ECONOMÍA DE INTERCAMBIO CON PRODUCCIÓN

Sección 1: Capı́tulo IX
1
1. Capı́tulo IX: ECONOMÍA DE INTERCAMBIO
CON PRODUCCIÓN: EGC y OP.
Ejercicio 1.
En una economı́a de intercambio con producción donde hay dos
consumidores, A y B, dos bienes, x e y, y suponiendo que no existen
fallos de mercado, es falso que:
(a) En el optimo
de Pareto
se cumplirá que
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |.
(b) Tanto en el optimo de Pareto como en el equilibrio general
competitivo, la economı́a debe producir en un punto sobre la
frontera de posibilidades de producción (FPP).
(c) En el equilibrio general competitivo, se ha de verificar
px
|RM Ty,x | =
.
py
(d) En el optimo de Pareto no se vacı́a el mercado (exceso de
demanda nulo), pero en el equilibrio general competitivo sı́.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
2
Ejercicio 2.
Suponga una economı́a con dos bienes x e y, y dos consumidores
A y B. Suponga que la frontera de posibilidades de producción es
x+2y 2 =10, y las funciones de utilidad de los consumidores son UA =
xA yA , UB = x2B y2B . La cantidad total disponible de factor trabajo
es L=10. Si se están produciendo x = y=2 unidades, consumidas a
partes iguales entre los dos consumidores:
(a) La asignación es un óptimo de Pareto.
(b) Ambos consumidores pueden mejorar aumentando la producción
de x y reduciendo la de y.
(c) Ambos consumidores pueden mejorar aumentando la producción
de y y reduciendo la de x.
(d) Los bienes no están siendo producidos eficientemente.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
3
Ejercicio 3.
En una economı́a sin fallos de mercado, con dos consumidores A
y B, dos bienes x e y, y un factor productivo existente en cuantı́a
fija L , si se alcanza el Equilibrio general competitivo (EGC) para las
dy
cantidades de los bienes tales que
= −3, será falso que:
dx
(a) px será tres veces mayor que py .
(b) La productividad marginal del factor en la empresa que produce
el bien y será tres veces mayor que la productividad marginal de
la empresa que produce el bien x (el coste marginal de x es tres
veces el de y).
(c) El consumidor A estará dispuesto a intercambiar tres unidades
de x por una unidad de y, mientras que el consumidor B estará
dispuesto a intercambiar una unidad de x por tres unidades de y.
(d) Todos los excesos de demanda serán cero.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
4
Ejercicio 4.
Considere una economı́a de intercambio con producción, en la que
las funciones de utilidad de los dos únicos consumidores son UA =
xA yA y UB = xB + 2yB y las funciones de producción de ambos
1
1
bienes son x = (Lx ) 2 e y = (Ly ) 2 , habiendo una dotación total de
trabajo de L = 125. Señale la afirmación falsa:
(a) En el equilibrio
competitivo se cumple
general
dy 1
|RM Ty,x | = = .
dx
2
(b) La economı́a alcanza un equilibrio general para las producciones
(x, y) = (5, 10).
(c) La economı́a alcanza un equilibrio general para la relación de
px
precios
=2
py
(d) El valor de la productividad marginal del trabajo en la
producción del bien x es doble que en la producción del bien y.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
5
Ejercicio 5.
En una economı́a sin fallos de mercado, con dos consumidores A
y B, dos bienes x e y, y un factor productivo existente en cuantı́a fija
L, señale la afirmación correcta:
A B (a) Basta con que tengamos la condición RM Sy,x
= RM Sy,x
para que podamos decir que se ha alcanzado un óptimo de
Pareto en la economı́a.
(b) Siempre que se alcance un óptimo de Pareto se habrá alcanzado
un Equilibrio General Competitivo.
(c) Siempre que los bienes se estén produciendo eficientemente se
habrá alcanzado un Optimo de Pareto.
(d) Ninguna de las afirmaciones realizadas es cierta.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
6
Ejercicio 6.
Considere una economı́a con un consumidor con función de
utilidad U = x2 y y dos bienes, cuyas funciones de producción son
1
x = (Lx ) 2 e y = Ly . Si la dotación total de trabajo es L = 2, es falso
que:
(a) En el equilibrio general competitivo la Relación Marginal
de
