Mediciones eléctricas VIII Medidores digitales
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Mediciones eléctricas VIII
Profesor: Gabriel Ordóñez Plata
Escuela de Ingenierí
Ingenierías Elé
Eléctrica, Electró
Electrónica y de Telecomunicaciones
Medidores digitales
x(t)
x(n)
n
t
Rango Continuo y
Continua en el Dominio
x[t]
Rango Continuo y
Discreta en el Dominio
x[n]
n
t
Rango discreto y
Continua en el Dominio
Rango discreto y
Discreta en el Dominio
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1
Medidores digitales
Señales analógicas:
Son variables eléctricas que evolucionan en el
tiempo en forma análoga a alguna variable física.
Estas variables pueden presentarse en la forma
de una corriente, una tensión o una carga
eléctrica. Varían en forma continua entre un
límite inferior y un límite superior. Cuando estos
límites coinciden con los límites que admite un
determinado dispositivo, se dice que la señal
está normalizada. La ventaja de trabajar con
señales normalizadas es que se aprovecha
mejor la relación señal/ruido del dispositivo.
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Medidores digitales
Señales digitales
y[n]
n
Rango discreto y
Discreta en el Dominio
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2
Medidores digitales
Señales digitales:
Son variables eléctricas con dos niveles bien diferenciados
que se alternan en el tiempo transmitiendo información
según un código previamente acordado. Cada nivel eléctrico
representa uno de dos símbolos: 0 ó 1, V o F, etc.
Las señales digitales tienen la particularidad de tener sólo
dos estados y por lo tanto permiten representar, transmitir o
almacenar información binaria. Para transmitir más
información se requiere mayor cantidad de estados, que
pueden lograrse combinando varias señales en paralelo
(simultáneas), cada una de las cuales transmite una
información binaria.
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Medidores digitales
Digitalización de la señal
La digitalización de una señal, así como las estimaciones
que se realicen con las muestras obtenidas son las nuevas
técnicas utilizadas en la medición en la actualidad.
Si se toman muestras de tensión y corriente de forma
simultánea, el valor eficaz de estas señales se puede obtener
promediando los valores de las muestras elevadas al
cuadrado en un número entero de períodos y
posteriormente extrayendo la raíz cuadrada de este
1/ 2
promedio:
n
⎡1
Y =⎢
⎣n
∑
k =1
⎤
y k2 ⎥
⎦
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Medidores digitales
El proceso de muestreo
ISTEC & G.Jaquenod 2002, All Rights Reserved. Hot Lab Support Initiative
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Medidores digitales
Espectro de la señal muestreada
ISTEC & G.Jaquenod 2002, All Rights Reserved. Hot Lab Support Initiative
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Medidores digitales
El proceso de muestreo
ISTEC & G.Jaquenod 2002, All Rights Reserved. Hot Lab Support Initiative
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Medidores digitales
Muestreo periódico
Xc(t)
C/D
X [n] = Xc (nT)
T
x [n]
= xc (nT) -∞<n<∞
T =Periodo de muestreo
fs= 1/T= Frecuencia de muestreo muestras/sg
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
Conversor C/D
p(t)
xs(t)= xc(t) p(t)
xc(t)
Conversión de tren
de impulsos a
secuencia
discreta
x[n]=xc(nT)
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Muestreo de señales continuas
p(t)
xp(t)= xc(t) p(t)
xc(t)
p (t ) =
∞
∑ δ (t − nT )
n = −∞
