Matemática básica para ingeniería (MA105) Solucionario de la

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Solucionario de la Clase Práctica 12.3
1. Jordan Manufacturing tiene dos fábricas; cada una de ellas fabrica tres productos. El número de
unidades del producto i producidas en la fábrica j en una semana está representado en la
matriz aij .
120 70 
A  150 110
 80 160
Si los niveles de producción se aumentan en 10%, escriba los nuevos niveles de producción
como una matriz B ¿Cómo está relacionada B con A ?
Sea B: la matriz de los nuevos niveles de producción
B  A  10% A  A   0,10 A  1,1 A
120 70  132 77 
B  1,1.150 110  165 121
 80 160  88 176
La relación de la matriz B con la matriz A, es la de un producto escalar por una matriz
1
2. Happy Valley Farms producen tres tipos de huevos: 1(grande), 2(extra grande), 3(gigante). El
número de docena de huevos i vendidos en el almacén j, está representado por aij en la matriz A
El precio por docena que Happy Valley Farms cobra por el tipo de huevo de tipo i está representado
por bi1 en la matriz B
100 60 
A  120 70 
200 120
$0.80
B  $0.85
$1.00
a) Determine el producto B T A .
Como la matriz B es de orden 3x1, la matriz transpuesta B T , será de orden 1x3:
BT  $0.80 0.85 1,001X 3 Luego el producto de B T A es:
100 60 
B A  0,80 0,85 1,00.120 70   c11 c12  Que llamaremos la matriz C
200 120
c11  0,80*100 0,85*120 1,00* 200  382
c12  0,80* ¿ 60  0,85* 70  1,00*120  227,5
C  382 227,5
T
b) ¿Qué representa la matriz B T A ?
La matriz C  B T A donde C  382 227,5 representa los ingresos netos por ventas
de huevos de los tres tipos realizados por cada uno de los dos almacenes el primer almacén tuvo
ingresos de 382 dólares y el segundo almacén tiene como ingresos 227,5 dólares.
2
3. Un contratista de obras ha convenido en construir seis casas estilo Campirano, siete casas estilo
Techo de Dos Aguas y catorce casas estilo Colonial. El número de unidades de materia prima
que se requieren en cada tipo de casa se muestra en la matriz.
Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobra
22
14
7
1 7
Campirano  5

20
10
9
2 1
R  DosAguas
7


6
2
7
8
5
1
3
Colonial 


a. Escriba una matriz B de 1x 3 que represente el número de cada tipo de casa que se
construirán.
Sea B1x3 (la matriz de una fila y 3 columnas) que representa el número de casas a construir:
B6
7
14
1x3
Rpta: Se construirán 6 casas de tipo Campirano, 7 casas de tipo Dos aguas Y 14 casas de tipo
Colonial
b. Escriba un producto matricial que proporcione el número de unidades de cada materia prima
necesaria para construir las casas.
Sea M la matriz de materiales:
 5 22 14 7 17 
M 1x 5  B1 X 3 .R3 x 5   6 7 14. 7 20 10 9 21
 6 27 8 5 13 
Se obtiene
M1x5  m11 m12 m13 m14 m15 
donde:
m11  65  77  146  163 m12  622  720  1427  650
m13  614  710  148  266
m14  67  79  145  175
m15   617   7 21  1413  431
M1x5  163 650 266 175 4311x5
Rpta: Para construir las casas se necesita 163 unidades de acero, 650 unidades de madera, 266
unidades de vidrio, 175 unidades de pintura y 459 personas que brinden la mano de obra
c. Suponga que los precios unitarios son hacer $1 600, la madera $900, vidrio $500, pintura
$100 y mano de obra $1 000.Escriba una matriz C de 5x1 que represente los costos
unitarios de cada tipo de materia prima.
La matriz de costos unitarios es una matriz columna C5x1
Acero
1 600 
 900  Madera


C5 x1   500 
Vidrio


Pintura
 100 
1000  Mano de obra
.
3
d. Escriba un producto matricial que proporcione el costo de cada casa
1 600


5 22 14 7 17  900  52 500 Campirano
R.C  7 20 10 9 21. 500    56 100 Dosaguas


6 27 8 5 13  100  51 400 Colonial
1 000
Rpta: El costo de cada casa sera $52 500 La casa tipo Campirano, $56 100 La casa tipo Dos aguas y
$51 400 La casa tipo Colonial.
e. Calcule el producto BRC ¿Qué representa la matriz?
1 600 


