Estudios Generales

DIRECCIÓN NACIONAL
GERENCIA ACADÉMICA
Estudios
Generales
Matemática T.O.
Parte 02
CÓDIGO: 89001293
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO
 CICLO :
ESTUDIOS GENERALES
 CURSO :
MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 02
Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de
Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo,
se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a
MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 02
Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los
responsables de su difusión y aplicación oportuna.
DOCUMENTO APROBADO POR EL
GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI
N° de Páginas:….............
261.…...........…..
Firma: ………………………………….…..
Lic. Jorge Chávez Escobar
Fecha: …………………………...……….
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
INDICE
UNIDAD 08. Longitud ............................................................................................... 4
UNIDAD 09. Medidas de Tiempo ............................................................................ 37
UNIDAD 10. Razones y Proporciones....................................................................... 57
UNIDAD 11. Magnitudes Proporcionales ................................................................ 73
UNIDAD 12. Regla de Tres ...................................................................................... 92
UNIDAD 13. Porcentaje ........................................................................................ 103
UNIDAD 14. Angulos ............................................................................................ 123
UNIDAD 15. Paralelas .......................................................................................... 145
UNIDAD 16. Circunferencia y Circulo .................................................................... 163
UNIDAD 17. Polígonos ......................................................................................... 175
UNIDAD 18. Perímetro.......................................................................................... 197
UNIDAD 19. Superficie y volumen ........................................................................ 220
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 08
MEDIDAS DE LONGITUD
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8.1. MEDIDAS DE LONGITUD.
Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como unidad
de medida
Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo.
Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un
pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo
hasta la punta del otro), eran 6 pies.
Cuando los Británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias
usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había confusión
entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la Revolución
Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma
uniforme de pesas y medidas.
También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y nadie
estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de Tesorería dispuso
que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas, y en el año
1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler escogió el
Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema métrico. Sin embargo, el Sistema
Internacional (SI) de Unidades (Sistema Métrico), es aceptado como la norma de
medidas.
8.1.1. Unidad Fundamental (EL METRO).
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental
de la magnitud longitud es el METRO.
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Longitud del trayecto recorrido en el vacío, por un
rayo de luz en el tiempo de
Longitud
metro
m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
1
s
299 792 458
5
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I.
Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y submúltiplos
de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o
derivadas.
1.1
Para formar
múltiplos
decimales
PREFIJO
SÍMBOLO
exa
E
peta
P
tera
T
FACTOR
10
10
10
giga
mega
18
15
12
G
M
NOMBRE DEL VALOR
NUMÉRICO
trillón
mil billones
billón
mil millones
10
kilo
k
10
hecto
h
10
deca
da
10
9
millón
6
mil
3
cien
2
diez
10
Para formar
submúltiplos
decimales
deci
d
centi
c
mili
m
10
10
10
micro

-1
-2
-3
Décima
centécima
milésima
millonésima
10
nano
n
pico
p
10
femto
f
10
atto
a
10
10
-6
mil millonésima
-9
billonésima
-12
mil billonésima
-15
trillonésima
-18
En el caso de la medida de longitud:
Múltiplos
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
Submúltiplos
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
kilómetro 1.2
HECTÓMETRO decámetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
: 10
: 100
: 1000
X 1000
1.3
X 100
X10
1000 m
1.4
100 M
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
1 km
1.5
1 HM
1 dam
1m
1 dm
1cm
1 mm
Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.
Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.
Largo
....................... cm
... ........................
mm
Ancho
...................... cm
...........................
mm
Alto
...........................
cm
...........................
mm
Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida, si se
toman 10cm, se tiene 1 decímetro.
1 decímetro = 10 centímetros
Y si se toman 10 decímetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de
medida de longitud.
Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados.
a) Un libro

b) Un salón de clase

c) Un lápiz

Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene:
10 m
forman 1 decámetro 
dam
10 dam
forman 1 hectómetro

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hm
7
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Observar, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los
cuerpos recibe, en geometría, el nombre de segmento de recta. Medir algunos
de ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas
veces una unidad está contenida en él.
2
3
1
4
Largo
= …………unidades
Ancho = ……. Unidades
Altura = …….
Unidades
5
Muy Importante:
El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA.
Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.
Ejemplo:
 La longitud de la regla es de seis pulgadas.
 La broca de tres cuartos está sobre la bancada.
 Compré mil milímetros de alambre de cobre.
 Esta caja contiene doce docenas de pernos.
 La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.
En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo,
ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm).
Notar que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las
cuales se llama milímetro (mm).
En la medición de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Se puede comprobar que:
10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro
10 x 1 mm = ........ mm = 1 .......
Completar:
Ancho = 2,5 u =
2,5 cm = .......... mm
alto
1 cm
=1
u=
= .......... mm
Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de unidades
de medidas de longitud. Observar el cuadro:
8.1.3.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.
MÚLTIPLOS
km
5.1
kilómetro 5.2
1000 m
5.3
HM
UNIDAD
dam
HECTÓMETRO decámetro
100 M
10 m
m
metro
1m
SUBMÚLTIPLOS
dm
cm
decímetro centímetro
0,1 m
0,01 m
mm
milímetro
0,001 m
Observación:
Es preciso aclarar que:
 Existen múltiplos mayores que el kilómetro.
 Existe submúltiplos menores que el milímetro.
Por ejemplo:
En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros
submúltiplos del metro, como por ejemplo la millonésima parte ( micra) del
metro que se denomina micra ( m).
Resumiendo se tiene:
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:
decámetro
dam
1 dam = 10 m
hectómetro
hm
1 ....... = 100 ........
kilómetro
km
1 .........= ……........
5.4
5.5
1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M
Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:
5.6
decímetro
dm
1 dm = 0,1 m
centímetro
cm
1 ....... = ......... m
milímetro
mm
1 ....... = .............
1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS
Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente:
1.
2.
3.
Completar:
a)
5 dam = cinco decámetros
b)
18 mm = ...................................................
c)
........................... = doce kilómetros
d)
........................... = nueve hectómetros
e)
35 cm = .....................................................
f) .
.....................dm = siete ..........................
Completar:
a)
9,082 km
= 9 km, 8 dam y 2 m
b)
13,052 km
= ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m
c)
............dam = 19 dam, 5m y 3dm
d)
9,5 ..............= 9 m y 5 dm
e)
8,25 dm
= ............. y .............
Se sabe que:
1 dam = 10 m
Entonces, completar:
4
a)
8 dam = 8 x 10 = 80 m
b)
28 dam = ............................ = .......................... m
c)
3,4 dam = ........................... = …………………. m
d)
53 m = 53  10 = 5,3 dam
e)
156 m = ……………………. = …………………. dam
f)
,90 m = ……….……………. = ……………….… dam
También se sabe que:
1 hm = 10 dam
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Completar entonces:
a)
5 hm = 5 x 10 = 50 dam
b)
0,8 hm = ......................... = ........................ dam
c)
58 hm = ......................... = ….……………. dam
d)
30 dam
e)
48 dam = …………..…… = ……..………….. hm
f)
0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm
= 30  10 = ………. hm
5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,
completar:
a)
2 km = 2 x 10 = 20 hm
b)
72 km = ........................... = …………………. hm
c)
0,8 km = ……………….… = …………………. hm
d)
5 m = 5 x 10 = 50 dm
e)
3,8 m = ..………………….. = …………………. dm
f)
4 dm = 4 x 10 = 40 cm
g)
52 dm = …………………... = ….………..……. cm
8.1.4. CONVERSIÓN DE UNIDADES.
La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma
decimal, que usted debe haber observado.
Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm.
Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal.
Por consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene:
M
dm
cm
Mm
4
5
8
7
4,587 m
que se lee, 4 metros y 587 milímetros
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Observar con atención, la escalinata con sus “carteles”.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Pues bien:
Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.
Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.
Realizar ahora los ejercicios que siguen:
6.
De las equivalencias:
1 dam = ........... m
7.
1 hm
= ………….m
1cm
= ..…………..m
1 km
= .…………m
1mm
= ….……….. m
Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden
colocado inmediatamente antes de la coma decimal.
Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm
2,5 mm
802,7cm = ...................................
7,28 dm = ....................................
8.
= ….............. m
1dm
= .....................................
1,520 km = ....................................
0,85 m
= ....................................
Completar, observando el ejemplo:
a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m
b) Doce centímetros y doce milímetros = .............................................
c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................
d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9.
Complete el cuadro, observando los ejemplos:
Ejemplo:
m
10.
a)
7 mm
a
b)
14,5 dm
b
c)
4,5 m
c
d)
20,1 cm
d
e)
0,2 m
e
f)
12,5 cm
f
g)
3m
g
h)
0,8 dm
h
dm
cm
mm
7
1
4
5
Responder:
a) ¿Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................
b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................
c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................
d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................
e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................
11.
Completar:
a) En 1 km hay ........................................ metros
b) En 1 hm hay ........................................ metros
c) En 1 dam hay ...................................... metros
d) En 3 m hay ...........................................decímetros
e) En 5 m hay ...........................................centímetros
f)
12.
En 10 m hay ........................................ milímetros
Completar:
6m = .................................. dm
23 dm = ......................... m
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14
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
13.
9,7m = …………………….. dm
80 dm = ………………… m
88,53 m = ……………….… dm
8,2 dm = ……...………… m
0,44 m = ………………….. dm
33,4 dm = ..……..…..….. m
Colocar convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:
a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 .............……
b) 45,67 m = 4567 ……….…. h) 300,7 mm = 3,007 …..………….
c) 45,67 m = 45 670…………. i) 0,7 km = 0,007 ………………….
d) 45,67 m = 4,567 …………. j) 10 hm = 100 000 …………………
e) 45,67 m = 0,4567 ………... l) 9,47 cm = 94,7 ............................
f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 …………………….
14.
Escribir en los puntos, los valores correspondientes:
a) 8 m = ........................ cm
g) 4 cm = ......…...........…..... dam
b) 17 m = ………………. mm h) 38 cm = .….………….….. m
c) 9,5 m = ……………… cm i) 680 cm = …………….…. m
d) 0,16 m = ………….… dm
j) 77,5 cm = ………………… hm
e) 0,007 m = ………….. km l) 6,91 cm = ......................... dm
f) 2800 m = .................... cm m) 0,25 cm = ……………….. mm
15.
Efectuar, haciendo la conversión de unidades conveniente:
80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m
4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm
274,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m
Solucionario:
1. b) Dieciocho milímetros
c) 12 km
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d) 9 hm
e) Treinta y cinco milímetros
f) 7 dm = siete decímetros
2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m
c) 19,53 dam
d) 9,5 m
e) 8 dm, 2 cm y 5 mm
3. b) 28 x 10 = 280 m
c) 3,4 x 10 = 34 m
d) 156 : 10 = 15,6 dam
e) 90 : 10 = 9 dam
4. b) 0,8 x 10 = 8 dam
c) 58 x 10 = 580 dam
d) 30 : 10 = 3 hm
e) 48 : 10 = 4,8 hm
f) 0,08 : 10 = 0,008 hm
5
b) 72 x 10 720 hm
c) 0,8 x 10 8 hm
d) 3,8 x 10 38 dm
c) 52 x 10 = 520 cm
6. 1 dam = 10m
1 dm = 0,1 m
1 hm = 100 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m
1 mm = 0,001 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
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MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm
7,28 dm = 7dm y 28 mm
2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm
1,520Km = 1 Km y 520 m
0,85 m = 85 cm
8. Doce centímetros y doce milímetros = 12,12 dm
Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm
Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm
9.
m
dm
Cm
mm
..........
........
..........
............
..........
c
4
5
0
1
1
2
5
0
8
d
2
e
0
2
f
g
3
h
10.
a) 5 cm
11.
a)
1000 m
d)
30 dm
b)
100 m
e)
500 cm
c)
10 m
f)
10 000 mm
12.
6m = 60 dm
9,7 m = 97 dm
b) 12 cm
c) 10 dm
d) 100 cm
e) 1000 mm
23 dm = 2,3 m
80 dm = 8 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
17
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m
0,44 m = 4,4 dm
13.
33,4 dm = 3,34 m
a) ………………. = 456,7 dm g) ……………. = 29 905 dam
b) ………………. = 4567 cm h) ……………. = 3,007 dm
14.
15.
c) ………………. = 45 670 mm
i) ………….…. = 0,007 km
d) ………………. = 4,567 dam
j) …………….. = 100 000 cm
e) ………………. = 0,4567 hm
l) …………….. = 94,7 mm
f) ........................ = 0,04567 km
m) .................. = 4 hm
a) ……………….. = 800 cm
g) …………….. = 0,004 dam
b) ……………….. = 17 000 mm
h) …………….. = 0,38 m
c) ……………….. = 950 cm
i) ……………… = 6,80 m
d) ……………….. = 1,6 dm
j) ……………… = 0,00775 hm
e) ……………….. = 0,000 007 km
l) ……………… = 0,691 dm
f) ………………… = 280 000 cm
m) ……………. = 2,5 mm
0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m
4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm
27,6 m – 13,6 m = 14 m
Observación:
Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias
inapreciables por los seres humanos:
1 micra

0,001 milímetros.
1 nanómetro

0,000 001 milímetros.
1 angstron (A°)  
0,000 000 1 milímetros.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
18
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia
de los planetas:

1 año luz
9,461 mil millones de kilómetros.
(distancia que recorre la luz en un año)
1 unidad astronómica
8.2.

149 600 000 km de longitud.
SISTEMA INGLÉS.
Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en las
especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada.
En la industria, las medidas de máquinas, herramientas, instrumentos e instalaciones,
se utiliza también otra unidad de medida, denominada PULGADA.
8.2.1. PULGADA.
La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la derecha
y un poco encima de un número.
Dos pulgadas se abrevia
2”
Tres pulgadas se abrevia
3”
La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con
atención:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
19
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa “pulgadas”.
1”
25,4 mm
8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS.
Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro décimos,
aproximadamente.
Además:
1pulgada = 1” = 25,4 mm
1pie = 1 = 12 pulgadas
1yarda = 3 pies = 3 = 36
1 pie = 0,3048 m
1 yarda = 0,9144 m
1 pie = 1
1 m = 3,28 pies
Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:
En NÚMEROS ENTEROS
Ej.: 1”; 2”; 17”
1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
20
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ej.:
1"
2'
;
3"
;
4
3”
4
5"
8
En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como denominador
2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ej:
2
1"
2'
; 1
3"
4
;
7
13"
64
1
3”
4
OBSERVACIÓN.
Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal.
Ej.:
1"
 0,5"
2
1"
 0,25"
4"
1"
 0,125"
8
3"
 0,75"
4"
Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las
divisiones de la regla:
1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto cada
división es 1/8” (un octavo de pulgada).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
21
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es
excepto una parte de 1” cuya menor división es
1
);
16
1
(de 1” a 32”)
32
Ver la medida de la longitud AB
La regla indica:
3. La pulgada está dividida en 8 partes iguales.
De A hasta B se tienen .......... partes iguales. .
Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se están tomando 5 partes,
luego:
La medida de A hasta B es ……
Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que siguen,
comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.
Medida A = 2”
Medida D = 3
3"
4
Medida B = 1
Medida E =
5"
8
1"
16
Medida C = 2
Medida F =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
1"
2
13"
16
22
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ejercicio:
1"
2
Medida H =
7"
8
Medida I = 3
17"
32
Medida L =
15"
16
Medida M = 1
Medida G = 2
Medida J =
1"
4
7"
32
Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:
8.2.3. TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS.
Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número
presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión:
1. Si 1” es igual a 25,4 mm
5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto?
5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm
2.
3" 3
3x
 x25,4 
4 4
4
 ………………………….. mm
3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm
4. 1
3" 11
 x .......... ...  .......... .......... ..
8
8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
23
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Observar los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.
Pulgada
Número x 25,4 mm
mm
1”
1 x 25,4 mm
25,4 mm
3”
3 x 25,4 mm
76,2 mm
5”
5 x 25,4 mm
.............
10”
10 x .................................
.............
1"
2
1 25,4 mm 25,4 mm
x

2
1
2
12,7mm
3"
4
3 25,4 mm
25,4
x
 3x
mm
4
1
4
19,05
23 25,4 mm
25,4mm
x
 23x
8
1
8
..............
11"
x..........  ..........
16
..............
2
7"
8
11"
16
Se verá ahora cómo se hace el problema inverso, esto es.
8.2.4. TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS.
Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado en
milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción equivalente,
es decir:
2" 4" 8" 16" 32" 64" 128"
; ; ;
;
;
ó
2 4 8 16 32 64
128
Hacer esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada.
Observar con atención los ejemplos y completar:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
24
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
1.
Transformar 50,8 mm a pulgadas:
1"

25,4mm
x

50,8mm
50,8mm
2
25,4mm
2.1” = 2”
Rpta. = 50,8 mm = .......................
2.
Transformar 12,7 mm a pulgadas:
12,7mm
 0,5
25,4mm
0,5 . 1” = 0,5” =
0,5 .
3.
1"
2
128" 64 64 1"

:

128 128 64 2
Rpta. = 12,7 mm = ...........................
Transformar 10 mm a pulgadas:
10 mm
 ....................
25,4 mm
....................... x 1” = .......................
ó ................................ x x
Rpta. = 10 mm =
128" 50"

 _________
128 ......
25"
64
Resolver los ejercicios siguientes:
Transformar:
a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.
21,2 mm
 ................ x 1” = ............................
25,4 mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
25
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
ó
............... x
128"
 ...................
128
Rpta. = 21,2 mm = .............
b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:
Rpta. = 2mm = ....................
Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver:
TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL)
En este caso, se tendrá que dividir el número de milímetros entre.........
Pues bien, dividir entre
25,4 mm es lo mismo que multiplicar por
1
, ¿De
25,4
acuerdo?
Como:
1
 0,03937 , se puede escribir la primera regla práctica:
25,4
Para transformar milímetros a pulgadas representadas por números
decimales,
se
multiplica
los
milímetros
por
.........................
obteniéndose el resultado en pulgadas (decimales).
Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.
10 x 0,03937 = 0,3937”
Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.
Rpta. .......................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
26
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA.
Ahora multiplicar por
1 128
128
x
, pero como
 5,04 se tiene la segunda regla
25,4 128
25,4
práctica. Luego:
Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada, se
multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca el
resultado sobre el denominador 128.
Observar el ejemplo con atención, que se entenderá mejor la segunda regla práctica.
Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:
10 x 5,04 50" 25"


128
128 64
Rpta. .....................
Resolver ahora aplicando la regla práctica.
1.
Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada
21,2 x 5,04

128
2.