dy Transformación es, en valor absoluto: |RM Ty,x | = = 2
dx
(b) La economı́a alcanza un óptimo de Pareto cuando 2x = y.
(c) En el equilibrio general competitivo px será el doble de py .
(d) En el equilibrio general competitivo CM gx será el doble que
CM gy .
JJ
II
J
I
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J
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7
Ejercicio 7.
Imagine una economı́a con sólo dos bienes x e y, que tiene la
siguiente Frontera de Posibilidades de Producción: 500 = x2 + y 2 .
Suponga que existen dos consumidores, A y B, con preferencias representables por las funciones de utilidad:
2
UA = xA yA y UB = x2B yB
. Se observa que en esta economı́a se
produce x = 10 e y = 20, con una distribución inicial entre consumidores: xA = xB = 5 e yA = yB = 10. Entonces:
(a) La asignación inicial es un óptimo de Pareto.
(b) Las cantidades x e y no están siendo producidas eficientemente.
(c) Ambos consumidores pueden mejorar si aumenta la producción
de x y disminuye la de y.
(d) Ambos consumidores pueden mejorar si aumenta la producción
de y y disminuye la de x.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
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Sección 1: Capı́tulo IX
8
Ejercicio 8.
En una economı́a operan dos empresas precio-aceptantes que producen dos bienes x e y, según las funciones de producción: x =
Ly
1
(Lx ) 2 e y =
, siendo la cantidad total de trabajo es L = 200.
2
Si sólo existe un consumidor con preferencias U = x2 y, indique la
respuesta falsa:
(a) La frontera de posibilidades de producción es x2 + 2 y = 200.
(b) En el óptimo de Pareto x = 10 ; y = 50.
(c) En el óptimo de Pareto la relación marginal
de transformación es
dy (en valor absoluto) igual a: |RM Ty,x | = = 10
dx
(d) En el óptimo de Pareto Lx = 50 ; Ly = 150.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 1: Capı́tulo IX
9
Ejercicio 9.
Una economı́a de intercambio con producción está formada por dos
consumidores, con preferencias: Ui = xi yi para i = A, B. La curva
de transformación de la economı́a es: 2x + y = 48. Si se producen
x = y = 16, repartidas por igual entre los consumidores. Indique la
afirmación falsa:
(a) Las cantidades están siendo producidas eficientemente.
(b) La economı́a se encuentra en un óptimo de Pareto global.
(c) Los consumidores mejorarı́an si aumentase la producción del
bien y y disminuyera la del bien x.
(d) En el óptimo de Pareto, debe verificarse que yi = 2xi para
i = A, B.
JJ
II
J
I
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J
Doc
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I
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10
Ejercicio 10.
En una economı́a con una curva de transformación x2 + y 2 =10,
hay 2 consumidores idénticos con preferencias Ui = xi yi , donde i =
A, B. Si en la economı́a se produce x=1, y=3 que se reparte de forma
igualitaria entre los consumidores, es falso que:
(a) La economı́a no está en un Optimo de Pareto (OP), aunque los
consumidores sı́ estén sobre la curva de contrato.
(b) En el OP de la economı́a los recursos deben reasignarse de forma
que aumente la producción de y.
(c) En el OP de la economı́a los recursos deben reasignarse de forma
que aumente la producción de x.
(d) En el OP de la economı́a x2 = y 2 =5.
JJ
II
J
I
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J
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Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
11
Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 1(a)
Verdadera. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y producción son:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= RM Tyx xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P
JJ
II
J
I
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J
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Doc
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Soluciones a los Ejercicios
12
Ejercicio 1(b)
Verdadera. Las condiciones de OP y de EGC en una economı́a
con intercambio y producción son, respectivamente:
 A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |



