1 Solución: 2 3

1 Dadas las matrices , calcula X para que se verifique:
A + X − B = I.
Solución:
X=I+B−A=
2 Dadas las matrices , determina la dimensión de las siguientes matrices producto:
• C·A
• B·A
• D·B
• C·B
Solución:
• (C·A)3x4
• (B·A)7x4
• (D·B)1x3
• No existe el producto C·B puesto que el número de columnas de C no coincide con el número de filas
de B.
3 Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se
fabrican en longitudes de 1, 1,5, 2 y 2,5 centÃ-metros con los precios respectivos siguientes:
Clavos A 0,02 0,03 0,04 0,05 €
Clavos B 0,03 0,04 0,06 0,07 €
Clavos C 0,04 0,06 0,08 0,10 €
Sabiendo que en un minuto se producen:
De 1 cm de longitud 100A 50Q 700H
De 1,5 cm de longitud 200A 20Q 600H
De 2 cm de longitud 500A 30Q 400H
De 2,5 cm de longitud 300A 10Q 800H
Se pide:
• Resumir la información anterior en dos matrices M y N. M será una matriz 3 x 4 que recoja la
producción por minuto y N una matriz 4 x 3 que recoja los precios.
• Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz M · N y dar su significado.
• Hacer lo mismo con la matriz N · M.
Solución:
1
a)
b) M · N es una matriz de 3 x 3.
Su elemento a11 = 100 · 0,02 + 200 · 0,03 + 500 · 0,04 + 300 · 0,05 = 43 €, representa que se producen
43 € de clavos de aluminio por minuto.
Su elemento a22 = 50 · 0,03 + 20 · 0,04 + 30 · 0,06 + 10 · 0,07 = 4,8 €, representa que se producen 4,8
€ de clavos de cobre por minuto.
Su elemento a33 = 700 · 0,04 + 600 · 0,06 + 400 · 0,08 + 800 · 0,10 = 17,60 €, representa que se
producen 17,60 € de clavos de acero por minuto.
c) N · M es una matriz de 4 x 4
Su elemento a11 = 0,02 · 100 + 0,03 · 200 + 0,04 · 700 = 31,5 €, representa que se producen 31,5 € de
clavos de 1 cm por minuto.
Su elemento a22 = 0,03 · 200 + 0,04 · 20 + 0,06 · 600 = 42,8 €, representa que se producen 42.8 € de
clavos de 1,5 cm por minuto.
Su elemento a33 = 0,04 · 500 + 0,06 · 30 + 0,08 · 400 = 53,8 €, representa que se producen 53,8 € de
clavos de 2 cm por minuto.
Su elemento a44 = 0,05 · 300 + 0,07 · 10 + 0,10 · 800 = 95,7 €, representa que se producen 95,7 € de
clavos de 2,5 cm por minuto.
4 Dada la matriz , se pide:
• Calcular (A − I)2 · (A − 5I) siendo I =
• Obtener At y razonar si existe la inversa de A.
Solución:
a)
(A − I)2 · (A − 5I) =
b) At = luego la matriz A tiene inversa
5 Calcular una matriz X que verifique la igualdad:
A · X = B, siendo A
¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B?
Solución:
A−1 =
El producto de matrices no es, en general conmutativo, i por tanto A · X ≠X · A:
2
6 Dada la matriz A = comprobar que A2 = 2A − I. Siendo I la matriz identidad. Utilizando la fórmula anterior
calcular A4.
Solución:
A2 =
2A − I =
Luego son iguales.
A4 = A2 · A2 =
7 Obtener los valores de x, y y z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial.
Solución:
Operando se obtiene:
8 Sean las matrices A =
• Determinar la matriz cuadrada M, tal que M · A = B
• Comprobar que M2 = I, deducir la expresión de Mn
Solución:
Planteando un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:
b) se comprueba M2 = M · M = , por tanto
9 Se considera la matriz , donde a y b son números reales.
a) Calcular el valor de a y b para que A2 =
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, calcular A3 y A4.
c) Sea n un número natural cualquiera. Dar la expresión de An en función de n.
Solución:
a) A2 = A · A =
De (a + b)2 = 1, (a − b)2 = 1 y 2a = 2, se obtiene a = 1 y b = 0.
b) La matriz obtenida en el apartado anterior es A =
A3 = A · A2 =
A4 = A · A3 =
c) Observando los resultados obtenidos se puede afirmar que An =
3
10 Dadas las matrices
a) calcular A · B y B · A
b) Comprobar que (A + B)2 = A2 + B2
Solución:
a)
b)(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + B2, dado que AB = − BA
También puede comprobarse efectuando las operaciones matriciales.
11 Se considera la matriz Hallar los valores de p y q que hacen que A2 = A. En este caso razonar, sin calcular,
el valor de A10
Solución:
La igualdad se cumple cuando p = 0 y q = 1.
Si la matriz verifica A2 = A, entonces A10 = A.
12 Dadas las matrices siguientes:
yB=
• Calcular A2 + 2 AB + B2
• Calcular (A + B)2
Solución:
a)
A2 + 2 AB + B2 =
b) (A + B)2 =
13 Dadas las matrices determinar si existe una matriz C que cumpla B·C = A.
Solución:
El sistema es incompatible, por tanto no existe la matriz C.
14 Indicar todos los productos de dos matrices diferentes que se pueden hacer con las matrices siguientes:
Solución:
A · C; A · D
B · A; B · C; B · D
4
C · B
D · E
E · A; E · C; E · D
15 Sean las matrices
a) Calcular la matriz P que verifique B·P − A = Ct.
b) determinar la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C
c) Determinar la dimensión de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada.
Solución:
a) B·P − A = Ct. ⇒ B−1 ·B·P = B−1 ·(Ct + A) ⇒ P = B−1 ·(Ct + A)
b) A es de dimensión 2x3 y C es de dimensión 3x2. Para poder realizar el producto A·M, M de be tener
tres filas. Para poder realizar el producto M·C, M debe tener tres columnas. Luego M debe ser de dimensión
3x3.
c) La matriz C tiene dimensión 3 x 2 luego su transpuesta tendrá dimensión 2 x 3, y para que sea posible
el producto Ct · N, N debe tener tres filas. Si además queremos que la matriz producto sea cuadrada N ha de
tener dos columnas y asÃ- la matriz será de dimensión 2x2.
16 a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A + X)B = I, donde A, B y C son
matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n.
b) Aplica el resultado anterior para
Solución:
17 Sea A =
a) Calcula A2
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que
Solución:
a)
b)
18 Determinar La matriz X que verifica la ecuación: BX − A = 2X, siendo:
Solución:
BX − 2X = A ⇒ (B − 2I)X = A ⇒ X = (B − 2I)−1- A
19 Hallar todas las matrices a, b, c ∈ ℜ que satisfacen la ecuación matricial X2 = 2X.
5
Solución:
Se obtienen los siguientes resultados:
Si a = 0, b ∈ ℜ, c = 2
Si a = 2, b ∈ ℜ, c = 0
20 Sabiendo y que
a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B?
b) Calcular las matrices A y B.
Solución:
• La dimensión de las matrices A y B es 2 x 3.
•
21 Dadas las matrices
Calcular la matriz X que verifica: AXB= 2C
Solución:
X=
22 Determinar todas las matrices A tales que .
Solución:
.
6