107"
128
Transformar 2 mm a fracción de pulgada:
Rpta. ...................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
27
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una
carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos
hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?
km
3
hm
0
3
1
dam
m
0
4
3
8
dm
4
Es decir 34,82 hm
2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de madera
de 5 m 6dm?
hm
0,
dam
0
M
5
dm
0
6
cm
0
0
Es decir 560 cm, luego el número de varillas =
560 cm
 20
28 cm
3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.
¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del
material?
Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde
0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá:
0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm.
Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
28
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Por lo tanto, la longitud de cada parte será:
28,32 cm
 2,36 cm
12
4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas
son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho?
Largo 20 cm = 200 mm
Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm
Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2
Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2
2
Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 20 000 mm
25 mm2
 800
5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto
mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm?
Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm
Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:
750 mm – 250 mm = 500 mm.
6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.
Aplicando la regla de conversión: 92,075 
5,04 464 29
5

    3 pulgadas.
128 128
8
8
7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal manera
que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál es
la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?
Si
6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
29
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg
18 pies = 18 x 12 pulg =
216 pulg
Aplicando regla de tres simple directa, se tendrá:
180 pulg _________ 216 pulg
75 pulg
_________
x
Luego: x = 90 pulg
8. A qué es equivalente 7
7
3
pulgadas en metros.
4
3
3
 7   7  0,75  7,75 pu lg , que convertidos a mm dará:
4
4
7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD
1. Convertir en cm:
0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm;
0,68 dm
2. Convertir en dm:
3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm
3. Convertir en mm:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
30
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2,84 dm;
6,82 m ; 5,8 dm;
0,3 m;
6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm
4. Convertir en m:
2,84 dm ; 7621 cm
; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm
5. Sumar en mm:
3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm
6. Sumar en cm:
3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm
7. Restar en m:
86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm
8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué longitud
tiene la pieza restante (en m)?
9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope
entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.
10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros
respectivos es de 318,5 mm. ¿Cuánto material queda entre las perforaciones?
11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres distancias
iguales ¿Qué longitud tienen los espacios?
12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual
distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
31
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.
1. Efectuar y expresar en metros la respuesta:
1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm
A) 52,554 m
B) 16,554 m
C) 46,56 m
D) 26,45 m
E) 12,954 m
2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057
m – 240 mm
A) 367 mmB) 20,5 mm
C) 2040 mm
D) 205 mm
E) 248 mm
3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de
5m 6 dm?
A) 36
B) 18
C) 20
D) 40
E) 48
4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud
queda?
A) 7,8 m
B) 0,078 8 m
C) 780 dm
D) 7800 mm E) 78,8 dm
5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende
0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda?
A) 116,5 dam
B) 1184,04 m
C) 11,84 dm
D) 1184 cm
E) 116,52 m
6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las
medidas de todas sus aristas?
A) 31,2 dm
B) 20,8 dm
C) 41,6 dm
D) 42,7 dm
E) 62,4 dm
7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado?
A) 0,75 cm B) 0,007 5 m
C) 0,075 m
D) 75 dm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
E) 0,75 m
32
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A
1. Calcular en centésimas de hectómetro:
200” + 205,25m + 0,45km
a) 660,33m b) 660,33cm c) 660,033mm d) 606,30m
e) 660,33hm
2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm
cada una. ¿Qué longitud falta para completar un trozo más, si en cada corte
se pierde 1cm?
a) 5,02cm
b) 2,6cm
c) 28,98cm
d) 29,98cm e) 310,2cm
3. Del gráfico hallar: a+b+c+d.
a)
b)
c)
d)
e)
123cm
20,23cm
19,8mm
10,2cm
310,2mm
4. Reducir a milésimas de dam:
a) 12,620m
5. Si:
12dam 6cm 20dm 11,5cm
b) 122,175cm
c) 12217,5cm
d) 12217,5mm
e) 122,75cm
A= 45,8cm – 0,0428m;
B= 0,82dm + 14,3cm.
C= 2(A – B)/3.
Hallar el exceso de A sobre C.
a) 28,84cm
b) 10,2cm
c) 2,16cm
d) 24,12cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
e) 48,24c
33
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6. Hallar el perímetro de la figura:
a)
b)
c)
d)
e)
158,342mm
159,524mm
162,412mm
222,25mm
222,5mm
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B
1. ¿A cuántos centímetros equivale 3
a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm
1"
?
4
d) 6,72cm
e) 9,28Cm
2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:
a) 4”
b) 5”
c) 6”
d) 8”
e) 3”
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.
I.
II.
III.
IV.
13,56dm < > 1m 35cm 6mm
31,67m < > 3Dm 16dm 7cm
5,608Hm < > 56Dm 8m
2,24dm < > 0,2m 24cm
a) VVFF b) VVFV c) VVVF
d) VVVV e) FVVF
4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de 14,696dm
de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material?
a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
34
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm
a) 2,048dm
b) 10,2dm
c) 0,25dm
d) 0,553dm
e) 1,248dm
6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha disminuido
en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros?
a) 140
b) 120
c) 160
d) 144
e) 158
7. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en cuatro décimos de metro?
a) 200
b) 2 000
c) 20 000
d) 200 000
e) 20
8. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo
menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del trozo
mayor.
a) 36,57
b) 36,576
c) 36, 574
d) 36, 5
e) 43
9. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas.   3,14
53
128
"
53
b)
32
"
a)
1
c)
8
0,24 mm
0,24 mm
2,34 mm
"
25
d)
128
2,34 mm
"
21
e)
32
"
10. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.
a)
1
8
"
b)
1
16
"
c)
7
64
"
d)
5
64
"
e)
3
8
"
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
35
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm   3,14
a) 31/64”
b) 25/64”
R
r
r
c) 29/32”
d) 43/64”
e) 19/32”
12. Hallar la longitud del contorno de la figura.
a) 370,44mm.
b) 342,32mm.
3
1
8

c) 387,35mm.
d) 328,52mm.
e) 387,24mm.
4
1
2

13. Hallar el radio de la circunferencia:
a)
1/32”
b)
19/128”
c)
7/16”
d) 11/64”
e)
7/32”
14. 98 006 dm se puede expresar como:
a) 9 Km 7 Hm 6dm
b) 8 Km 8 Hm 8dm
c) 8 Km 7 Hm 8dm
d) 9 Km 8 Hm 6dm
e) 9 Km 6 Hm 6dm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
36
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 09
MEDIDAS DE TIEMPO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
37
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9.1.
MEDIDA DE TIEMPO.
En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua
o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta
principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo XIX
aparece ya hasta el segundo.
¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que, en
este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido
recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo
de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilómetros.
En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del
tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la
investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En Informática
hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en el deporte,
tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo litúrgico; en
lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras
magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.
Unidad Fundamental.
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental
de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Es la duración de 9 192 631 770 períodos de
Tiempo
segundo
s
la radiación correspondiente a la transición
entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
38
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9.2.
MULTIPLOS DEL SEGUNDO.
Se tiene al MINUTO y a la HORA.
El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................
El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora
local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente:
1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas (0;
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes símbolos:
h
hora
min
minuto
s
segundo
2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores numéricos
de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de
estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden:
Primero: HORA
Ejemplo:
Segundo: MINUTO
08 h 23 min 43 s
;
y
Tercero: SEGUNDO
18 h 54 min 27 s
3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y
minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo.
Ejemplo:
05 h 11 min 20 s  05 h 11 min 20
00 h 39 min 08 s  00 h 39 min 08
23 h 42 min
 18 h 42
15 h
 15 h
4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente.
Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.
5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el
modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.
Ejemplo:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
39
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Denominación recomendada
Denominación antigua
08 horas
8 a.m.
15 h 30 min ó 15:30 h
15:30 p.m. ó 3 p.m.
12 h
12 m
23 h 42 ó 23:42 h
11:30 p.m.
24 h
12 p.m.
6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se
recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del
nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos.
Ejemplo:
Correcto
Incorrecto
47 s
cuarenta y siete s
27 min
veintisiete min
RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMÉRICA
a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es
decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque.
Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos cifras.
Ejemplo:
2007 ó 07
1998 ó 98
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
40
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar
el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa,
se respetará el orden siguiente:
Primero: AÑO
Segundo: MES
y
Tercero: DÍA
Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se
puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.
Ejemplo:
2005-03-17
ó
2005 03 17
98-09-23
ó
98 09 23
c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas
Correcto
Incorrecto
20 de marzo del 2007
2007-03-20
20-3-2007
25 de diciembre de 1998
1998-12-25
25 / 12 / 98
28 de julio de 1821
1821-07-28
28 / VII / 1821
30 de abril de 2007
2007-04-30
2,007-04-30
15 octubre de 2003
2003-10-15
15 de octubre de 2003
9.3.
EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.
El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:
Milenio

1000 años.
Siglo

100 años.
Década

10 años.
Lustro

5 años.
Año

12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.
(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)
Semestre

6 meses.
Trimestre

3 meses.
Bimestre

2 meses.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
41
MATEMÁTICA T.O. Parte 02

Mes
30 días (abril, junio, septiembre y noviembre).
31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre).
Quincena

15 días.
Día

24 h
Hora

60 min  
Minuto

60 segundos
9.4.

1440 min

86 400 s
3600 s
OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.
ADICIÓN
Operar:
07 h 45 min +
07 h 15 min +
02 h 14 min
04 h 50 min
09 h 59 min
Ahora sumar:
11 h 65 min   12 h 05 min
5d 08h 20 min + 12 h 48 min
Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min
Ahora sumar:
23d 18 h 20 min + 36 h 48 min
El resultado será: ……………………..
SUSTRACCIÓN.
Operar:
16 h 50 min - 18 h 30 min -  
17 h 90 min -
12 h 30 min
17 h 45 min
04 h 20 min
17 h 45 min
00 h 45 min
Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de
“pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.
Observación:
05 h 30 min es diferente de 5,30 h
Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
42
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
MULTIPLICACIÓN.
Operar:
06 h 14 min 29 s 
5__
30 h 70 min 145 s   31 h 12 min 25 s
03 h 12 min 25 s 
______
18__
54 h 216 min 450 s   57 h 43 min 30 s
Ahora multiplicar:
5d 08h 20min 24s  12
el resultado es: ........................................................
DIVISIÓN.
Dividir:
28d 09h 35min  7
Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s
Dividir:
4d 13h 30min 20s  5
El resultado es: .................................................
EJERCICIOS
Marcar las respuestas correctas:
1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min
2. Restar 17 h de 12 h 30 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
43
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3. Utilizar los símbolos de acuerdo al ejemplo:
Ejemplo:
Diez horas y cincuenta y cinco minutos
 10 h 55 min
a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos 
b) Dieciocho horas y cinco minutos 
c) Treces horas y media

d) Doce horas y media

4. Escribir conforme al ejemplo:
Ejemplo:
07 h 15 min  siete horas y quince minutos.
a) 05 h 45 min

b) 18 h 30 min

5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:
 480 min
 28 800 s
a) 05 h 30 min
 330 min

b) 04 h 10 min


c) 02 h 50 min


d) 09 h 15 min


Ejemplo:
08 h
6. Desarrollar:
a) 05 h 40 min + 03 h 35 min

b) 03h 35 min + 02 h 40 min

c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min

d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min

e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min

f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s

7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h
30
min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.
8. Realizar las siguientes sustracciones:
a) 18 h 30 min – 13 h 15 min

b) 12 h 45 min – 07 h 30 min

c) 04 h 15 min – 30 min

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
44
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d) 03 h 20 min – 50 min

e) 12 h – 07 h 30 min

9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo
hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h 45
min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y el
tiempo previsto.
10. Completar el cuadro:
01 min
……………… s
01h
……………… s
01h
……………… min
1d
..................... h
1 semana
..................... d
1 año
..................... d
1 década
..................... años
11. Colocar el signo igual (=) o diferente ()
a) 07 h 45 min .................. 07,45 h
b) 07, 45 h
c) 12,30 h
………..…. 07 h 27 min
……………. 12 h 18 min
d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h
e) 17,15
……………. 17 h 15 min
f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h
12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el
total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas (1 día laborable es
8 horas)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
45
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h 50 min,
¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?
14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y desde las
13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe recibir, si por hora
cobra S/. 6?
15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min
16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha trabajado
la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el segundo obrero?
(Trabajan 8 horas diarias)
17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min. ¿Qué
tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?
Muy Importante:
Sería necesario memorizar las equivalencias de los múltiplos del tiempo, según esto,
numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:
(1) 1 año
( ) 30 minutos
(2) media hora
( ) 100 años
(3) 3 minutos
( ) 3 meses
(4) 1 siglo
( ) 180 segundos
(5) 1 bimestre
( ) 365 días
(6) 1 trimestre
Escribir los meses que tienen 31 días:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
46
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Escribir (V) ó (F), si es verdadero o falso:
Febrero tiene 31 días
(
)
Un trimestre tiene 3 años
(
)
Un día tiene 24 horas
(
)
Una hora tiene 3600 segundos
(
)
Un día tiene 1440 segundos
(
)
Una semana tiene156 horas
(
)
Un año tiene 4 trimestres
(
)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
47
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al
tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?
horas transcurridas x
horas que faltan transcurrir 24  x
Día = 24 h 
Luego:
3
(24  x)  x  72  3x  5 x  x  8
5
 Es las 9 de la mañana
2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de
este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?
15d

16h
1h
30 min
3
5d 5h 30 min
 60mi  90 min

 Palmira trabaja 5d 5 h 30 min
3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40 min.
¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?
2h 40 min = 160 min
120 km = 120 000 m
 Recorre por minuto 
120 000 m
 750 m / min
160 min
4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?
121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto
2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto
33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto
 9 h 40 min 7 s
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
48
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:
Pedro: 15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días
Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?
15 años
5 meses
6 días
7 años
4 meses
8 días
4 años
18 días
 26 años
9 meses
32 días = 26 años 10 meses 2 días
6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto
necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?
3h
16 min
18 s x
8
24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )
 1 d 2 h 10 min 24 s
7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min.
¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?
25 d
4h
35 min x
14
350 d 56 h
490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)
 358 d 10 min
8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo se
retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?
6 obr
6 obr
15 d 6 h
9 d 6 h  78h (como trascurren 6 d)
4 obr
x
x
6 obr  78 h
 117 h   14 d 5 h
4 obr
 14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
49
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años 8
meses y 20 días de edad?
1986 años 9 meses
36 años 8 meses
15 d +
20 d
 2022 años 17 meses 35 d = 2023 años 6 meses 5 d
10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este
empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si
prosigue su labor a las 15 h 17 min , ¿A qué hora deberá acabar su trabajo?
15 h
Hora de inicio
17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio
8h
20 min +
Duración del trabajo 12 h
18 min
Refrigerio
37 min

20 h
75 min
= 21 h 15 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
50
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1) Convertir en:
a) horas: 312min; 6374 s;
3,2min;
6800min; 22850 s;
415min
b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h
c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h
d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s
e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h
f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s
2) Convertir en:
a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425'
b) minutos: 360” ;38 ;4600” ; 38,6 ; 0,64 ; 172” ; 86”
c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45 ; 0,012; 15
d) decimales: 64' ; 28”; 12627'42” ; 3638'18” ; 42 12' 48”
e)  , ' , “ : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75
f) sumar: 1446'+18134”+378' + 9 12' 32”
3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo
a decimales.
4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo
para una pieza de trabajo.
5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue
necesario para dar una vuelta?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
51
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14 12' 56”. Para el
ajuste se requiere el ángulo en decimales.
7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139 37' 4”. Calcular el tercer
ángulo.
PROBLEMAS PROPUESTOS – NIVEL II.
1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a Estudios Generales 12 432
segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar?
A)
9 h 59 min 27s
B)
7 h 32 min 43 s
C)
3 h 29 min 50 s
D)
10 h 59 min 26s
E)
13 h 2 min 59 s
2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior. Si el
viernes gané el quíntuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el jueves?
A) 30
B) 25
C) 28D) 27
E) 24
3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado
en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a razón
de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña?
A) 860 m
B) 1160 m
C) 1450 m
D) 950 m
E) 1830 m
4. Un elástico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se
estira 3 mm, ¿Cuánto tiempo después volverá a su estado primitivo?
A) 30 s
B) 3 s
C) 0,3 s
D) 5 s
E) 4 s
5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, ¿Qué hora es?
A) 23 h 25m 51 s
B) 23 h 25min 52 s
C) 24h 25 min 52 s
D) 22 h 32 min 25 s
E) 21 h 23 min 35 s
6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si
asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la avenida tiene
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
52
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
43 cuadras?
A) 05-26
B) 06-26
C) 07-26
D) 04-26
E) 07-25
7. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s
A) 114 d 22 h 07 min
B) 360 d 22 h 07 min
C) 360 d 20 h 07 min 05 s
D) 866 d 20 h 07 min 05 s
E) 368 d 22 h 07 min
8. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que falta
para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué fecha
estamos?. Considerar año no bisiesto.
A) 05-25
B) 05-26
C) 05-27
D) 04-26
E) 04-27
9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h 35 min.
Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar
1 d: 08
horas de trabajo.
A) 357 d 05 h
B) 358 d 40 min
C) 358 d 10 min
D) 357 d 49 min
E) 358 d 06 h
10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45
min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto tiempo de
ventaja le lleva el tornero al aprendiz?
A) 3 d 02 h 15 min
B) 5 d 01h 40 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
53
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
C) 3 d 04 h 40 min
D) 4 d 02 h 50 min
E) 5 d 01 h 50 min
11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en 05 h 30
min. Si el barco tiene una superficie total de
347 760 m2, ¿En cuánto tiempo
estará listo el barco?
A) 11 meses 2 d 01 h 30 min
B) 11 meses 15 d 03 h 25 min
C) 11 meses 04 d 15 min
D) 10 meses 3 d 02 h 10 min
E) 11 meses 28 d 10 h 15 min
12. Un caño llena un depósito en dos horas, y estando lleno el desagüe lo vacía en
tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe dos
horas después de abrir el caño?
A) 02 h
B) 03 h
C) 04 h
D) 05 h
E) 06 h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
54
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III
Medida de tiempo
1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ; lo
que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo
tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que alcance a
éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida?
a) 20Km/h
b) 30Km/h
c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h
2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada
noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10m
de altura?
a) 22 días
b) 23 días
c) 24 días
d) 25 días
e) 26 días
3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12,
en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada.
¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en
dar las 6?
a) 10 seg
b) 12 seg
c) 13 seg
d) 13,2 seg e) 15 seg
4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en direcciones
opuestas?
a) 2h 43min 38s
b) 2h 23min 38s
d) 2h 43min 28s
e) 2h 43min 18s
c) 2h 33min 38s
5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad de 60
Km/h?
a)2,69h
b)2h 42min 30s c)2,72h
d)2h 44min 36s
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
e)2h 42min 36s
55
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio
¿ Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio?
a)18min
b)36min
c)15min
d)27min
e)24min
7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ½,1/3y 1/4 de su casa
respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En que tiempo lo
harían?
a) 12/13 min
b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min
e)13 11/13 min
8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una velocidad
de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón ha sacado
120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la fuga del
ladrón?
a) 32s
b)15s
c)24s
d)18s
e)30s
9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y
3 camisas, o dos pantalones y una camisa ¿En
cuánto tiempo
puede
confeccionar un pantalón y una camisa?
a)3h
b) 3h 30min
c) 4h
d) 4h 30min
e) 5h
10. A cuánto equivale 3,5 trimestres:
a) 3m
b) 2m 1d
c) 40d
d) 1m 15d
e) 6m 2d
11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de
será el cuádruple de la edad de su hija?
a)15años
b) 3años
c) 5años
d) 6años
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
padre
e)10años
56
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 10
RAZONES Y PROPORCIONES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
57
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
10.1. RAZÓN.
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante
las operaciones de sustracción o división.
10.2. TIPOS DE RAZONES.
 RAZÓN ARITMÉTICA.
Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y
consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.
APLICACIONES:
1.
Hallar la razón aritmética de:
a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años.
Rpta.
9 años.
b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60.
Rpta. S/. 2,20
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
58
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2.
La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20º C, si la menor
temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura?
Rpta. 70ºC
3.
La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y éste tiene 40 años.
Hallar la edad del hijo.
Rpta. 16 años.
4.
La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30. Hallar el número
mayor.
Rpta. 45.

RAZÓN GEOMÉTRICA.
Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente.
APLICACIONES:
1.
La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de a 3. Hallar el
mayor número.
Rpta. 490.
2.
Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están
sus edades?
Rpta. 5 / 3.
3.
De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la razón
geométrica.
Rpta. 27/ 8.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
59
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
4.
La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica es
3. Hallar el menor número.
Rpta. 13.
10.3. PROPORCIÓN.
Es el resultado de comparar dos razones.
10.4. CLASES DE PROPORCIONES.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA
A)
PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA .
 Los cuatro términos de la proporción son diferentes:
d.
(P.A.) (Equidiferencia).
a  b  c 
 El 4º término (d) de la proporción se llama:
CUARTA DIFERENCIAL.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
60
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
B)
PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA.
 Los términos medios son iguales.
 El 3º término (c) de la proporción se llama:
TERCERA DIFERENCIAL.
 MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA
b a + c
2
Términos
1º
2º
a – b =
2º
3º
b
– c=r

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente).
A)
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA.
 Los cuatro términos son diferentes:
a  b  c  d
 El 4º término (d) de la proporción se llama:
CUARTA PROPORCIONAL
B)
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA.
 Los términos medios de la proporción son iguales.
 El 3º término (c) de la proporción se llama:
TERCERA PROPORCIONAL.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
61
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
 MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA
____
b =  a. c
10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.
10.6. ESCALAS GRÁFICAS.
La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en
tamaño real.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
62
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las veces
que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.
ESCALA
=
Longitud en el plano
Longitud del tamaño real
Tamaño real =4,50 m
Tamaño en el plano = 0,09 m
REPRESENTACIÓN.
1 :100 
“indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real”
1/100 
“indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real”

“indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real”
1
100
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el
dibujo se hace a una escala de 1 : 750?
Rpta.
6 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
63
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2.
En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio
son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones reales
del dormitorio?
Rpta.
1,5 m.; 2,0 m.
3.
La distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500 es
20 cm. Hallar la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10 000.
Rpta.
4.
5 cm
Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades
medidas:
Nº
ESCALAS
DISTANCIA
GRÁFICA
DISTANCIA
REAL
1
1 : 20
X mm
2,40 m
2
1 : 25
5 ½ cm
Ym
3
1 : 50
5 ¼ cm
Z cm
4
1 : 75
W mm
0,02 km
5
1 : 100
6,5 m
P cm
6
1 : 150
4 cm
Q km
7
1 : 200
R mm
0,54 m
Solución de la aplicación, completando el cuadro:
Nº
ESCALAS
DISTANCIA
GRÁFICA
DISTANCIA
REAL
1
1 : 20
120 mm
2,40 m
2
1 : 25
5 ½ cm
1 3/8 m
3
1 : 50
5 ¼ cm
262,5 cm
4
1 : 75
3 750 mm
0,020 km
5
1 : 100
6,5 m
65 000 cm
6
1 : 150
4 cm
0,006 km
7
1 : 200
27 mm
0,54 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
64
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.
La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a 33.
¿Cuáles son estos números?
A) 20; 13
2.
B) Ricardo
D) Igual Antonio y Pepe
E)Faltan datos.
B) 216
C) 208
D) 360
E) 192
B) 30 
C) 80 
D) 40 
E) 100 
B) 3 cm
C) 4 cm
D) 5 cm
E) 100 cm
Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se
desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?
A) 80 cm
7.
C) Antonio
¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo,
si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?
A) 2 cm
6.
E) 16; 13
Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino
respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al
segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la
relación de 2 a 3?
A) 68 
5.
D) 30; 3
Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya
diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro
es de S/. 8.
A) 352
4.
C) 16; 17
En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre 90
tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros
acertados?
A) Pepe
3.
B) 18; 15
B) 40 cm
C) 200 cm
D) 60 cm
Sí: A = B = C
y A+B=30
¿Cuanto vale C?
2 8 7
A) 12
B) 18
C) 21
D) 30
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
E) 100 cm
E) 42
65
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8.
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación
que los números 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números.
A) 15
9.
C) 60
D) 52
E) 24
El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y el
producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma de los
consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21?
A) 42
10.
B) 48
B) 90
C) 91
D) 32
E) 62
Un empleado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta
diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe
disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que
gasta sea de 9 a 2.
A) S/. 2 035
B) S/. 4 070
C) S/. 5 040
D) S/. 4 505
E) S/. 6 015
SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
1. Sean A y B los números
2. A : Antonio ; P : Pepe ; R : Ricardo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
66
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3. Sean A y B las dos partes de la tela
4. 400 – X = 2 
500 + X 3
X=40 
5. Escala
Longitud en el plano
Longitud de tamaño real
=
Rpta. D
6. H = altura real del objeto ; X = tamaño del objeto en el dibujo
7. A = B = C = k
2 8 7
8. A + B = A – B = A x B = k
11
5
144
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
67
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9. A = C = E = k
B D F
10. Sea: C = cobra ; G = gasta ; A = ahorra
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
68
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1.
En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N
como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será
la relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?
A) 4 : 3
B) 2 : 1
C) 3 : 4
D) 3 : 20
E) 2 : 3
2.
En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego
llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos.
¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son
ahora proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente?
A) 150
B) 160
C) 170
D) 180
E) 190
3.
La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A
le da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta
parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero
tenía A al principio?
A) S/. 2 800
B) S/. 3 000
C) S/. 3 200
D) S/. 3 500
E) S/. 4 000
4.
En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B
por 1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la
meta, hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
69
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
A) 1 / 4
B) 3 / 16
C) 1 / 5
D) 3 / 8
E) 1 / 8
5.
La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica
continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de
extremos es 75.
A) 85
B) 55
C) 80
D) 10
E) 20
6.
En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino, se
extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino
para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3
respectivamente. Hallar el valor de N.
A) 80 
B) 60 
C) 110 
D) 119 
E) 120 
7.
A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de
56, 7 y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta
proporcional de B, A y C.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 25
8.
Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números
son proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del
tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda
el doble de lo que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay
finalmente en el segundo grupo?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
70
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
A) 50
B) 54
C) 58
D) 62
E) 64
9.
Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16,
B es la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre
A y B es:
A) A < B
B) A = B
C) A > B
D) A +1= R
E) A2 < B
10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B
y C en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2
litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son
remplazados por el componente A, siendo la proporción final obtenida de
2; 3; X. Hallar X.
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
71
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1.
Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de 2:3.
Calcular las longitudes parciales.
2.
El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro del
eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje.
3.
Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa de
3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.?
4.
Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo en
la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo?
5.
La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural
corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?
6.
Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5 cm.
Determinar la escala del mapa.
7.
Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcular la altitud a superar.
8.
El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcular el
diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm.
9.
Una chaveta tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿ Qué altura corresponde a
una longitud de chaveta de 140 mm?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
72
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 11
MAGNITUDES PROPORCIONALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
73
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11.1. MAGNITUD.
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser
medido.
11.2. CANTIDAD.
Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor
numérico y unidad.
MAGNITUD
Tiempo
Longitud
Temperatura
Masa
CANTIDAD
60 h
15 m
35º C
40 kg
11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.
11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó  ).
Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en
el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de
abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.
GASOLINA
(GALONES)
1
2
5
10
15
30
PRECIO
(S/.)
8,00
16,00
40,00
80,00
120,00
240,00
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará
S/. …………pero, si se colan 15
galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual
a
S/. …………..
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
74
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles)
aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo
sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los
valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o
disminuyen en la misma proporción.
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:
Número de libros y costo total.
Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de
libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo
total será menor.
Además, se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es
CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).
1
 0,25
4
4
 0,25
16
24
 0,25
96
3
 0,25
12
Entonces se puede escribir:
1 4 24 3



 0,25
4 16 96 12
Interpretación geométrica.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
75
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Conclusión.
Si:
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente
de cada par de valores correspondiente resulta una constante.
III. La función de proporcionalidad directa será:
F(X) = K x
K: pendiente (constante)
11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó
 1 ).
Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al
aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes
en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.
Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo
empleado en recorrer una misma distancia:
VELOCIDAD
90 km/h
60 km/h
45 km/h
36 km/h
TIEMPO
2 horas
3 horas
4 horas
5 horas
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la
velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)
es siempre el mismo.
90 x 2 = 180
;
60 x 3 = 180
;
45 x 4 = 180
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
;
36 x 5 =180
76
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Se puede finalmente concluir que:
Interpretación Geométrica:
Conclusión.
 valor
" A" I.P."B"
Si:
de A  x  valor de B   Constante
Importante:
I.
La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.
II.
En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores
correspondientes, resulta una constante.
III.
La función de proporcionalidad inversa será:
F(x )
K
x
K: constante
PROPIEDADES:
I.
II.
Si :
A D.P. B  B D.P. C
Si:
A I.P. B
o:
A D.P. B



A D.P. C
A D.P. 1
B
A I.P. 1
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
77
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
III.
Si: A D.P. B ( C es constante)
A D.P. C ( B es constante)
A
BxC
IV.
Si:
K
A I.P. B ( C es constante)
A I.P. C ( B es constante)
AxBxC =K
Nº obrerosx eficiencia x Nº días x h/d
 Constan te
obra x dificultad
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
78
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el
valor que toma B, cuando A = 34.
Resolución:
Se debe plantear:
A1 A2

B1 B2
51 34

3 x
2.
X=2
Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución:
Se debe plantear:
a 24 51 3



10 b 85 5

a=6
;
b = 40
;
a + b = 46
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
79
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3.
La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B
es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.
Resolución:
Se debe plantear:
A1 B1  A2 B2
6 16  4 x  x = 36
4.
El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente
proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a
65 Km cuesta S/. 135 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material,
si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?
Resolución:
( precio )(distancia )
k,
(área)
( k = constante )
Entonces:
(180 000) . (65) ( x) . (120)

s
2s
5.

x = 295 000
Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en
12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.
Resolución:
Sea R rapidez:
RA = 3 RB
Días I.P. Rapidez
(Días) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores:
( RA + RB ) x 12 = RA x X
( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X
4 RB x 12 = 3 RB x X
Simplificando:
X = 16
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
80
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS DE REFUERZO
Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de
números directa o inversamente proporcionales:
a)
Valores de magnitud
Q:
6
1
8
48
0,1
Valor de magnitud
R:
4
24
3
0,5
240
b)
Valores de magnitud
M:
0,4
10
16
13
0,1
2,5
Valor de magnitud
N:
2,4
60
96
78
0,6
15
18
108
Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales.
1.
Observar los ejercicios siguientes y responder:
Valor de magnitud
x:
5
2
10
1
0,4
Valor de magnitud
y:
8
20
4
40
100
5
9
…..
…..
¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”?
2.
Completar:
Valor de magnitud
A:
7
3
Valor de magnitud
B:
28
12
¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?
3.
En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes
directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso:
a)
b)
c)
Valor de magnitud
y:
10
25
2
….
5
Valor de magnitud
z:
20
8
….
4
….
Valor de magnitud
x:
2
3
1
Valor de magnitud
y:
6
9
Valor de magnitud
A:
….
Valor de magnitud
B:
20
24
0,5
69
90
7
….
….
….
….
….
….
….
7
….
….
….
….
….
40
35
100
10
8
45
15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
81
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d)
Valor de magnitud
M:
6
1
8
48
Valor de magnitud
R:
4
….
3
….
…...
240
Corregir respuestas:
1.
5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4
= 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40
Rpta.: inversamente proporcional.
2.
5
9
20
36
Rpta.
3.
a)
directamente proporcional
2
50
5
100
4
40
b)
3
72
1,5
207
270
21
c)
4
8
7
20
2
1,6
d)
4
24
3
0,5
0,1
9
11.4. REPARTO PROPORCIONAL.
Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números
llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente
proporcional.
11.4.1. TIPOS DE REPARTO.
A.
REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son
proporcionales a los índices.
Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
82
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar
400, entonces:
2 k + 3 k + 5 k = 400
K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 
K = 40
Suma de índices
Constante de reparto
Ahora, damos lo que le toca a cada uno:
2 (40) = 80
;
3 (40)
= 120
;
5 (40) = 200
Método Práctico:
PARTES
400
D.P.
A
2k
B
3k
C
5k
+
k = 400 = 40
10
10k
Luego:
A = 2 (40) = 80
;
B = 3 (40) = 120
;
C = 5 (40) = 200
Observación:
Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número
positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.
Ejemplo:
Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números:
5 ;
6
3 ;
8
3
4
Resolución:
Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces
buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello
es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los
índices.
MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
83
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PARTES
A
470
5
x
6
:
D.P
24
= 20 k
=
B
:
3
x
8
24
C
:
3
x
4
24
=
K
9k
470
 10
47
18 k
47 k
Luego las partes serán: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10)
B.
REPARTO INVERSO.
Recordando que:
( “A” IP “B” )
( “A” DP
“1” )
B
Inversamente
Proporcional
Directamente
Proporcional
 Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a
ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas
de los índices:
Ejemplo:
Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de
6 ; 9 y 12.
Resolución:
Partes
390
I.P.
A :
6
B :
9
C : 12
Las partes serán:
A = 6 (30) = 180;
D.P.
1 x 36 = 6 k
6
1 x 36 = 4 k
9
1 x 36 = 3 k
12
13 k
B = 4 (30) = 120;
k = 390 = 30
13
C = 3 ( 30) = 90
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
84
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
C.
REPARTO COMPUESTO.
Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios
grupos de índices.
Recordar:
“A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).
Si:
EJEMPLO:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a
los números 4, 6 y 9.
Resolución:
MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P.
2 225
I.P. D.P.
A :
3
4
B :
5
6
C :
8
9
1  3 x 1 = 3 x 36 =
4
4
4
1  5 x 1 = 5 x 36 =
6
6
6
1  8 x 1 = 8 x 36 =
9
9
9
27k
30k
k = 2225 = 25
89
32k
89k
Las partes son:
A = 27 (25 ) = 675
;
B= 30 ( 25 ) = 750
y
C = 32 ( 25 ) = 800
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO
Primero :
Se convierte la relación I.P. a D.P.
Segundo:
Los grupos de los índices D.P. se multiplican.
Tercero :
Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
85
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
6.
Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8
Resolución:
Partes D.P.
32
A :
3
3k
B :
5
5k
C :
8
8k
16 k
k = 32 = 2
16
Las partes son:
A = ………………
B = ………………….
C = …………………
Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16.
7.
Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4.
Resolución:
Partes
63
A :
B :
C :
D.P.
….
.…
….
….
….
…..
k
Luego los valores son: A = ………….….,
…… = ……
……
B = ……………,
C = ………………
Comparar respuestas:
6)
A=3(2)=6
7)
….
las partes son:
,
:
:
:
B = 5 ( 2 ) = 10
DP
2
3
4
A = 2 ( 7 ) = 14
2k
3k
4k
9k
,
,
C) = 8 ( 2 ) = 16
+
B = 3 ( 7 ) = 21
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
k
y
63
9
7
C = 4 ( 7 ) 28
86
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Resolver:
8.
Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus
trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del
semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4
faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?
9.
Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.
¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa
mezcla?
Corregir:
8)
Partes
470
I.P. D.P.
A :
3
B :
5
C :
4
1 x 60
3
1 x 60
5
1 x 60
4
, MCM ( 3, 5 4 ) = 60
= 20 k
= 12 k
+
k = 470 = 10
47
= 15 k
47 k
Las partes serán:
A = 20(10 ) = 200
;
B = 12 (10) = 120
;
C = 15 ( 10) = 150
9)
40
:
:
:
5
3
2
DP
5k
3k
2k
10 k
+
k = 40 = 4
10
Las partes son:
A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre
B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño
C=2(4)=
8 Kg zinc
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
87
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que:
A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2.
A) 218
B) 212
C)216
D) 220
3
A
es I.P. a B. Si cuando
E) 228
2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera
360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que
pesa 324 Kg?
A) 28A, 294 D
B) 27A, 280D
C) 27A, 294D
D) 28A, 292D
E) 30ª
3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura
que se compra. Si para pintar 200 m 2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área
se pintará con 15 galones?
A) 367
B) 300
C) 100
D) 320
E) 120
4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son
D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la
reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12
horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas
más?
A) 480
B) 230
C) 460
D) 320
E) 485
5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de
esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75
dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en
2 horas 30 minutos?
A) 36750
B) 17280
C) 46000
D) 32000
6. Repartir 22 270 inversamente proporcional a
como respuesta la menor de las 3 partes.
A) 3675
B) 2300
C) 4600
D) 3200
E) 48000
5 (n + 2);
5(n + 4); 5(n + 5). Dar
E) 4800
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
88
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
32 ;
72 ; 162
7. Repartir “N” directamente proporcional a los números
obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N”
más 578. Hallar “N”.
A) 3600
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus
edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades,
el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el
valor de “n”.
A) 13
B) 18
C) 15
D) 16
E) 17
9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los
números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte
menor?
A) 3600
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
3
1
3
10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. 7 ; 3 ; 8 ; 0,5;
indicar una de las cantidades.
A) 8000
B) 6720
C) 10000
D) 10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 100
89
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
REPARTOS PROPORCIONALES.
En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser
proporcionales a ciertos números dados.
1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes
proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han
correspondido S/. 184, ¿cuánto se llevará cada uno de los otros dos que
tienen 15 y 12 años, respectivamente?
2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.
3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha
de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres
partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de
cada metal?
4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y
36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?
5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un
doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los
sueldos de los técnicos y ocho doceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad
corresponde a cada grupo?
6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se
necesitan 35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la
misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo?
7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el
mismo tiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540
litros?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
90
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las
traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las
segundas dan 2600 vueltas?
9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño
y 15 g de níquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han
invertido 84 kg de cobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel
empleadas?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
91
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 12
REGLA DE TRES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
92
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
CONCEPTO
Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en
calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes
y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.
12.1.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).
Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen
tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:
R3S DIRECTA.
Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales (D.P).
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la
incógnita “X”.
Se plantea así:
Supuesto:
Pregunta:
MAGNITUD A
a
b
(D)
MAGNITUD B
c …………………….  
X
Como son magnitudes directamente proporcionales se está
indicando por (D) y aplicando la definición se tiene:
a
b

c
x
Despejando la incógnita “X”
x
bc
a
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
93
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
REGLAS PRÁCTICAS.
REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de   se efectúa:
a. X  b.c
x
bc
a
REGLA 2°. Del planteado   la incógnita “X” es igual al valor que está sobre
b
él, multiplicado por la fracción
.
a
X = c.
b
a
Se coloca de manera diferente como
se indica en el planteo  
EJEMPLO (1):
Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las
primeras?
RESOLUCIÓN.
Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el
costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor
y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:
Supuesto:
Pregunta:
Cantidad Limas
Costo (s/.)
3
7
(D)
144
X
Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:
 x  144.
7
 336 soles
3
OBSERVACIÓN:
Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la
segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente
proporcionales.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
94
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJEMPLO (2):
Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12
revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto
respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:
Nº REVISTAS
Costo (s/.)
Supuesto:
5
X
Pregunta:
12
(D)
X + 28
En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se
multiplica en “aspa”:
5 (X + 28) = 12X
5X + 140 = 12X
140 = 7X
X = 20
R3S INVERSA.
Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a
incógnita “X” se plantean:
Supuesto:
Pregunta:
MAGNITUD A
a
b
(I)
MAGNITUD B
c ……………  
X
Por definición de magnitudes inversamente proporcionales
x.b  c.a
x  c.
a
b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
95
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
REGLAS PRÁCTICAS:
 REGLA Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser
iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.
 REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra
a
sobre ella multiplicado por la fracción
; es decir, se copia Igual como está en
b
el planteo.
a
 X  c.
b
Se copia Igual como está en el
planteo  
EJEMPLO 3:
¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8
horas?
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de
albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor
número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles
mayor tiempo, por lo cual se plantea:
Supuesto:
Pregunta:
N albañiles
Tiempo
(horas)
1
2
(I)
8
t
Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:
 t  8.
1
 4horas
2
EJEMPLO 4:
Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto
pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.
RESOLUCIÓN.
Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor
velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
96
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Supuesto:
Pregunta:
VELOCIDAD
90
120
(I)
TIEMPO
X
X - 2
En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:
90(x) = 120 (x – 2)
3x = 4x – 8
x  8
NOTA:
 En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).
 En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o
multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).
 Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden
dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.
12.2.
REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).
Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.
MÉTODO DE SOLUCIÓN.
Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas
prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a
seguir los siguientes pasos:
1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema
2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma
magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las
mismas unidades.
3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila
(pregunta) los demás incluido la incógnita.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
97
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,
indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es
inversamente proporcional con (I).
5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella
por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se
coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.
EJEMPLO (5).
Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho
21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m 3 de la misma obra
de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12
días de 8 h/d.
RESOLUCIÓN.
RENDIMIENTO
Nº OBREROS
Nº
DIAS
H/D
Supuesto
60%
8
12
8
14
5
Pregunta
X%
6
16
9
21
3
X
%
OBRA
DIFICULTAD
(I)
(I)
(I)
(D)
(D)
Igual
Igual
Igual
Diferente
Diferente
= 60%.
8 12 8 21 3
.
. .
.  48%
6 16 9 14 5
NOTA:

Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el
rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola
magnitud que sería el rendimiento total.

Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se
multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.

Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican
y se reemplazan por la magnitud obra.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
98
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
RENDIMIENTO TOTAL
TIEMPO
OBRA
60 % • 8
12. 8 <> 2
14..5 <> 10
x%•6
16..9 <> 3
21..3 <> 9
(I)
(D)
2 9
 X %  80%. .  48%
3 10
PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I
Resolver los siguientes problemas:
1)
18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20. ¿Cuánto cuestan 5 tornillos?
2)
Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?
3)
Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo
realizan en un día?
4)
Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a
la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?
5)
Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m
cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.
6)
Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200
revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de
720 mm de diámetro?
7)
Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto
puede recorrer con 40 litros en el tanque?
8)
Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de
marcha en km/h?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
99
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9)
Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.
¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224
revoluciones?
10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se
necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m?
11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto
estaño es necesario para 122 kg de bronce?
12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches
roblonan 2 obreros en 4 horas?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
100
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II.
1)
Para recorrer 44 km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos
son de igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km en 3h?
A) 44000
2)
Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres
aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el
trabajo?
A) 30
3)
B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30
B) 26
C) 32
D) 25
E) 40
Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.
¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?
A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días
4)
Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9
dm de arista. Después de 320 horas de trabajo.¿Qué parte de un cubo
de 36 dm de arista se habrá construido?
A)
5)
1
2
B)
Una obra
1
4
C)
puede
1
5
D)
1
6
E)
ser realizada
1
3
por 6
obreros
en 20 días ¿Cuántos
obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las
partes de ese tiempo?
A) 14
6)
C) 20
D) 15
10
E) 18
En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros
de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga
29 gramos de azúcar?
A) 8 l
7)
B) 12
3
B) 9 l C) 10 l
D) 11 l
E) 20 l
Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3
obreros. ¿Cuántos días se retrasará la obra?
A)4
B)5
C)8
D)9
E) 15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
101
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8)
Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar
un trabajo.¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias
para hacer el mismo trabajo?
A)8
9)
B) 18
C) 24
D) 32
E) 34
Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un
cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior?
A)
S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890
E)S/.3 560
10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas
diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes
del plazo.¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta
que se aumento 1 hora de trabajo diario?
A)8
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan
su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra.
A) 12
B) 15 C) 18
D) 24
E) 17
12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en
5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir
800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los
anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por
día?
A)4
B)5
C)8
D)9
E) 15
13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál
sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las
ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg.
A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90
E) SI. 7,29
14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento
abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el
trabajo los obreros que quedan?
A) 24 B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 %
ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una
hora antes?
A) 100%
B) 15%
C) 20%
D) 25 E) 40%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
102
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 13
PORCENTAJE E INTERÉS SIMPLE
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
103
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
13.1. PORCENTAJE.
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una
fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado
utilizando el signo porcentaje %.
20
1
20 Por Ciento =
= 20 x
= 20 %
100
100
%
1
100
13.2. TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO.
Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción
con denominador 100; por ejemplo:
20
1
a) 20% =
=
100
5
60
3
b) 60% =
=
100
5
1
24 1
3
c) 2,4% = 2,4 
=
=

100
10 100
125
2
1
1
d) 0,002% =
=

1000 100
50000
12
12 1
3
e)
% =
=

17 100
17
425
13.3. TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE.
Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho
número por 100 %.
Ejemplos:
a) 1
b) 3
c) 0,25
d)
3
5
e)
2
< > 1 x 100% =
< > 3 x 100% =
< > 0,25 x 100% =
3
<>
x 100% =
5
4
14
<>
x 100% =
5
5
100 %
300 %
25 %
60 %
280 %
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
104
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
13.4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA
MISMA CANTIDAD.
Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad.
Ejemplos I:
a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A
b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B
c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B
Ejemplos II:
a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad
b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad
c) “C” menos su 40% = 60% “C”
13.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Problemas I:
a) Hallar el 30% de 6000.
Solución:
Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a
la operación de la multiplicación.
30% de 6000
=
30
 6000 =
100
180
b) Hallar el 0,4% de 50000
Solución:
0,4% de 50000
=
4
1

 50000 =
10 100
200
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
105
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104
Solución:
3% del 20% del 5% de 6 x104 =
3
20
5


