IDENTIFICACIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO

5as Jornadas de Investigación
Universidad Autónoma de Zacatecas
25 al 29 de Junio del 2001
Trabajo: TI/UEN-12/091
IDENTIFICACIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO EFECTIVO DE ALGUNOS
MODELOS CÍCLICOS EN VARIABLES GENERALIZADAS
Víctor Manuel Rodríguez Flores, Diego Miramontes De León
Ingeniería Civil, Av. López Velarde No 801, 98000, Zacatecas, Zac.
Resumen
La ecuación de movimiento requiere de una correcta identificación de la matriz de
amortiguamiento para que un sistema lineal reproduzca la reducción de desplazamientos en
una estructura, una vez que la excitación desaparece. En algunos modelos cíclicos tanto la
matriz de amortiguamiento como el amortiguamiento histerético intrínseco permiten
reproducir el comportamiento deseado, sin embargo, debido a que la matriz de
amortiguamiento se calibra empíricamente a partir de la matriz de masa y de la matriz de
rigidez, la respuesta así obtenida, no toma en cuenta en un análisis no lineal las
características propias de los materiales constitutivos. En este trabajo, se presenta la
identificación del coeficiente de amortiguamiento de dos modelos cíclicos quienes
reproducen el amortiguamiento observado experimentalmente, sin incluir ninguna matriz de
amortiguamiento. Este coeficiente se compara con otros modelos cíclicos, permitiendo así,
resaltar las características de las reglas cíclicas propuestas.
1.- Introducción
Un sistema estructural sometido a un estado de cargas dinámicas sufre desplazamientos.
Cuando la excitación externa desaparece, por medio de las fuerzas de fricción la estructura
llega al reposo. Debido a esto, se define al amortiguamiento como la capacidad de una
estructura para frenar con sus fuerzas de fricción la energía transmitida por una acción
externa. De acuerdo a los fenómenos físicos que experimenta un sistema estructural, se
distinguen varios tipos de amortiguamiento : el amortiguamiento de Coulomb, el
amortiguamiento viscoso y el amortiguamiento histerético.
El amortiguamiento de Coulomb se presenta cuando la fricción entre las partículas de una
estructura frena o absorbe las acciones externas. El amortiguamiento viscoso se presenta,
cuando se utilizan mecanismos de interacción con la estructura que permiten disipar la
energía. El amortiguamiento estructural o histerético se presenta como una respuesta del
comportamiento de los materiales constitutivos. Se define, entonces, como la capacidad de
absorber las acciones externas gracias a una correcta configuración de sus secciones
transversales (dimensiones, cuantía de acero, resistencia etc.).
Ya que el amortiguamiento histerético depende esencialmente de los materiales, la
idealización de su comportamiento incide directamente en la respuesta obtenida. Algunas
idealizaciones o modelos cíclicos, han sido formulados desde hace varias décadas, sin
embargo aun se desarrollan tanto modelos en variables generalizadas (N-ε, V-γ, M-φ), como
en variables locales (σ-ε). En este trabajo se consideran tres casos; en el primero se incluyen
algunos modelos clásicos (Fardis & Panagiotakos, 1996)), en el segundo un modelo básico
histerético (Miramontes et al. 1996) y en el tercero, el modelo básico modificado (Miramontes
et al. 1998) :
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En el primer caso, la mayoría de esos modelos omiten la ocurrencia de deformaciones
permanentes antes de la fluencia, por lo tanto, los procesos de degradación y disipación
comienzan después de la fluencia o plastificación del acero. Además, se asume una
descarga elástico lineal. El coeficiente de amortiguamiento histerético, que se definirá más
adelante, y el cual se calcula a partir de las áreas envolventes de la curva en un ciclo de
carga-descarga-recarga, se calcula en los modelos clásicos (Clough y Johnston (1966),
Takeda et al (1970), Saiidi & Sozen (1981), Park et al (1987), Roufaiel y Meyer (1987), Costa
y Costa (1987), Reinhorn et al (1988), Coehlo y Carvalho (1990)) sin considerar un valor de
deformación última, es decir, se ignora el comportamiento post-pico.
En el segundo caso, se estudia un modelo cíclico en el que se incluyen algunos fenómenos
considerados como esenciales del comportamiento de secciones de concreto reforzado;
agrietamiento del concreto, plastificación del acero, degradación de resistencia y de rigidez
debido a la carga cíclica, el estrechamiento de las curvas debido al efecto del esfuerzo
cortante y, la presencia del esfuerzo normal. De igual manera, para contar con una
predicción más realista, el caso tres propone una modificación del modelo básico histerético
en la etapa de descarga (Miramontes et al 1998). La característica más importante en estos
dos últimos modelos, está dada por el parámetro cíclico β, por el cual, la reducción de la
resistencia debida a la carga cíclica, el comportamiento post-pico, la degradación de la
rigidez y la disipación de energía son directamente dependientes del nivel de carga y del
número de ciclos a una deformación dada.
2.- Tipos de Amortiguamiento
El movimiento de las estructuras sometidas a fuerzas variables durante un periodo de
tiempo, dependen en particular, de las propiedades de amortiguamiento, es decir, de la
disipación de la energía por los materiales constitutivos de la estructura, entre las ligaduras
de sus diferentes elementos, entre ellos y el medio circunvecino. De acuerdo a los
fenómenos físicos, se distinguen tres tipos de amortiguamiento:
•
•
•
El amortiguamiento de Coulomb, que corresponde a un amortiguamiento de fricción, con
dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.
El amortiguamiento viscoso, por el cual la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la
velocidad.
El amortiguamiento histerético, para el cual la fuerza de amortiguamiento es proporcional
al desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.
