,36% 0,00%
-0,02%
-3,70% -1,06%
7 Jul 1999
-1,67% 0,00%
0,55%
-5,13% -0,54%
8 Jul 1999
-4,37% -4,29%
-2,63%
0,00% -3,06%
12 Jul 1999 -8,67% 1,87%
-0,20%
-9,46% -7,42%
13 Jul 1999
4,59% -4,03%
1,96%
-2,24% 1,40%
14 Jul 1999 -0,44% -0,38%
-0,45%
0,00%
4,15%
15 Jul 1999 -0,37% -4,98%
0,08%
2,29%
0,00%
16 Jul 1999
4,70% 3,23%
-0,48%
2,99%
4,55%
19 Jul 1999 -0,13% 2,34%
0,43%
4,35% -0,73%
20 Jul 1999 -3,17% -0,76%
0,43%
0,00% -3,47%
21 Jul 1999
0,00%
1,39% -0,57%
88
1,36% 0,00%
0,00%
22 Jul 1999 -1,46% 0,00%
0,00%
1,37% -3,24%
23 Jul 1999 -1,43% 0,00%
0,08%
-2,70% -2,76%
26 Jul 1999 -2,37% -2,31%
-1,23%
1,39% -2,43%
27 Jul 1999
0,78% 0,39%
0,81%
2,74%
0,62%
28 Jul 1999
1,67% 1,57%
1,21%
3,33%
3,92%
29 Jul 1999
0,48% 0,00%
-0,30%
3,23%
3,97%
30 Jul 1999
0,84% -1,54%
0,55%
-1,25% 2,67%
2 Ago 1999
-1,73% 0,00%
-0,47%
-3,80% 0,19%
3 Ago 1999
-0,13% 0,00%
-1,04%
1,32%
4 Ago 1999
-1,05% 0,00%
-0,50%
-2,60% 1,47%
5 Ago 1999
0,83% 0,00%
0,00%
4,00%
6 Ago 1999
-0,19% -1,96%
-1,26%
0,00% -1,23%
9 Ago 1999
0,36% 0,80%
0,77%
0,00%
10 Ago 1999 -0,72% 0,00%
0,76%
0,00% -0,87%
11 Ago 1999 2,21% -8,73%
0,00%
1,28%
12 Ago 1999 -0,19% 0,00%
0,00%
0,00% -1,22%
13 Ago 1999 1,33% 2,17%
-0,50%
-1,27% -3,18%
17 Ago 1999 0,32% 0,00%
0,00%
-0,64% -1,46%
18 Ago 1999 -1,64% 0,00%
0,00%
0,00%
0,37%
19 Ago 1999 0,44% 0,00%
-0,76%
0,00%
1,29%
20 Ago 1999 -0,45% 0,00%
0,77%
0,00%
2,55%
23 Ago 1999 2,29% 0,00%
-0,76%
-0,65% 3,91%
24 Ago 1999 1,64% 2,13%
0,00%
2,60%
1,11%
3,07%
1,60%
1,06%
0,00%
89
25 Ago 1999 4,38% 2,08%
0,00%
6,33% -1,71%
26 Ago 1999 -0,46% 0,00%
0,00%
1,79% -2,09%
27 Ago 1999 -0,58% 0,00%
0,00%
1,75%
30 Ago 1999 -1,28% 0,00%
0,00%
-1,72% 0,00%
31 Ago 1999 1,18% 4,90%
-0,51%
-0,58% 0,18%
1 Sep 1999
1,64% -2,72%
-1,03%
1,76% -1,75%
2 Sep 1999
-0,13% 0,00%
0,00%
0,58%
3 Sep 1999
0,60% 2,00%
0,00%
0,57% -0,17%
6 Sep 1999
0,11% 0,00%
0,78%
0,57%
0,18%
7 Sep 1999
-0,97% 0,00%
0,13%
5,68%
0,00%
8 Sep 1999
-0,15% 0,00%
-0,64%
0,54% -1,57%
9 Sep 1999
1,69% 0,00%
-0,52%
-1,07% 1,60%
10 Sep 1999 0,84% 5,49%
0,26%
2,70% -0,70%
13 Sep 1999 0,82% -1,49%
0,00%
-1,05% -1,41%
14 Sep 1999 -0,28% 1,89%
0,00%
1,06% -4,29%
15 Sep 1999 -0,53% -1,85%