 6  104 = 18
100 100 100
d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?
e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:
1a. 10% de 2860
1b. 10% de 1280
1c. 50% de 4970
2a. 10% de 3060
2b. 10% de 1340
2c. 10% de 50
3a. 50% de 2710
3b. 10% de 2400
3c. 50% de 1060
4a. 10% de 3440
4b. 50% de 1520
4c. 50% de 1470
5a. 50% de 2500
5b. 50% de 1600
5c. 10% de 3860
6a. 50% de 1370
6b. 10% de 4940
6c. 10% de 100
f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura.
( 25% 
25 1

100 4
a.
25% de la figura
)
b.
100% de la figura
c.
80% de la figura
(80%              )
d.
50% de la figura
(50%              )
(100%              )
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
106
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
e.
(60%              )
60% de la figura
Problemas II:
a) ¿20% de qué número es 70?
Solución:
20% de que número es 70
20%.N = 70

20
 N = 70
100

N = 350
b) ¿4 es el 0,25% de qué número?
Solución:
0,25%.N = 4

25
1

N = 4
100 100

N = 1600
c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el
dinero que tengo?
Solución:
Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.
130
130%.T = 260 
 T = 260  T = 200
100
d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos;
costaría 6 soles. ¿Cuál es el precio real del libro?
Solución:
El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.
60
L = 6
60%.L = 6

 L = 10
100
e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la
fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuanto fue la
Fortuna?
Solución:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
107
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Problemas III:
a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4?
Solución:
En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”,
significa igual.
x
x% . 80 = 4 
 Rpta: 5%
 80 = 4  x = 5
100
b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto
por ciento de los operarios no son mujeres?
Solución:
El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas
¿Qué porcentaje de 460 es 345?
x
X%.(460) = 345 
 460 = 345
100

x = 75

Rpta 75%
c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada?
Solución:
Si preguntan qué porcentaje representa la parte
sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción
está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir
como porcentaje.
Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se
convertirá en porcentaje.
A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.
k
Recordar:
S
S
S
S
“La diagonal de un paralelogramo divide a
este en dos triángulos de igual superficie.”
Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto
de uno de los lados con los extremos del lado opuesto
se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del
paralelogramo.”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
S
Área total: 2S
108
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ahora se va a analizar por partes la figura:
9k
9k
16k
16k
El rectángulo contiene
32k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
inferior derecho será 16k,
El rectángulo contiene
18k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
superior 9k,
2k
9k
Trabajando en forma
similar las otras partes,
observamos que la parte
no sombreada es 36k
Resumiendo:
Total = 64k
;
No sombreado = 36k;
Sombreado = 64k – 36k = 24k
sombreado
24k
3
=
=
total
8
64k
3
Porcentaje sombreado =
 100% = 37,5%
8
Fracción sombreada =
d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36?
e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?
f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte
sombreada de la no sombreada?
:
PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA.
Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales
según muestra los gráficos siguientes:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
109
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PC: Precio de costo
Pv: Precio de venta
$ 100.00
$ 120.00
Ganancia de $ 20.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
Rossmery vende
el TV a $ 120.00
PC
Pv
$ 100.00
$ 70.00
Pérdida de $ 30.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
Rossmery vende
el TV a $ 70.00
Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente:
PV = Precio de Venta.
PC = Precio de Compra o Precio de Costo
G = Ganancia
P = Pérdida
PV = PC + G
PV = PC - P
PF: Precio Fijado o Precio de Lista
Pv: Precio de Venta
$ 40.00
$ 100.00
Rossmery realiza un
Descuento de $ 60.00
Rossmery desea vender un vestido y lo
exhibe en su tienda a $ 100.00
Rossmery vende el vestido
a $ 40.00
De lo cual se deduce que:
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
Si hubiera sido un aumento entonces:
PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
110
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Problemas:
a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para
ganar el 15% sobre el precio de compra?
Solución:
PV = PC + G
Datos:
Pc = 120
Pv = ?
G = 15%.Pc
PV = 120 + 15%.(120)
PV = 120 + 15%.(120)
PV = S/ 138
b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le
hicieron un descuento del 25%?
Solución:
Datos:
Pv = 120
PF = ?
Descuento = 25%.PF
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
120 = PF - 25%. PF
120 = 75%. PF
120 =
75
PF 
100
PF = 160
c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y
la ganancia es el 8% del precio de venta?
d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el
25% del precio de costo. Hallar el precio de costo.
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS.
Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos
o aumentos en forma sucesiva.
Por ejemplo:
PF
$ 8000.00
Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%,
25% y 30% del precio inicial del auto:
En el 1º descuento es del 20% de $8000,
por lo tanto el nuevo precio será:
PFINAL = 80%(8000)
Rossmery desea compra un auto cuyo
precio de Lista es $ 8000.00
El 2º descuento es de 25% de 80%(8000)
entonces el nuevo precio será:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
111
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PFINAL = 75%.80%(8000)
El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio
será:
PFINAL = 70%.75%.80%(8000) = $ 3360
Entonces el descuento único fue de:
$8000 - $ 3360 = $ 4640
¿Qué % es el descuento único?
X%.8000 = 4640
X
 8000 = 4640
100
X = 58% (Descuento único)
Problemas:
a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único
de?
Solución:
Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente
manera:
PINICIAL = 100%
PFINAL = 80%.100%
PFINAL = 60%.80%.100%
60 80
PFINAL =

 100%
100 100
PFINAL = 48%
Después de 1º descuento del 20%
Después de 2º descuento del 40%
Descuento único = 100% - 48% = 52%
b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único
de?
Solución:
PINICIAL = 100%
PFINAL = 120%.100%
PFINAL = 130%.120%.100%
130 120
PFINAL =

 100%
100 100
PFINAL = 156%
Después de 1º aumento del 20%
Después de 2º aumento del 30%
Aumento único = 156% - 100% = 56%
c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2
descuentos sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta?
d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego
de los descuentos sucesivos de 20% y 15%?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
112
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
VARIACIONES PORCENTUALES.
Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su
valor original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.
Problemas:
a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base
se incremento en un 20% y su altura en un 50%?
Solución:
Método I:
h
Área Inicial = B.h < > 100%
La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en
un 50%
B
Área Final = 120%B.150%h =
150% h
120 150
B.h

100 100
Área Final = 1,8.B.h
120% B
Aplicando regla de tres simple:
Bh
100%
1,8 Bh
X
X = 100%.
1,8 Bh
= 180%
Bh
El aumento de área en porcentaje fue de: 180%
Método II:
Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes
figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se
anularían.
AINICIAL =
100%
+20%
AFINAL
=
+50%
120% .150%
120
 150% = 180%
100
El aumento de Área = 180% - 100% = 80%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
113
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha
disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área?
Solución:
AINICIAL =
100%
+10%
AFINAL
=
-40%
110% .60%
110
 60% =
100
66%
El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%
c) ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en
un 30%?
Solución:
Área del círculo es .r 2 = .r  r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica
dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante
, se cancela.
AINICIAL =
100%
+30%
AFINAL
=
+30%
130% .130%
130
 130% =
100
169%
El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%
d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la
mitad. ¿Cuánto % varía su área?
Solución:
3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye
en un 50%
AINICIAL =
100%
+60%
AFINAL
=
-50%
160% .50%
160
 50% =
100
80%
El Área disminuye en: 100% - 80% = 20%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
114
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
e) ¿El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su
volumen ?
Solución:
Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que
realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de
volumen es L3.
VINICIAL =
100%
-20%
VFINAL
=
-20% -20%
80% .80% .80% =
80 80

 80% = 51,2%
100 100
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
RESOLVER:
f) ¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta
en un 10 % y su base disminuye en un 10%?
g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En que porcentaje debe de
aumentar la altura para que su área aumente en un 25%,
h) Si el largo de un prisma rectángular disminuye en un 20% y su ancho
aumenta en un 10%, ¿En que porcentaje debe de variar su altura, para que
su volumen no varíe?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
115
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)
1.
Para una puerta se necesitaron 1,86 m 2 de una plancha de metal, la
plancha de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte
en %.
2.
Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué
tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20
dólares?
3.
Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador
paga 820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin
descuento?
4.
Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración
pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
5.
El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo
sido aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del
alquiler.
6.
En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el
22% de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
7.
Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular
las proporciones de cobre y cinc en %.
8.
60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg
de Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
116
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II).
1. Determinar el 3% de 600 piezas.
Solución:
Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres
directa.
En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se
debe calcular, luego, corresponderá x.
PIEZAS
POR CIENTO
600.......................100%
X ....................... 3%

600 100

x
 .............. piezas....
x
3
100
2. ¿Cuál será él numero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?
Solución:
El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el
total de piezas).
POR CIENTO
PIEZAS
3% ...........................18
100% ............................X
3
.......

100
x
x  ___________  .................... piezas
3. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento
obtuvo de descuento?
Solución:
VALOR
PIEZAS
1 880 ...........................100%
1 440 ............................X
x  ___________  80%
José pago lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:
100%  ..................%  ....................%
Rpta. 20 %
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
117
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
4. Calcular el 8% de 320 octavos.
Solución:
8% de 320
p
Total = 320
Tasa = 8
Porcentaje = ¿
B.%
320  8

 .............
100
100
5. ¿Qué por ciento es 5 de 30?
Solución:
Total = 30
5 es de 30
Porcentaje = 5
Tasa = ¿
%
100. p
.............

 .............
B
6. Determinar:
a.
b.
c.
d.
4% de 10
25% de 80
2,5% de 3
10% de 480
7. Escribir en forma de porcentaje:
a. 0,75  _________________
b. 0, 4  _________________
c.
d.
2
 _________________
5
1
 _________________
10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
118
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III):
1. Hallar el 0,05% de 4 200.
A) 0,12
B) 0,021
C) 2,1
D) 2,01
2. Hallar los 3/5% de 6000.
A) 1640
B) 1620
C) 162
D) 16,2
3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770?
A) 30%
B) 60%
C) 64,4 %
D) 44%
E) 80%
4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que
aumentar el nuevo precio para obtener el original?
A) 40%
B) 50%
C) 30%
D) 66 32 % E) 60%
5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 14 72 %?
A)
1
6
n
B)
5
6
n
C)
7
6
n
D)
1
3
n
E)
6
7
n
6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el
20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de
paseo?
A) 30%
B) 32 21 %
C) 35%
D) 32%
E) 20 21 %
7. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de chapa, la chapa perdida por
recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.
8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor
círculo posible. Calcule el resto de recorte en %
9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto
por ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20?
10.Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga
S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
119
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11.Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración
pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
12.El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido
aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
13.En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22%
de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
14.Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25
minutos, con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de
tiempo en por ciento?
15.Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36%
alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2. ¿Qué resistencia a la tracción
tenía el acero antes del refinado?
16.Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las
proporciones de cobre y cinc en %.
17.60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de
Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
18.Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad.
¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
120
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV):
1. Calcular los siguientes porcentajes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
20 % de 240;
5 % de 900;
60 % de 1240;
40 % de 12000;
8 % del 40 % de 160000;
5 % del 30 % de 400000;
10 % del 50 % de 60000;
250 % de 840000.
2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el
tanto por ciento de ausencias?
3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión
municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el
ayuntamiento?
4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas
las camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital?
5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos
habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?
6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según
el porcentaje indicado:
a. 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %.
b. 8500 litros, si aumentan el 27 %.
c. 360000 personas, si aumenta el 3 %.
d. 2300 discos, si aumentan el 150 %.
e. 546 alumnos, si aumentan el 4 %.
f. 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %.
7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5.
¿Cuánto valía antes de la subida?
8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y
tiene 321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
121
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha
costado S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?
10.Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,
¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de
S/. 100.
11.En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si
compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar?
12.Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las
ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
122
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 14
ÁNGULO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
123
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA.
14.1
RECTA.
Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.
Postulados:
 La línea recta posee dos sentidos.
 La línea recta se extiende
indefinidamente en ambos
sentidos.
 Dos puntos determinan una recta
 Por un punto pasan infinitas
rectas.
Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.
A
B
r
Así, la recta puede ser representada de dos maneras:
Con una letra minúscula: r, s,t,….
Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….
Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta:
s
D
E
F
G
C
Recta …………..o CD
t
recta t, o………..
H
u
recta ……… o ………..
RAYO.
Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los
sentidos.
La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la
figura.
Notación:
OA
SEMIRRECTA.
Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no
considera el origen.
Gráficamente:
Notación : OA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
124
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14.2. ÁNGULO.
 Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen
 Parte común a dos semiplanos.
común.
 Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.
 Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo
origen.


Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura
●A
lado
ángulo cóncavo  

 ángulo convexo
abertura
O
lado
●B
180º <  < 360º
14.2.1
UNIDADES DE CONVERSIÓN.
S: sistema sexagesimal
C: sistema centesimal
R: sistema radial
S
360º
En el sistema sexagesimal:
C
400g
1º = 60´
;
R
2
1´ = 60”
90º  /2
II
I
 180º
360º  2
o
III
IV
270º  3/2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
125
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14.2.2
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
A) TRANSPORTADOR.
B) GONIÓMETRO.
C) FALSA ESCUADRA.
D) ESCUADRA.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
126
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14.2.3
I.
A)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
De acuerdo a su medidas.
Ángulo agudo.
0º < m < 90º
B)

Ángulo recto.

m = 90º
C)
Ángulo obtuso.

B
90º < m < 180º
O
D)
C
Ángulo llano o lineal.

m = 180º
A
E)
Ángulo convexo.
0º < θ < 180º
F)
Ángulo no convexo (ó cóncavo).
180º < θ < 360º
II.
O
B
θ
θ
De acuerdo a la posición de sus lados.
A) ÁNGULOS ADYACENTES.
Son dos ángulos que tienen un lado común .


ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
127
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
B)
ÁNGULOS CONSECUTIVOS.
Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro.
C
B
A
O
C)
D
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados
del otro: m = m


III.
De acuerdo a la suma de sus medidas.
A)
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
 +  = 90º
C ()= 90º – 
n = par:


C C C C C C () = 
n=6
n = impar: C C C C C () = C ()
n=5
B)
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.

 +  = 180º
n = par:

S () = 180º – 
S S S S () =  n = 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
128
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
n = impar: S S S S S () = S ()
n=5
C)
ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.


 +  = 360º
R ()= 360º – 
R R R R R R () = 
n = par:
n=6
n = impar:
R R R () = R ()
n=3
14.2.4
OPERACIONES CON ÁNGULOS.
Adición.
Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades
de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya
se vio esto anteriormente.
Observar la operación siguiente.
32° 17’ 30” +
19° 13’ 15”
51° 30’ 45”
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con
segundo, minuto con ................... y grado con ...............
En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar
las relaciones existentes entre ellas.
1 grado (°) = 60 minutos (‘)
1 Minuto (‘) = 60 Segundos (“)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
129
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
17° 36’
35° 45’
52° 81’
+
En la suma del lado, hay 81’,
esto es un grado
y veintiún minutos (1° 21’).
Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53°
21’.
Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’
por 60’, que dará como cociente el número de grados
y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:
1°
17° 36’ +
35° 45’
52° 81’
53° 21’
81’ | 60
21’ 1°
Observar además estos otros ejemplos:
35° 16’
45° 45’
80° 61’
81° 1’
+
17’ 42”
20’ 41”
37’ 83”
38’ 23”
+
EJERCICIOS DE ADICIÓN:
1. Sumar las siguientes medidas angulares:
a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................
b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = .....................
c. 21’ 30” + 2° 13’ 40” = ..................................
d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................
2. Calcular la medida del ángulo x:
 a = 27° 25’
 b = 16° 13’
 x = a +  b = ...........
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
130
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
a = 42°
b = 36°
c = 19°
 y = ................= ...........
RESPUESTAS:
1.
2.
3.
a) 34° 55’
43° 38’
97°
b) 141°
c) 2° 35’ 10”
d) 12° 45’ 10”
Sustracción.
En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo
corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea
necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar:
49° 20’
20° 14’
29° 6’
-
¿Cuándo es posible hacer una resta?
Sólo es posible efectuar la resta cuando
las magnitudes:
Del minuendo son mayores o iguales que
las del Sustraendo.
Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo?
74° 5’ De 5’ no se puede restar 16’
18° 16’
?
Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera:
El ángulo 73° 65’
es igual a 74° 5’
Se pide prestado 1° a los 74°. El mi nuendo, pasará entonces
A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado
que de los 74° fue
Retirado 1° quedando entonces 73°, este
1° fue transformado
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
131
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
73° 65’ 18° 16’
55° 49’
En minutos(1° = 60’= y después, sumado
a los 5’ existentes
60’ + 5’ = 65’
Así fue posible la resta.
Observar con atención los ejemplos y completar.
EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS:
a)
b)
13° 16’ -8° 27’
_________
4° 49’
c)
35° 25’ -17° 35’
_________
................
d)
12’ 16” -9’ 40”
____________
2’ 36”
e)
10’ 25” -8’ 45”
_________
…………
f)
12° 15’ 18” -9° 20’ 25”
___________
2° 54’ 53”
20° 10’ 35” -18° 15’ 30”
____________
………….
Respuestas a los Ejemplos:
b) 17° 50’
c) 11’ 76”
d) 9’ 85” - 1’ 40”
f) 19° 70’ - 1° 55’ 5”
EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN:
1. Calcular la medida del ángulo x:
 x = ..........
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
132
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
 a = 35°
 b = 10° 15”
y =a - b
3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?
 a = 35° 25’
b = 90° -  a
4. Restar las siguientes medidas angulares:
a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................
b. 53° - 19° 45’ = .................
c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................
d. 20’ 18” - 15’ 30” = ...............
e. 28° 16’ 30” - 17° 40’ 18” = .......
f. 47° 48’
23° 55’ 10” = ...........
g. 45° - 12’ 29” = ...............
h. 36’ - 18’ 30” = ....................
i.
56° 17” - 5° 10’ 10” = ...............
5. Efectuar:
18° 36’ - 15° 42’ 37” + 3° 55’
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
133
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Multiplicación.
Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar
por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y
segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es
superior
a
60,
se
transformamos
en
una
unidad
de
orden
inmediatamente superior.
18º 26' 35"
X3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
6. Realizr los siguientes productos:
a.
56º 20' 40" * 2
b.
37º 42' 15" * 4
c.
125º 15' 30" * 2
d.
24º 50' 40" * 3
e.
33º 33' 33" * 3
f.
17º 43' 34" * 2
División.
Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número.
Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a
los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en
segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir
segundos.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
134
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. Realizar las siguientes divisiones:
a.
56º 20' 40" : 5
b.
37º 42' 15" : 4
c.
125º 15' 30" : 5
d.
25º 50' 40" : 6
e.
33º 33' 33" : 2
f.
17º 43' 24" : 12
ÁNGULOS CONGRUENTES ().
Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida.
A
B
30º
P
R
30º
mABC  m PQR
C
Q
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos
ángulos de igual medida o congruentes.
OM : Bisectriz
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
135
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14.3
TEOREMAS RELATIVO A LOS ANGULOS.
1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un
Angulo de 45º
2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º
3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
45º
 


Teorema 1




Teorema 2




Teorema 3
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.
2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la
mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.
3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del
ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices
del ángulo MRA y ERN.
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular
la medida del ángulo menor.
5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la
medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
136
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m  AOC = 80º
y m  BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
7. En la figura, calcular el ángulo AOB.
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que
m  AOB=20º, m  BOD = m  DOE y m  COE = m  BOC + m  BOD = 90º.
Calcule m  AOC.
9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y
EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.
10.
Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de
AB BC CD DE
modo que:
y AE = 42 cm. Calcular CD.