Los dos últimos tipos de amortiguamiento, son los más comúnmente encontrados. Además,
dos coeficientes relacionados con el amortiguamiento que serán utilizados posteriormente se
definen como sigue :
El coeficiente de pérdida, es un coeficiente adimensional característico del efecto
amortiguador, y está dado por la relación de la energía disipada durante un ciclo y la energía
potencial máxima multiplicada por 2 π :
η = _Energía disipada en un ciclo_
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2π (energía potencial máxima)
(1)
En el caso particular de un ciclo de forma elíptica (figura 1), la expresión del coeficiente de
pérdida, en el espacio f-x, en donde la fuerza exterior aplicada es f, el desplazamiento a cosθ,
la fuerza aplicada ka cosθ y la fuerza de amortiguamiento -ha senθ, el equilibrio de las
fuerzas conduce a:
f = ka cos θ − ha cos θ
(2)
Figura 1. Ciclo elíptico carga-desplazamiento
La energía disipada ocurrida en un ciclo es igual a:
2π
∫ [− ha sen θ].d [a cosθ] = πha
2
(3)
0
La energía potencial máxima es:
π 2
ka
∫ [ka cos θ]d (a cosθ) =
2
2
0
(4)
Y el coeficiente de pérdida está dado por:
η=h/k
Por definición, el amortiguamiento reducido es igual a la mitad del coeficiente de pérdida:
(5)
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ζ=η/2
(6)
2.1.- Amortiguamiento de Coulomb
Este tipo de amortiguamiento se presenta debido a la fricción en las conexiones o puntos de
apoyo. Es constante, independiente de la velocidad o cantidad del desplazamiento, y
usualmente se trata como amortiguamiento viscoso interno, cuando el nivel de
desplazamiento es pequeño, o como amortiguamiento histerético cuando es alto. La fricción
de cuerpo es grande en los muros de mampostería confinados cuando estos se agrietan y
proporcionan una resistencia sísmica muy efectiva. El amortiguamiento de Coulomb,
corresponde a un amortiguamiento de fricción, con dirección del desplazamiento y de signo
opuesto al de la velocidad.
2.2.- Amortiguamiento viscoso
Los dispositivos amortiguadores clásicos proporcionan, por medio de láminas de un fluido
viscoso quienes circulan a través de orificios estrechos, fuerzas resistentes proporcionales a
la velocidad del movimiento y de signo opuesto. En el curso de un ciclo, el trabajo de esas
fuerzas, quien es positivo, representa el amortiguamiento viscoso. Se puede señalar además,
que el efecto de disipación de energía por radiación, observado en particular durante el
movimiento de una estructura colocada sobre un suelo semi-infinito es, para movimientos a
baja frecuencia, semejante a un amortiguamiento viscoso.
La relación de equilibrio entre la fuerza exterior aplicada y las fuerzas aplicadas kd y de
amortiguamiento cd’ se escribe:
f = kd + cd '
(7)
En el caso de un ciclo de pulsación w, para el cual el desplazamiento es sinusoidal (d=acos
wt) la fuerza exterior es:
f = ka cos wt − cwa sen wt
(8)
El coeficiente de pérdida, que es proporcional a la frecuencia de movimiento, es igual a:
η=cw/k
(9)
2.3.- Amortiguamiento histerético
Cuando se aplica una fuerza de variación sinusoidal a lo largo del tiempo a una estructura
con comportamiento elastoplástico, o que presenta fenómenos de deslizamiento con fricción,
se obtienen curvas fuerza-desplazamiento que dependen poco de la duración del ciclo. En un
ciclo, la fuerza exterior da un trabajo positivo, correspondiente a la energía disipada de la
estructura: esto es el amortiguamiento por efecto de la histéresis. El coeficiente de pérdida η
crece generalmente con la amplitud del ciclo.
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Para valores del coeficiente de pérdida suficientemente bajos, inferiores a 0.2, la forma
detallada del ciclo no tiene influencia sensible sobre el movimiento, por lo que un modelo
matemático simple para este tipo de amortiguamiento ha sido establecido asimilando la
forma del ciclo a una elipse. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la amplitud de
movimiento y la relación de equilibrio se escribe como:
f=kacosθ-hasenθ
(10)
y el coeficiente encontrado es:
η=h/k
(11)
Para un ciclo sinusoidal en tiempo (θ=wt) el coeficiente de pérdida encontrado es
independiente de la frecuencia del ciclo.
3.- Coeficiente de amortiguamiento histerético efectivo
La representación elíptica del comportamiento estructural, dificulta la descripción de
fenómenos esenciales de las estructuras de concreto reforzado, como son el agrietamiento y
la fluencia, la degradación de rigidez y de resistencia, el comportamiento post-pico, etc. Más
aun, la disipación de energía en cargas cíclicas posteriores a la fluencia es una característica
importante de miembros de concreto reforzado, la cual afecta significativamente la respuesta
sísmica global del sistema estructural ante movimientos importantes del suelo. Tal
característica puede denotarse como una relación de amortiguamiento histerético efectivo.
Esta relación usada generalmente en la práctica, en realidad es una reducción del coeficiente
de pérdida expresado anteriormente, por lo que :
ζ=
Eh
4πEel
(12)
donde:
Eh , energía disipada en un ciclo completo de carga-descarga-recarga.
Eel, energía de deformación elástica a la fuerza y deformación máximas en el ciclo.
Eel =
Fmax δmax
2
(13)
Fmax y δmax son los valores máximos de la fuerza y la deformación experimentadas.
4.- Carácteristicas de algunos modelos cíclicos
4.1.- Modelos clásicos
Muchas de las respuestas analíticas dinámicas no lineales de estructuras de concreto
reforzado, utilizan a nivel del miembro, relaciones histeréticas empírico-nolineales entre el
momento M y una correspondiente medida de deformación δ (como la curvatura en la misma
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sección φ ó la rotación total de una articulación plástica Φ o la rotación de cuerda del espacio
cortante γ, donde M es el momento en el extremo del miembro, etcétera). Para carga
monotónica o virgen en una dirección, la relación M-Φ o M-φ es tomada convenientemente
como multilineal; de manera que, una relación bilineal (figura 2), con la fluencia como punto
de unión entre las dos rectas, es la elección más simple y más común, mientras que, las
relaciones trilineales, en los que también es incluido el punto de agrietamiento, son usadas
cuando es necesaria una descripción realista del comportamiento antes de la fluencia.