0,00%
1,05%
0,75%
16 Sep 1999 -1,18% -0,38%
0,00%
2,08%
1,85%
17 Sep 1999 -0,09% 0,00%
0,00%
0,00% -1,64%
20 Sep 1999 0,45% 2,27%
1,68%
0,00% -1,48%
21 Sep 1999 -0,95% 0,00%
-1,15%
0,00%
22 Sep 1999 -1,19% 1,85%
0,52%
0,00% -2,21%
23 Sep 1999 -0,52% 3,64%
-0,26%
3,06%
24 Sep 1999 -0,12% 4,91%
-0,26%
-0,99% 0,00%
90
1,42%
1,78%
1,69%
0,00%
27 Sep 1999 3,94% 0,33%
2,06%
2,50%
0,00%
28 Sep 1999 0,35% -2,67%
0,00%
-0,98% 0,00%
29 Sep 1999 0,42% 1,37%
-0,25%
0,00%
0,00%
30 Sep 1999 0,74% 2,36%
-2,28%
1,97%
0,00%
1 Oct 1999
-1,59% -0,99%
-0,13%
-1,45% 0,00%
4 Oct 1999
2,26% 1,67%
0,00%
1,96%
5 Oct 1999
-0,86% 0,66%
-0,13%
-0,96% -1,32%
6 Oct 1999
0,52% 0,00%
-0,65%
-0,97% -0,19%
7 Oct 1999
0,70% 0,98%
-1,18%
0,98% -0,57%
8 Oct 1999
-0,31% -0,65%
-1,32%
-1,46% 0,19%
12 Oct 1999 -2,27% -1,95%
-1,07%
-1,97% -0,77%
13 Oct 1999 -2,91% -3,97%
0,00%
-4,02% -1,94%
14 Oct 1999 0,86% 3,10%
0,27%
1,05% -0,59%
15 Oct 1999 -1,43% 0,33%
0,81%
0,00%
18 Oct 1999 -0,54% -3,33%
0,00%
-1,55% -3,94%
19 Oct 1999 2,05% 4,48%
0,00%
4,21%
1,43%
20 Oct 1999 1,68% 1,98%
5,50%
0,00%
2,02%
21 Oct 1999 2,02% 0,00%
-1,91%
2,02%
3,17%
22 Oct 1999 2,14% 0,00%
0,65%
2,48%
4,99%
25 Oct 1999 0,12% 0,00%
0,00%
-1,93% -4,39%
26 Oct 1999 -1,16% 1,62%
0,00%
0,00% -0,38%
27 Oct 1999 -0,48% 0,64%
0,00%
0,99%
1,73%
28 Oct 1999 -0,20% 0,32%
0,00%
4,39%
3,77%
0,00%
0,99%
91
29 Oct 1999 0,41% 1,58%
-0,39%
6,54% -0,36%
1 Nov 1999
0,18% 0,31%
-2,07%
3,07%
2 Nov 1999
2,46% 1,86%
0,00%
-2,55% 6,12%
3 Nov 1999
2,28% 1,22%
-0,26%
0,44% -0,17%
4 Nov 1999
-0,77% 0,00%
-1,32%
-0,87% 0,85%
5 Nov 1999
0,96% 0,00%
-0,67%
0,00%
0,51%
8 Nov 1999
1,42% 2,10%
-0,13%
0,00%
2,18%
9 Nov 1999
-0,44% -0,88%
1,08%
-0,44% 0,00%
10 Nov 1999 -0,27% 0,30%
1,47%
0,88% -1,80%
11 Nov 1999 -2,35% -0,89%
-0,92%
1,31% -1,17%
12 Nov 1999 -1,32% -2,99%
-1,33%
-0,86% 1,35%
15 Nov 1999 1,56% 0,00%
0,81%
0,87% -1,50%
16 Nov 1999 -2,21% -1,54%
-2,27%
1,29% -1,02%
17 Nov 1999 -2,90% -0,94%
3,97%
1,70% -0,17%
18 Nov 1999 1,07% 0,00%
0,39%
0,42%
19 Nov 1999 -2,09% 0,00%
2,23%
0,00% -0,83%
22 Nov 1999 3,61% -2,84%
-0,64%
0,00% -1,17%
23 Nov 1999 0,04% 0,00%
0,00%
1,25%
1,69%