2
3
4
5
Resolución de los Problemas:
1.
1 1
x CS120º
2 3
1 1
x  x 90º (180º 120º )
2 3
x  5º
x
La ecuación será :
2.
Del enunciado se tiene:
  1
X = 2C    S 3 
2 3
...(I)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
137
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
* 
* x
Donde :
En ( I) :
Medida del ángulo en mención
Valor de la Razón Aritmética
 1

x = 2 90    180  3 
2 3

x = 180° -  - 60° + 
x = 120º
3.
Dato :
mDRO  3mARE
    x  3x
    2x
según el gráfico : 2  2  x  90
2(   )  x  90
2(2 x)  x  90
5x  90
; X  18º
4.
Sea “x” el ángulo menor:
x
3

180º x 5
x  67,5º  67º30
5.
Sea m  AOX = θ
m  AOB + m  AOC = 90º
(θ + α ) + (θ – α ) = 90º
α
α
θ = 45º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
138
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6.
Se pide: α + β + θ = ?
Como:
2 α + β = 80º
2 θ + β = 60º
Al sumar y simplificar:
α + β + θ = 70º
7.
Sea m  AOB = X
Del gráfico, por ángulo de una vuelta:
m  DOB + m  BOD = 360º
( 210º - X ) + 190º = 360º
X = 40º
8.
Piden m  AOC = ?
Sean m  BOC = α
m  BOD = θ
Del enunciado
α + θ = 90º ....... ( 1 )
Se Observa
2 θ = 90º + α .........( 2 )
Sumando ( 1) y ( 2)
2 θ + θ = 180º
Θ = 60º y α = 30º
20º
m  AOC = 50º
9.
Tomando los ángulos en forma conveniente
( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º
α = 72º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
139
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
10.
14 X = 42
X=3
Se pide:
CD = 12
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)
1.
Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para:
a) un pentágono regular b) un hexágono regular, c) un octógono regular.
2.
Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.
3.
La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.
4.
La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia
entre los tornillos.
5.
Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste
se requiere el ángulo en decimales.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
140
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6.
Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal
ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.
7.
Convertir en:
8.
a) Grados:
240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425
b) Minutos:
360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86
c) Segundos:
314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15
e) Sumar:
14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32
Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1.
Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.
A) 80º
9.
B) 90º
C) 65º
D) 100º
E) 60º
En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo
C, si AB = BE = EC
A) 72º
B) 30º
C) 36º
D) 40º
E) 80º
10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo
mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de
la suma de las medidas de dichos ángulos.
A) 25º
B) 30º
C) 35º
D) 40º
E) 20º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
141
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11.
En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b).
A) 80º
B) 85º
C) 90º
x
D) 100º
E) 120º
a
4
5
y
6
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.
Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los
ángulos HAC y ACF.
A) 125º
B) 80º
C) 135º
D) 140º
E) 120º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
142
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de
otro ángulo que mide 105º
A) 120º
B) 125º
C) 140º
D) 130º
E) 135º
2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a
2/5 de su suplemento.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 50º
3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5.
¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?
A) 95º
B) 100º
C) 105º D) 110º
E) 105º
4. La medida de un ángulo es “X”, el suplemento del complemento del triple de
mX es igual al complemento de mX aumentado en 20º. Calcular mX.
A) 3º
5.
B) 4º
C) 5º
D) 6º
E) 7º
En los ángulos consecutivos: AOB, BOC,
COD se cumple que:
mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 25º
5. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza
el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.
A) 42º
B) 20º
C) 10º
D) 21º
E) 25º
6. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º.
Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos
BOC y AOC.
A) 22º
8.
B) 20º
C) 18º
D) 25º
E) 26º
Hallar G:
G = 2 (35º 32’ 55” – 24º 48’ 40”)
5
A) 5º 12’ 45”
9.
B) 4º 17’ 42”
C) 4º 12’ 32” D) 4º 7’ 32”
E) 6º 27’ 42”
Efectuar:
98º 45´ + 77º 42´
5
6
A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 42º 41’30” D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
143
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo
A) Obtuso
11.
Restar:
A) 7º 19´ 8”
B) Congruente C) Llano
D) Nulo
E) De un giro
(2º 3´ 12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” )
B) 8º 41´ 8”
C) 2º 41´ 2” D) 9º 19´ 8”
E) 7º 31´ 4”
12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ
son las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY.
Si: mAOB – mBOC = .
Hallar mBOZ
A) /2
13.
B) /3
C) /4
D) /8
E) 2/3
Transformar /6 a grados sexagesimales:
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 45º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 50º
144
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 15
ANGULOS DE RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA SECANTE
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
145
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
15.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA
PARALELAS Y UNA SECANTE.
Considerar dos rectas paralelas r y s:
Región externa
La región comprendida entre “r” y “s”
será llamada región interna y las
otras, regiones externas.
Región interna
Región externa
Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.
obtuso
agudo
Observar que la secante forma con las
rectas paralelas:
agudo obtuso
obtuso
agudo
agudo obtuso
Cuatro ángulos AGUDOS iguales.
Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.
De estos ocho ángulos,
- Cuatro son INTERNOS pues pertenecen
a la región interna. Ej: a,  b,  c, d
a
c
- Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen
a la región externa. Ej:  e,  f,  g,  h
g
f
I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS..
Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej.:
 a y  .......
e
h
a
d
b
d
b
c
 c y ........
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
146
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos
obtusos)
 ....... =  b
.......... =  d
II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej:
 e y  .......
 g y ........
Dos ángulos alternos externos son iguales
 ....... =  f
 .......... =  h
e
f
g
h
III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.
Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y
situados en el mismo lado de la secante.
e
Dos ángulos correspondientes son iguales.
 e y b
b
 a y  ........
 ....... y  d
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
147
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
 ........ y  ........
IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS.
Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
Ej:
a y d
........ y ........
Dos ángulos conjugados internos suman 180°.
a + d = 180°
 c + b = .........
V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
Ej.:
g y  f
 ........ y  h
Dos ángulos conjugados externos suman 180°.
 g +  f = 180°
 ....... +  ....... = 180°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
148
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
1.
Observar la figura y completar:
Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos
a.
Los ángulos internos son: (........................................................)
b.
Los ángulos externos son: (........................................................)
c.
Los pares de ángulos correspondientes son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
d.
Los pares de ángulos alternos internos son:
(.................................) y (...........................)
e.
Los pares de ángulos alternos externos son:
(.................................) y (...........................)
f.
g.
2.
Los pares de ángulos opuestos por el vértice son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos
externos que también lo sean:
Ángulos internos (.................................)
Ángulos externos (.................................)
Observar también la figura del lado y determinar los ángulos:
a = .................................
 b = .................................
c = .................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
149
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3.
Determinar el valor de x:
 x = .................................
4.
 x = .................................
En la figura siguiente, responder:
¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?
......................................................
¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?
......................................................
5.
Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.
Alternos internos
 B y  H ,  C y  E
Alternos externos
Correspondientes
Conjugados internos
Conjugados externos
Opuestos por el vértice
6.
Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador,
observando el dibujo.
 1 = .............32°....................
 2 = ......................................
 3 = ......................................
 4 = ......................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
150
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7.
Dar nombres a los pares de rectas representados abajo:
Rectas .................................................
Rectas .................................................
Rectas .................................................
8.
Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:
a = .............130°...........
b = ..............................
 c = ................................
d = ..................................
9.
Si
Si
Si
Si
Si
 e = .....................
 f = ......................
 g = .....................
 h = ......................
Completar observando la figura
b
c
s
q
a
=
=
=
=
=
70° , entonces
65° , entonces
65° , entonces
80° , entonces
20° , entonces
r
p
a
d
p
=
=
=
=
=
.............
.............
.............
.............
.............
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
151
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS:
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
8
( 1,  4,  6,  7)
( 2,  3,  5, 8)
(2, 6) ; ( 1, 5) ;
(4,  6) y ( 1, 7)
(3,  5) y ( 2, 8)
(1,  3) ; ( 2, 4) ;
( 6, 7) y ( 5, 8)
2.
 a = 50°
3.
x = 150°
4.
30°
( 8,  4) ; ( 3, 7)
( 6, 8) ; (5, 7)
 b = 130°
 c = 50°
 x = 60°
150°
5.
 B y  H ,  C y  E
 D y  F ,  A y  G
 D y  H , C y  G,  Ay  E ,
Correspondientes
 ByF
Conjugados internos
 E y  B ,  C y  H
Conjugados externos  A y  F ,  D y  G
 B y  D , A y  C,  E y  G,
Opuestos por el vértice  F y  H
Alternos internos
Alternos externos
6.
2 = 148°
 3 = 32°
7.
Paralelas – perpendiculares - concurrentes
8.
 b = 50°
 c = 130°
9.
 f = 70°
 p = 65°
d = 50°
e = 130°
 a = 65°
 d = 80°
 4 = 148°
 f = 50°
 g = 130°
 h = 50°
 q = 160°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
152
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
15.2. PROPIEDADES AUXILIARES.
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS:
Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.
Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.




    180

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:
Si dos ángulos
suplementarios.
tienen sus lados perpendiculares: o son iguales
ó son
    180

OTRAS PROPIEDADES


m




n

m+n = ++
n

 +  +  +  = 180º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO

m
+ = m+n
153
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR:
Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un
triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base
no igual es el segmento AG.
TEOREMA DE THALES:
Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos
mutuamente proporcionales.
Si se aplica a un trapecio ADFC:
Se cumple que:
AB DE

BC EF
THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO:
Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser
paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
154
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Se cumple que:
AB AE

BC EF
EJERCICIOS RESUELTOS DE:
Ángulos y paralelas.
1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47”
A) 18°40”
D) 23°10’
Solución:
B) 35°12’
E) 13°
C) 27°5’7”
355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”
2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45”
A) 82°35’
D) 63° 2’4”
Solución:
B) 12°24’
E) 62°2’9”
C) 56°8’
310°10’45” 5 = 62°2’9”
3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”
A) 3°9’51”
D) 7°34’
Solución:
B) 4°12’30”
E) 5°17’
C) 7°10’
14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”
4. Hallar el triple de 192°45’55”
A) 170°24’
D) 279°23’
Solución:
B) 250°15”
E) 335°20’15”
C) 218°17’45”
192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
155
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide
el ángulo conjugado del doble del ángulo menor?
A) 18°
D) 23°
B) 35°
E) 13°
C) 90°
Solución:
Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego  = 45°
Luego 2 = 90° y su conjugado es 90°
6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el
suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor.
A) 37°
D) 45°
B) 44°
E) 39°
C) 124°10’
Solución:
Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’
El ángulo menor mide  = 68°20’ y la mitad 34°10’
Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’
7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados
internos están en razón 2/3.
A) 60°
D) 53°
B) 44°
E) 37°
C) 72°
Solución:
Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36°
El ángulo menor mide 2K = 72°
PARALELAS:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
156
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8. Si L1 // L2 . Hallar “x”.


x


SOLUCIÓN
2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos
suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:
son
 +  = 90°
El ángulo x está formado por la suma de los ángulos  y  , porque son ángulos
alternos internos, por lo tanto:
+ = x
= 90°
9. En la figura, L1 // L2, hallar .


60º

SOLUCIÓN:
Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos
internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
157
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Es decir
Finalmente
2  +  = 60°
 = 20°
10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar 
SOLUCIÓN:
Por triángulo equilátero
 B = 60°
Por opuestos por el vértice  V = 6 
Por suplementario
 U = 180° - 
Por propiedad de triángulos
El ángulo
 D = 240° - 6 
El ángulo
E = 60° + 
Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces
 B + U + E + D + V = 540°
si se pone en función de  y resuelve, resulta que
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
 = 24°
158
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
11. Hallar la suma de los siguientes ángulos:
37° 19’ 43” + 112° 53’ 38”
A) 150° 13’ 21”
D) 149° 12’ 21”
B) 149° 62’ 71”
E) 150° 03’ 11”
C) 149° 72’ 21”
37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” = 149°72’81” = 150° 13’ 21”
Solución:
12. Efectuar la resta de los siguientes ángulos:
112°23’ 35” - 10°15’20”
A) 112° 25’ 15”
D) 112° 5’ 15”
Solución:
B) 102° 8’ 15”
E) 92° 15’ 25”
C) 112° 25’ 45”
112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’ 15”
13. Hallar el cociente de 309° 27’ 52” por 25:
A) 12° 22’ 12 22/25”
D) 12° 12’ 32” 2/25
Solución:
B) 22° 12’ 42”
C) 9° 2’ 42” 2/5
E) 32° 22’ 42” 23/25
309° 27’ 52”  25 = 12° 22’ 12 22/25”
14. Dividir en 5 partes, el ángulo 162°
A) 82°35’
Solución:
B) 12°24’
C) 56°8’
D) 63° 2’4”
E) 32°25’
162°  5 = 32°25’
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
159
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS PROPUESTOS:
PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.
1. Hallar x, si L1 // L2:
A)
B)
C)
D)
E)
20°
30°
40°
50°
60°
2. Hallar x/y, si L1 // L2:
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1/5
3/2
2
3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x
A) 20°
B) 50°
C) 30°
D) 10°
E) 40°.
4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4
A) 145°
B) 105°
C) 175°
D) 95°
E) 80°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
160
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Si L1// L2 // L3 , hallar “x”
Si a = 45°
A) 30°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 11°
6. Si
L1// L2 ,
hallar “ x ”
A) 30°
B) 45°
C) 51°
D) 33 °
E) 75°
7. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 120°
B) 100°
C) 102,8°
D) 150°
E) 90°
8. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 98°
B) 108°
C) 45°
D) 120°
E) 116°
9. Si
A)
B)
C)
D)
E)
L1// L2 ,
34°
14°
60°
30°
50°
hallar “y”:
L1
L2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
161
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
10. Si Hallar “x”.Si CE es bisectriz y el triángulo ABC es isósceles:
A)
B)
C)
D)
E)
34°
14°
60°
30°
29°
11. Calcular “y”:
A)
B)
C)
D)
E)
34°
14°
60°
30°
29°
12. Si CG es bisectriz.
L1// L2 , hallar “x”
A)
B)
C)
D)
E)
34°
48°
20°
40°
95
L1
L2
13. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden:
(2+) y (+ ).
Encontrar  / .
A) 2/3
B) 1
C)4/5
D) 2
E) 145
14. Dos ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas miden 2x y (3x –
40°). Hallar x:
A) 30°
B) 25°
C) 40°
D) 45°
E) 20°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
162
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 16
CIRCUNFERENCIA CÍRCULO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
163
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
CIRCUNFERENCIA.
16.1.
DEFINICIÓN.
Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto
llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar
geométrico se llama radio.
16.2.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Líneas notables en la circunferencia.
Para el gráfico adyacente:
O
: Centro
r
: Radio
QP
: Cuerda
CD
: Diámetro
AB
: Arco
L1
: Recta tangente (T: punto de
tangencia)
16.3.
L2
: Recta secante
MN
: Flecha o sagita
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
1) Ángulo central.
2) Ángulo inscrito.
AOB = AB
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
B
AC
2
164
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3) Ángulo semi inscrito.
ATB 
4) Ángulo interior.
X
AT
2
AB  CD
2
5) Ángulo exterior.
Casos que se pueden presentar:
a.- De dos secantes.
b.- De secante y tangente.
P
AB  CD
2
P
AT  TB
2
c.- De dos tangentes.
NOTA: para este caso particular
se cumple que:
P + AB = 180°
P
ACB  AB
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
165
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
16.4.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA.
1) La recta L tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio o al diámetro en el punto de
tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)
2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos
correspondientes también miden igual y viceversa.
Si AB  CD entonces AB = CD
3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas
paralelas miden igual.
Si AB // CD , entonces AC = BD
NOTA
Si la recta L es tangente y AB // L entonces
AT = TB
4) Las rectas tangentes trazadas a una misma
circunferencia desde un punto exterior, miden
igual.
Se cumple que:
PA = PB y
OP es bisectriz
5) Todo diámetro o radio perpendicular a
una cuerda divide a dicha cuerda y a los
arcos correspondientes en partes
iguales.
Se cumple que:
AE = EB y AN = NB
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
166
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
REGIONES CIRCULARES.
O: Centro de circunferencia
OA
: radio
1) Sector circular.
2) Segmento circular.
3) Corona circular.
4) Trapecio circular.
5) Segmento o faja circular.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
167
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB.
A) 150°
B) 155°
C) 166°
D) 75°
E )120°
Solución.
El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.
100º
C
Como el ángulo CAB es inscrito, entonces
CAB = 150º ÷ 2 = 75º.
A
B
110º
2) Hallar el valor de “x”
A) 70º
B) 110º
C) 120º
D) 130º
E) 150º
Solución.
A
220º
140º
F
B
X
Por propiedad, el arco AFC mide 140º
y el arco AC mide 360º - 140º = 220º.
Como el ángulo AFC es inscrito
entonces mide 220º ÷ 2 = 110º.
40º
C
3) Hallar la medida del ángulo “x”
A) 15°
B) 20°
C) 25°
D) 40°
E) 50º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
168
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Solución.
Por propiedad, el arco AC mide 140º y
A
como el ABC es inscrito, su medida es
X
140º
B 70º
de 140º ÷ 2 = 70º.
40º
En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º
= 20º.
C
4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la
circunferencia.
A) 30°
B) 45°
C) 50°
D) 46°
E) 60°
Solución.
El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida
es igual a:
CD  AB 134 º  AB
90º =
=
de donde AB = 180º - 134º = 46º.
2
2
5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.
A) 47°
B) 38°
C) 58°
D) 100°
E) 70º
Solución.
B
Como el ángulo BEC es exterior a
la circunferencia, su medida es
A
E
40º X
D
5x
C
igual a
40º =
5x - x
2
80º = 4x
x = 20º
por lo que BC = 100º.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
169
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.
A) 100°
B) 110°
C) 120°
D) 130°
E) 150º
Solución.
D
El arco AC mide 80º. Completando la
C
circunferencia, se tiene que el CAB
80º
40º
A
= 260º .
B
El ángulo C por ser inscrito, su
medida será 260º ÷ 2 = 130º.
180º
7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual
a 10 cm.
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 8 cm
D) 12cm
E) 10cm
Solución.
A
Se
P
O
la
altura OP
del triángulo
isósceles AOB , donde AP = PB = 6, por lo
B
10 37º
traza
que AB = 12 cm.
10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
170
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia.
Hallar la medida del diámetro.
A) 15 cm
B) 17cm
C) 34 cm
D) 38cm
E) 20cm
Solución.
B
P
A
construye
triángulo
isósceles
AOB
Para hallar la medida de OB aplicar el teorema
O
de Pitágoras.
OB =
9)
el
trazando los radios. Se traza la mediatriz OP.
15
8
Se
8
15 2  8 2 = 17 entonces diámetro=34 cm.
En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha
correspondiente a una cuerda de 24cm.
A) 17 cm
B) 8 cm
C) 5 cm
D) 10 cm
E) 7 cm
Solución.
X
Suponiendo que la medida de la flecha sea
X. Como el radio mide 13, uno de los catetos
del triángulo mide 13-x.
12
-x
13
13
Aplicando el teorema de Pitágoras:
132 = (13 - x)2 + 122
169 - 144 = (13 - x)2
25 = (13 - x)2
5 = 13 - x de donde x= 8
10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.
D
C
P
A
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
171
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Solución.
Trazar el radio al punto de tangencia
D
C
A
D. Completar la circunferencia tal que
58º
P
B
el arco BD mide 58º y el arco ABD
mide
180º+58º=238º.
El
ángulo
inscrito ACD medirá 238º ÷ 2 = 119º.
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL I
1.
Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor
cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?
2.
Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una
superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.
3.
En un árbol hexagonal se mide una longitud de entre caras de 75 mm.
¿Cuál es el diámetro de árbol necesario?
4.
El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el
mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entre caras.
5.
Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm 2 el mayor hexágono. ¿Qué
porcentaje es desperdicios?
6.
Determinar para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia
inscrita y circunscrita:
a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado.
b) Para un cuadrado con 30 mm de lado.
c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central.
7.
De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse
discos de 180 mm de diámetro. Calcular el número de discos.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
172
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8.
De un círculo de 380 mm de diámetro se cortan 8 sectores circulares
iguales. Calcular la superficie de sector, la longitud del arco y el ángulo
central.
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL II
9.
Si “O” es el centro de la circunferencia
y CBD = 130°. Calcular “x”.
A) 50°
B) 40°
C) 30°
D) 25°
E) 20°
10. Si “O” es el centro y AB = OC . Hallar “X”.
A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°
11. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD.
A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°
12. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 41°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
173
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
13. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.
A)
B)
C)
D)
E)
100°
110°
120°
130°
150°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
174
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 17
POLÍGONOS: TRIÁNGULOS,
CUADRILÁTEROS.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
175
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
POLÍGONO.
17.1.
DEFINICIÓN.
Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más
segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de
este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN
POLIGONAL.
17.2.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.
C
B

A


O
F
M
D
E
 Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA.
 Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F.
 Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo: BF.
 Angulo Interior. 
 Angulo Exterior.

 Angulo Central.

 Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con el punto
medio del lado del polígono y son perpendiculares.
 Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA
17.3.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.
17.3.1. De acuerdo al número de lados.
Triángulo
3 lados
Cuadrilátero
4 lados
Pentágono
5 lados
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
176
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
17.3.2
Exágono
6 lados
Heptágono
7 lados
Octágono
8 lados
Nonágono
9 lados
Decágono
10 lados
Endecágono
11 lados
Dodecágono
12 lados
Pentadecágono
15 lados
Icoságono
20 lados
De acuerdo a las medidas a sus elementos.
 POLÍGONO CONVEXO. Todos sus ángulos internos miden menos de 180°.
 POLÍGONO CONCAVO. Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más
de 180°.
 POLÍGONO EQUILÁTERO. Todos sus lados tienen igual medida.
 POLÍGONO EQUIÁNGULO. Todos sus ángulos internos tienen igual medida.
 POLÍGONO REGULAR. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida.
 POLÍGONO IRREGULAR- Es aquel polígono que no es regular
Polígono Convexo
Polígono Equilátero
Polígono Cóncavo
P. Equiángulo
Polígono Regular
Observaciones:
 En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e
igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne),
número de ángulos centrales (nc).
n = n v = ni = n e = nc
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
177
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
 Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.
POLÍGONO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA
CIRCUNFERENCIA
 En todo polígono regular inscrito, la apotema y la
sagita o también llamada flecha, forman el radio de la
circunferencia que circunscribe al polígono.
OP: Apotema; PQ: Sagita o flecha; OQ: Radio de la
circunferencia.
O
P
17.4.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Q
Sea un polígono de “n” lados.
D
 Total de Diagonales:
n.(n  3)
2
Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice :
cual divide al polígono en n – 2
n–3
La
Triángulos .
 Suma de medidas de los ángulos internos (Si):
Si  180.(n  2)
 Suma de medidas de los ángulos externos (Se):
Nota:
 = e
Se = S = 360º
Se  360
 Angulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo
i 
180.(n  2)
n
 Angulo Central (). Polígono regular
 Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo
θ
360
n
e
360
n
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
178
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Para un polígono estrellado:
Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono convexo.
Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono estrellado que se
puede formar), sus lados son AC, CE, ....
B
Ángulo interno
A
C
Ángulo externo
E
D
 La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):
SP  180º.(n  4)
 La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º
 Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:
p
180º.( n  4)
n
HEXÁGONO REGULAR.
Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.
Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA
que circunscribe al EXÁGONO.
C
B
60°
L
L
L 3
Apotema OM =
2
L. 3
60°
O
A
60°
L
F
M
D
E
2.L
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
179
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS
I.
Completar el siguiente cuadro:
Nombre del polígono
Suma de medida de
Suma de medida de
ángulos internos
ángulos externos
S(i)
S(e)
Total de diagonales (D)
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Icoságono
II.
Completar el siguiente cuadro si los polígonos son regulares:
Medida de ángulo interno Medida de ángulo externo
Nombre del polígono
(i)
(e)
Medida de ángulo central

Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Icoságono
III. Resolver los siguientes problemas:
1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices
en 18?
a) 6 lados
b)9
c)27
d)15
e)10
2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10°
resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de
lados del polígono anterior.
a) 10 lados
b)12
c)14
d)16
e)18
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
180
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en
12°. El número de lados del polígono es:
a) 5 lados
b)6
c)7
d)8
e)9
4. ¿Cómo se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número
de sus lados?
a) Pentágono b)Heptágono c) Octágono d) Hexágono
e) Cuadrilátero
5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma
de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices.
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares)
a)
b)
c)
x
x
O
O
12 cm
12 cm
x
12 cm
Rpta:..........
Rpta:................
d)
e)
12 cm
Rpta: .............
f)
x
x
x
O
O
12 cm
12 cm
Rpta:..........
g)
Rpta:................
Rpta: .............
x
Rpta:................
12 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
181
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada
polígono mide 24 3 cm:
a)
b)
Rpta: ..............
17.5.
c)
Rpta: ...................
Rpta: ............
TRIÁNGULO.
Polígono de tres lados:
Región Triangular
b
a
a
c
b
c
Perímetro = a + b + c
Semiperímetro =
abc
2
17.5.1. Clasificación de los triángulos.
I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser:
 Triángulo Equilátero.
 Triángulo Isósceles.
 Triángulo Escaleno.
A) Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida.
B
60°
L
L
BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y
“Mediatriz”, a la vez.
30° 30°
h=L 3
2
L
60°
60°
60°
L
A
60°
L
2
M
L
C
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
182
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
B) Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida.
B
BM es la Altura relativa a la
base y a la vez es:
“Mediana”, “Bisectriz” y
“Mediatriz”.