M
p
M
−µδy −εδy
−δy
K
δy
εδ
µδy δ
y
M
Figura 2. Modelos histeréticos : ___Bilineal, - - - Q-Hyst
El comportamiento histerético es descrito a través de reglas descarga-recarga para grandes
o pequeñas inversiones de carga. La descarga desde una deformación pico δ=µδy en la rama
después de la fluencia de la curva monotónica (con δy denotando la deformación de fluencia
y µ el correspondiente factor de ductilidad) se toma típicamente como lineal hasta un punto
sobre el eje horizontal (δ) con una deformación igual a εδy (figura 2).
En el modelo Clough y Johnson (1966), como en el modificado por Anagnostopoulos (1972)
para una descarga en una inclinación igual a la de la rama elástica dividida por µα (donde α
es un parámetro entre 0 y 1), ε equivale a:
 1 + p ( µ − 1) 

ε = µ1 −
µ1 −α


(14)
En donde p es la pendiente de endurecimiento después de la fluencia. En el ampliamente
usado modelo de Takeda (Takeda et. al 1970) así como en el modificado por Litton (1975),
para descargar a una deformación permanente (1-α) veces la descarga elástica, el valor de ε
está dado por la expresión (figura 3) :
ε = (1 − α)(1 − p )( µ − 1)
(15)
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En los modos de Park et al (1987) y Reinhorn et al (1988), en los cuales la descarga es
dirigida hacia un punto en la rama elástica de la curva monotónica en la dirección opuesta,
un momento M α-veces el valor de la fluencia My, (α>1), ε equivale a:
ε=
α(1 − p)( µ − 1)
α + 1 + p ( µ − 1)
(16)
β’ (µ−1)δ
M
y
p
K
M
y
−µδ −εδy
−δ y
y
K
δ
εδ
y
y
µδy
δ
Takeda
Modificado β ≠ 0
-M y
β’ (µ−1)δ
Figura 3. Modelos basados en el modelo de Takeda
En la ecuación (16) se ignoró la diferencia entre la rigidez antes y después del agrietamiento
del modelo de Park et al. (1987). Finalmente en el modelo de Roufaiel & Meyer (1987), ε está
dado por la expresión (17), y es independiente de cualquier parámetro del modelo:
ε=
(1 − p)( µ − 1)
1 + 2 p ( µ − 1)
(17)
La expresión (14) es válida también para los modelos de Costa & Costa (1987) y Coehlo &
Carvalho (1990). Una vez explícitos los valores de ε para cada uno de estos modelos se
podrá determinar el valor de ζ.
4.1.1.- Primer ciclo de carga
Se considerará que para todos los modelos mencionados antes, a la continuación de la
descarga y como primer carga en la dirección opuesta, se dirige al punto de fluencia en esta
última dirección y, que continúa en la rama de endurecimiento después de la fluencia de la
curva monotónica mostrada en la figura 3. La descarga de esta última rama sigue las mismas
reglas, de modo que si la recarga se aplica desde una deformación –εδy con ε dada por (14)
a (17) en este primer ciclo completo de carga, con una fuerza máxima a una ductilidad µ, la
taza de amortiguamiento histerético ζ de acuerdo a la ecuación (13) es :
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ζ1 =
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2( µ − 1)(1 − p + εp ) + 3ε
4πµ(1 + p ( µ − 1))
(18)
Contrariamente, para la figura 2, la primera carga en la dirección opuesta en el modelo Q-hist
por Saiidi y Sozen (1981) va del primer punto en deformación εδy en el eje de las δ al punto
de deformación µδy de la curva monotónica en la dirección opuesta, representando para el
primer ciclo, una relación de amortiguamiento histerético de :
ζ1Q =
( µ − 1)(1 − p + 3εp ) + 3ε
4πµ(1 + p( µ − 1))
(19)
con ε en (19) dada por (14) con α=0.5
4.1.2.- Ciclos subsecuentes:
Una mejor representación del comportamiento cíclico es, el de la forma S invertida y el
estrechamiento de las curvas de histéresis subsecuentes. Sin embargo, los primeros y, aun
ampliamente usados modelos de Clough y Johnston (1966), Takeda et al. (1970), Saiidi y
Sozen (1981), no consideran el estrechamiento, y la recarga se dirige a un punto en la curva
monotónica a la máxima deformación de la recarga, o a la máxima deformación de
cualquiera de las dos direcciones en el modelo de Saiidi y Sozen (1981).
