Aleatoriedad en una baraja

Aleatoriedad en una baraja
Efectividad de las técnicas
para barajar
Miguel Guil de la Vega
Azar
En una baraja francesa hay 52!,
permutaciones posibles, un numero
mayor que la edad del universo
medida en el tiempo de Planck (el
menor intervalo de tiempo medible), y
en una española 40!, del orden del
número de moléculas de agua en la
tierra, así que casi con toda
probabilidad,
dos
barajas
perfectamente barajadas jamás han
estado en la misma configuración.
Sin embargo, no todas las barajas han
estado perfectamente barajadas.
52!≈8×10 67
40 !≈8×10 47
Good bridge players take
advantage of non-randomness
after 4 shuffles
Los buenos jugadores de bridge
se aprovechan de la no
aleatoriedad tras barajar 4
veces.
Traducido de:
"Shuffle" Wikipedia: The Free
Encyclopedia
Barajar
Para considerar que una
baraja esta ordenada de
forma aleatoria, se debe
pensar no en la
configuración en la que
está, sino como de
predecible es esta
partiendo de la anterior.
Por tanto, depende del
“camino” recorrido por la
baraja en el “espacio de
configuración, es decir,
del barajar.
Considerando un mazo de 5
cartas, si asignamos números
a las cartas según su orden
en la posición inicial,
la secuencia 1-2-3-4-5
puede ser tan aleatoria
como la 2-1-4-5-3, solo
depende del proceso
con el que se ha barajado
Análisis probabilista
Si todas las permutaciones se pudiesen
alcanzar, y todas fuesen igual de probables,
es decir, si tras barajar se obtuviese una
distribución uniforme de permutaciones,
entonces diríamos que las cartas están
perfectamente barajadas.
Para evaluar lo bien barajada que está la
baraja, en este análisis se puede utilizar la
distancia de variación entre la distribución y
la uniforme, definida como la probabilidad de
la combinación con mayor probabilidad tras
barajar menos la probabilidad de esa
combinación en la distribución uniforme de
permutaciones de cartas, 1/(n!). Este valor
es menor cuanto mejor barajada esta la
baraja, y vale 1-1/(n!) si no esta barajada
(cota superior) y 0 si esta perfectamente
barajada (cota inferior).
Persi Diaconis
Matemático y anteriormente
mago profesional, es autor de los
trabajos clásicos probabilistas
sobre barajar, obteniendo
el resultado de que 7
mezclas por imbricación
son suficientes para que
una baraja sea casi aleatoria
Otras teorías
Aunque este desarrollo formal es útil, no es el
único enfoque utilizado.
Considerando la baraja como una fuente de
información, se pueden definir cantidades como
la entropía para medir la degradación de la
información, y consecuentemente de la
aleatoriedad de la baraja.
Un trabajo con este enfoque asegura que solo
hace falta barajar por imbricación 5 veces para
que sea aleatorio, conclusión obtenida tras
hacer simulación por ordenador del proceso de
barajar, y ver la variación de entropía.
Usos profesionales
Aunque tras barajar unas 7 veces las cartas se
pueda considerar que es casi aleatorio, los
casinos profesionales utilizan máquinas de
barajar automáticas, que ordenan las cartas
según algorítmos como el Knuth ó FisherYates, que generan combinaciones aleatorias
si los números pseudoalatorios se pueden
tomar como aleatorios.
Generar entropía
No se puede considerar que los números
generados por un ordenador sean aleatorios,
pero hacen falta en estos casos, como se
discute en este artículo.
Por ejemplo, en el casino online crystalpoker.net,
explican que para poder considerar sus
partidas aleatorias, parten de datos como el IP
de los jugadores, o la posición de su ratón en la
pantalla.
Esta entropía sustituye a la que se generaría en
el proceso de barajar las cartas, por la
aleatoriedad del proceso utilizado.
Reglas de detención fuertemente
uniformes Para los jugadores de
Una regla de detención
fuertemente uniforme es una
norma que garantiza que
cuando se cumple, la baraja
estará perfectamente barajada.
cartas, la pregunta
esencial no es “¿cómo
de aleatorio será el
mazo después de
barajarlo un millón de
veces?”, sino “¿bastará
con 7?”
D.Aldous & P.Diaconis
Normalmente, no conocemos cuando se cumple una regla de detención
fuertemente uniforme, sino que podemos calcular la probabilidad de que
se hayan cumplido. Si se ha cumplido, sabemos que las cartas están
perfectamente barajadas, así que nos proporciona una cota inferior para
la probabilidad de que esté perfectamente barajada tras un número dado
de veces que se ha realizado el proceso de barajar. Se puede demostrar
que la distancia de variación de la distribución a la uniforme es menor
que la probabilidad de no haberse cumplido la regla de detención, con lo
que obtenemos también una cota para esta cantidad.
Forma de barajar sencilla
En esta forma de barajar, se coge
la carta superior y se reintroduce
en un lugar aleatorio de la baraja.
El proceso es sencillo, pero como
veremos es también muy lento.
En este caso es fácil establecer un criterio
fuertemente uniforme, ya que cuando llegue
la carta del fondo a la parte superior, el resto
se habrá introducido de forma aleatoria por
debajo de ella, con lo que al introducir esa
carta al azar en la baraja, la baraja estará
aleatoriamente ordenada.