A
C
M
Base
C) Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida.
B

c
a


A
C
b
II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser:
 Triángulo Rectángulo.
 Triángulo Acutángulo.
 Triángulo Obtusángulo.
A) Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO
RECTÁNGULO
b
a
h
2

2
2
h = m.n
a = m.c
a.b = c.h
a +b =c
b = n.c

m
n
c
Relación entre los lados del triángulo
rectángulo y la circunferencia inscrita
2
2
a + b = c + 2r
b
a
1
1
1


a2 b2 h2
2
r
Area = m.n
m
n
c

B) Triángulo Acutángulo.
Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO

183
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
C) Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º.
B
 > 90°
Altura

C
A
Base
17.5.2. Líneas y puntos notables en el triángulo .
1. ALTURA: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae
perpendicular sobre su lado opuesto.
El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los
gráficos, el pto. “O” es el Ortocentro).
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
O
O
O
2. BISECTRIZ. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo
correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes.
C
Bisectriz
Interior
Bisectriz
Exterior


A


B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
184
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
C
El INCENTRO es el punto de intersección de las
bisectrices interiores del triángulo.
El incentro es el centro de la circunferencia que
se encuentra inscrita en el Triángulo.
 
I : INCENTRO
I




A
B
El EXCENTRO es el punto de intersección de
una bisectriz interior y 2 bisectrices exteriores.
El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el
triángulo (Ver Gráfico).
E : EXCENTRO
 C

E
I




B
A
3. MEDIANA. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el
lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales.
El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO
divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1.
B
O: BARICENTRO
O: BARICENTRO
N
P
y
O
2z
A
2x
O
z
x
2y
C
M
4. MEDIATRIZ. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su
punto medio.
C: CIRCUNCENTRO
P
N
C
M
El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al
triángulo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
185
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
C
C
C
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
CEVIANA. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del lado
C
opuesto.
Ceviana exterior
Ceviana interior
A
N
B
M
17.5.3. Teoremas elementales sobre triángulos.
1º.
2º.
3º.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los
ángulos internos no adyacentes.
La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°.
e= + 
g
f=+


f
4º.
g=+
 +  +  = 180°
e

e + f + g = 360°
A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado
menor.
Si:  >  > 

Entonces:
a
a>b>c
c


b
5º.
Naturaleza de existencia de un triángulo:
Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente
condición.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
186
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
b + c > a > b – c
“Cualquier lado del triángulo debe ser mayor
que la diferencia de los otros dos lados, pero
menor que la suma de dichos lados”
b
c
a
6º.
Angulos formados por dos bisectrices.



X=


x

90 
x

2
X=

b).- 2 bisectrices Exteriores:
x


2
X=


2
 

a).- 2 bisectrices interiores:
90 
 

c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:
7º.
C
Teorema de los puntos medios.
MN
Si: M y N son puntos medios,
AB
N
M
Entonces:
AB
MN =
2
B
A
8º.
Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.
B
La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.
k
k
A
9º.
Teorema de la bisectriz Interior
 
a
b
k
M
C
a m

b n
x
x2  a.b  m.n
m
n
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
187
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
10º. Teorema de la bisectriz exterior.

c
c m

a n

x
a
x2  m.n  a.c
n
m
11º. Teorema del Incentro.


b
m
a
m ab

n
c
I

n

c
12º. Teorema del Mediana.
a 2  b 2  2x2 
b
a
x
c2
2
c
13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.
A1
m
A2
A
A1 A 2

 3 K
m
n
p
A3
A1  m.K
A 2  n.K
A 3  p.K
p
n
14º. Triángulos Rectángulos Notables:
k
60°
37°
2k
5k
4k
45°
k
30°
k 3
2
53°
3k
74°
k 2
45°
k
25k
k
7k
16°
24k
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
53°
2
2k
188
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
17.5.4. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
b
a
h
2

2
h = m.n
a = m.c
a.b = c.h
a +b =c
2
b = n.c

m
n
c
2
2
1
1
1


a2 b2 h2
2
PROBLEMAS:
1. Los ángulos de un triángulo miden: 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de
triángulo es?
Rpta: ………………………………………
2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los
ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
Rpta: ………………
3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la
prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?
Rpta: …………………
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza
altura BH (H  AC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC
Rpta: ………………
5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices
exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho
ángulo?
Rpta: …………
6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x
+ 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia?
Rpta: ……………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
189
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12
cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Rpta: ……………………
8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm,
respectivamente. Hallar el perímetro,
a) 28 cm
b) 35 cm
c) 25 cm
d) a ó b
e) 21 cm
9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar
el perímetro
a) 18 cm
b) 36
c) 4 3
d) 2 3
e) 3
10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de
razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es:
a) 20 cm
b) 21 cm
c) 41 cm
d) 42 cm
e) 43 cm
11. En al figura, hallar la longitud “x”
a) 12
5
7
b) 13
x
10
c) 14
53°
37°
d) 15
e) 16
12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar
el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las
sagitas de los tres lados.
a) 36 cm
b) 18 cm
c) 27 cm
d) 24 cm
13. En el triángulo ABC equilátero, calcular:
e) 30 cm
MN + NP
B
a) 6 3
b) 2  3 3
P
c) 4  2 3
d) 4  6 3
N
A
8 cm
M
8 cm
C
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e) 10 3
190
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x
a) 80°
c) 90°
B
M
b) 75°
x
40°
d) 60°
e) 85°
A
20°
C
N
15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en
dicho triángulo.
a) L3
b) L2
c) L(3 + 1)
e) L(23 – 3)
d) L5
16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro
mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base?
a) 12
b)213
d)5 3
c)315
e)10
17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El
lado igual mide 1010. La base mide:
a) 60
b)50
c)64
d)80
e)75
18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos,
¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos?
I. 1, 1 y 1
a) 1
II. 2, 3 y 5
b)2
III. 7, 7 y 1
c)3
IV. 2 , 2 y 6
d)4
V. 5, 12 y 13
e)5
19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El
triángulo es:
a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo
d)Isósceles
e)Equilátero.
20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la
altura relativa a la hipotenusa?
a) 5
b)60/13
c)12
d)4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e)13
191
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
17.6.
CUADRILÁTERO.
Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.
17.6.1. Clasificación de los cuadriláteros.
1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos
2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.
3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos.
C
17.6.2. TRAPEZOIDE.
B
D
A
B
Caso Particular:
C
A
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES
 Sus diagonales son perpendiculares
 BD es mediatriz de AC.
D
17.6.3. TRAPECIO.
b
B
C
B
b
C
AD : Base Mayor
M
BC : Base menor
BH : Altura
A
BC   AD
N
h
D
H
D
A
B
B
MN : Mediana
Clases de Trapecios:
B


C

 +  = 180º
 +  = 180º

A
Trapecio Escaleno
D
A
B


B
C
C


D
Trapecio Isósceles
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
A
D
Trapecio Rectángulo
192
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROPIEDADES:
b
M
a) MN : Mediana
MN 
N
B  b
2
MN : Es paralelo a las Bases.
B
b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q).
b
PQ 
B - b
M
P
Q
N
2
B
17.6.4. PARALELOGRAMO.
PROPIEDADES:


 Lados opuestos son paralelos y de igual medida.
E
 Sus ángulos internos opuestos son de igual medida


 Sus DIAGONALES, se bisecan.
E : Punto medio de las diagonales
Clases de Paralelogramo:

E

B : base
h: altura

E
h
h

B
B
RECTÁNGULO
ROMBOIDE
D : Diagonal Mayor
d : Diagonal menor
L
E
45°
E
d
45°
L
CUADRADO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
D
ROMBO
193
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS:
1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el
ángulo mayor?
a) 150°
b)144
c)100
d)90
e)72
2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no
paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal.
a) 6m
b)7m
c)8m
d)9m
e)10m
3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo
mide:
a) 6
b)5
c)8
d)12
e)7
4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado.
¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor?
a) 2 : 1
b) 1 : 4
c) 1 : 2
d) 1 : 2
e) 2 : 1
5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto
medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia
del punto E al lado AD es:
a) 6m
b)4m
c)7m
d)8m
e)5m
6. Determinar la expresión falsa:
a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°.
c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos.
7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la
base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento
que une los puntos medios de las diagonales?
a) 10
b) 26
c) 18
d) 8
e) 16
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
194
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un
lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho
lado?
a) 15
b) 14
c) 13
d) 10
e) 12
9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del
segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD
diagonal menor).
a) 7cm
b) 8
c) 5
d) 6
e) 4
3a
10. En la figura mostrada, calcular “x”.

x
a) 20°
d) 30º
b) 40°
e) 50º
c) 60°
2
a
11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre
dos lados opuestos.
a) 5 cm
b) 4,8 cm
c) 4,5 cm
d) 3 cm
e) 6 cm
12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es
la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor.
a) 20 3  1
b) 20 3  1
c) 10 3  1
d) 10 3  1 e) 15 3  1
13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se
prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD.
Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm.
a) 12 cm
b) 13
c) 15
d) 14
e) 16
14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente.
Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto
mide la mediana del Trapecio AMCD?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 10
e) 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
195
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS:
1. Hallar “x” (BC // AD)
A. 30º
B. 18º
C. 37º
D. 45º
E. 60º
2. Hallar “x”
A. 120º
B. 100º
C. 135º
D. 160º
E. 150º
3. Hallar “x”
A. 30º
B. 25º
C. 15º
D. 18º
E. 20º
4. Hallar “x” (BC // AD)
B
A. 21
C
B. 20
C. 18
D. 19
A
D
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
196
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 18
PERÍMETRO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
197
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
18.1
DEFINICIONES PREVIAS.
Región Plana: Es una porción de plano cuyo contorno es una línea cerrada, la
línea que limita a la región puede ser poligonal o una curva cerrada.
Perímetro de una región: Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que
conforman el borde o contorno de una región.
18.2.
PERÍMETRO DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS.
(a) Cuadrado
(b) Rectángulo

(c)Triángulo
b
a


a
a
b

b

c
P=4
P = 2a + 2b
(d) Polígono regular de “n”
lados de longitud “ “



P=a+b+c
(e) Sector Circular
(f) Longitud de
circunferencia
A

L
R
R
 





P = n.




O

O
B
P = Longitud de Arco + 2R
P
= 2R

360 o
+R
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
 L  2R
198
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS (En general).
Usando una regla, se puede determinar, separadamente, la medida de cada lado
del polígono siguiente, intentar y completar.
A
AB =
mm
BC =
mm
CD =
mm
DA =
mm
B
C
D
Sumando esas medidas, se encuentra la medida del contorno del polígono.
Así:
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
Completar :
+
+
+
=
La medida del contorno del polígono es denominada PERÍMETRO (P)
Se puede decir entonces que:
Perímetro de un polígono es la suma de las medida de sus lados.
Ejemplo: Hallar el perímetro del polígono siguiente:
Completar:
P = 1,5 cm +
P =
+
+
+
+
2
2,5
1,5
1,5
4
El perímetro es de 11,50 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
199
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
En ciertos polígonos, el cálculo del perímetro puede ser hecho de forma más
simple, no se requiere una fórmula especial para cada caso, pues el modo de
calcularlo es simple y directo.
Ejemplo:
1. Calcular el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.
Como los lados del triángulo equilátero
son iguales se tiene:
P = 3L en este caso
P = 3 x 5 cm
P = 15 cm
lado
L = 5 cm
Se concluye que la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es:
P=3xL
de donde “L” es la medida del lado.
2. Calcular el perímetro del cuadrado cuyo lado mide 3 cm.
El cuadrado tiene 4 lados iguales.
Luego:
P = 4L
P = 4 x 3 cm
P =
cm
lado
L = 3 cm.
Concluyéndose: El perímetro del cuadrado está dado por la fórmula:
P=4xL
Observación:
Si el polígono es regular, todos los lados son iguales, y el
perímetro se obtendrá multiplicando la medida del lado (L) por
el número de lados (n).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
200
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ejemplo:
El perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 8 cm será:
P = ..................... x 5
=
............................. cm
P=nxL
3. Calcular el perímetro del rectángulo siguiente:
ALTURA
Como el rectángulo tiene sus lados
opuestos iguales, tenemos:
h = 3 cm
P = 5 + 3+ 5 + 3
P = .................... cm
b = 5 cm
BASE
5
Luego el perímetro del rectángulo será:
P = 2.b + 2.h
3
P = 2.( b + h )
3
5
Resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:
1. Calcular el perímetro de los triángulos equiláteros siguientes:
a)
L = 3 cm
P = ....................
b)
L = 4,5 cm
P = ....................
2. Calcular el perímetro de los cuadrados siguientes:
a)
L = 2 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
P = ....................
201
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
b)
L = 1,5 cm
P = ....................
3. Calcular el perímetro de los rectángulos siguientes:
b = 5 cm
a)
h = 2 cm
P = ....................
b = 6,5 cm
b)
h= 1,5 cm
P = ....................
4. Calcular el perímetro del rombo.
a)
L = 3,50 cm
P = ....................
5. Calcular el perímetro de las figuras, en mm.
20
a)
5
P=……………....
35
45
12
b)
P=…….........…..
10
30
5
37
c)
P = .....................
14
20
15
45
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
202
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d)
P = .....................
15
42
6. Completar el siguiente cuadro:
Triángulo
Equilátero
L
P
5 cm
Cuadrado
L
Rombo
P
L
0,4 cm
120 mm
1,8 cm
144mm
Rectángulo
P
b
h
4 mm
25 mm
10 mm
1,5 cm
12 cm
10 cm
0,25 m
82 mm
P
16 mm
40 mm
7. Calcular el perímetro de las figuras:
a)
b)
9/16”
c)
1 1/2”
1/2”
7/8”
5/8”
5/8”
1”
P = ............
P = ............
P = ............
Antes de proseguir, corregir todos los ejercicios:
1)
a)
9 cm
b)
13,5 cm
2)
a)
8 cm
b)
6 cm
3)
a)
14 cm
b)
16 cm
4)
a)
14 cm
5)
a)
105 mm
b)
94 mm
c)
94 mm
d)
114 mm
6)
Triángulo
Equilátero
L
P
Cuadrado
L
15 cm
40 mm
P
Rombo
L
1,6 cm
36 mm
5,4 cm
1m
Rectángulo
P
b
h
P
16 mm
70 mm
6 cm
44 cm
20,5 mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
4 mm
203
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7)
a)
3¾“
b)
2 15/16”
c)
4 ¼”
Así como se determinó el perímetro de los polígonos, puede determinar el
PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA, o sea, su LONGITUD.
Envolver un cilindro con un pedazo de hilo, como lo
muestra la figura.
17,5 cm
Estirar enseguida el hilo y medir la longitud obtenida. Se
habrá determinado experimentalmente, la longitud de la
circunferencia, o sea, su perímetro.
Dibujo pag. 314
55,6
cm
Si ahora se divide la longitud obtenida (55,6 cm) por el diámetro de esa
circunferencia (17,7 cm), se obtendrá un cociente aproximadamente igual al
número 3,14.
55,6
02,50
07,30
00,22
17,7
3,14
Dibujo pag 314
D = 17.7
cm
D = 17.7
cm
D = 17.7
cm
C = 55.6 cm
Sean dos (o más) circunferencia de diámetros diferentes, por ejemplo:
C = 32,044 cm
c 32,044

 ............
d
10,2
d = 10,2 cm
C = 19,479 cm
c 19,479

 ............
d
6,2
d = 6,2 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
204
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Procurar calcular los cocientes y llenar los vacíos.
Siempre que se divida la longitud de una circunferencia por su diámetro obtendrá,
aproximadamente, como cociente, el número 3,14; como se encontró
anteriormente.
Por lo tanto, siempre será:
c
 3,14 (con aproximación al centésimo)
d
Ese número 3,14 es representado por la letra griega  (pi)
3,14 = 
Cualquiera que sea la circunferencia, se debe recordar siempre que
Longitud de circunferencia
π
Diámetro
Luego, se quiere determinar la longitud de una circunferencia, basta multiplicar el
diámetro por  (3,14), por lo tanto:
Longitud de circunferencia = Diámetro x 
Que se representa:
C
=
.D
Como el diámetro es igual a 2 veces el radio (D = 2r), se puede escribir también.
C
Observación:
1°
2°
 = 3,14
=
2 .R
 = 22/7
Perímetro de la circunferencia = Longitud de la circunferencia
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
205
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ejemplos:
1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm?
D = 6 cm , Como:
C = .D
Se tiene que:
C = 3,14 x 6 cm
C =.................. cm
2. Determinar la longitud de la circunferencia que tiene 5 mm de radio.
R = 5 mm
C =2..r
C = 2 x 3,14 x 5 mm
C =........................ mm
Ejercicios de reforzamiento para que usted resuelva:
1. Calcular la longitud de la circunferencia cuyo diámetro mide 7 cm.
C =..............................
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene 2,7 cm de radio?
C =..............................
3. Calcular el perímetro del círculo cuyo radio mide 9 cm.
P =..............................
4. Un círculo que mide 3,7 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro?
P =..............................
5. Un disco con un diámetro que mide 10 cm da una vuelta completa sobre un
carril, ¿Cuál fue la distancia recorrida?
10 cm
Distancia =.............................. cm
6. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia de una rueda cuyo radio mide 25
cm?
C =..............................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
206
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. Las ruedas de una bicicleta miden 70 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud de
su circunferencia? ¿Cuál será la distancia recorrida por un ciclista, si cada una
de las ruedas de la bicicleta han dado 1000 vueltas?
C =.............................. cm
Distancia recorrida =............................... m.
8. Un carril de longitud 9,42 m. ¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 50
cm de diámetro para recorrerlo?
R =.................... vueltas
9. Las ruedas de una bicicleta tienen como diámetro 0,5 m y la otra 40 cm,
respectivamente. Si al desplazar la bicicleta, se observa que la suma de
vueltas que dan las dos ruedas es 18 000, ¿Qué distancia en metros ha
recorrido la bicicleta?
distancia =.................... m.
10. El auto de Guillermo se desplaza con una velocidad de 20 m / s, durante 2
minutos 37 segundos, y cada rueda tiene un radio que mide 40 cm, ¿Cuántas
vueltas habrá dado cada rueda?
R =.................... vueltas
Corregir las respuestas:
1. 21,98 cm
2. 16,956 cm
7. c = 219,8 cm
Distancia = 2 198 m
3. 56,52 cm
8. 6 vueltas
4. 23,236 cm
9. 1256 m
5. 31,14 cm
10. 1250 vueltas
6. 157 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
207
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Hallar la longitud aproximada de la SOLUCIÓN :
30”
correa de transmisión requerida para
el trabajo mostrado en la figura
L
30”
=12”
Los 2 arcos “L”, forman una circunferencia de
12” de diámetro.
Perímetro = 30” + 30” + Long. Circunferencia
Perímetro = 30” + 30” + 12”.(3,14)
Perímetro = 97,68 “
2. Calcular el perímetro del trapecio SOLUCIÓN :
rectángulo. (Las medidas están en
B
metros)
7