En el modelo de Litton (1975), la rama de recarga es dirigida hacia un punto en la curva
monotónica a la deformación máxima (µ −β’(µ−1))δy en lugar de µδy tal como se muestra en la
figura 3, β’<1 es un parámetro. Con la excepción de este modelo, se considera para todos los
demás casos, que la relación de amortiguamiento histerético en un ciclo completo de
descarga-recarga, con amplitud de deformación 2µδy, será :
ζ i >1 =
1 ε
πµ
(20)
Con ε dada por las expresiones (14) y (15). Para el modelo de Litton, ζι>1 equivale a :
ζ Litton, i >1 =
(1 − p )( µ − 1) 
1 − p ( µ − 1)(1 − α) 
1 − α + 0.5 β(1 − p)

πµ
(1 + p( µ − 1)) 

(21)
Considerando los modelos mencionados antes, el estrechamiento de las curvas de histéresis
se obtiene con la introducción de una rama bilineal, dirigida primero a un punto en el
momento mp My correspondiente a la deformación µp δy, y después al punto de la deformación
previa extrema µδy en la curva monotónica de la figura 4. La relación de amortiguamiento
histerético en un ciclo completo descarga-recarga es :
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ζ pinch,i >1 =
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m p (ε + µ) 
1  ε − µp


+
2π  µ
µ(1 + p ( µ − 1)) 
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(22)
En el modelo de Roufaiel y Meyer (1987), la recarga es dirigida primero a un punto en la
rama elástica a un momento mMy; entonces µp =mp =m. En el modelo de Coelho y Carvalho
(1990) la recarga tiene lugar, primero con una pendiente m-veces la del punto final en la rama
de recarga en la deformación previa extrema µδy (m<1 es un parámetro del modelo), hasta
que el eje de las M es alcanzado; entonces mp =m (1+p(µ−1))ε/(ε+µ) y µp =0 y, el término de la
derecha de la expresión (22) equivale a: (1+m)ε/2πµ. En el modelo de Costa & Costa (1987)
la primer rama de recarga tiene una pendiente µβ-veces menor que la del punto final de
recarga en la curva monotónica (µβ, con β<1 que sustituye a m del modelo de Coelho &
Carvalho (1990)) hasta la línea que conecta el origen con este punto máximo alcanzado.
Entonces mp = ε/(εµβ-1+µβ-1), µp =mp (1+p(µ−1))/µ, y el término derecho de la expresión (22)
adquiere el valor dado por ε(1+ε/µ(εµβ−1+µβ−1))/2πµ. Finalmente en los modelos de Park et al
(1987) y de Reinhorn et al (1988) µp=ε, mientras que para Park et al (1987) mp =2εγ(1+p(µ1))/(2ε(1+p(µ-1))+γ(µ−ε)) y para Reinhorn et al (1988) mp =2εγ/(ε+γ), con γ como un parámetro
de estos modelos que denota el orden de un punto (como una fracción de My) que sigue un
punto hacia donde se dirige la primera rama de recarga. Este punto permanece en la rama
de descarga de la deformación previa en el extremo de mδy en el primer modelo, o en la
primera rama de la curva monotónica en el segundo modelo.
M
p
M
−µδ −εδ
m δy
K
µpδy
εδ
µδ δ
M
Figura 4. Modelo con estrechamiento de los ciclos
Las ecuaciones (18) y (19) para el primer ciclo después de la fluencia y de (20) a (22) para
los ciclos subsecuentes, dan la relación implícita del amortiguamiento histerético en cada
modelo, como una función de la relación de ductilidad µ y los parámetros de cada modelo.
El valor típico de p considerado en los modelos clásicos es de 2%, por lo que se tomará el
mismo valor en todos los casos estudiados, esto con el propósito de lograr una comparación
aceptable de los valores obtenidos para ζ.
4.2.- Modelo básico histerético
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4.2.1.- Características del modelo básico histerético
El modelo básico histerético (figura 5) utiliza únicamente la relación momento-curvatura (M-φ)
para describir el comportamiento no lineal de la sección transversal de un elemento de
concreto reforzado. En consecuencia, se adoptan las siguientes hipótesis:
1. Se asumen las hipótesis de Navier-Bernoulli aun en condiciones próximas a la falla.
2. Una adherencia perfecta entre el concreto y el acero, durante la determinación de la
curva envolvente M- φ.
3. Los esfuerzos que se presentan en una viga espacial se consideran desacoplados.
Además, las relaciones momento-curvatura para las dos direcciones ortogonales de
flexión permanecen independientes.
4. Las relaciones entre deformación de membrana y esfuerzo normal (ε-N), entre la
deformación diagonal y esfuerzo cortante (γ-V) y entre la deformación angular y
momento torsionante (θ-T) se consideran lineales.
5. El esfuerzo cortante produce implícitamente un aumento de la deformación por
flexión.
6. La variación del esfuerzo normal durante solicitaciones sísmicas se considera
despreciable.
Las primeras tres hipótesis asumen un comportamiento no lineal a flexión. La cuarta
hipótesis implica que el modo de falla predominante debe ser por flexión. La quinta hipótesis
permite extender la validez del modelo a elementos poco esbeltos que cumplan sin embargo
con la primera hipótesis. En la sexta hipótesis, se considera el efecto que el esfuerzo normal
produce a la curva momento-curvatura, quien permanecerá constante durante toda la historia
de carga.
k 0y
3+
u
M+
y
M f+
+
p+
6
p5-
5-
7-
23-
5
D +p
D +c
+
2+
p = pinching (M p , φ p )
φ x- φ -u
f x+2
+
fx
1
M+
D c = deterioracion
ciclica
D p = deterioracion
post-critica
+
k oy
-
.
+
7+
7 +
+ 4
1
..
5+
5+
φ+
u
6-
M f-
M -y
M -u
+
φ+
φ x1
y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
φ+
β x
1
estado no fisurado
pre-plastificacion
plastificacion
descarga antes de M y
descarga después de M y
recarga antes de p
recarga después de p
Figura 5. Modelo básico histerético.
+
φx
2
+
βφ x 2
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De acuerdo a las hipótesis asumidas, el modelo resulta válido para elementos viga propios
de marcos de concreto reforzado. Se considera además, que una descripción correcta de su
comportamiento, depende esencialmente de la modelización no lineal de los materiales
constitutivos y de la degradación estructural debida a las solicitaciones cíclicas. En
consecuencia, deben considerarse al menos los siguientes aspectos:
1. La degradación de la rigidez a la descarga y recarga para describir el estado real
de la estructura que corresponda al nivel de carga alcanzado.
2. La deterioración de la resistencia, quien esta relacionada de hecho con el punto
anterior. Sin embargo, para el caso de cargas cíclicas, la deterioración debe estar
en función tanto del nivel de carga alcanzado, como del número de ciclos aplicado.
