Operaciones de Amortizacion o Prestamo

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Matemática Financiera
TEMA 11
OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II)
1. Préstamos indiciados
2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo Alemán
3. Valor financiero del préstamo. Usufructo y nuda propiedad
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Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II)
1. Préstamos indiciados
Son operaciones en las que el tipo de interés no se conoce al
contratar la operación, ya que depende de la evolución de un
índice Ir.
El tipo de interés aplicable a cada periodo se determina en
función del índice que se tome como referencia, por ejemplo el
euribor a un año, al que se le añade un diferencial constante,
que ha de fijarse al inicio de la operación y mantenerse para
toda su duración.
Normalmente se fija el rédito a aplicar en el primer periodo
y los restantes se obtienen
i s = Ι rs − 1 ± d
i1
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1. Préstamos indiciados
Las operaciones más habituales son con períodos de interés
prefijados, en el momento de la contratación se especifica la
duración de los períodos en los que el tipo de interés
permanece fijo, modificándose sólo al final de cada período
según la evolución del índice de referencia.
También hay operaciones a tipo de interés flotante, sin
períodos de interés prefijados, cuando el rédito aplicable a la
operación varía cuando lo hace el índice de referencia.
La resolución de estas operaciones depende de cómo se
definan los términos amortizativos:
- Si la cuantía de los términos amortizativos de toda la operación es
predeterminada (fija o variable), la duración del préstamo será
variable, acortándose respecto a la inicial, si la evolución del
índice es decreciente y alargándose en caso contrario.
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Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II)
1. Préstamos indiciados
- Si se establece un plan de amortización fijando las cuotas de
amortización periódicas, la duración del préstamo será la
establecida a priori, y los términos amortizativos resultaran
variables.
- Si la cuantía de los términos amortizativos es predeterminada
para cada periodo de interés, se utiliza un procedimiento iterativo
que consiste en calcular los términos amortizativos para toda la
operación en base al rédito del primer período, transcurrido éste,
y con la deuda pendiente, vuelven a calcularse los términos
amortizativos según el nuevo rédito para la duración restante, y
así sucesivamente hasta concluir
la duración inicialmente
prevista para el préstamo.
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2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán
Se trata de operaciones en las que el pago de los intereses de
cada periodo se realiza al principio del mismo. Se utiliza para
su cálculo el rédito de contracapitalización i*s cuya relación con
el rédito de capitalización is equivalente, es la siguiente:
(1 +i s ) = (1 − is* ) −1
de donde podemos obtener
is*
is=
1 − is*
is
i =
1 + is
*
s
Estas operaciones tienen una terminología específica para
designar las variables básicas y establecer relaciones con sus
homologas en el caso de intereses vencidos o pospagables.
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2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán
Se denomina capital vivo nominal en ts , al capital (C*s;ts) cuya
cuantía es igual al valor de la reserva matemática a la izquierda
de ts+1 es decir, en el extremo superior del intervalo [ ts, ts+1 ) .
Cs* = Cs (1 + is +1 ) = Cs (1 − is*+1 ) −1
Cs = Cs* (1 − is*+1 ) = Cs* − C s* is*+1
El capital vivo neto o liquido se obtiene deduciendo del capital
vivo nominal los intereses anticipados del periodo siguiente.
El saldo por el método recurrente puede deducirse de la
ecuación de recurrencia del capital neto de donde resulta
Cs*−1 = Cs* (1 − is*+1 ) + as
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2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán
De forma que el término amortizativo as se descompone en
as = Cs*−1 − Cs* + Cs*is*+1 = As* + I s*+1
Cuota de amortización nominal del periodo (ts-1, ts],
Cuota de interés anticipada del periodo [ts, ts+1),
As*
I s*+1
Al ser C*n=0 , el último término amortizativo se destina
únicamente a amortizar, an=A*n , ya que los intereses se
abonaron anticipadamente.
Al igual que en el resto de los prestamos se verifica
n
C0* = ∑ Ah*
h =1
Cs* =
n
*
A
∑ s
h = s +1
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2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán
- Método alemán
Se trata de una operación de amortización con pago de
intereses anticipados, mediante términos amortizativos
constantes y réditos de contracapitalización i* constantes para
todos los periodos. Este método coincide con el francés a rédito
i, aunque en el método alemán se utilizan las variables
nominales y en el francés las netas, además de variar la
composición de los términos amortizativos.
La ecuación de equivalencia en el origen, o a la izquierda de 1
permite obtener la cuantía constante de los términos
amortizativos
n
C0* = C0*i * + ∑ a (1 − i * ) r
r =1
* n
1
−
(
1
−
)
i
*
* r −1
C0 = a ∑ (1 − i ) = a
i*
r =1
n
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2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán
-Método alemán
La cuantía del capital vivo nominal al principio del periodo s+1
* n−s
n
es
i
1
−
(
1
−
)
*
* r − ( s +1)
Cs = a ∑ (1 − i )
r = s +1
=a
i*
La ecuación dinámica o de recurrencia en dos periodos
consecutivos
C s*−1 = Cs* (1 − i * ) + a
Cs* = Cs*+1 (1 − i * ) + a
Permite obtener restando miembro a miembro la recurrencia de
las cuotas nominales de amortización
As* = As*+1 (1 − i * ) = A1* (1 + i * ) n − s = a (1 − i * ) n − s
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3. Valor
financiero del préstamo. Usufructo y nuda
propiedad
Para transferir el préstamo o cancelar por anticipado la
operación en un punto ts intermedio de su duración, será
preciso valorar los derechos y obligaciones pendientes en base
a las condiciones de mercado vigentes en ese momento.
El valor financiero del préstamo es el valor actualizado en ts de
los términos amortizativos pendientes valorados con la ley de
mercado o ley externa L´(t; p)
Vs =
n
∑
r = s +1
r
ar ∏ (1 + ih' ) −1
h = s +1
Vs representa la cuantía que ofrecería el prestatario por
cancelar sus obligaciones o la que demandaría el prestamista a
cambio de sus derechos.
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3. Valor
financiero del préstamo. Usufructo y nuda
propiedad
La descomposición del término amortizativo en sus dos
componentes, cuota de interés y cuota de amortización permite
diferenciar en el valor del préstamo los valores financieros del
usufructo y de la nuda propiedad.
Vs = U s + N s
El valor financiero del usufructo, Us , es el valor actualizado, con
la ley de mercado, de las cuotas de interés futuras. Mientras el
valor financiero de la nuda propiedad, Ns , se calcula
actualizando las cuotas de amortización pendientes con la ley
que rija en el mercado en ese momento.
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3. Valor
financiero del préstamo. Usufructo y nuda
propiedad
En el caso particular de que los réditos de la ley interna i y de
la ley de mercado i´ sean constantes, puede obtenerse una
relación entre los valores del usufructo y la nuda propiedad a
través de la formula de Achard.
Que junto con
i
U s = (Cs − N s )
i'
Vs = U s + N s
Constituyen un sistema lineal básico de gran utilidad para
obtener dos de las variables, una vez calculadas las otras dos
que resulten más sencillas en cada caso particular.