25
25
24
7
C



A
25

E
7
7
D
Hallamos AB en el triángulo rectángulo ABC:
(Teorema de Pitágoras)
2
2
2
AB = 25 - 7
AB = 24
Como BC es paralelo AD, entonces la m A del
triángulo ACD mide “”.
El triángulo ACD es Isósceles, por lo tanto CD =
25.
Trazamos CE (Altura del Triángulo Isósceles
ACD) por lo tanto AE = ED = 7.
Perímetro = 24m + 25m + 7m + 14m = 70m
3. Determinar el perímetro de la figura
SOLUCIÓN :
La suma de todos los segmentos horizontales
mide el doble de 13 cm.
La suma de todos los segmentos verticales
mide el doble de 15 cm.
15 cm
Perímetro = 2.(13cm) + 2.(15cm) = 56 cm
13 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
208
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
4. Calcular el perímetro de la región SOLUCIÓN :
B
achurada
6m
6m
P
3
3
r
A
R
6-r
Q
C
r
Unimos los centros P y Q.
En el Triángulo rectángulo PAQ (Teorema de
Pitágoras) :
2
2
2
(3 + r) = 3 + (6 – r)
2
2
9 + 36 – 12r + r = r + 6r + 9
r = 2
L1
3
Entonces : AR = 2
L2
L3
2
A
2
R
Perímetro = 2 + L1 + L2 + L3 .
Perímetro = 2 
Perímetro =
2(6) 2(3) 2(2)


4
2
2
( 2  8 ) metros
= 27,12 m.
5. Se tiene un polígono de ángulo SOLUCIÓN :
central 20° y su lado de 5 cm. Hallar
360º
 central =
el perímetro del polígono.
n
360º
n =
= 18 lados
20º
Perímetro = 18.(5 cm) = 90 cm
6. La mediana de un trapecio es 12 m. SOLUCIÓN :
Hallar su perímetro si los lados no
Bb
Mediana =
= 12 m  B + b = 24 m
paralelos suman 10 m.
2
b
D
C
Perímetro = B + b + C + D
Perímetro = 24m
+
10 m
= 34 m
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
209
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. La figura es un triángulo equilátero SOLUCIÓN :
de 8 cm de lado, calcular el El perímetro es la suma de las tres longitudes
de arco, de ángulo central 60º y de radio igual a
perímetro de la parte sombreada.
4 cm. Que llegan a formar el arco de una
semicircunferencia:
L
60º
L
L
L
L
60º
L
60º
60º
4 cm
60º
60º
4 cm
Perímetro = 2.(4cm) = 8 cm.
8. Hallar el perímetro de la región SOLUCIÓN :
sombreada (las medidas están en
12
milímetros)
8
L2
4
18
L1
20
8
4
Las longitudes de arcos de un mismo ángulo
central son proporcionales a sus respectivos
radios:
18
L1 18 L 2


4 12 20
Entonces :
16
L1 = 6 y
L2 = 30
Perímetro = 4 + 4 + L1 + 18 + 8 + 8 + L2
Perímetro = 4 + 4 + 6 + 18 + 8 + 8 + 30
Perímetro = 78 mm.
12
9. Hallar el perímetro de la región SOLUCIÓN :
sombreada
3
12 m.
6
12 m.
6
6 L
L
L 6
L
12
Perímetro = 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4L
 2(3) 

 2 
Perímetro = 48 + 4 
Perímetro = 48 + 12
Perímetro = 12.( 4 +  ) m.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
= 85,68 m
210
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
10. Calcular el perímetro del área SOLUCIÓN :
sombreada. OB = 5 m. EC = 2m.
E
2
E
4
C
5
3
B
C
O
O
A
D
B
3
A 1 D
4
Radio del Sector Circular : OB = OE = 5
Como EC = 2 ; Entonces CO = 3 = AB.
E
En el Triángulo rectángulo
(Teorema de Pitágoras):
C
2
2
CB = 5 - 3
2
=
hallamos
CB
 CB = 4 = OA
Como OA = 4 , Entonces AD = 1
2
Perímetro = EC + CB + AB + AD + EBD
m
Perímetro = 2 + 4 + 3 + 1 +
Perímetro = 10 +
2π5
4
5π
2
Perímetro = 17,85 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
211
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PERIMETROS NIVEL I
1. El diámetro de un árbol es de 315 mm. ¿Cuál es su perímetro?
2. Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿Cuántas
revoluciones ejecuta en un trecho de 1 km ?
3. ¿Qué longitud de correa se necesita para dos poleas de transmisión de 350
mm de diámetro dada una distancia entre centros de 1,5 m?
4. ¿Cuál es el diámetro de una ventana redonda con igual perímetro de una
ventana cuadrada con 620 mm de lado?
.
5. ¿Qué trayecto (en m/min) recorre una broca espiral de 20 mm de diámetro de
un minuto cuando la taladradora ejecuta 520 revoluciones?
6. ¿Cuántos metros de alambre de 1,2 mm de diámetro se pueden enrollar en
una bobina de 120 mm de longitud y 55 mm de diámetro? (Sin tener en
cuenta el grosor del alambre)
7. Para el trazado de una curva se necesita un arco con 210 mm de diámetro y
120° de ángulo central. Calcular la longitud del arco.
8. Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo
central de 106°. Calcular el diámetro.
9. Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm
y un radio de 310 mm. Calcular el ángulo central.
10. Siendo la longitud del arco de un disco de mando circular de 420 mm y
teniendo lugar la inversión de marcha después de 80°, calcular el diámetro.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
212
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Calcular el perímetro del paralelogramo.
12

2
5

7
A) 46
B) 38
C) 48
D) 30
E) 36
2. Calcular el perímetro de la figura
4m
4m
A) 20,56 cm B) 205,6 cm C) 2056 cm D) 28,56 cm
E) 0,2856 cm
3. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24
cm. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir los
puntos medios de los lados.
A) 12 3
B) 16 2
C) 8 3
D) 24 3
E) 12 2
4. El perímetro de la parte sombreada mide 62,8 cm, ABCD es un cuadrado y
los puntos N, M, P y Q son puntos medios. Hallar el lado del cuadrado
A)
B)
C)
D)
E)
20 cm
10 cm
28 cm
25 cm
15 cm
B
M
N
A
C
P
Q
D
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
213
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Hallar el perímetro de la región sombreada R = 20 cm y r = 10 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
30 cm
(30 - 80) cm
(30 + 80) cm
(30 + 20) cm
100 cm
R
r
6. Hallar el perímetro de la región sombreada, M y N puntos medios y ABC es
un triángulo equilátero de lado 4 m.
A) 4 3  
B
B) 8  
2
C) 8  
3
M
D) 3  
E) 8
A
C
N
7. Si en la figura, ABC es un triángulo equilátero, y en cada lado tomamos el
punto medio para formar otro triángulo. ¿Qué parte del perímetro de ABC es
el perímetro del triángulo achurado?
A)
B)
C)
D)
E)
B
1/2
1/3
1/4
1/16
1/32
A
C
8. Hallar el perímetro de la figura, lado del cuadrado es 8 cm
A)
B)
C)
D)
E)
42,84 cm
40,56 cm
48,24 cm
40 cm
48 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
214
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
9. Hallar el perímetro de la parte achurada.
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
24,5 cm
17,5 cm
20,5 cm
35,5 cm 6 cm
36 cm
10. Hallar el perímetro.
8
2
5
16
6
5
A) 72
B) 42
C) 50
D)60
E)82
11. Hallar el perímetro de la región sombreada
A) 2 
B)
C)
D)
E)
8
3
6
2  6
4
5
60°
4
12. Hallar el perímetro de la figura sombreada, lado del hexágono es 6 cm
A)
B)
C)
D)
E)
4(3 + 2) cm
(4 + 3) cm
3(4 + 2) cm
(12 + ) cm
(3 + 2) cm
13. Hallar el perímetro
A)
B)
C)
D)
E)
40( + 1)
40
( + 40)
40( - 1)
120
60 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
215
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
14. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero cuyo lado
mide 4 3 metros, Hallar el perímetro del hexágono inscrito en dicha
circunferencia?
A) 15 m B) 24 m C) 50 m D)6 m E) 12 m
15. Hallar el perímetro del triángulo que resulta de unir los puntos medios de
los lados no consecutivos de un hexágono regular cuya sagita mide
12  6 3 metros


A) 65 m B) 54 m C) 50 m D)60 m E) 42 m
16. Hallar el perímetro de la figura sombreada, el lado del cuadrado es 20 cm.
A) 20
B) 25 C) 30
D) 10 E) 35
17. Hallar el perímetro del rectángulo.
4
m
6m
18 m
A) 68
B) 84 C) 36
D) 70 E) 72
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
216
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
18. Hallar el perímetro de la región sombreada, las circunferencias tiene un
radio de 10 m.


A) 20 8  3 m
B) 180 m
D) 160 3 m
E) 8 20  3 m

C) 160 m

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
217
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III
1. Hallar el perímetro de un rombo, si es 6 veces el perímetro de un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.
a) 24 3 cm
b) 48 3 cm
c) 72 3 cm
d) 60 cm
e) 210 cm
2. El perímetro de un trapecio equivale al de un rombo cuyas diagonales miden
60 y 80 cm. Si la altura del trapecio es igual a la mitad de la diagonal menor y
los lados no paralelos miden 50 cm cada uno. ¿cuánto mide la base mayor?
a) 50 cm
b) 10 cm
c) 90 cm
d) 70 cm
3. Un rectángulo tiene el doble de perímetro que un cuadrado de 36 cm 2 de
área. La base del rectángulo mide el triple de su altura. ¿cuánto mide la base
del rectángulo?
a) 6 cm
b) 18 cm
c) 48 cm
d) 9 cm
4. Dos ruedas de 36 y 48 cm de radio están en contacto. Si la primera da 400
vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la segunda en media hora ?
a) 9 000
b) 300
c) 500
d) 3 000
e) 800
5. En la figura, abcd es un cuadrado. Hallar el perímetro de la región sombreada.
A) 22,28 dm
B) 20,56 dm
C) 16+2  dm
D) 8+2  dm
E) 4+8  dm
A
B
4 dm
D
C
6. El lado del hexágono regular mide 4 cm. Hallar el perímetro de la región
sombreada.
A) 8 3 cm
B) (8 3 +1) cm
C) ( 3 +8) cm
D) 8( 3 +1) cm
E) 21,2 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
218
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. El perímetro del trapecio circular mide 6,2 m. Hallar la medida del ángulo  .

2
30º
60º
22º
21º
15º
m
m
a)
b)
c)
d)
e)
22
)
7
2
(=
8. Hallar el perímetro de la figura sombreada.
6 cm
8 cm
A) (10+14  ) cm
B) (14+20  ) cm
C) (10  +8) cm
D) (14+5  ) cm
E) (14  +5) cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
219
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
UNIDAD 19
MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
220
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
19.1. MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una
unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y
corresponde
a
un
cuadrado
de
un
metro
de
lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus
múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100
La medida de una superficie es llamada ÁREA DE SUPERFICE. La unidad
fundamental de medida de superficie, o sea, el área, es el metro cuadrado (m 2).
1m
m2
1m
2
m = Área de un cuadrado de 1m de lado
Por ejemplo, medida de la superficie ABCD es:
1m
2m
2
Superficie de ABCD = 10 m2
5m
2
En el símbolo m , el exponente 2 indica las dos dimensiones de una superficie
MEDIDAS DE VOLUMEN.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver
cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de
medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un
metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus
múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
221
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
1m
1m
3
1m
1m
3
m = Volumen de un cubo de 1m de arista
19.2. REPRESENTACIÓN Y LECTURA.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
Como las unidades de superficie varían de 100 en 100, la cantidad 43,2 dm 2 es
conveniente escribirla 43,20 dm2 y se lee: cuarenta y tres decímetros cuadrados y
veinte centímetros cuadrados.
3,48 m2 se lee:
Tres ………………………………………………………………….
2
2,30 m se lee:
……………………………………………………………………….
MEDIDAS DE VOLUMEN.
Como las unidades de volumen varían de 1000 en 1000, la cantidad 43,2 dm3 es
conveniente escribirla 43,200 dm3 y se lee: cuarenta y tres decímetros cúbicos y
doscientos centímetros cúbicos.
3,48 m3 se lee:
2,30 m3 se lee:
Tres ………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….
19.3. CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
MÚLTIPLOS
KILÓMETRO
CUADRADO
km
2
1 000 000 m2
HECTÓMETRO
CUADRADO
hm
2
10 000 m2
UNIDAD
DECÁMETRO
CUADRADO
dam
2
100 m2
METRO
CUADRADO
m
2
1 m2
SUBMÚLTIPLOS
DECÍMETRO
CUADRADO
dm
2
0,01 m2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
CENTÍMETRO
CUADRADO
cm
2
0,0001 m2
MILÍMETRO
CUADRADO
mm
2
0,000001 m2
222
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Para realizar la conversión de unidad de medida de superficie en el sistema
métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:
1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por
100.
2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por 100.
En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.
Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medida de superficie.
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Cada grada que se descienda, la
hm
2
coma se desplaza hacia la derecha
dos cifras por cada grada
Ejemplo:
2,5326 hm2 = 25 326 m2
0,38 m2 = …………… dm2
0,001532 dam2 ………………cm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
223
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Cada grupo que se sube, la coma se desplaza hacia la izquierda dos cifras por
cada grada.
Ejemplo:
108,42 dm2 = 1,0842 m2
5083 m2 = ……………. km2
Concluyendo:
Unidad
Unidad
inmediatamente
inmediatamente
superior
inferior


0,345697 dam2
=
34,5697 m2
=
3456,97 dm2

Derecha
La coma se
desplaza dos
lugares
izquierda

para
Siempre que sea necesario agregar ceros.
Hacer estas transformaciones:
1.
5,86 dam2 a dm2
3. 12,05 m2 a cm2
2.
183,2 cm2 a dam2
4. 78350 dm2 a dam2
Las respuestas deben ser:
1. 58600 dm2
2. 0,00018320 dam2
3. 120500 cm2
4. 7,835 dam2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
224
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS:
1. Llenar los espacios con las palabras adecuadas:
a) Toda superficie tiene dos dimensiones: ……………………. y ……………….
b) Medir una superficie es compararla con otra tomada como ………………..
El resultado obtenido de esta comparación se llama ………………………….
c) Área es la ……………………………………………….…… de una superficie.
d) Un metro cuadrado tiene ………………………………decímetros cuadrados.
e) Un decímetro cuadrado tiene…………………………centímetros cuadrados.
f) 1 m2 = ……………… dm2 …………………. cm2……………… mm2…………
2. Transformar en metros cuadrados. Observar antes los ejemplos:
a) 14542,75 cm2 = 1,454275 m2
b) 0,72 dm2 = 0,0072 m2
c) 2 mm2 = 0,000002 m2
d) 81 dm2 = ……………………………... m2
e) 0,04512 dam2 = ……………………… m2
f) 1415,30 cm2 = ………………………. m2
g) 545,1257 hm2 = …………………….. m2
3. El hecho de existir en cada unidad de área 10 divisiones de 10 unidades
cuadradas, permite escribir:
a) 1 cm2 tiene 10 veces 10 mm2 = 100 mm2  1 cm2 = 100 mm2
b) 1 dm2 tiene ……. veces …………cm2 = ………….. cm2  1 dm2 = …cm2
c) 1 m2 tiene …….. veces …………….. dm2 = ………….. dm2  …………
d) 1 dam2 tiene …….. veces …………… m2 = …………… m2 ………………
e) 1 hm2 tiene …….. veces ……….… dam2 = …………. dam2 ………………
f) 1 km2 tiene …….. veces …………… hm2 = …………. hm2 ………………
Ahora, corregir:
1. a) Largo y ancho
d) 100
e) 100
b) Unidad, área
c) Medida
f) 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
225
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
2. d) 0,81
g) 5451257
e) 4,5120
f) 0,141530
h) 0,001260
3. b) 10 x 10 = 100  100
c) 10 x 10 = 100  1 m2 = 100 dm2
d) 10 x 10 = 100  1 dm2 = 100 m2
e) 10 x 10 = 100  1 hm2 = 100 dam2
f) 10 x 10 = 100  1 km2 = 100 hm2
Continuar:
4. Completar:
a) 2,12 m2 + 31,45 dm2 + 12 cm2 = …………………………………………mm2
b) (5,12 m2 + 588,50 dm2) – 30 050 cm2 =………………………………… mm2
5. Completar:
a) 4,50 m2 + 45 dm2 + 445 mm2 = ……………………………………………cm2
b) 0,85 m2 + 15 dm2 – 5 000 mm2 = ……………………………………….. cm2
6. Completar:
a) 4 m2 + 1 245 cm2 + 500 000 mm2 = ………………………………………dm2
b) 100 000 mm2 + (0,9 m2 – 5 000 cm2) = ………………………………… dm2
7. Completar:
a) 6,45 dm2 – (6,45 mm2 + 6,45 cm2) = ……………………………………..m2
b) (6,45 dm2 + 6,45 mm2 – 6,45 cm2) = …………………………………… m2
Corregir:
4. a) 2 436 000 mm2
b) 8 000 000 mm2
5. a) 49 504,45 cm2
b) 9 950 cm2
6. a) 462, 45 dm2
b) 50 dm2
7. a) 0,06384855 m2
b) 0,06386145 m2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
226
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
MEDIDAS DE VOLUMEN.
SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
3
1 dm = 0,001 m
3
1 cm = 0,001 dm
decímetro cúbico
dm
centímetro cúbico
cm
milímetro cúbico
mm
3
3
3
3
3
1 mm = 0,001 cm
3
EQUIVALENCIAS ENTRE
DISTINTAS UNIDADES DE
MEDIDA PARA EL AGUA
3
3
Las unidades de volumen,
capacidad y peso del agua
están relacionadas:
Un litro de agua a 4º C de
temperatura peso 1 kg y
3
ocupa un volumen de 1 dm .
3
3
1m = 1 000 dm = 1 000 000 cm = 1 000 000 000 mm
3
MÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
decámetro cúbico
dam
hectómetro cúbico
hm
kilómetro cúbico
km
3
3
3
1 dam = 1 000 m
3
3
1 hm = 1 000 dam
3
3
1 km
3
3
= 1000 hm
Capacidad
Volumen
3
1 litro equivale 1dm
3
3
3
1m = 0,001 dam = 0,000 001 hm = 0,000 000 001 km
Peso
1 kg
3
equivale
Volumen
3
1dm
Para realizar la conversión de unidad de medida de volumen en el sistema
métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:
1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por
1000.
2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por 1000.
En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.
Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medidas de volumen.
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
227
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Cada grada que usted descienda, la
hm
coma se desplaza hacia la derecha
3
cifras por cada grada.
Ejemplo:
2,5326 hm3 = 2 532 600 m3
0,38 m3 = …………… dm3
0,001532 dam3 ………………cm3
Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda, tres cifras
por cada grada.
Ejemplo:
108,42 dm3 = 0,108 42 m3
5083 m3 = ……………. Km3
Concluyendo:
Unidad
Unidad
inmediatamente
inmediatamente
superior
inferior


0,0345697 dam3
=
34,5697 m3
=
34569,7 dm3

Derecha
La coma se desplaza
tres lugares
izquierda

para
Siempre que sea necesario agregar ceros.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
228
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Realizar las siguientes transformaciones:
1. 5,86 dam3 a dm3
3. 12,05 m3 a cm3
2. 183,2 cm3 a dam3
4. 78350 dm3 a dam3
Las respuestas deben ser:
1. 5860000 dm3
2. 0,00000018320 dam3
3. 12050000 cm3
4. 0,07835 dam3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
229
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS:
1. Transformar en metros cúbicos. Observar antes los ejemplos:
a) 14542,75 cm3 = 0,01454275 m3
b) 0,72 dm3 = 0,00072 m3
c) 2 mm3 = 0,000000002 m3
d) 81 dm3 = ……………………………... m3
e) 0,04512 dam3 = ……………………… m3
f) 1415,30 cm3 = ………………………. m3
g) 545,1257 hm3 = …………………….. m3
Continuar:
1. Completar:
c) 2,12 m3 + 31,45 dm3 + 12 cm3 = …………………………………………mm3
d) (5,12 m3 + 588,50 dm3) – 30 050 cm3 =………………………………… mm3
2. Completar:
c) 4,50 m3 + 45 dm3 + 445 mm3 = ……………………………………………cm3
d) 0,85 m3 + 15 dm3 – 5 000 mm3 = ……………………………………….. cm3
19.4. AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS.
ÁREA DEL RECTÁNGULO
En la figura del lado, se tiene un rectángulo de 6 cm. de
largo y 3 cm. de ancho, cuya área es de 6 x 3 = 18 cm2.
Representado por A el área del rectángulo, por “b” la
base y por “h” la altura, se tendrá la fórmula.
A=b.h
P = 2 (b + h)
P: perímetro
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
230
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Completar:
El área del rectángulo es igual al producto de la medida de …………………………
por la medida de la altura.
Calcular el área del rectángulo que tiene 5 cm. de base y 4 cm de altura.
Respuesta: ……………………..
ÁREA DEL CUADRADO
El cuadrado es un rectángulo en donde la medida de la base es igual a la medida
de la altura (b = h). Por lo tanto, el área puede ser encontrada a través de la
fórmula:
A=b.h
Por lo tanto:
b=1
A=b.h

P=4L
d=L
2
d = diagonal
h=1
A=1.1
P = perímetro
A = 12
Completar:
-
El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida del………………………
……………………………………………………………………………………………
-
¿Cuál es el área del cuadrado de 8 cm. de lado? …………………………………
……………………………………………………………………………………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
231
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
Si se dibuja en un papel las figuras que a continuación se presentan y recorta el
triángulo QTR; luego lo coloca haciendo coincidir RQ con SP , le resulta un
…………………...
trapecio / rombo / rectángulo
(  SIGNIFICA EXACTAMENTE IGUAL)
QT es la altura h. Área del Paralelogramo 
Área del cuadrilátero
TT’ (RS) es la base B del rectángulo, Luego:
Área del paralelogramo
A = b.h
Ejemplo:
Medida de la base = 5 (b)
Medida de la altura = 3 (h)
A=b.h
A=5.3

A = 15 cm2
Es el área del paralelogramo de base b y altura h.
Completar:
Para calcular el área del paralelogramo, se utiliza la misma fórmula que se utiliza
para calcular el área del ……..…………………………………………………………..
rectángulo / cuadrado
Un paralelogramo que tiene 8 cm. De base y 3 cm. De altura, tendrá ………….cm 2
de área.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
232
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Observar en la figura, que el área del triángulo QRS
es la mitad del área del paralelogramo QRTS, o sea,
tiene la misma base b y la misma altura h.
Siendo A = b . h
El área del paralelogramo, basta dividir por 2, para obtener el área del triángulo,
como muestra la fórmula.
A
b.h
2
Sustituyendo por las medidas de b y h del triángulo sombreado, se obtendrá:
A
b.h
2
A
3 x 2,8
2
A = ……………….
Respuesta: ……………
Otro ejemplo:
Calcular el área de un triángulo cuyas medidas están en el dibujo
Datos:
b = 8 cm
h = 4 cm
Fórmula:
A
A
b.h
2
.........x .......... ..
2
Completar:
A = ______________ = …………………
Respuesta: …………………
ÁREA DEL ROMBO
La figura del lado representa un rectángulo (EFGH);
contiene 8 triángulos rectángulos iguales de los
cuales 4 constituyen el rombo.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
233
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Por lo tanto, como el área del rectángulo es:
A=b.h
A = D . d: es entonces el área del rectángulo EFGH
Se ve entonces que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo de
dimensiones D y d; o sea, que el área del rombo es igual a la mitad del producto
de las medidas de las diagonales. Por tanto, el área del rombo esta dada por la
fórmula.
A
D.d
2
Equivale a decir: el área del rombo es igual al semi-producto de las medidas de
sus ………………………… En la fórmula, completa sustituyendo D y d por los
valores de la figura:
A
x
= ………………. cm2
2
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales están
representadas en la figura:
Datos: D = 80 mm d = 50 mm
Fórmula: A 
D.d
= …………………
2
Respuesta:
ÁREA DE TRAPECIO
Sea el trapecio de bases B y b y altura h.
Recortar otro trapecio igual al dibujado.
Ajustar sus lados de modo que se obtenga la figura
del lado. Se obtiene la figura de un ……………
………………………………………………..
trapecio / paralelogramo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
234
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
El área del paralelogramo (figura total) está dada por:
A
ó
A
=
base . h
= (B + b) . h
Pero, observar que el área sombreada (del trapecio) es apenas la mitad del área
del paralelogramo. De ahí que el área del trapecio será:
A
(B  b) . h
2
Lo que equivale a decir. El área de un trapecio es igual a al mitad del producto de
la suma de las bases por la altura.
Ejemplo:
Calcular el área del trapecio cuyas bases son:
18 m y 12 m, respectivamente, y la altura 9 m.
Datos:
B = 18 m.
b = 12 m.
A
(B  b) . h
2
A
(18  12) ........ .......x.........