xA + xB = x
OP ⇒
y + yB = y


 A
(x, y) ∈ F P P


 px = CM gx


py = CM gy


px


A RM Sy,x

=



py
px
B EGC ⇒
RM Sy,x
=

py




x
+
x
=
x

A
B



y A + yB = y



(x, y) ∈ F P P
Ası́, en ambos casos: (x, y) ∈ F P P
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
13
Ejercicio 1(c)
Verdadera. Se puede demostrar que, en ausencia de fallos de merCM gx
cado, se cumple |RM Ty,x | =
. Además, como en el EGC se ha
CM gy
de verificar:
px = CM gX
py = CM gY
Por tanto, en ausencia de fallos de mercado, se cumple que:
px
|RM Ty,x | =
.
py
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
14
Ejercicio 1(d)
Falsa. Las condiciones de OP y de EGC en una economı́a con
intercambio y producción son:
 A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |



xA + xB = x
OP ⇒
y + yB = y


 A
(x, y) ∈ F P P

px = CM gx




py = CM gy


px

 A 
RM Sy,x
=



py
px
B EGC ⇒
RM Sy,x
=

py




xA + xB = x




 y A + yB = y


(x, y) ∈ F P P
En ambos casos, han de vaciarse los mercados, esto es:
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Soluciones a los Ejercicios
15
xA + xB = x ; yA + yB = y
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
16
Ejercicio 2(a)
Falsa: En una economı́a con producción, para que una
asignación
A B sea un óptimo de Pareto debe verificarse que RM Sy,x
= RM Sy,x
=
|RM Ty,x |. Si las cantidades de x e y se reparten a partes iguales, xA =
yA
B A = 1 = RM Sy,x
≡
xB = yA = yB =1, entonces: RM Sy,x
≡
xA
yB
= 1. Por otra parte, a partir de la frontera de posibilidades de
xB
producción se obtiene la |RM Ty,x |: T (x, y) = 0 ⇒ x + 2y 2 − 10 =
∂T/
∂x = x = 1 que difiere de las relaciones
0 ⇒ |RM Ty,x | =
∂T/
y
8
∂y
marginales de sustitución de los
individuos.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
17
Ejercicio 2(b)
Verdadera: Si las cantidades de x e y se reparten a partes iguales
yA
A B xA = xB = yA = yB =1, entonces: RM Sy,x
= 1 = RM Sy,x
≡
≡
xA
yB
= 1. Por otra parte, a partir de la frontera de posibilidades de proxB
ducción se obtiene la relación marginal de transformación: T (x, y) =
∂T/
∂x = x = 1 que
0 ⇒ x + 2y 2 − 10 = 0 ⇒ |RM Ty,x | =
∂T/
y
8
∂y
difiere de las relaciones
marginales
de
sustitución
de
los
individuos.
dyB dy dyA Por tanto: = > , y ambos consumidores pueden
dxA
dxB
dx
mejorar aumentando la producción de x y reduciendo la de y.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
18
Ejercicio 2(c)
Falsa: Si las cantidades de x e y se reparten a partes iguales xA =
yA
A B xB = yA = yB =1, entonces: RM Sy,x
= 1 = RM Sy,x
≡
≡
xA
yB
= 1. Por otra parte, a partir de la frontera de posibilidades de proxB
ducción se obtiene la relación marginal de transformación: T (x, y) =
∂T/
∂x = x = 1 que
0 ⇒ x + 2y 2 − 10 = 0 ⇒ |RM Ty,x | =
∂T/
y
8
∂y
difiere de las
relaciones
marginales
de
sustitución
de
los
individuos.
dyA dyB dy > , luego ambos consumidores pueden
Por tanto: =
dxA dxB dx mejorar aumentando la producción de x y reduciendo la de y, y no al
contrario.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
19
Ejercicio 2(d)
Falsa: Los bienes están siendo producidos eficientemente dado que
la asignación x = y=2 pertenece a la frontera de posibilidades de
producción: x + 2y 2 = 2 + 2 · 22 = 10.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
20
Ejercicio 3(a)
dy Verdadera. Por definición |RM Ty,x | = . Se puede demostrar
dx
CM gx
.
que, en ausencia de fallos de mercado, se cumple |RM Ty,x | =
CM gy
Además, el EGC se ha de verificar:
px = CM gX
py = CM gY
Por tanto, en ausencia de fallos de mercado, en el EGC ha de
px
px
cumplirse |RM Ty,x | =
, de modo que 3 =
⇒ px = 3py .
py
py
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
21
Ejercicio 3(b)
Verdadera. Se puede demostrar que, en ausencia de fallos de mer1
CM gx
P M gLx
cado, se cumple |RM Ty,x | =
=
. Ası́, como por
1
CM gy
P M gLy
dy definición |RM Ty,x | = y, además en el EGC se ha de verificar :
dx
CM gx
P M gLx
1
px = CM g(x)
, se tiene que
=3y
= .
py = CM g(y)
CM gy
P M gLy
3
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
22
Ejercicio 3(c)
dy Falsa. Por definición |RM Sy,x | = . Las condiciones de EGC
dx
en una economı́a con intercambio y producción incluyen las siguientes:

px = CM g(x)