3. La disipación de la energía quien está directamente ligada al comportamiento
histerético de la estructura. Recíprocamente, una descripción correcta de las
deformaciones residuales y de la reducción de la resistencia (1 y 2 anteriores)
afectan el valor de la energía disipada por ciclo. Sin embargo, el efecto de la
energía almacenada debe desvanecerse asimptóticamente en función del número
de ciclos de carga una vez que se estabilizan los fenómenos de deterioración.
4. Por último, el esfuerzo cortante afecta las deformaciones producidas por la flexión,
mientras que el esfuerzo normal afecta la curva global de comportamiento. El
despreciar estos dos efectos, puede provocar falta de precisión en los resultados
numéricos.
El modelo propuesto, intenta reunir los aspectos antes mencionados. La característica
principal la representa el parámetro cíclico β quien permite tomar en cuenta el máximo nivel
de carga alcanzado y el número de ciclos aplicado. Los fenómenos principales que las reglas
del modelo básico histerético tienen en cuenta son: una degradación de la rigidez y una
reducción de la resistencia debido a la carga cíclica (Dc), un estrechamiento en las curvas
debido al esfuerzo cortante (P), una reducción de la capacidad portante después de alcanzar
un valor máximo (Dp ) y el efecto de una fuerza axial debido a cargas gravitacionales.
El modelo se caracteriza por una curva envolvente trilineal y un conjunto de reglas cíclicas.
La curva envolvente debe determinarse mediante un análisis no lineal de la sección
transversal. Esta está definida por tres puntos para el momento positivo y tres para el
momento negativo, lo que permite tratar con adecuada precisión secciones no simétricas.
Los puntos característicos son : el momento de agrietamiento del concreto M f, el momento de
plastificación del acero en tensión M y y el momento último correspondiente al aplastamiento
del concreto M u. La línea 1 corresponde a un comportamiento lineal sin fisuración del
concreto en tensión. Une vez fisurado éste (línea 2), comienza el comportamiento no lineal
con descargas elásticas no dañadas hasta un cierto límite. Una vez fisurada la sección
implica que el momento máximo alcanzado representa un punto focal de recarga. Por el
contrario, si la incursión máxima no ha rebasado el momento de fisuración Mf, este
representa el punto focal. La plastificación del acero en tensión caracteriza el inicio de la
tercera etapa (línea 3). Este comportamiento se prolonga hasta el momento de resistencia
última Mu . A cada uno de esos tres puntos les corresponden deformaciones precisas. Para
los dos primeros, las deformaciones se identifican por la deformación de fisuración del
concreto en tensión εf y la deformación de plastificación del acero en tensión εy. Sin embargo
para el momento último Mu , es necesario realizar un análisis no lineal que tome en cuenta la
curva real esfuerzo-deformación tanto del concreto como del acero. A menudo se utiliza
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como deformación última del concreto εu un valor de 0.003 a 0.004, sin embargo, ni la
deformación última φu ni el momento Mu serían calculados correctamente. El modelo se
complementa por otras reglas cíclicas quienes pueden considerarse implícitas en las lineas 4
a 7 de la figura 5, y que se describen a continuación.
Fisuración/Plastificación. El agrietamiento o fisuración del concreto define el límite del
comportamiento elástico y por lo tanto deben aparecer deformaciones permanentes a la
descarga. La hipótesis de deformaciones nulas para toda descarga anterior al momento de
plastificación, no permite una descripción correcta de la disipación de energía, y por lo tanto
del amortiguamiento histerético propio de las estructuras fisuradas. En este trabajo se
suponen descargas elásticas para todo estado de carga que no haya sobrepasado la
deformación ε e. Una vez rebasado este límite, inicia la degradación de la rigidez a la
descarga (figura 6). En modelos anteriores se ha utilizado un parámetro α para definir el
grado de degradación una vez rebasado el momento de plastificación My . Este parámetro
depende de la máxima deformación alcanzada en la dirección correspondiente de carga :
 φ
α =  y
 φmax



0. 5
(23)
Para poder aplicar el factor de daño α antes de la fluencia, se requiere identificar el valor de
deformación φe hasta el cual se tendrán descargas elásticas no dañadas y la deformación
residual mínima φ’r:
φ
φe = y2
(24)
R
K0
K 0y
(25)
Me
y
Ko
(26)
con: R =
φ'r = φe −
K=
My
(φy − φ'r )
(27)
donde φe, es el límite de la descarga lineal elástica; φr’ es la deformación mínima residual; R
es la relación de rigidez con; Ko , la rigidez inicial y K0 y , la rigidez secante a la fluencia (figura
6). Además, K es la rigidez de descarga cuando se haya rebasado la fluencia. Si se usa una
curva bilineal (φ, M), φe = φy y φr’=0, y coincidiría con la evolución de la rigidez de RoufaielMeyer (1987); puede señalarse que un comportamiento así no permite describir la energía de
disipación antes de la fluencia.
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Esfuerzo cortante. Para una sección que ha alcanzado el momento de plastificación, la
presencia de la fisuración diagonal debida al esfuerzo cortante aumenta la longitud de la
zona plástica. En consecuencia, las rotaciones calculadas únicamente a partir del diagrama
de momentos y de las relaciones momento-curvatura subestiman las deformaciones reales.
Debido al campo cinemático simplificado, los modelos de sección basados en las hipótesis
de Bernoulli, son incapaces de predecir explícitamente el efecto del esfuerzo cortante y de la
degradación de la adherencia concreto-acero. La respuesta de la sección queda controlada
completamente por el comportamiento a flexión de la sección, mientras que el
comportamiento real incluye : la distorsión de la sección de vigas y columnas, el
deslizamiento del refuerzo longitudinal, el alaveo de la sección transversal y el efecto de
dovela. Estos fenómenos se traducen en la respuesta global, por un estrechamiento de los
ciclos histeréticos. Experimentalmente se ha encontrado una fuerte correlación entre el nivel
de estrechamiento de los ciclos y el cortante existente en la sección transversal. Este último
ha sido también relacionado con la esbeltez del miembro. Para esfuerzos cortantes
pequeños, el estrechamiento de los ciclos no se observada, mientras que para esfuerzos
cortantes elevados se produce una fuerte deterioración de la rigidez durante el cierre de las
grietas, dando lugar al estrechamiento de los ciclos.