 5 22 14 7 17   900 
T  B1x 3 .R3 x 5 .C5 x1   6 7 14 7 20 10 9 21 .  500   t11  Costo total del proyecto


 6 27 8 5 13   100 
1 000 
5 22 14 7 17


Pero M 1x 5  B1 X 3 .R3 x 5  6 7 14. 7 20 10 9 21


6 27 8 5 15
Luego
M1x5  163 650 266 175 4311x5
1 600 
 900 


T1x1  M 1x 5 .C5 x1  163 650 266 175 4311x 5 .  500   t11 


 100 
1 000 
5X1
t11  1631600  650900   266500  175100   4311000   1427 300
Rpta: Esta matiz representa el costo total de la construcción de los tres tipos de casas que ejecuta el
contratista es del orden de 1 427 300 dólares.
4
4. Mónica recibe una herencia de $ 80 000. Ella invierte parte en un CD (certificado de depósito)
que genera 6,7% de RPA (rendimiento porcentual anual) parte en bonos que ganan 9,3% de RPA
y el resto en un fondo de valores que gana 15,6% de RPA. Ella invierte el triple en el fondo de
valores que en los otros dos combinados. ¿Cuánto debe tener en cada inversión, si recibe
$10,843 de intereses el primer año?
Sea x: La inversión en dólares en CD. Tasa r=0,067
Sea y: La inversión en dólares en bonos. Tasa r=0,093
Sea z: La inversión en dólares en un fondo de valores. Tasa r= 0,156.
Analizando las características financieras del problema se tiene:
x  y  z  80 000
Del total de la herencia:
0,067 x  0,093 y  0,156 z  10 843
De los intereses obtenidos:
De la proporción de inversión: z  3 x  y 
Se obtiene como (SEL):





 1, 00 x  1, 00 y  1, 00 z  80 000

3, 00 x  3, 00 y  1, 00 z  0, 00
0, 067 x  0, 093 y  0,156 z  10 843

Generando la matriz aumentada:
80 000 

1
1
1


 3 R1  R2
3
3
0   
1
 67  R1  R3
10 843 000 
67
93
156
 

1
0
0


Finalmente  


80 000 
5 483 000
60 000 

 1
   R2 xR3
 4
1
0
0
1
26
0
1
89
1
1
0
26
1
4
89
80 000 
240 000 
5 483 000

Resulta un sistema compatible determinado de solución única
z= 60 000;  26 y  89  60 000  5 483 000  y  5 500 y luego :
x  y  z  80 000
Remplazando valores se tiene que x = 14 500
De donde
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el SEL.
Rpta: Mónica debe invertir en certificados de depósito 14 500 dólares en bonos una suma de
5 500 dólares y en el fondo de valores 60 000 dólares.
5
5. Óscar destina $ 20 000 a tres inversiones que ganan 6%, 8% y 10% de RPA. Invierte $ 9 000
más en la inversión de 10% que en la inversión de 6%. ¿Cuánto ha invertido a cada tasa, si él
recibe $ 1 780 de interés el primer año?
Sea x: El dinero que se utiliza en la primera inversión en dólares.
Sea y: El dinero que se utiliza en la segunda inversión en dólares
Sea z: El dinero que se utiliza en la tercera inversión en dólares.
Analizando las condiciones de la inversión se tiene:
x  y  z  20 000
Del dinero total:
De los intereses obtenidos: 0, 06 x  0, 08 y  0,10z  1 780
De la decisión de inversión: z  x  9 000
Además. x  0 , y  0 , z  0
 1, 00 x  1, 00 y  1, 00 z  20 000

1, 00 x  0, 00 y  1, 00 z  9 000
Luego se forma el (SEL): 
0, 06 x  0, 08 y  0.10 z  1 780