x p (t ) = xc (t )
∞
∞
n = −∞
n = −∞
∑ δ (t − nT ) = ∑ x (nT ) δ (t − nT )
c
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
xc(t)
p(t)
1
t
0
x(-2T)
-2T
x(0)
-T
0
x(T)
x(2T)
2T
T
x[n]
x[-1]
t
t
2T
T
0
x[-2]
xp(t)
x(-T)
-T
-2T
x[0]
-1
-2
x[1]
0
1
x[2]
2
n
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Muestreo de señales continuas
P(jω)
1
[X c ( jω ) * P( jω )]
2π
2π ∞
P ( jω ) =
∑ δ (ω − kω S )
X P ( jω ) =
Xc(jω)
ωS = 2π/T
T
X(jω)
k = −∞
A
1 ∞
X P ( jω ) = ∑ X c ( j (ω − kω S ) )
T k = −∞
-ωM
ωM
ω
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
2 π/T
Xc(jω)
P(jω)
A
ωM
-ωM
ω
-2ωS
ωS - ωM > ωM
-ωS
0
ωS
2ωS
ω
XP(jω)
A/T
-ωM
-ωS
ωs/2 ≥ ωM
ωM
0
(ωS - ωM )
ωS
ω
ωs ≥ 2 ωM
Criterio de
Nyquist
fs ≥ 2 fM
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas con solapamiento
2 π/T
Xc(jω)
P(jω)
A
-ωM
ωM
ω
-2ωS
ωS - ωM < ωM
-ωS
0
ωS
ω
2ωS
XP(jω)
A/TS
-ωS
0
ωS
ω
(ωS - ωM )
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Medidores digitales
Reconstrucción de señales muestreadas
ωM < ωC < (ωS - ωM )
Xc(jω)
A
XR(jω)
xP(t)
xc(t)
T
-ωC
-ωM
ωM ω
H(jω)
ωC
0
xR (t)
A
ω
-ωM
p(t)
ωM ω
XP(jω)
A/T
-ωM
-ωS
0 ωM
ω
(ωS - ωM ) S
ω
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Medidores digitales
Ejemplo de solapamiento ωs<2ωn
xc(t)=cosω0t
π
a)
-ω0
π/T
b)
-ωs
-ω0
Xc(jω)
π
ω0
Xp(jω)
π/T
ω 0ω
s/2
Xp(jω)
c)
π/T
-ωs -ω0
ω
ω0<π/T=ωs/2
ωs
ω
ω 0>π/T= ω s/2
π/T
ω s/2
ω0 ωs
ω
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Medidores digitales
Ejemplo de solapamiento
xr(t)=cos ω 0t
Sin
solapamiento
d)
ω 0< π/T
Xr(j ω )
π
π
-ω0
ω0
ω
xr(t)=cos(ω s- ω 0)t
Con
Solapamiento
e)
Xr(j ω)
π
π
-(ω s-
ω 0)
ω 0> π/T
( ω s- ω 0)
ω
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Teorema de Nyquist
Sea xc(t) señal de banda limitada que cumple
xc(jω)= 0 para |ω | > ωN
entonces xc(t) estará determinada en forma
única por sus muestras
x[n] =xc(nT), n=0,±1,±2,±3...... Si se cumple que
ωs= 2π/T> 2 ωN
Frecuencia de Nyquist
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
x p (t ) =
∞
∑
n= −∞
x c ( nT ) δ ( t − nT )
∞
∑
X p ( jΩ ) =
n= −∞
x c ( nT ) e − j Ω nT
x [n] = xc (nTs)
X (e
jω
∞
∑ x [n ]e
) =
− jω n
n= −∞
(
X p ( jΩ ) = X e
jω
)
ω =ΩT
(
= X e
jΩ T
)
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Muestreo de señales continuas
X (e
jΩT
1 ∞
) = ∑ X c ( j (Ω − kΩ S ) )
T k = −∞
ΩS =
2π
T
ω = ΩT
1 ∞
⎛ ω 2πk ⎞
X (e ) = ∑ X ⎜ j ( −
)⎟
T k = −∞ ⎝ T
T ⎠
jω
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
A
Xc(jΩ)
ΩM
-ΩM
Ω
XP(jΩ)
A/T
ΩM
ΩS
Ω
Ω MT
2π
-ΩMT
-2π
0
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ω
-ΩS
-ΩM
0
A/T
(ΩS - ΩM )
X(ejω)
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Muestreo de señales continuas
xc(t)=cos(4 000 π t)
T=1/6 000
x[n]=xc(nT)=cos(4 000πTn)=cos(Ωon)
Ωs=2 π/T=12 000 π
ωo=4 000 πT= 2 π/3
Ωo=4 000 π
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
xc(t)=cos(4 000 π t)
T=1/6 000
π/T
π/T
-16.000 π -12.000 π -8.000 π -6.000 π -4.000 π
0
T
-2π
-4 π/3
-π
4.000 π
6.000 π 8.000 π
12.000 π
16.000 π
X(ejω)=Xs(jω/T)
π
-8 π/3
Hr(j Ω)
Xs(jΩ)
T
π
-2 π/3
0
2 π/3
4 π/3
π
2π
8 π/3
ω
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Medidores digitales
Muestreo de señales continuas
Xc(t)=cos(16 000 π t)
T=1/6 000
π/T
π/T
-16.000 π -12.000 π -8.000 π -6.000 π -4.000 π
0
T
-2π
-4 π/3
-π
-2 π/3
4.000 π
6.000 π 8.000 π
12.000 π
16.000 π
X(ejω)=Xs(jω/T)
π
-8 π/3
Hr(j Ω)
Xs(jΩ)
T
π
0
2 π/3
π
4 π/3
2π
8 π/3
W
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Medidores digitales
Sistemas de medición: estimación de