Mmáx
My
Me
Mf
ko ko
αk
k
φ’r φe
koy
φy
My
____
k=
φ − φ ´r
y
φmáx
Figura 6.- Degradación de la rigidez a la descarga
De acuerdo con las hipótesis simplificadas adoptadas, se supone que las deformaciones
diagonales producen un aumento de la deformación por flexión (figura 7). Este fenómeno
sólo se considerará cuando la carga haya sobrepasado el momento de plastificación y
cuando la esbeltez de la viga o columna (L/h) sea inferior a 4. Durante la inversión de la
carga aparecerá una curva bilineal definida por el punto focal de estrechamiento (Mp , φ p ),
donde Mp = α p Mn , φ p = α p φ n y (Mn , φ n ) corresponde a la recta definida por los puntos (0, φ r) y
(Mmax, φ max) y la recta de pendiente (My / φ y ). φ r representa la deformación residual obtenida
durante la carga cíclica. Los valores de α p se encuentran comprendidos entre 0 y 1,
dependiendo de la esbeltez del miembro considerado.
Se considera que el esfuerzo cortante es débil cuando (L/h > 4), entonces el estrechamiento
no ocurre y la curva de recarga es una recta que corta la secante My / φ y en el punto (Mn , φ n ).
Por el contrario, si el esfuerzo cortante es elevado, la rigidez durante el cierre de las grietas
es despreciable y la primer rama de recarga pasará del punto (0, φ r) al punto (0, 0). Un
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comportamiento más realista presenta un valor comprendido entre esos dos límites (figura 7).
El grado de estrechamiento se determina en función de la relación (L/h) y de acuerdo con las
expresiones empíricas propuestas por Roufaiel y Meyer (1987). Entonces :
M p = αp M n
(28)
φ p = αp φn
(29)
donde:
φn =
φri −1φy M xi
(30)
M y (φri −1 + βφ) − φy M Xi
Mn =
φri −1 M xi K y0
(31)
K y0 (φri −1 + βφ) − M Xi
con (Mn , φn ) correspondientes a la intersección de la línea definida por los puntos (0, φr) y
(Mmáx , φmáx ) y, la rigidez secante a la fluencia:
K y0 =
My
(32)
φy
donde φr es la intersección previa con el eje de deformaciones, en el sentido opuesto a φmáx .
Mmax
My
.
Mf
6
φr
(Mn φn )
,
kyo
.
7
(Mp, φp)
φ
y
φ
φmax
Figura 7. Estrechamiento de la rama de recarga debido al efecto cortante.
Deterioración de la resistencia. Cuando las estructuras de concreto armado se someten a
ciclos de carga a un nivel de deformación impuesto, los ensayes muestran también una
disminución de la resistencia producida generalmente por la degradación de la interfaz
concreto-acero. Para tomar en cuenta la degradación de la resistencia de la sección durante
los ciclos de carga antes (My <M<Mu) y después del momento último (M>Mu), se propone un
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parámetro β quien permite definir un punto focal f x correspondiente a la curvatura βφmax . β
depende del índice de daño Dmáx , de un factor de acomodación Amáx y del número de ciclos (n)
aplicados a un mismo nivel de deformación impuesto :
n
β = 1 + ∑ [ D max A max ]
i
i
E
M max φ max 
= 1 + ∑  max
M u φ u 
i  Eu
n
i
(33)
Donde Emáx y Eu son la energía total absorbida a las deformaciones φmáx y φu respectivamente.
Cada vez que la máxima deformación (φmáx ) experimentada es actualizada, i y β son
inicializadas a cero y uno respectivamente, donde Dmáx y Amáx permanecen constantes al
principio de la carga cíclica para cada nueva deformación máxima.
4.2.2.- Cálculo del coeficiente de amortiguamiento histerético a partir de las reglas del
modelo básico histerético
Asumiendo que el área bajo la curva histerética es la energía implícita, habiendo definido que
el valor de la energía histerética en un ciclo de carga-descarga-recarga es el área encerrada
en el ciclo completo y, además que, es el calculado por la suma de áreas parciales
calculadas a partir de los triángulos y trapecios encerrados por un ciclo de carga, es posible
calcular el valor de ζ para el modelo básico histerético partiendo de la ecuación (12).
4.2.2.1.- Primer ciclo de carga
Para la primera incursión de carga, los valores de resistencia tienden a alcanzar la curva
envolvente. Considerando además que una vez excedida la fluencia en una dirección, el
punto focal en la dirección opuesta será My, el coeficiente de amortiguamiento es :

M 2  M f φf φr 2 M Xi
 M f φf + ( M y + M f )(φy − φf ) + ( M + M y )(φ − φy ) − αK  + 2 + φβ + φ

r
ζ1 = 
4
πMφ
2
(34)
donde el valor de K esta definido por la expresión (27) y, a partir de que una deformación
máxima es µ veces la deformación en el punto donde inicia la fluencia, y donde el valor de µ
es :
δ
µ=
(35)
δy
4.2.2.2.- Ciclos subsecuentes
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Después de la primera carga, los fenómenos de degradación de la resistencia debidos a la
carga cíclica aparecen. De igual forma, es posible que aparezca el estrechamiento de ciclos,
por lo que el coeficiente de amortiguamiento para i>1 es :
ζi =
[
1 / 2 (φ pi +φ r ( i −1 ) ) M
pi + ( φ ri + φ pi ) M pi
]+ (φ −φ pi )( M i + M pi ) −( φ −φ ri )( M i )
4
πφ M max
2
(36)
4.3.- Modelo modificado en las ramas de descarga
4.3.1.- Reglas del modelo modificado
La mayoría de los modelos clásicos idealizados describen un comportamiento bilineal en la
etapa de carga de la estructura además de tomar en cuenta, muy a menudo, sólo una rama
en la descarga. El nuevo modelo modificado considera un comportamiento no lineal definido
como multilineal en el ciclo carga descarga y recarga. En el desarrollo de este proceso la
aparición de dos nuevas condiciones Mi φi, permiten idealizar una descarga bilineal en el
modelo modificado, una vez que se han asumido las condiciones que se muestran en la
figura 8. Las dos nuevas ramas, definen su comportamiento tomando, la primera, una
pendiente de αKo y la segunda adquiriendo un valor de rigidez de αK. En donde Ko y K
fueron definidos antes.