24 Nov 1999 0,06% 0,00%
-0,65%
0,00%
0,83%
25 Nov 1999 0,92% 3,90%
0,00%
0,82% -0,99%
26 Nov 1999 1,12% 4,69%
0,52%
0,00% -2,34%
29 Nov 1999 -1,11% -0,30%
0,00%
0,00%
0,85%
30 Nov 1999 -2,40% -1,20%
-2,33%
0,00%
5,59%
92
1,46%
3,08%
1 Dic 1999
1,38% 3,03%
4,23%
-0,41% 4,82%
2 Dic 1999
2,12% -1,47%
6,35%
-0,82% -1,07%
3 Dic 1999
0,98% 0,90%
-4,06%
0,00%
6 Dic 1999
-1,23% 0,00%
1,99%
-2,07% 3,24%
7 Dic 1999
0,21% 0,59%
0,61%
0,42%
9 Dic 1999
-0,21% -0,59%
-0,85%
-1,26% -3,32%
10 Dic 1999
0,59% 1,18%
-2,20%
0,85% -2,84%
13 Dic 1999 -0,62% 0,00%
-0,62%
1,69%
14 Dic 1999 -3,02% -1,17%
-3,14%
-2,49% 1,20%
15 Dic 1999
0,00% 6,51%
0,78%
-0,85% 3,87%
16 Dic 1999
0,97% -2,78%
0,52%
3,43% -1,43%
17 Dic 1999
1,75% 2,86%
0,00%
-1,66% 1,02%
20 Dic 1999 -0,11% 0,00%
-1,67%
1,27% -0,72%
21 Dic 1999
0,06% 0,00%
-0,65%
-0,42% -1,16%
22 Dic 1999 -0,36% 0,00%
1,71%
-1,26% 0,00%
23 Dic 1999 -0,77% -1,39%
-1,68%
1,27%
0,00%
24 Dic 1999
0,44% -1,41%
0,00%
0,00%
0,15%
27 Dic 1999 -1,94% 4,29%
-0,26%
0,00% -3,07%
28 Dic 1999
1,39% 0,00%
-1,05%
-0,84% 1,66%
29 Dic 1999
0,15% 0,00%
-2,39%
4,64% -3,42%
30 Dic 1999
1,01% 0,00%
-0,54%
-0,81% 5,85%
3 Ene 2000
0,25% 0,82%
0,00%
-2,44% 0,87%
4 Ene 2000
-5,23% 8,15%
-1,10%
-2,08% -4,03%
0,46%
3,43%
2,00%
93
5 Ene 2000
1,86% 0,00%
0,00%
-3,83% -1,20%
6 Ene 2000
-0,79% 0,00%
0,97%
-4,87% 0,30%
7 Ene 2000
-1,20% 0,00%
-2,06%
1,40%
0,00%
10 Ene 2000 -0,41% -2,01%
0,00%
0,00%
0,00%
11 Ene 2000 0,18% -0,26%
0,56%
0,00%
0,00%
12 Ene 2000 -0,42% -1,80%
-0,42%
0,00%
0,61%
13 Ene 2000 7,98% 1,57%
0,70%
2,29% 13,40%
14 Ene 2000 1,07% 0,52%
0,00%
1,35%
17 Ene 2000 0,29% 2,56%
2,78%
2,21% -1,92%
18 Ene 2000 1,79% 2,50%
0,00%
2,16%
19 Ene 2000 0,63% 1,22%
0,00%
0,42% -1,15%
20 Ene 2000 -0,47% -1,20%
0,00%
0,00% -1,55%
94
3,59%
2,35%
Estadística descriptiva de la rentabilidad diaria:
Columna1
City
YPF
Molinos
Media E(Ri)
0,0013394
0,0009203
0,0015047
0,0021149 0,00187503
Error típico
0,0012217
0,0012317
0,0015405
0,0015525 0,00129112
Mediana
0
0
0
0
0,00078255
Moda
0
0
0
0
#N/A
Desviación estándar σ(Ri)
0,0193555
0,0195148
0,0244067
0,0245971 0,02045529
Varianza de la muestra
0,0003746
0,0003793
0,00059331
