Práctica 3. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- DERIVADAS PARCIALES Dada f@x, yD una función de dos variables se definen las derivadas parciales como Derivada parcial con respecto a la variable x : ∂x f@x0 , y0 D = lim h→ 0 Derivada parcial con respecto a la variable y : ∂y f@x0 , y0 D = lim h→ 0 f@x0 + h, y0 D − f@x0 , y0 D h f@x0 , y0 + hD − f@x0 , y0 D h Mathematica permite el cálculo de las derivadas parciales de una función f: 2 ö en un punto cualquiera (x,y) mediante las órdenes: D[f[x,y],x] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable x. D[f[x,y],y] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable y. También podemos utilizar la paleta BasicInput para las dos derivadas parciales en un punto (x,y) ∂x f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable x ∂y f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable y Ejemplo 1. Calcular las derivadas parciales de f(x,y)=x2 y − 3 x y2 In[1]:= Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x ^ 2 y − 3 x y ^ 2 Calculamos la derivada parcial con respecto a x In[3]:= D@f@x, yD, xD Out[3]= 2 x y − 3 y2 In[4]:= ∂x f@x, yD Out[4]= 2 x y − 3 y2 Calculamos la derivada parcial con respecto a y 2 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[5]:= Out[5]= In[6]:= Out[6]= D@f@x, yD, yD x2 − 6 x y ∂y f@x, yD x2 − 6 x y f(x,y)=x2 sen HyL + I3 x + y2M cos HxL y evaluarlas en el punto H0, pL. Ejemplo 2. Calcular las derivadas parciales de In[7]:= Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x ^ 2 Sin@yD + I3 x + y2 M Cos@xD Calculamos las derivadas parciales In[9]:= ∂x f@x, yD Out[9]= 3 Cos@xD − I3 x + y2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD In[10]:= ∂y f@x, yD Out[10]= 2 y Cos@xD + x2 Cos@yD Las evaluamos en el punto H0, pL In[11]:= Out[11]= In[12]:= Out[12]= ∂x f@x, yD ê. 8x → 0, y → π< 3 ∂y f@x, yD ê. 8x → 0, y → π< 2π 1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Las derivadas parciales ∑x f y ∑ y f en el punto (a,b) representan las pendientes de la superficie definida por la gráfica de f(x,y) en el punto (a,.b,f(a,b)) en las direcciones de x e y, respectivamente. Ejemplo 3. Calcular la pendiente de la gráfica de f(x,y)=sen HxL + x2 + y2 en el punto (1,0,f(1,0)) en las direcciones de x e y, respectivamente. In[13]:= Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := Sin@xD + x2 + y2 Practica3_Derivadas_Parciales.nb Representamos la gráfica In[15]:= g1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, AspectRatio → Automatic, PlotRange → AllD Out[15]= Al intersecar la gráfica con el plano y=0 se obtiene una curva. 3 4 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[16]:= g2 = ContourPlot3D@y Show@g1, g2D 0, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45<D Out[16]= Out[17]= La curva intersección tiene como ecuación z=f(x,0) In[18]:= Out[18]= f@x, 0D x2 + Sin@xD Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[19]:= Plot@f@x, 0D, 8x, 0, 2<D 5 4 3 Out[19]= 2 1 0.5 1.0 1.5 2.0 La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto x=1 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto (1,0,f(1,0)) en la dirección de x. Su valor es precisamente ∑x f H1, 0L In[20]:= Out[20]= In[21]:= Out[21]= ∂x f@x, yD 2 x + Cos@xD ∂x f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N 2.5403 De forma análoga, al intersecar la gráfica con el plano x=1 se obtiene una curva. In[22]:= g3 := ContourPlot3D@x == 1, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45<D Show@g1, g3D Out[23]= La curva intersección tiene ahora como ecuación z=f(1,y) 5 6 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[24]:= Out[24]= In[25]:= f@1, yD 1 + y2 + Sin@1D Plot@f@1, yD, 8y, −1, 1<D 2.8 2.6 2.4 Out[25]= 2.2 -1.0 -0.5 0.5 1.0 La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto y=0 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto (1,0,f(1,0)) en la dirección de y. Su valor es precisamente ∑ y f H1, 0L In[26]:= Out[26]= In[27]:= Out[27]= ∂y f@x, yD 2y ∂y f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N 0. 