Formando la matriz aumentada se tiene:
20 000 
 1
 1
1
1



1 R1  R2

9 000  
 0
0
1
 1
 6
 6  R1  R3
8
10 178 000 
  0


 1

Finalmente :
 0
 2  R2  R3

  0
1
1
0
1
2
0
1
1
2
1
2
4
20 000 
29 000 
58 000

20 000
29 000
0 
Como los elementos de la última fila de la matriz aumentada son ceros se concluye que el
sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Sea z  t ;  y  29 000  2t ;  29 000  2t  0  t  14 500 . Como
x  20 000  y  z  x  9 000  t  x  0   9 000  t  0  t  9000
Analizando las condiciones se tiene z  0  t  0 luego:
Si:
Si:
9 000  t  14 500
t  9 000  menor   z  9 000 ; y  11000 ; x  0
t  10 000  posibilidad   z  10 000 ; y  9 000 ; x  1000
.
.
Si: t  14 500  máximo  z  14 500 ; y  0 ; x  5 500
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el SEL.
Rpta: Oscar tiene infinitas formas de inversión. Siendo la mínima posibilidad de no invertir
al 6%, 11 000 dólares al 8% y 9 000 dólares al 10% .Otra se puede considerar haciendo la
mayor inversión posible de 14 500 dólares al 10% no invertir al 8% y 5 500 dólares al 6%.
.
6
6. Morgan tiene $ 50 000 para invertir y quiere recibir $ 5 000 de interés el primer año. Pone parte
en certificado de depósito que devengan 5,75% de RPA, parte en bonos que generan 8,7% de
RPA y el resto en un fondo de valores que generan 14,6% de RPA ¿Cuánto debe invertir a cada
tasa, si pone la menor cantidad posible en el fondo de valores?
Sea x: La inversión en dólares, en certificados de depósito. Con tasa r = 0.0575
Sea y: La inversión en dólares, en bonos. Con tasa r = 0.0870
Sea z: La inversión en dólares en un fondo de valores. Con tasa r = 0.1460
Analizando las condiciones de inversión se tiene:
1x  1y  1z  50000
De la inversión total:
Total de intereses ganados: 0,0575x  0,0870y  0,1460z  5 000
Las restricciones del problema son: x  0; y  0 ; z  0 . z
Tener en cuenta que z debe ser la cantidad menor posible
Se tiene: (SEL):
 1,000x  1,000y  1,000z  50 000

0,0575x  0,0870y  0.1460z  5 000
0,00x  0,00 y  0,00z  0

La matriz aumentada es:
50 000 
 1
1
1


0,0575 0,087 0,146 5 000 
 0
0
0
0 


5, 75 R3  R2
 
Finalmente 


1
0
0
100 R2

 1

 5,75
 0
1
2,95
1
8,85
0
0
1
8,70
1
14,60
0
0
50 000 
500 000 
0 
500 000
212 500
0 
Como el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).La ultima fila sus
elementos son ceros.
Sea
z  t , 2,95y  8,85z  212 500  y 
212 500  8,85t
2,95
; x 
 65 000  5,90t
2,95
Como: t  0 , y  0  x  0
 212500 8,85t  0  t  24 011,30107 65000 5,90t  0  t  11 016,95
Se tiene entonces. 11 016,95  t  24 011,30 Como z = t y el menor valor posible se toma
z =11016,95 dólares.
Evaluando se obtiene y=38 983,05 y el valor de x = 0 (aprox.)
Rpta: Morgan debe invertir con la condición de lo menor posible en el fondo de valores la cantidad
de11 016,95 dólares luego no realizar ninguna inversión en certificados de depósito y colocar
38 983,05 dólares en bonos.
7
7. En su caja de monedas Mathew tiene 74 monedas que consisten en monedas de 5, 10 y 25
centavos. El valor total de las monedas es de $ 8,85. Si el número de monedas de 5 y de 25
centavos es cuatro unidades más que el número de monedas de 10 centavos, determine cuántas
monedas de cada denominación tiene Mathew en su depósito de monedas?
Sea x: El número de monedas de 5 centavos en la caja.
Sea y: El número de monedas de 10 centavos en la caja
Sea z: El número de monedas de 25 centavos en la caja.
Analizando las condiciones del problema se tiene:
x  y  z  74
Del total de monedas:
0,05x  0,10y  0,25z  8,85
Del monto total en la caja:
x z  4 y
De la cantidad de monedas:
Se obtiene el (SEL):
 1,00x  1,00 y  1,00z  74

0,05x  0,10 y  0.25z  8,85
1,00x  1,00 y  1,00z  4

La matriz aumentada es:
 1
1
1 74 

 20 R2
 0,05 0,10 0,25 8 , 85 
 1  1 1 34 


1

Finalmente   0
 0
 1
   R3
 2
1
1

 1
1
1
1
1
2
1
1
4
0
1 74 
 1
 1 R1  R2

 0
5 177 

 1 R1  R3
1 4  
  0
1
1
2
1
4
0
74 
103 
 70
74 
103
35 
Como el sistema es compatible determinado de solución única
Se tiene y = 35;  35  4 z  103  z  17además
valores y se tiene x = 22
x  y  z  74 remplazamos
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el SEL.
Rpta: Mathew tiene en la caja 22 monedas de 5 centavos, 35 monedas de 10 centavos y 17
monedas de 25 centavos.
Monterrico, 09 de junio de 2010
8