0,000603 0,00041841
Kurtosis
3,8952029
34,228459
2,6790874
4,1264587 4,17712294
0,152141
3,684352
0,1835507
0,9062486 0,32173624
0,1688233
0,2460381
0,2063958
0,2082476 0,18258148
Coeficiente de asimetría
Rango
Teco2
Merval
Mínimo
-0,0873015
-0,0581818
-0,0945945
-0,074211 0,08667216
Máximo
0,0815217
0,1878563
0,1118012
0,1340361 0,09590932
Suma
0,3362072
0,2310070
0,3776976
0,5308405 0,47063372
251
251
251
0,0024061
0,0024259
0,0030341
Número de datos (T)
Nivel de confianza(95,0%)
251
251
0,0030577 0,0025428
Varianzas y Covarianzas:
city
ypf
city
0,00037464
ypf
3,60843E-05 0,00037931
moli
moli
5,0609E-05 8,18706E-05 0,000593315
teco2
5,03055E-05 7,76252E-05 0,000140149
teco2
0,000603
95
Datos para el modelo Diagonal de Sharpe:
Estadísticas de la regresión
City
Intercepción
a
b
de
Coef.
determinación R^2
504
Observaciones
96
699
706
50
990
887
40
546
373
de 0,03512 0,047844 0,15746 0,32119
065
30
251
845
0,03124 0,044020 0,15407 0,31847
563
Error típico
07
correl. 0,18740 0,218733 0,39681 0,56674
múltiple
R^2 ajustado
Teco2
0,17732 0,208676 0,47346 0,68149
956
Coef.
Molinos
0,00100 0,000529 0,00061 0,00083
697
Variable X 1
YPF
38
883
234
0,01905 0,019080 0,02244 0,02030
076
44
783
607
251
251
251
251
ANEXO V
ALGUNAS
DEMOSTRACIONES
CON
EL
OPERADOR
ESPERANZA MATEMÁTICA
La finalidad de este apéndice es la de suministrar pruebas
que pueden ser estudiadas para llegar a comprender el
operador esperanza matemática y explicar ciertas relaciones
de estadística matemática que ayudará a comprender el
contenido del tema analizado.
Dadas dos variables aleatorias X e Y que tengan una
distribución de probabilidad conjunta p(Xi’ Yj), para i, j = 1, 2,
….,
los
teoremas
siguientes
pueden
ser
demostrados
utilizando el operador esperanza matemática.
TEOREMA 1:
Var (x) = E(x2) - [E(x)]2
Demostración:
Var (x) = E[x – E(x)]2 por definición
= E(x2 – 2xE(x) + [E(x)]2)
= E(x2) – 2 E(x) . E(x) + [E(x)]2
= E(x2) - [E(x)]2 c.q.d.
97
TEROREMA 2: E (x2) = Var (x) + [E(x)]2
Demostración:
Var (x) = E(x)2 -[E(x)]2 por el Teorema 1
Var (x) + [E(x)]2 = E(x)2 c.q.d.
TEOREMA 3: Var (ax + b) = a2 Var (x) para cualesquiera
constantes a y b.