4.3.2.- Cálculo del coeficiente de amortiguamiento histerético a partir de las nuevas
reglas.
4.3.2.1.- Primer ciclo
De la figura 8 se tiene que la primera rama de descarga se define por el punto que intersecta
a la línea paralela a la formada por los puntos (My, φy) y (M, φ) y que tiene su origen el punto
(My-Mf, φy-φf).
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k oy
M
M
+
u
+
y
φ -x φ u-
φ -y p -
αk-
FUL
αk o-
4+
73-
k oy
fx
6 - φ+
y
1
D+p
αk+o
R+c
7+
FUL +
5+
M -cr
_
+
3+
2+
+
M cr
p + 1+
6+
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φ+
x1
αk+
+
φ+
u φ x2
M -y
M -u
Figura 8.- Modelo cíclico con descarga bilineal.
β φ+
x1
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Así obtenemos que:
Pendiente2 =
M i − (M y − M f )
;
φi − (φy − φ f )
y que:
Pendiente2 =
M − My
φ − φy
(con: M y φ constantes)
Igualando ambas expresiones y despejando φi:
φi =
[
]
(φ − φy ) M i − ( M y − M f )
+ (φy − φ f )
M −My
(37)
Despejando Mi de la expresión (32) y sustituyendo el valor de φi tenemos que:
Mi =
[
(M − My )Mmax − αK0 φmax (M − M y )(φy −φf ) − (M − M y )(φy − φf )
M − My −αK0 (φ − φy )
]
(38)
Partiendo de los puntos ya conocidos podemos calcular el valor de ζ1 para este primer ciclo
de carga:
ζ1 =
 M f φ f ( M f + M y )(φ y −φ f ) ( M y + M )(φ −φ y ) ( M + M )( M −M ) M M  M f φri φ 2 M
i
i
2
+
+
−
− i i +
+ r Xi
2
2
2
2
α
K
2
α
K
2
φβ +φr


0
4
πMφ
2
(39)
4.3.2.2.-Ciclos subsecuentes
Después del primer ciclo, la diferencia con respecto al modelo básico, estará dada por la
descarga bilineal. De esta forma, el coeficiente de amortiguamiento es :
M p (φr ( i−1) + φp ) 2( Mmax + M p )(φ −φp ) M p (φri +φp ) 2(Mmax + M i )(M max − M i ) 2Mi Mi
+
+
−
−
2
2
2
2αK0
2αK
(40)
ζi >1 =
4
πM maxφ
2
donde: φr(i-1) es φri del ciclo anterior, Mn y φn están determinados por (23) y (24)
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5.- Análisis de resultados
A fin de comparar los valores del coeficiente de amortiguamiento calculado para los modelos
clásicos, se adoptarán los siguientes valores para todos los casos :
α=
Mf =
φf=
My=
φy= 1.000
Mu = 1.300
φu = 16.000
µ=(1, 1.2, 3, 5, 7, 9, 13, 15)
0.500
0.700
0.600
1.000
En los primeros ciclos se utilizó para el modelo de Takeda y para el modelo de Clough y
Johnston a=0.5. Para los ciclos siguientes, se usó para el modelo Clough & Johnston a=0.5,
Roufaiel y Meyer m=0.5, Reinhorn et al. a=2, Costa & Costa a=0.5, β=0.3,
Takeda et al.
α=0.5, β=0.
Para el modelo de Park a=2, γ=0.5. Para el modelo Coelho & Carvalho a =0.5,
m=0.8. Es importante notar que para los modelos propuestos, no se requiere definir ningún
parámetro, ya que además no son constantes y dependen tanto del nivel de carga como del
número de ciclos aplicados.
De las figuras 9 y 10, puede verse que debido a que los modelos anteriores no toman en
cuenta el efecto de fisuración en el concreto, como lo hacen el modelo básico y el modelo
modificado, para el valor de ductilidad µ=1, el coeficiente ζ da un valor de cero. Para los
modelos propuestos, aunque se incluya el agrietamiento del concreto, este punto se definirá
en la curva envolvente, sobre la recta que une el origen con el punto de fluencia. El
amortiguamiento efectivo es comparable entonces, a partir de deformaciones mayores a la
de fluencia µ>1.
0.30
ζ
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
µ
-0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
R&M
P&R
T
MRM
BH
ANCIS
C&J
Figura 9.- Relación de amortiguamiento ζ vs ductilidad µ para el primer ciclo
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0.25
ζ
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
µ
-0.05
0
1
2
3
4
R&M
5
6
T
7
8
9
10
11 12 13
C&J
R
P
C&Clho
MRD
ANCIS
14
15 16
BH
C&C
Figura 10.- Relación de amortiguamiento ζ contra ductilidad µ para los ciclos siguientes
En las figuras anteriores, R & M = Roufaiel-Meyer, T = Takeda et al, C & J = Clough y
Johnston, BH = Básico Histerético, R = Reinhorn, P = Park, C&Clho = Coelho-Carvalho, C &
C = Costa-Costa y MRD = Básico Modificado.