componentes armónicas
Filtro
Filtro
x(t
A/D
)
x[n]
Ventan
a
FFT
ak , bk
P
Ck , φk
fm
C k = Mod
ϕ
k
[F [k ]] =
a k2 + b k2
⎛ b ⎞
= Arg [F [k ]] = tan − 1 ⎜⎜ k ⎟⎟
⎝ ak ⎠
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Medidores digitales
Sistemas de medición: filtros antisolapamiento
Filtro analógico A
x(t)
A/D
x[n]
fm1
Filtro analógico B
x(t)
Filtro digital FIR
Diezmador
x[n]
A/D
M
fm2
f m 2 = Mf m 1
f cB > f cA
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Medidores digitales
Sistemas de medición: filtros antisolapamiento sin
sobremuestreo
Filtro analógico A
x(t)
x[n]
A/D
fm1
Atenuación
0 dB
- 98 dB
0
f
fm1
fcA=f50 fm1/2 fm1-fcA
50 Hz
2,5 kHz
3,2 kHz 3,9 kHz
6,4 kHz
60 Hz
3 kHz
3,84 kHz4,68 kHz
7,68 kHz
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Medidores digitales
Sistemas de medición: filtros antisolapamiento con
sobremuestreo
Filtro analógico B
x(t)
Filtro digital FIR
Diezmador
A/D
Atenuación
x[n]
M
fm2
0 dB
- 98 dB
0 f50 fcB
fm2/2
fm2- fcB fm2= Mfm1
50 Hz 2,5 kHz 5 kHz
25,6 kHz
46,2 kHz
60 Hz 3 kHz
30,72 kHz
55,44 kHz 61,44 kHz
6 kHz
f
51,2 kHz
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Medidores digitales
Conversión A/D
¾ Conversión Analógica/Digital (A/D)
¾ Cuantificación
¾ Teorema de Muestreo
¾ Cambio de la Frecuencia de Muestreo
¾ Diezmado
¾ Interpolación
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Medidores digitales
Conversión A/D
x(t)
A/D
N bits
x[n]
t
Fm
T
xq[n]=Q{x(nT)}
n
e[n]=x(nT)- xq[n]
|e[n]|≤ Δ/2
Δ
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Medidores digitales
Conversión A/D
x(t)
Muestreo y
retención
x0[n]
Convertidor
A/D
x[n]
Periodo de
muestreo T
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Medidores digitales
Conversión A/D
Muestreo y retención de señales
s(t)
xs(t)= xa(t) s(t)
xa(t)
x0[n]
Sistema de retención
de orden cero
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Medidores digitales
Conversión A/D
Muestreo y retención de señales
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Conversión A/D
Sistema de muestreo y retención
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Medidores digitales
Conversión A/D
Muestreo: es la acción de tomar muestras
(valores) de una señal en una sucesión de
instantes sin importar lo que sucede el resto del
tiempo.
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Medidores digitales
Conversión A/D
Muestreo y retención
En la conversión A/D es necesario mantener un valor
constante durante cierto intervalo de tiempo para
efectuar una conversión correcta. Para lograr esto, es
preciso realizar un muestreo con retención.
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Medidores digitales
Conversión A/D
Muestreo y retención ideal
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Medidores digitales
Conversión A/D
Especificaciones del muestreo y retención
Tiempo de establecimiento: Es el tiempo requerido, durante
el muestreo, para que la salida alcance su valor final con una
tolerancia especificada (que dependerá de la aplicación). Se
debe a dos factores: la resistencia de encendido del interrupor
que junto con el condensador C forma una constante de
tiempo y la propia respuesta temporal del amplificador, que
podría inclusive tener oscilaciones transitorias.
Error de ganancia: Durante el muestreo (el interruptor
cerrado) la salida debería seguir exactamente a la entrada. Sin
embargo puede haber pequeños errores de ganancia y tener
una ganancia, típicamente, algo menor que 1.