Demostración:
Var (ax + b) = E[ax + b – E(ax + b)]2
= E[ax + b – aE(x) – b]2
= Ea2[x – E(X)]2
= a2E[x – E(x)]2 = a2 Var (x)
c.q.d.
El teorema 3 implica que la desviación típica de (ax + b) es
igual a aσx – la raíz cuadrada de a2 Var (x).
TEOREMA 4: E (xy) = E(x).E(y) si, y solamente si, x e y son
independientes.
Demostración:
E(xy) =
∑ ∑ [p(x ey )(x )(y )]
i
i
98
j
j
i
j
Pero p(x e y) = (px) (py), si x e y son independientes y, por lo
tanto
∑ ∑ [( p )( p )(x )(y )]
E(xy) =
xi
i
yj
i
j
j
∑ ∑ [( p )(. x ).( p )( y )]
=
xi
i
i
yj
j
j
∑ [( p )(x )].∑ [( p )(y )]
=
xi
i
i
=
yj
j
j
E(x) . E(y)
c.q.d.
TEOREMA 5: Cov (x, y) = E(xy) – E(x) . E(y).
Demostración:
Cov (x, y) = E[(x – E(x)) . (y – E(y))] por definición
= E[xy – xE(y) – yE(x) + E(x) . E(y)]
= E(xy) – E(x) . E(y) – E(y) . E(x) + E(x) . E(y)
= E(xy) – E(x) . E(y)
c.q.d.
TEOREMA 6: Cov. (x, c) = 0, en donde c es una constante.
Demostración:
Cov (x,c) = E(xc) – E(X) . E(c) por el teorema 5
= cE(x) – cE(x) = 0
c.q.d.
99
TEOREMA 7: Cov (ax + b, cy + d) = ac Cov (x, y).
Demostración:
Cov (ax + b, cy + d) = E{[ax + b – E(ax + b)] . (cy + d – E(cy +
d)]} por definición
= E{[ax + b – aE(x) – b] . [cy + d – cE(y) – d]}
= E[a(x – Ex) . c(y – Ey)]
= acE [(x – Ex) . (y – Ey)]
= ac Cov (x, y)
c.q.d.
TEOREMA 8: Cov (x, y + z) = Cov (x, y) + Cov (x, z).
Demostración:
Cov (x, y + z) = E[x(y + z)] – E(x) . E(y + z) por el teorema 5
= E(xy + xz) – [E(x) . E(y) + E(x) . E(z)]
= E(xy) + E(xz) – [E(x) . E(y) + E(x) . E(z)]
= [E(xy) – E(x) . E(y)] + [E(xz) – E(x) . E(z)]
Cov (x, y) + Cov (x, z)
c.q.d.
TEOREMA 9: Si las variables aleatorias x e y son ambas
sometidas a una transformación lineal (por ejemplo, ax + b y cy
+ d en donde a, b y c son constantes), su coeficiente de
correlación (ρxy)
(1)
es invariante. Simbólicamente,
ρxy = ρ(ax + b, cy + d).
100
Demostración:
ρ(ax + b, cy + d) =
=
Cov (ax + b, cy + d )
por definición de ρxy
σ (ax +b ) .σ (cy + d )
acCov ( xy )
por los teoremas 3 y 7
( a )(σ x )( c )(σ y )
Cov ( x, y )
=
σ xσ y
= ρ(x,y) por definición
TEOREMA 10: Var
(∑ x ) = ∑ σ
i
2
i
c.q.d.
+∑
i
∑σ
ij
para i ≠ j.
j
Demostración:
Var
(∑ x ) = E (∑ x − ∑ u )
i
i
2
i
i
en donde ui = E (x)
i
= E ( ∑ ( x i − ui ) )
2
i
∑ (x
= E (∑
i
i
− ui )(x j − u j ))
j
= ∑∑ E [( xi − ui )(x j − u j )]
i
j
=
∑ ∑σ
i
=
∑σ
i
2
i
+∑
i
∑σ
ij
ij
j
para i ≠ j
c.q.d.
j
101
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