La subrutina del modelo modificado forma parte del programa de elemento finito
CASTEM2000. La misma subrutina ha sido adaptada a un programa PC (ancis2), en donde
puede obtenerse la respuesta cíclica normalizada (M/My , φ/φ y ) o la respuesta real (M, φ). Para
validar las expresiones propuestas para el coeficiente de amortiguamiento ζ, en la figura 9 y
10 se incluyen los valores obtenidos con el programa ancis2, mientras que en la figura 11 se
compara la respuesta normalizada para los primeros ciclos.
Las observaciones que se pueden hacer al presente estudio incluyen :
•
•
Para evaluar el valor del coeficiente de amortiguamiento, fue necesario excluir el efecto
de la reducción de la resistencia post-pico; dado que los modelos clásicos estudiados no
consideran la existencia de la resistencia última, lo que equivaldría a decir que le asignan
un valor infinito a la deformación ultima, es decir, φu >>φy.
El área histerética, definida para el área negativa es menor para el modelo básico
histerético que para el modificado, por lo tanto, dará resultados menores para ζ (ec. 34).
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•
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Aún con las nuevas reglas introducidas en el modelo modificado en las ramas de
descarga, la comparación con los demás resultados muestra que en ambos modelos se
obtienen coeficientes de amortiguamiento que se ubican entre los obtenidos por los
modelos clásicos. Sin embargo es importante notar que mientras para el primer ciclo se
1.5
M
1
0.5
0
-0.5
ancis
ec (39)
-1
-1.5
-20
φ
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
tiene un valor de ζ alto comparado con el de los modelos clásicos, para los ciclos
subsecuentes, ζ tiende a ser más bajo, pero con una tendecia a aumentar para altos
valores de µ.
Figura 11. Comparación de la respuesta cíclica y la ecuación 39
Tabla1.- % contra el modelo modificado en el primer ciclo de carga
µ
1.2
2.2
3.0
5.0
9.0
13.0
15.0
R&M
25.31 12.26 13.01
9.17
0.55
6.27
9.19
P&R
40.01
8.15
6.21
6.35
8.66 10.65 11.55
Takeda
47.49 19.40 17.54 17.26 18.48 19.44 19.83
C&J
46.99 13.87
9.53
5.61
3.39
2.56
2.32
BH
10.62
4.92
3.73
2.88
1.76
0.67
0.22
Tabla 2.- % contra el modelo modificado para los ciclos subsecuentes de carga
µ
1.2
2.2
3.0
5.0
9.0
13.0
15.0
R&M
7.29
70.02
67.15
52.62
27.14
10.37
10.79
C&Clho
50.26
7.11
0.64
5.07
6.34
6.62
13.86
C&C
55.28
17.28
12.63
10.25
12.82
14.95
10.15
Park
39.89
23.85
27.99
35.51
45.20
51.07
50.22
Reinh
24.33
34.10
36.87
31.86
17.03
6.16
8.49
T
45.93
10.91
9.74
11.48
16.09
18.33
13.58
C&J
44.73
3.21
10.40
16.75
18.16
18.47
26.51
BH
35.98
13.51
10.19
6.66
4.56
2.85
0.86
En la tabla 1 se observa que las diferencias en porcentaje de los modelos respecto al
modelo modificado :
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•
•
•
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Son más grandes en el modelo de Takeda que los otros modelos con una diferencia de
47% seguida del modelo de Park y Reinhorn con 40%.
La mayor diferencia se encuentra a niveles de ductilidad pequeños, aun para el modelo
de Takeda, mientras que el por ciento de diferencia es menor a ductilidades mayores.
La diferencias menores están en el modelo básico, lo que es congruente pues el modelo
modificado se basa en este.
En la tabla 2 observamos que las diferencias en porcentaje de los modelos respecto al
modelo modificado :
• Son más grandes en el modelo de Park que los otros modelos con una diferencia de 51%
seguida del modelo de Roufaiel & Meyer con 70%.
• Al igual que para el primer ciclo, la diferencias menores están en el modelo básico, lo que
es congruente pues el modelo modificado se basa en este.
• El por ciento de diferencia es menor en una ductilidad de µ=15 pero con tendencias
invertidas, excepción del modelo de Clough & Johnston.
6.- Conclusiones
El amortiguamiento histerético implícito en los modelos cíclicos fenomenológicos para
miembros de concreto reforzado, puede expresarse analíticamente en términos del factor de
ductilidad µ y de los parámetros de algunos modelos cíclicos. Debido a las reglas de cada
modelo, deben plantearse expresiones diferentes del coeficiente de amortiguamiento ζ para
el primer ciclo y para los ciclos subsecuentes. Dichas expresiones muestran un aumento del
factor ζ con el incremento de µ. Para el primer ciclo, la ganancia en la energía disipada para
el modelo con descargas no lineales, se traduce en un valor alto de ζ, mientras que las
reglas de degradación de resistencia propias del mismo modelo, producen un valor bajo de ζ
para valores de µ cercanos a 1. En este caso, se observa sin embargo, que se incrementa
rápidamente con el aumento de las deformaciones. Las características de disipación de
energía a deformaciones inferiores a la fluencia y del comportamiento post-pico de los
modelos propuestos, así como el comportamiento para un número de ciclos mayor, no se
incluyeron en este análisis con el propósito de compararlos con los modelos simplificados.
Agradecimientos
El trabajo presentado es parte del tema de tesis de licenciatura del mismo nombre apoyado
por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, bajo el proyecto Evaluación de
procedimientos de diseño de refuerzo transversal por confinamiento de secciones de CR,
clave 32691, por lo que se agradece todo financiamiento.
Referencias
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building structures subjected to earthquakes”, Res. Rep. No R72-54, Dept. of Civil Engrg.,
Massachusetts Inst. Of Technology, Cambridge, Ma.
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Trabajo: TI/UEN-12/091
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