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Medidores digitales
Conversión A/D
Especificaciones del muestreo y retención
Error de offset: Puede haber un desplazamiento en el rango de la
salida con respecto al de la entrada, en general debido al offset del
amplificador.
Derivas durante la retención: Aunque idealmente el condensador
C no tiene por donde descargarse cuando el interruptor se abre, en
la práctica hay diversas fugas: las pérdidas debidas al C, la
corriente de polarización del amplificador operacional, las fugas a
través del interruptor no ideal, y las fugas a través de
imperfecciones en el circuito impreso.
Feedthrough: Durante la retención, además de la deriva, suele
haber una filtración de señal a través de la capacidad parásita del
interruptor que hace que aparezca superpuesta con la salida una
versión atenuada de la entrada
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Conversión A/D
Especificaciones del muestreo y retención
Deriva y feedthrough
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Medidores digitales
Conversión A/D
Especificaciones del muestreo y retención
Tiempo de apertura: Es el tiempo entre la señal de
retención y el instante en que la retención tiene lugar
realmente.
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Medidores digitales
Conversión A/D
Especificaciones del muestreo y retención
Tiempo de adquisición: Intervalo de tiempo necesario con la
señal presente después de habilitar el muestreo para que la
salida alcance el valor de la entrada con un error especificado
(típicamente 0,1%).
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Medidores digitales
Análisis de los errores de cuantificación
e[n] = xˆ[n] − x[n]
− Δ / 2 < e[n] ≤ Δ / 2
a0 ◊ a1a2a3.....aB
− a0 20 + a1 2−1 + a2 2−2 + .... + aB 2−B
Δ=
2Xm X m
=
2B+1 2B
(−Xm − Δ / 2) < x[n] ≤ ( X m − Δ / 2)
x[n]
Cuantificador
∧
x[n] = Q(x[n])
x[n]
+
∧
x[n] = x[n] + e[n]
e[n]
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Medidores digitales
Análisis de los errores de cuantificación
•
•
•
•
La representación estadística de los errores de
cuantificación se basa en:
La secuencia de error e[n] es un muestra de un
proceso aleatorio estacionario.
La secuencia de error esta incorrelada con la
secuencia x[n]
Las variables aleatorias del proceso de error
están incorreladas. Es decir el error es un
proceso de ruido blanco
La distribución de probabilidad del proceso de
error es uniforme en el intervalo del error de
cuantificación
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Medidores digitales
Análisis de los errores de cuantificación
• La amplitud del ruido de cuantificación esta en el
intervalo − Δ / 2 < e[ n ] ≤ Δ / 2 para convertidores que
redondean.
• Para un Δ pequeño se supone que el error es una
variable aleatoria con distribución uniforme entre
−Δ 2y Δ 2
1/ Δ
-Δ/2
pen(e)
Δ = 2−B X m
Δ/2
e
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Medidores digitales
Análisis de los errores de cuantificación
Considerando que e[n] es una secuencia de ruido
blanco con distribución
uniforme y varianza:
2
B
−
2
Δ/2
1 Δ
Xm2
2 2
σe2 =∫ e2 de=
σe =
−Δ/2 Δ
12
12
relacion señal ruido expresada en decibelios (dB)
⎛σ 2
SNR = 10 log 10 ⎜⎜ x2
⎝σe
⎞
⎛ 12 ⋅ 2 2 B σ x2
⎟⎟ = 10 log 10 ⎜⎜
X m2
⎠
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ X
SNR = 6 , 02 B + 10 ,8 − 20 log 10 ⎜⎜
⎝ σ
m
x
⎞
⎟⎟
⎠
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Medidores digitales
Relación SNRdB para diferentes convertidores A/D y magnitudes de la señal
Bits del convertidor
8
10
12
14
16
Vmax
49,9
62
74
86
98
1/2Vmax
43,9
55,9
68
80
92,1
1/4Vmax
37,9
49,9
62
74
86
1/8Vmax
31,9
43,9
55,9
68
80
1/16Vmax
25,8
37,9
49,9
62
74
1/32Vmax
19,8
31,9
43,9
55,9
68
1/64Vmax
13,8
25,8
37,9
49,9
62
Magnitud de la señal
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Medidores digitales
Conversión analógica digital (A/D)
Códigos binarios: Habitualmente los códigos binarios
representan números (que a su vez representan valores
que va asumiendo una variable física o eléctrica), o bien
señales de control, de mando o de estado (informando
sobre el estado de una operación o proceso).