 py = CM g(y)
px
A RM Sy,x
=
EGC ⇒

py


px

B 
=
 RM Sy,x
py
Como en ausencia de fallos de mercado se cumple |RM Ty,x | =
CM gx
, en el EGC si no existen fallos de mercado se ha de verificar:
CM gy
px
B A |RM Ty,x | =
= RM Sy,x
= RM Sy,x
py
Ası́, ambos consumidores estarán dispuestos a intercambiar tres
unidades de x por una unidad de y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
23
Ejercicio 3(d)
Verdadera. Los precios serán de equilibrio sólo si vacı́an todos los
mercados, esto es, en el EGC debe cumplirse xA +xB = x ; yA +yB =
y
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
24
Ejercicio 4(a)
Verdadera. Las condiciones de EGC en una economı́a con intercambio y producción incluyen las siguientes:

px = CM gx





 py = CM g y p
x
A RM Sy,x
=
EGC ⇒

py

px


B 
=
 RM Sy,x
py
CM gx
En ausencia de fallos de mercado, se cumple |RM Ty,x | =
.
CM gy
Por tanto, en el EGC si no existen fallos de mercado se ha de verificar:
px
=
py
∂UB
∂xB
B Ası́, como RM Sy,x
=
∂UB
∂yB
JJ
II
J
|RM Ty,x | =
B A RM Sy,x
= RM Sy,x
=
I
1
, entonces:
2
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
25
1
B |RM Ty,x | = RM Sy,x
⇒ |RM Ty,x | =
2
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
26
Ejercicio 4(b)
Verdadera. Para esta economı́a, la FPP viene dada por:

1
x = (Lx ) 2 → Lx = x2 
1
⇒ 125 = x2 + y 2
y = (Ly ) 2 → Ly = y 2

L = Lx + Ly
T (x, y) = 0 : x2 + y 2 − 125 = 0
∂T
x
⇒
|RM Ty,x | = ∂x =
∂T
y
∂y
En el EGC se ha de verificar:
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
27
EGC ⇒















px = CM gX
py = CM gY
px
A RM Sy,x
=
p
pxY
B RM Sy,x
=
pY
(x, y) ∈ F P P
Como en ausencia de fallos de mercado se cumple |RM Ty,x | =
CM gx
, utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen
CM gy
fallos de mercado:
|RM Ty,x | =
px
B A B = RM Sy,x
⇒ |RM Ty,x | = RM Sy,x
= RM Sy,x
py
∂UB
∂T
1
x
∂x
B
B
Ası́, RM Sy,x =
= = |RM Ty,x | = ∂x = ⇒ y = 2x.
∂UB
∂T
2
y
∂yB
∂y
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
28
Sustituyendo en la ecuación de la FPP, se tiene:125 = x2 + y 2 ⇒
125 = x2 + (2x)2 ⇒ x = 5 ; y = 10.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
29
Ejercicio 4(c)
Falsa. Las condiciones de EGC en una economı́a con intercambio
y producción incluyen las siguientes:

px = CM gX




 py = CM g Y
px
A RM Sy,x
EGC ⇒
=

p


pxY

B  RM Sy,x
=
pY
Como en ausencia de fallos de mercado se cumple |RM Ty,x | =
CM gx
, utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen
CM gy
fallos de mercado se ha de verificar:
|RM Ty,x | =
JJ
II
px
A B = RM Sy,x
= RM Sy,x
py
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
30
∂UB
1
px
∂xB
B B Ası́, como RM Sy,x
=
= , entonces:
= RM Sy,x
⇒
∂UB
2
py
∂yB
1
px
px
= ⇒
6= 2
py
2
py
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
31
Ejercicio 4(d)
Verdadera. Se puede demostrar que, en ausencia de fallos de mer1
CM gx
P M gx
cado, se cumple |RM Ty,x | =
=
. Además, las condi1
CM gy
P M gy
ciones de EGC en una economı́a con intercambio y producción incluyen:

px = CM gX




 py = CM g Y
px
A RM Sy,x
EGC ⇒
=

p


pxY

B  RM Sy,x
=
pY
Ası́, utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen
fallos de mercado se ha de verificar:
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
32
1
px
CM gx
P M gLx
A B =
= RM Sy,x
= RM Sy,x
|RM Ty,x | =
=
1
CM gy
py
P M gLy
1
P M gLx
B ⇒
= RM Sy,x
1
P M gLy
⇒
1
P M gLy
= ⇒ P M gLx = 2P M gLy
P M gLx
2
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
33
Ejercicio 5(a)
Falsa. El OP en una economı́a con intercambio y producción ha
de verificar:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= RM Tyx xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P
A B lo que incluye más condiciones, además de RM Sy,x
= RM Sy,x
.
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
34
Ejercicio 5(b)
Falsa. Las condiciones de OP y de EGC en una economı́a con
intercambio y producción son, respectivamente:
 A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |



xA + xB = x
OP ⇒
y + yB = y


 A
(x, y) ∈ F P P

px = CM gx




py = CM gy


px

 A 
RM Sy,x
=



py
px
B EGC ⇒
RM Sy,x
=

py




xA + xB = x




 y A + yB = y


(x, y) ∈ F P P
Si no existen fallos de mercado el EGC es OP, pero pueden existir
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Soluciones a los Ejercicios
35
A varios OP y un único EGC. El EGC requiere, además de RM Sy,x
=
px
B x
RM Sy,x
, lo cual
= RM Ty , que estas relaciones sean iguales a
py
no es necesario para alcanzar un OP. Por otra parte, si existen fallos
de mercado, por ejemplo externalidades en la producción o bienes
públicos, el EGC no es ni siquiera un OP.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
36
Ejercicio 5(c)
Falsa. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y
producción son:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |
xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P
De modo que la eficiencia desde el punto de vista de la producción,
esto es, el que la economı́a se sitúe sobre su FPP, no garantiza la
eficiencia en el sentido de Pareto global para toda la economı́a.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
37
Ejercicio 5(d)
Verdadera.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
38
Ejercicio 6(a)
Verdadera. Las condiciones de EGC en una economı́a con intercambio y producción incluyen las siguientes:

px = CM gx



 py = CM gy
px
EGC ⇒
|RM Sy,x | =


py


(x, y) ∈ F P P
CM gx
En ausencia de fallos de mercado, se cumple |RM Ty,x | =
.
CM gy
Utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen fallos
de mercado se ha de verificar:
px
= |RM Sy,x |
py
Para esta economı́a, la FPP viene dada por:
|RM Ty,x | =
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
39
1
2


x = (Lx ) → Lx = x 2
y = Ly → Ly = y

L = Lx + Ly
y = 2 − x2
2
⇒2=x +y ⇒
|RM Ty,x | = −
∂y
= 2x
∂x
∂U
2y
= |RM Ty,x | = 2x ⇒ y = x2 .
Entonces: |RM Sy,x | = ∂x =
∂U
x
∂y
Sustituyendo en la ecuación de la FPP, se tiene: y = 2 − x2 ⇒ y =
2 − y ⇒ x = 1 ; y = 1. De este modo, se tiene que en el EGC:
|RM Ty,x |x=y=1 = 2x |x=1 = 2
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
40
Ejercicio 6(b)
Falsa. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y
producción son:
|RM Sy,x | = |RM Ty,x |
(x, y) ∈ F P P
Para esta economı́a, la FPP viene dada por:

1
x = (Lx ) 2 → Lx = x 2 
y = Ly → Ly = y

L = Lx + Ly
2
⇒2=x +y ⇒
y = 2 − x2
|RM Ty,x | = −
∂y
= 2x
∂x
∂U
2y
= |RM Ty,x | =
Entonces en el OP se cumple: |RM Sy,x | = ∂x =
∂U
x
∂y
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Soluciones a los Ejercicios
41
2x ⇒ y = x2 .
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
42
Ejercicio 6(c)
Verdadera. Las condiciones de EGC en una economı́a con intercambio y producción incluyen:

px = CM gx



 py = CM gy
px
EGC ⇒
|RM Sy,x | =


py


(x, y) ∈ F P P
CM gx
En ausencia de fallos de mercado, se cumple |RM Ty,x | =
.
CM gy
Utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen fallos
de mercado se ha de verificar:
px
= |RM Sy,x |
py
Para esta economı́a, la FPP viene dada por:
|RM Ty,x | =
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
43
1
2
x = (Lx ) → Lx = x 2
y = Ly → Ly = y