La regla de detención fuertemente
uniforme para esta forma de barajar
Para calcular cuando se da la regla de detención
fuertemente uniforme, podemos considerarlo como una
suma de sucesiones geométricas, con una probabilidad
de 1/n, 2/n, y así sucesivamente, ya que la probabilidad
de introducir una carta al azar debajo de la última crece
así, al ir introduciendo cartas debajo de la que estaba en
el fondo al comienzo.
Este problema es análogo al de un coleccionista que
busca cromos nuevos que vengan en paquetes tapados,
aunque en el orden contrario (sería empezar faltando
solo uno, luego que faltaran 2, etc.)
●
●
Podemos usar esta como una
cota de la distancia de la
distribución uniforme a la que
tenemos, siempre que se
barajen las cartas por lo menos
n*log(n) veces
Para una baraja española, se
necesitaría hacerlo por lo
menos 148 veces, y para una
francesa 206, lo cual confirma
lo ineficaz del método.
0.9
0.8
Cota de la distancia de variación
Este es un problema muy
estudiado, y se puede
demostrar fácilmente que si
barajamos n*log(n) + cn veces,
siendo n el número de cartas la
probabilidad de que no se haya
cumplido la regla−cde detención
es menor que e
Barajeo sencillo de una baraja española
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
100
200
300
400
500
Veces barajada
600
700
800
Barajeo sencillo de una baraja francesa
1
0.9
0.8
Cota de la distancia de variación
●
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
200
300
400
500
600
Veces barajada
700
800
900
1000
Mezclas por imbricación
Este método consiste en cortar el mazo en 2 y
juntarlo intercalando las cartas entre ambas
partes, de forma aleatoria
La mejor manera de analizarlo, es considerar
el proceso en sentido inverso, es decir,
pensar en asignar a cada carta un uno o un
cero al azar, y poner las cartas con un 0
encima de las que tienen un 1, conservando
el orden relativo dentro de los grupos.
La regla de detención es parar cuando las
cadenas binarias asignadas a cada carta
sean distintas, ya que entonces cada carta
habrá seguido un camino aleatorio e
independiente, completamente al azar.
La generación de la cadena al azar es
como elegir un número natural
(incluyendo el 0) menor que 2k ,
donde k es el número de veces que
barajamos, ya que cada cadena se
puede ver cómo la codificación de ese
número en binario. Así, se puede ver
que este problema es como la
paradoja del cumpleaños,
considerando n (el número de cartas)
personas en un año con 2k días, es
decir, ver la probabilidad de que
metiendo al azar n bolas en cajas,
halla 2 bolas en la misma caja.
●
Barajeo por imbricación de una baraja española
1
0.9
Cota de la distancia de variación
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Veces barajada
Barajeo por imbricación de una baraja francesa
1
0.9
0.8
n−1
 
dist variación1− ∏ 1−
i=1
i
2k
0.7
Cota de la distancia de variación
Así, podemos acotar la distancia de
nuestra distribución a la uniforme por
la probabilidad de que dos personas
tengan el mismo cumpleaños,
obtenida en el estudio del problema
anterior,
●
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
Veces barajada
15
Análisis final
Barajeo por imbricación de una baraja francesa
1
Sin embargo, estas son solo
cotas de estas distancias, y
como se han visto hay estudios
con resultados distintos, y
algunos mucho más fuertes,
como el obtenido en la
referencia [3], con simulaciones
por ordenador, para la baraja
francesa, que comparamos en
esta gráfica.
Análisis sencillo
Análisis de [3]
0.9
0.8
0.7
Cota de la distancia de variación
●
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Veces barajada
La conclusión final que uno podría extraer es que aunque un mazo pueda
parecer que está bien barajado, no tiene porqué ser así, y aunque para un
juego entre amigos no importe mucho, en el campo profesional es algo que
se estudia con mucho detalle ya que mueve mucho dinero.
Para ver la no aleatoreidad de una baraja, se pueden hacer juegos, como el
solitario considerado en este artículo y en este sin barajar las cartas. El orden
oculto en una baraja es tan sorprendente que es utilizado tanto para
sorprender o engañar, por magos o timadores.
Bibliografía
[1]Martin Aigner & Günter M.Ziegler: El libro de las demostraciones, Nivola, 2005
[2]D.Aldous & P.Diaconis: Shuffling cards and stopping times, Amer. Math. Monthly 93,
(1986) 333-348
[3]D.Bayer & P.Diaconis: Trailing the dovetail shuffle to its lair, Annals Applied
Probability 2 (1992), 294-313
[4]D. Aldous and P. Diaconis: Longest increasing subsequences: from patience sorting
to the Baik-Deift-Johansson theorem. Bull. (new series) of the Amer. Math. Society,
36, 4, 413–432
[5]Trefethen, L. N. and Trefethen, L. M. :How many shuffles to randomize a deck of
cards?, Proceedings of the Royal Society London A 456, 2561–2568 (2000)
[6]Catlin, D. 2002. Non-random randomness. Part 1, Part 2: Innocent until proven guilty
Casino City Times
[7]Kolata, G. 1990. In shuffling cards, 7 is winning number. New York Times (Jan. 9).