Muchas de las medidas que se efectúan en el laboratorio son

DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE UNA
RONDANA
Muchas de las medidas que se efectúan en el laboratorio son indirectas, es decir,
provienen de otras medidas que se hacen directamente o de valores que se tienen
convencionalmente.
Sabemos que toda medición tiene una incertidumbre asociada, debido a factores que escapan a las habilidades de quien efectúa la medición. Esto hace que, al
efectuar operaciones con valores que tienen una incertidumbre asociada, se propaguen en los resultados, es decir que el resultado o resultados finales también tendrán una incertidumbre asociada que proviene de las operaciones que se hacen con
las incertidumbres de las medidas directas.
Existe un procedimiento general que nos permite efectuar la propagación de
las incertidumbres al efectuar operaciones con ellas.
Supongamos que, de alguna manera, conocemos la función que nos determina un resultado que se obtiene de las mediciones directas que se hacen durante algún experimento.
Consideremos un ejemplo sencillo. Supongamos que se nos pide que determinemos el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas tienen longitudes diferentes: x, y y z, cada una con su incertidumbre (δx, δy y δz, respectivamente). En este
caso, la función que determina el volumen del paralelepípedo es
f ( x, y , z ) = xyz
(2.1)
Como puede observarse, la función no incluye las incertidumbres. Sin embargo, el
hecho de que las medidas de las aristas tengan una incertidumbre nos hace suponer, correctamente, que el volumen o más bien la función también debe tener
una incertidumbre asociada, a saber δf.
Para efectuar la propagación de la incertidumbre en funciones conocidas,
basta con determinar las derivadas parciales de la función, con respecto a cada una
de las variables de las que depende y, luego, aplicar la siguiente fórmula general
2
 ∂f 
2
δ f = ∑
 (δ xi )
i =1  ∂xi 
n
(2.2)
donde n es el número de variables de las que depende la función. En el caso que
ahora nos interesa se tiene n=3, de modo que la incertidumbre en el volumen del
paralelepípedo se puede escribir como
2
2
2
 ∂f 
2
2
2
 ∂f 
 ∂f 
δ f =   (δ x ) +   ( δ y ) +   ( δ z )
 ∂x 
 ∂z 
 ∂y 
(2.3)
donde se ha escrito, explícitamente, la incertidumbre en la función o volumen, en
este caso.
PROCEDIMIENTO
Utilizando un calibrador vernier y un tornillo micrométrico, determine el volumen
de una rondana, como en la figura 2-1.
Figura 2-1. Rondana cuyas dimensiones incluyen la
incertidumbre.
Debe notarse que a las variables se les puede asignar cualquier nombre. En
este caso, la función volumen se expresa como f(d, D, s).
El volumen de la rondana puede determinarse si se multiplica la diferencia
D2
d2
de las áreas circulares, π
−π
, por el espesor, s, de modo que la función que
4
4
se tiene es
f (d , D, s) =
π
D2 − d 2 ) s
(
4
(2.4)
así que la incertidumbre en el vloumen de la rondana se puede determinar si se
calculan primero sus derivadas parciales respecto de cada una de las variables de
las que depende.
∂f π
= Ds
∂D 2
(2.5)
∂f
π
= − ds
∂d
2
(2.6)
∂f π
= ( D2 − d 2 )
∂s 4
(2.7)
por lo que la incertidumbre en el volumen se expresa como
π
δf =
2
(D
( Ds ) (δ D) + ( ds ) (δ d ) +
2
2
2
2
2
−d2)
4
2
(δ s )
2
(2.8)
Con estos resultados ya es posible informar la medida —indirecta— del volumen dela rondana, incluyendo su incertidumbre: f ± δf.