3.- DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS Mathematica permite también el cálculo de las derivadas parciales sucesivas mediante la instrucción: D[f,{x,n},{y,m},...] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de x, n veces, de y, m veces,... También podemos utilizar la paleta BasicInput para las derivadas parciales sucesivas en un punto (x,y) ∂x,y f@x, yD Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y ∂y,x f@x, yD Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y Ejemplo 4. Calcular las derivadas parciales segundas de la función f: 2 ô definida por f(x,y) =x 2sen y + I3 x + y 2M cos x , (x,y)ŒDÃ2, dada en el ejemplo anterior y evaluarlas en el punto (p/2,p). In[28]:= Clear@"Global`∗"D f@x_, y_D := x ^ 2 Sin@yD + H3 x + y ^ 2L Cos@xD Derivadas parciales de primer orden Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[30]:= Out[30]= In[31]:= Out[31]= ∂x f@x, yD 3 Cos@xD − I3 x + y2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD ∂y f@x, yD 2 y Cos@xD + x2 Cos@yD Derivadas parciales de segundo orden In[32]:= Out[32]= In[33]:= Out[33]= In[34]:= Out[34]= In[35]:= Out[35]= ∂x,x f@x, yD −I3 x + y2 M Cos@xD − 6 Sin@xD + 2 Sin@yD ∂x,y f@x, yD 2 x Cos@yD − 2 y Sin@xD ∂y,x f@x, yD 2 x Cos@yD − 2 y Sin@xD ∂y,y f@x, yD 2 Cos@xD − x2 Sin@yD Las evaluamos en el punto (p/2,p) In[36]:= Out[36]= In[37]:= Out[37]= In[38]:= Out[38]= In[39]:= Out[39]= ∂x,x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π< −6 ∂x,y f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π< −3 π ∂y,x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π< −3 π ∂y,y f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π< 0 Ejemplo 5. Calcular las derivadas parciales segundas de la función f(x,y,z)=x 2 y z3 + senHx - y + y zL. In[40]:= Clear@"Global`∗"D f@x_, y_, z_D := x2 y z3 + Sin@x − y + y zD Derivadas parciales de primer orden In[42]:= Out[42]= In[43]:= Out[43]= ∂x f@x, y, zD 2 x y z3 + Cos@x − y + y zD ∂y f@x, y, zD x2 z3 + H−1 + zL Cos@x − y + y zD 7 8 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[44]:= Out[44]= ∂z f@x, y, zD 3 x2 y z2 + y Cos@x − y + y zD Derivadas parciales de segundo orden In[45]:= Out[45]= In[46]:= Out[46]= In[47]:= Out[47]= In[48]:= Out[48]= In[49]:= Out[49]= In[50]:= Out[50]= In[51]:= Out[51]= In[52]:= Out[52]= In[53]:= Out[53]= ∂x,x f@x, y, zD 2 y z3 − Sin@x − y + y zD ∂x,y f@x, y, zD 2 x z3 − H−1 + zL Sin@x − y + y zD ∂x,z f@x, y, zD 6 x y z2 − y Sin@x − y + y zD ∂y,x f@x, y, zD 2 x z3 − H−1 + zL Sin@x − y + y zD ∂y,y f@x, y, zD −H−1 + zL2 Sin@x − y + y zD ∂y,z f@x, y, zD 3 x2 z2 + Cos@x − y + y zD − y H−1 + zL Sin@x − y + y zD ∂z,x f@x, y, zD 6 x y z2 − y Sin@x − y + y zD ∂z,y f@x, y, zD 3 x2 z2 + Cos@x − y + y zD − y H−1 + zL Sin@x − y + y zD ∂z,z f@x, y, zD 6 x2 y z − y2 Sin@x − y + y zD 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS ü Ejercicio 1. Calcular las pendientes de la gráfica de f(x,y)=senHxL - senHyL en las direcciones de x e y en el punto (p/2,p,f(p/2,p)). ü Ejercicio 2. Dada la función f(x,y)=lnIx 2 + y 2 M comprobar que se cumple ∂2 f Hx,yL ∂x 2 + ∂2 f Hx,yL ∂ y2 = 0. ü Ejercicio 3. Calcular las derivadas parciales de tercer orden de la función f(x,y)=ex 2 +y - x lnIx - y 3 M. ¿Cuáles son iguales? ü Ejercicio 4. Dada f(x,y)=x Ix2 + y2 M definición. −3ê2 esen Ix 2 yM calcular ∂x f H1, 0L utilizando la ü Ejercicio 5. En un estudio de la penetración de la escarcha en las heladas, se encontró que la temperatura T en el tiempo t (medido en días) a una profundidad x (en metros), Practica3_Derivadas_Parciales.nb puede describirse mediante la función T(t,x)=T0 + T1 e-l x senHw t - l xL, donde w = l es una constante positiva. ü Calcular ∂t T, ¿cuál es su significado físico? ü Calcular ∂x T, ¿cuál es su significado físico? ü Demostrar que T satisface la ecuación del calor ∂t T = k ∂x,x T, para cierta constante k. ü Si l=0.2, T0 = 0 y T1 = 10 representar la gráfica de la función T(t,x). 2p 365 y 9