2
..............
h = 9 m.

A = ………………… m2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
235
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR
Con número de lados mayor de 4.
Tomemos, por ejemplo, el hexágono regular ABCDEF representado. Este
hexágono regular puede ser dividido en 6 triángulos equiláteros.
El paralelogramo AGIJ contiene 12 triángulos equiláteros iguales, de los cuales 6
constituyen el hexágono regular dado.
Como el área del paralelogramo es A = b . h y b = 6L
h = apotema (ap)
Apotema: segmento perpendicular trazado del el centro del polígono hacia un
lado.
Entonces el área del paralelogramo AGIJ será:
A = 6L . ap
Pero esta área del paralelogramo es el doble de área del hexágono regular
(observar nuevamente la figura).
Por lo tanto. El área del hexágono regular está dada por la fórmula:
6 . L . ap
A
2
Sustituyendo 6L por P (perímetro) y apotema por ap, se tendrá:
A
P . ap
2
P = perímetro
Con esta fórmula usted se puede calcular el ÁREA DE CUALQUIER POLÍGONO
REGULAR, desde que sean dadas las mediadas del lado y de al apotema.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
236
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ejemplo:
a) Calcular el área del hexágono.
L = 20 mm.
ap = 17,32 mm.
A
P . ap
2

A
6 . 20 .17,32
=
2
A = …………………
b) Calcular el área del octógono.
Datos:
L(8) = ……………………. mm.
ap(8) = …………………….mm.
A=?
A
P . ...........
2

A
8 x ....... x ..........
2
= …………… mm2
ÁREA DEL CÍRCULO
Tomar, por ejemplo, el círculo representado en el dibujo. Este círculo se dividió en
16 partes iguales.
2.r
El paralelogramo ABCD contiene 32 partes iguales, de las cuales 16 constituyen
el círculo. El área del paralelogramo se obtiene
A = b.h
=
2r.r
(Recordar que 2  r = Perímetro de la circunferencia).
Como el área es el doble de la del círculo, entonces el
área del círculo será:
A
2 r .r
ó = .r2
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
237
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Ejemplo:
Calcular el área:
Datos:
D = 10 cm
 r = 5 cm
Se pide el Área
 = 3,14
A =  . r2

3,14 x 52 = 3,14 x …………….. = …………….…… cm2
Luego: el área del círculo de diámetro 10 cm es de ……………………. cm 2
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
SECTOR CIRCULAR
Región limitada por dos radios y el arco correspondiente
º: Ángulo central

AB: arco
Sí:
º = AB
r2 -------------- 360º
A< -------------- º

A< =
 r 2 º
360º
Ejemplo:
Calcule el área del sector circular para un arco 72º, si r = 5 cm
Datos:
R = 5 cm
AB = 72º

Fórmula:
A< =
º = 72º
 r 2 º
360º
 = 3,14
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
238
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
A< =
(3,14)(5cm) 2 (72º )
360º
A< =
(3,14)(25cm 2 )
5
A< = ………….. cm2
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
Observe que el área de la corona sombrada es igual a la diferencia entre el área
del círculo mayor y el área del círculo menor; por lo tanto, el área será:
A =  R2 -  r2
Aplicando la propiedad distributiva tenemos:
A =  (R2 – r2)
Ejemplo:
Calcular el área del una corona circular en la cual: D = 16 cm y d = 14 cm
Datos:
D = 16

R = 8 cm.

D diámetro mayor
d = 14

r = 7 cm.

d diámetro menor
Fórmula:
A =  (R2 – r2)
A = 3,14 (82 – 72)
A = 3,14 (64 – 49)
A = 3,14 x 15
A = ………… cm2
SEGMENTO CIRCULAR
Región circular limitada por una cuerda y un arco. Su área está dada por la
diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo
A SC 
 R 2 . º
360º
 A  BOA
Ejemplo:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
239
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
Calcular el área del segmento circular cuyo arco es 74º y su radio 5 cm.
Datos:
R = 5 cm.
AB = 74º
A SC 
A SC

 R 2 . º
360º
2 = 74º
 A  BOA
3,14 (5) 2 . (74º ) 2(4 x3)


360º
2
ASC = 16,14 – 12
ASC = ………. cm2
TRAPECIO CIRCULAR
Es la parte de una corona circular limitada por dos radios de la circunferencia
mayor. Su área está dada por la diferencia entre las áreas de los sectores
circulares mayor y menor, respectivamente.
ATC 
 R 2 º  r 2 º
360º

360º
ATC   (R 2  r 2 )
º
360º
Ejemplo:
Calcular el área del trapecio circular de 72º de arco, sabiendo que los radios
miden 10 cm. y 5 cm., respectivamente.
Datos:
Arco = 72º

 = 72º
R = 10 cm.
r = 5 cm.
A TC 
A TC 
A TC 
 º
R
360º
2
 r2 
 72º 
360º

10cm    5cm 

2
2


 75cm 
5
2
ATC = …………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
240
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
EJERCICIOS:
1. Determinar el área y los perímetros:
a)
Respuesta
A= ………mm2
P = …….. mm
b)
Respuesta A = ……. m m2
P= ……. mm
2. Calcular el área de los siguientes polígonos:
a)
b)
c)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
241
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d)
e)
3. Calcular el área de los polígonos siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
4. Calcular el área de las figuras que siguen:
Observación:
Las medidas están en cm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
242
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Calcular el área de una lámina de forma trapezoidal, cuyas bases miden,
respectivamente, 16 cm. y 12 cm., y la altura mide 8 cm.
6. El perímetro de un cuadrado es de 52 dm. Calcular su área.
7. Calcular el área del círculo, siendo el dato numérico en mm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
243
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
8. Calcular las partes sombreadas de cada figura. Los datos numéricos se dan
en mm.
Corregir:
1. a) A = 46,24
P = 27,2
2. a) A = 693
3. a) 180
c) 585
P = 45,6
b) A = 149,94
c) A = 685,54
e) a = 14,9 mm
b) A = 113,15
d) A = 663,60
P = 103,2 mm
A = 768,84 mm2
b) 699,867
d) 60,2
e) 656,04
4. a) 313,50 cm2
b) 43 cm2
c) 815 cm2
d) 24 cm2
5. 112 cm2
6. 169 dm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
244
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
7. 2 826 mm2
8. a) 107,875 mm2
b) 329,70 mm2
c) 12,56 mm2
EVALUACIÓN FINAL
1. Reducir a las unidades que se piden:
a) 45,70 dm2 = Dm2
b) 4 Km2 = m2
c) 3,44 Hm2 = cm2
d) 205,40 m2 = Hm2
2. Calcular el área de la corona circular siguiente. Los datos están dados en
pulgadas
8
5
3. Calcular el área del rombo. Los datos se dan en cm.
45
16
4. Calcular la parte sombreada. Los datos se dan en pulgadas.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
245
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
5. Calcular el área de la figura siguiente: los datos están en mm.
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN
1. a) 0,004570 Dm2
b) 4 000 000 m2
c) 344 000 000 cm2
d) 0,020540 Hm2
2. 122,46”2
3. 360 cm2
4. 260,64”2
5. 2 200 mm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
246
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
1. Área de regiones triangulares.
b) Triangulo equilátero
a) Fórmula General
A
b.h
2


A
2. 3
4

c) Fórmula trigonométrica
d) En función de los lados
A  p(p  a )(p  b)(p  c)
a.b.sen 
A
2
Donde :
p  semiperímetro
p
abc
2
b) En función del radio de la circunferencia inscrita
A
p.r
2
p: semiperímetro
c) En función del radio de la
circunferencia circunscrita
A=
a.b.c
4R
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
247
MATEMÁTICA T.O. Parte 02
d) Relación de áreas
A ABN m

A BNC n
2. Regiones cuadrangulares
a) Trapecio
 a+b 
A= 
 .h
 2 
A=m.h
Donde: m = mediana
b) En todo trapecio se cumple que:
a2 = b . c
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248
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
A) 50 CM2 B) 40 CM2 C) 30 CM2 D) 60 cm2 E) 70 cm2
2. El perímetro de un rectángulo es de 40 cm. Si el largo es el triple del ancho
¿Cuál es su área?
A) 55 cm2 B) 60 cm2 C) 75 cm2 D) 85 cm2 E) 70 cm2
3. Hallar el área de un paralelogramo cuya base mide 12 cm., la medida del lado
no paralelo es 8 cm. y el ángulo obtuso mide 150º
A) 45 cm2 B) 46 cm2 C) 48 cm2
D) 50 cm2 E) 54 cm2
4. Hallar el área del triángulo AMN, si M y N son puntos medios.
2 2
2 2
A) 1 u2
B) 2 u2
C) 3 u2
D) 4 u2
E) 5 u2
5. El perímetro de un rombo es 52 m., la diagonal mayor mide24 m. Calcular el
área del rombo.
A) 100 cm2
B) 110 cm2 C) 120 cm2 D) 140 cm2 E) 160 cm2
6. Una diagonal de un trapecio isósceles mide 13 m. Si la altura es de 5 m., el
área del trapecio es:
A) 30 cm2
B) 40 cm2
C) 50 cm2
D) 50 cm2
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E) 60 cm2
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MATEMÁTICA
7. Calcular el área de un hexágono cuyo lado mide 6 cm.
A) 54 3 cm2
B) 56 3 cm2 C) 55 3 cm2
D) 57 3 cm2
E) 58 3 cm2
8. El área de una corona circular mide 12 cm2. Si los radios mayor y menor se
diferencian en 2 cm., entonces los radios suman.
A) 6 cm B) 7 cm
C) 8 cm
D) 9 cm
E) 10 cm
9. Calcular el área de un trapecio circular comprendido en un ángulo de 54º y los
radios 9m y 6m respectivamente.
A) 64 πm2 B) 66 πm2 C) 68 πm2
D) 70 πm2
E) 72 πm2
19.5. VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.
19.5.1.
POLIEDRO.
Un poliedro es una figura que limita una región del espacio
mediante cuatro o más regiones poligonales planas.
19.5.2.
PRISMA.
Es un poliedro, dos de cuyas caras son regiones poligonales
congruentes y paralelas, siendo las otras, regiones
paralelográmicas.
 LOS PRISMAS SE PUEDEN CLASIFICAR EN:
Prismas Rectos. Cuando las caras laterales son
perpendiculares a las bases, en este caso las caras laterales son rectángulos y la
arista lateral coincide con la altura.
Prismas Oblicuos. Cuando las caras laterales son oblicuas a las bases.
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250
MATEMÁTICA
Prismas Regulares. Cuando el prisma es recto y las bases son polígonos
regulares.
h
Prisma recto
Prisma oblicuo
Prisma regular
 ORTOEDROS.
Es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas
caras forman entre sí ángulos diedros rectos. los
ortoedros son prismas rectangulares rectos, y
también
son
llamados
paralelepípedos
rectangulares. Las caras opuestas son congruentes
y paralelas. Tienen 6 caras y 4 diagonales.
Para calcular la diagonal :
c
a
d
b
d2  a 2  b 2  c 2
 ÁREAS Y VOLÚMENES DEL PRISMA.
V  abh
(l arg o  ancho  alto )
At  2ab  2ah  2bh
V  volumen
a, b  lados de la base
h  altura
h
a
b
At  Área total
Paralelepípedo recto.
V  volumen



V  a a  arista o lado 
 At  area total 


3
At  6a 2
a
Cubo
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251
MATEMÁTICA
h
V  B h
A t  2B  perimetro  h
B  área de base
h  altura
A t  área total
Prisma recto
19.5.3. PIRÁMIDE.
Es un poliedro, que tiene por base un polígono. Las caras laterales son triángulos
con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
 LAS PIRAMIDES SE CLASIFICAN:
1. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide
cuadrangular, etc.
2. Por su forma pueden ser : regular ( si la base es un polígono regular y la altura
cae en el centro de la base); irregular; convexa (cuando la base del polígono
es convexo) y cóncavo
Bh
3
V  volumen
V
hh
B  area de la base
h  altura
Área lateral = AL = Suma de áreas de caras laterales
V
Área total = AL + B
Pirámide
aP
AL = p.aP
OBSERVACIÓN:
AL = p.( aP + aB )
Si la pirámide es regular:
Donde:
P
: semiperimetro
aP
: apotema de la pirámide
aB
: apotema de la base
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h
aB
252
MATEMÁTICA
SECCIÓN TRANSVERSAL:
En la figura se observa que
paralelo
con
ABCD,
EFGM es
es
sección
transversal de la pirámide de área AB
Aquí se cumple que:
AB h 2
Volumen V - EFGM h 3
 2 y

AB H
Volumen V - ABCD H 3
PROBLEMAS:
Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras
espaciales:
a) . Prisma recto
12
6
8
m ABC = 90º
b)
.
3 3
4
Prisma regular hexagonal
cubo
2
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MATEMÁTICA
h=2
h
10
c)
EA  H
Pirámide regular,
de base cuadrangularAB  BC
..
9
12
d)
..
9
ABCD : cuadrado
EB  13 ; AB  4
EB  ABCD
19.5.4. CILINDRO.
Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución
de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas
circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a
ambas caras.
H=g
El volumen, V, de un cilindro con una base de radio R, y altura o
generatriz, H, es el área de la base (un círculo) por la altura, es
decir:
R
V  R 2 .H
El área lateral, AL, de un cilindro con una base de radio R, y altura, H, es:
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254
MATEMÁTICA
AL  2R.H
La superficie o área total, AT, de un cilindro con una base de radio r, y altura, h,
es:
AT  2.AB +
AL = 2.R2 + 2.R.H = 2.R.(R + .H )
AB : Area de la Base
R
2R
CILINDRO
ABIERTO
19.5.5. CONO.
V
Un cono, es un sólido formado por la revolución de
un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos. Al círculo generado por el otro cateto ( R )
se denomina base y al punto donde confluyen los
lados opuestos se llama vértice (V) y la hipotenusa
generatriz ( g ).
En un cono de revolución:
o
Hay solo una base: círculo de radio R
o
La generatriz (g) no es congruente a la altura (H)
Eje
g
H
R
A
Si pudiéramos abrir un cono a través de su generatriz,
tendríamos el desarrollo de su superficie lateral del
cono en revolución, como se observa en la figura tiene
la forma de un sector circular, con igual radio a “g”.
o
Area lateral (AL):
AL = .R.g
o
Area Total (AT):
AT = AB + AL = .R2 + .R.g
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O
g
B

2R
= .R( R + g )
255
MATEMÁTICA
Donde AB es el Área de la base (círculo).
o
Volumen :
V =
1
R2H
3
19.5.6. ESFERA.
Es generada por la rotación (360º) de un semicírculo alrededor
del diámetro.
La intersección de cualquier plano con la esfera, origina círculos
como sección. Si un plano pasa por el centro de la esfera, se
obtiene como sección un círculo mayor.
Eje
R
Propiedades:
 Si se traza el radio perpendicular a un círculo
menor, este radio pasa por el centro de dicho
círculo.
 Fórmula para hallar el área de una esferas es:
A = 4R2
 El volumen de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:
V=
4
R3
3
 De la esfera una porción de su superficie entre dos
planos paralelos se llama zona esférica y la formula
es:
A zona esférica = 2R.h
 Si una zona tiene solo una
base, a esta superficie se le llama casquete
esférico; su área se calcula así:
A casquete = .AB2
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256
MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras
espaciales:
a)
.
b)
c)
d)
.
e)
.
r = 2 3 cm
m = OEC = 30º
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MATEMÁTICA
f)
g)
h)
.
i)
Resolver los siguientes problemas:
1) Calcular la longitud de la arista del cubo donde la distancia del vértice al centro
de la cara opuesta es
6 m.
2) Hallar el volumen del cilindro, si la altura es dos veces el radio. Radio del
cilindro es 2m.
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258
MATEMÁTICA
3) Hallar el área lateral del cono recto, si el radio del cono es 2m, y su ángulo del
vértice del cono es 60.
4) El área total de un cubo es numéricamente igual al volumen. ¿Cuánto mide su
arista?
5) El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio.
6) El volumen del cilindro es 30m3. El volumen de la esfera inscrita en dicho
Cilindro es:
7) Un recipiente de agua paralelepípedo de 0,8 x 0,45 x 1,5 m se llena con agua.
¿Cuántos litros caben en él?
8) Un recipiente de aceite con una base de 60 x 40cm está lleno con 140 dm 3 de
aceite ¿Qué altura tiene el nivel de aceite en cm?
9) Transformar un prisma cuadrado de 35 mm de lado en un cilindro de igual
volumen y altura. Calcular el diámetro.
10) El diámetro superior de un balde de agua es de 290 mm, el diámetro inferior
de 180 mm, la altura 320 mm ¿Cuántos litros caben en el balde?
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MATEMÁTICA
TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES
cuadrado
triángulo
A = a2
A=B·h/2
rectángulo
romboide
A=B·h
A=B·h
rombo
trapecio
A=D·d/2
A = (B + b) · h / 2
círculo
polígono regular
A=P·a/2
A =  · R2
(1)
P=2··R
corona circular
sector circular
A = · (R2  r2)
A = · R2 · n / 360
cubo
cilindro
A = 6 · a2
A = 2 · · R · (h + R)
V = a3
V = · R2 · h
ortoedro
cono
A = 2 · (a·b + a·c + b·c)
V=a·b·c
A = · R2 · (h + g)
(2)
V = · R2 · h / 3
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MATEMÁTICA
prisma recto
tronco de cono
A = P · (h + a)
A = · [g·(r+R)+r2+R2]
V = AB · h
(3)
tetraedro regular
esfera
A = a2 · 3
A = 4 · · R2
V = a2 · 2 / 12
V = 4 · · R3 / 3
octaedro regular
huso. cuña esférica
A = 2 · a2 · 3
A = 4 · ·R2 · n / 360
V = a3 · 2 / 3
V = VE · n / 360
pirámide recta
casquete esférico
A = P · (a + a') / 2
A = 2 · · R · h
V = AB · h / 3
V = · h2 · (3·R  h) / 3
tronco de pirámide
(1)
V = · h · (R2+r2+R·r) / 3
zona esférica
A=½(P+P')·a+AB+AB'
A = 2 · · R · h
V = (AB+AB'+AB·AB') ·
h/3
V = ·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6
P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema
 es la raíz cuadrada del número
(2)
g es la generatriz ;
(3)
AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;
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