L = Lx + Ly




2
⇒2=x +y ⇒
y = 2 − x2 dy |RM Ty,x | = = 2x
dx
∂U
2y
= |RM Ty,x | = 2x ⇒ y = x2 .
Entonces: |RM Sy,x | = ∂x =
∂U
x
∂y
Sustituyendo en la ecuación de la FPP, se tiene:y = 2 − x2 ⇒ y =
2 − y ⇒ x = 1 ; y = 1. De este modo, en el EGC se cumple que
|RM Ty,x |x=y=1 = 2x |x=1 = 2 . Ası́:
|RM Ty,x |x=y=1 =
px
= 2 ⇒ px = 2py
py
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
44
Ejercicio 6(d)
Verdadera. Las condiciones de EGC en una economı́a con intercambio y producción incluyen:

px = CM g(x)



 py = CM g(y)
px
EGC ⇒
|RM Sy,x | =


py


(x, y) ∈ F P P
CM gx
En ausencia de fallos de mercado, se cumple |RM Ty,x | =
.
CM gy
Utilizando las condiciones anteriores, en el EGC si no existen fallos
de mercado se ha de verificar:
px
= |RM Sy,x |
py
Para esta economı́a, la FPP viene dada por:
|RM Ty,x | =
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
45
1
2
x = (Lx ) → Lx = x 2
y = Ly → Ly = y



L = Lx + Ly




2
⇒2=x +y ⇒
y = 2 − x2 dy |RM Ty,x | = = 2x
dx
∂U
2y
= |RM Ty,x | = 2x ⇒ y = x2 .
Entonces: |RM Sy,x | = ∂x =
∂U
x
∂y
Sustituyendo en la ecuación de la FPP, se tiene:y = 2 − x2 ⇒ y =
2 − y ⇒ x = 1 ; y = 1. De este modo, en el EGC se cumple que
|RM Ty,x |x=y=1 = 2x |x=1 = 2 . Y, por tanto:
|RM Ty,x |x=y=1 =
JJ
II
J
CM gx
= 2 ⇒ CM gx = 2CM gy
CM gy
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
46
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
47
Ejercicio 7(a)
Falsa. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y
producción son:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |
xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P
En la asignación inicial se tiene que:
yB
yA
B A RM Sy,x
= 2 ; RM Sy,x
=
=2
=
xA
xB
∂T
2x
10
2
2
=
T (x, y) = 0 ⇒ x + y − 500 = 0; |RM Ty,x | = − ∂x =
∂T
2y
20
∂y
1
A B ⇒ RM Sy,x
= RM Sy,x
= 2 6= |RM Ty,x | =
2
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I













Soluciones a los Ejercicios
48
Ejercicio 7(b)
Falsa. La eficiencia desde el punto exclusivamente de la producción
exige que la economı́a se sitúe sobre su FPP. Como se puede comprobar:
102 + 202 = 500 ⇒ (x, y) = (10, 20) ∈ F P P
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
49
Ejercicio 7(c)
Verdadera. En la asignación inicial se tiene que:
yA
A RM Sy,x
=2
=
xA
;
yB
B RM Sy,x
=
=2
xB







∂T
2x
10 
T (x, y) = 0 ⇒ x2 + y 2 − 500 = 0; |RM Ty,x | = − ∂x =
=

∂T

2y
20 


∂y
1
A B = RM Sy,x
= 2 6= |RM Ty,x | =
⇒ RM Sy,x
2
A B Como RM Sy,x
= RM Sy,x
> |RM Ty,x |, la valoración del bien
x por parte de los individuos es mayor que la que se deriva de la
producción, de modo que ambos consumidores pueden mejorar si se
aumenta la producción del bien x a costa de reducir la del bien y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
50
Ejercicio 7(d)
Falsa. En la situación inicial inicial se tiene que:
yA
A RM Sy,x
=2
=
xA
;
yB
B RM Sy,x
=
=2
xB







∂T
2x
10 
T (x, y) = 0 ⇒ x2 + y 2 − 500 = 0; |RM Ty,x | = − ∂x =
=

∂T

2y
20 


∂y
1
A B = RM Sy,x
= 2 6= |RM Ty,x | =
⇒ RM Sy,x
2
A B ComoRM Sy,x
= RM Sy,x
> |RM Ty,x |, la valoración del bien
x por parte de los individuos es mayor que la que se deriva de la
producción, de modo que ambos consumidores pueden mejorar si se
aumenta la producción del bien x a costa de reducir la del bien y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
51
Ejercicio 8(a)
Verdadera. Para esta economı́a, la FPP viene dada por:
1
x = (Lx ) 2 → Lx = x 2
Ly
→ Ly = 2y
y=
2
L = Lx + Ly