Código binario natural: Se basa en el concepto de
numeración posicional con ponderación. Si an, ... ,a1 son
valores 0 ó 1, entonces:
an an −1....a2 a1 ↔ an 2 n −1 + an −1 2 n − 2 + ... + a2 2 + a1
Por ejemplo, 10001101 ↔ 128 + 8 + 4 + 1 = 141. Los valores ak
se denominan bits (del inglés binary digit). El bit an se denomina
bit más significativo (MSB) y el bit a1 se denomina bit menos
significativo (LSB)
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Medidores digitales
Conversión analógica digital (A/D)
Código binario complementario: Es igual al anterior pero
cada bit está invertido. Se utiliza en ciertos casos en que se
trabaja con valores lógicos inversos
anan−1....a2a1 ↔(1−an )2n−1 +(1−an−1)2n−2 +...+(1−a2 )2+(1−a1)
En este caso: 01110010 corresponde a 141.
Código decimal binario (BCD): Se utilizan grupos de 4 bits
(nibbles) pero se utilizan hasta el 9 (1001) De esa manera
pueden representarse números decimales en forma cómoda
con números binarios. Por ejemplo:
0111 0011 0010
corresponde a 732.
Es un código muy utilizado en los casos en que se debe
controlar directamente un visualizador (display) o indicador con
dígitos decimales, por ejemplo en un multímetro digital.
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Conversión analógica digital (A/D)
Código con bit de signo: Utiliza el bit más significativo como
bit de signo que afecta a los otros bits. Siempre tiene un dígito
más que los necesarios para representar el valor absoluto del
número.
Por ejemplo, en un código de 4 bits: 00111 = +7 y 10111 = −7
La desventaja de esta representación binaria es que no puede
manejarse en forma algebraica. Por ejemplo, la suma de dos
números negativos debe hacerse con reglas diferentes para el bit
más significativo que para el resto. La ventaja es la simetría de la
representación de números de distinto signo e igual magnitud.
Una aplicación habitual son los vóltmetros y otros instrumentos
digitales, ya que permiten efectuar la decisión sobre la polaridad
mediante un comparador, y alimentar directamente el control del
segmento del visualizador (display) que representa el signo.
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Medidores digitales
Conversión analógica digital (A/D)
Código de complemento a 2: En este código los números
positivos se representan igual que en el código binario natural y los
negativos complementando los bits del número positivo
correspondiente y sumando 1 (se ignora el eventual acarreo). Por
ejemplo:
6
0110
-6
1001 + 1 = 1010
Este código es similar al desplazado, complementando el bit más
significativo. Una ventaja inherente es su simplicidad dentro de un
sistema de cómputo, ya que cada número representa un valor con
signo y entonces pueden sumarse fácilmente. Por ejemplo:
6 + (-5)
0110 + 1011 = (1)0001
Ignorando el acarreo, el resultado es correcto: 1. La razón de
esto está en que si se suma un número más su opuesto se
obtiene siempre (1)0000 (para el caso de 4 bits).
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Medidores digitales
Conversión analógica digital (A/D)
Código binario desplazado (offset binary): Es similar al
código binario pero desplazado de modo que el valor 00...0
representa el valor más negativo y 11...1 el más positivo,
siendo el 10...0 correspondiente al 0. En general va desde –
2n-1 a 2n-1 –1. Por ejemplo, en un código de 4 bits: 1111 = 7;
1000 = 0; 0000 = -8
Códigos complementarios: Cualquiera de los códigos
anteriores es susceptible de ser complementado bit a bit (es
decir, reemplazar cada bit por su complemento a 1). Esto es
útil cuando se trabaja con lógicas inversas, es decir, en las
que el 0 está representado por un valor alto de tensión (5 V)
y el 1 por un valor bajo (0 V).
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Medidores digitales
Conversión analógica digital (A/D)
Código binario fraccionario: En este código todas las
representaciones son menores a 1. Es útil cuando se
multiplican dos números, porque este producto siempre es
menor que 1. Es decir que el valor numérico
correspondiente a un código binario se obtiene como:
a0 ◊ a1a2a3.....aB
− a0 2 + a1 2−1 + a2 2−2 + .... + aB 2−B
0
Código binario fraccionario complemento a 2:
3/4
0110
- 3/4
1001 + 1 = 1010
Código binario de complemento a 2:
6
0110
-6
1001 + 1 = 1010
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