⇒ 200 = x2 + 2y


JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
52
Ejercicio 8(b)
Verdadera. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y producción son:
|RM Sy,x | = |RM Ty,x |
(x, y) ∈ F P P
Para esta economı́a, la FPP y la RMT vienen dadas por:

1
x = (Lx ) 2 → Lx = x 2 

Ly
⇒ 200 = x2 + 2y
→ Ly = 2y
y=

2

L = Lx + Ly
x2
2 dy |RM Ty,x | = = x
dx
y = 100 −
⇒
Entonces en el OP se cumple:
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
53
∂U
2y
x2
|RM Sy,x | = ∂x =
= |RM Ty,x | = x ⇒ y =
. Sustituyendo en
∂U
x
2
∂y
la ecuación de la FPP, se tiene:
y = 100 −
x2
⇒ y = 100 − y ⇒ y = 50 ; x = 10
2
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
54
Ejercicio 8(c)
Verdadera. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y producción son:
|RM Sy,x | = |RM Ty,x |
(x, y) ∈ F P P
Para esta economı́a, la FPP y la RMT vienen dadas por:

1
x = (Lx ) 2 → Lx = x 2 

Ly
→ Ly = 2y
y=

2

L = Lx + Ly
x2
2 dy |RM Ty,x | = = x
dx
y = 100 −
⇒ 200 = x2 + 2y ⇒
Entonces en el OP se cumple:
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
55
∂U
2y
x2
|RM Sy,x | = ∂x =
= |RM Ty,x | = x ⇒ y =
. Sustituyendo en
∂U
x
2
∂y
x2
la ecuación de la FPP:y = 100−
⇒ y = 100−y ⇒ y = 50 ; x = 10,
2
de modo que:
|RM Ty,x | = x|x=10,y=50 = 10
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
56
Ejercicio 8(d)
Falsa. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y
producción son:
|RM Sy,x | = |RM Ty,x |
(x, y) ∈ F P P
Para esta economı́a, la FPP y la RMT vienen dadas por:
1
x = (Lx ) 2 → Lx = x2
Ly
y=
→ Ly = 2y
2
L = Lx + Ly





⇒ 200 = x2 +2y ⇒
x2
2 dy |RM Ty,x | = = x
dx
y = 100 −
Entonces en el OP se cumple:
∂U
2y
x2
|RM Sy,x | = ∂x =
= |RM Ty,x | = x ⇒ y =
. Sustituyendo en
∂U
x
2
∂y
x2
la ecuación de la FPP: y = 100−
⇒ y = 100−y ⇒ y = 50 ; x = 10,
2
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Soluciones a los Ejercicios
57
de modo que:
Lx = x 2 = 100
Ly = 2y = 100
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
58
Ejercicio 9(a)
Verdadera. La eficiencia desde el punto exclusivamente de la producción exige que la economı́a se sitúe sobre su FPP. Como se puede
comprobar:
2 · 16 + 16 = 48 ⇒ (x, y) = (16, 16) ∈ F P P
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
59
Ejercicio 9(b)
Falsa. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y
producción son:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |
xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P
x
En la asignación inicial se tiene xA = xB =
= 8 ; yA = yB =
2
y
= 8, de modo que:
2

yA
yB
A B RM Sy,x
=
= 1 ; RM Sy,x
=
=1 

xA
xB
dy 
F P P : y = 48 − 2x ; |RM Ty,x | = = 2 
dx
A B ⇒ RM Sy,x
= RM Sy,x
= 1 6= |RM Ty,x | = 2
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
60
Ejercicio 9(c)
x
Verdadera. En la asignación inicial se tiene xA = xB =
=
2
y
8 ; yA = yB = = 8, de modo que:
2

yA
yB
A B RM Sy,x
=
= 1 ; RM Sy,x
=
=1 

xA
xB
dy 
F P P : y = 48 − 2x ; |RM Ty,x | = = 2 
dx
A B = RM Sy,x
= 1 6= |RM Ty,x | = 2
⇒ RM Sy,x
B A < |RM Ty,x |, la valoración del
= RM Sy,x
Como RM Sy,x
bien x por parte de los individuos es menor que la que se deriva de la
producción, de modo que ambos consumidores pueden mejorar si se
reduce la producción del bien x y se aumenta la del bien y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
61
Ejercicio 9(d)
Verdadera. Las condiciones de OP en una economı́a con intercambio y producción son:
A B RM Sy,x
= RM Sy,x
= |RM Ty,x |
xA + xB = x
y A + yB = y
(x, y) ∈ F P P

yB
yA
A B RM Sy,x

=
; RM Sy,x
=

xA
xB dy 
F P P : y = 48 − 2x ; |RM Ty,x | = = 2 
dx
A RM Sy,x
= |RM Ty,x | = 2 ⇒ yA = 2xA
⇒ B RM Sy,x
= |RM Ty,x | = 2 ⇒ yB = 2xB
Ası́, en el OP se cumple yi = 2xi para i = A, B.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
62
Ejercicio 10(a)
Verdadera: Si las cantidades de x e y se reparten a partes iguales,
xA = xB =0,5 e yA = yB =1,5, entonces los consumidores están sobre
la curva de contrato:
yB 
yA
A B RM Sy,x

=
= RM Sy,x
⇒
 y
3 − yA
xA
xB
A
=
xA + xB = 1

x
1
− xA
A

yA + y B = 3
⇒
3 − 1, 5
1, 5
=
0, 5
1 − 0, 5
Sin embargo, la asignación no es un óptimo
de Pareto
de
la economı́a,
A B =
ya que, para que lo sea, debe verificarse que RM Sy,x
= RM Sy,x
|RM Ty,x |. En este caso, las relaciones marginales de sustitución de
yA
yB
A B los consumidores son: RM Sy,x
≡
= 3 = RM Sy,x
. Por
≡
xA
xB
otra parte, a partir de la frontera de posibilidades de producción se
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
obtiene: T (x, y) = 0 ⇒
63
x2 + y 2 − 10 = 0 ⇒
|RM Ty,x | =
∂T/
∂x =
∂T/
∂y
2x
x
1
= = que difiere de las relaciones marginales de sustitución de
2y
y
3
los individuos.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
64
Ejercicio 10(b)
Falsa: Si las cantidades de X e Y se reparten a partes iguales,
yA
A xA = xB =0,5 e yA = yB =1,5, entonces RM Sy,x
= 3 =
≡
xA
yB
B RM Sy,x
. Por otra parte, a partir de la frontera de
≡
xB
posibilidades de producción se obtiene: T (x, y) = 0 ⇒ x2 + y 2 −
∂T/
∂x = 2x = x = 1 que difiere de
10 = 0 ⇒
|RM Ty,x | =
∂T/
2y
y
3
∂y
las
relaciones
marginales
de
sustitución
de
los
individuos.
Por tanto:
dyA dyB dy dxA = dxB > dx , luego ambos consumidores pueden mejorar
aumentando la producción de x y reduciendo la de y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
65
Ejercicio 10(c)
Verdadera: Si las cantidades de X e Y se reparten a partes iguales,
yA
A xA = xB =0,5 e yA = yB =1,5, entonces RM Sy,x
= 3 =
≡
xA
yB
B RM Sy,x
. Por otra parte, a partir de la frontera de posibil≡
xB
idades de producción se obtiene: T (x, y) = 0 ⇒ x2 + y 2 − 10 =
∂T/
∂x = 2x = x = 1 que difiere de las
0 ⇒
|RM Ty,x | =
∂T/
2y
y
3
∂y
relaciones
marginales
de
sustitución
de
los
individuos.
Por tanto:
dyA dyB dy dxA = dxB > dx , luego ambos consumidores pueden mejorar
aumentando la producción de x y reduciendo la de y.
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
66
Ejercicio 10(d)
Verdadera: Dado que las cantidades se reparten a partes iguales,
xA = x/2 e yA = y/2. Para
queAuna
asignación
sea un óptimo
B = RM Sy,x
de Pareto debe verificar que RM Sy,x
= |RM Ty,x | y
pertenecer a la frontera de posibilidades de producción (FPP). A partir de la FPP se obtiene: T (x, y) = 0 ⇒
x2 + y 2 − 10 = 0 ⇒
∂T/
∂x = 2x = x , de forma que RM S A = xA =
|RM Ty,x | =
y,x
∂T/
2y
y
yA
∂y
x/2
y
= |RM Ty,x | =
⇒
x2 = y 2 , y sustituyendo en la FPP:
y/2
x
x2 + y 2 = x2 + x2 = 2x2 = 10 ⇒ x2 = y 2 = 5
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I