Indice de Mapas K

Indice de Mapas K
Introducción .......................................................................................................................2
Códigos Numéricos ...........................................................................................................2
Código Gray y Binario Reflejado ......................................................................................2
Mapa de Veitch-Karnaugh ................................................................................................5
Construcción del mapa K para 2, 3 y 4 variables e identificación de las zonas ................6
Implicantes Primos en la Minimización ............................................................................7
Reglas Prácticas para Minimizar .......................................................................................8
Cómo Simplificar los Mintérminos .................................................................................12
Lazos Redundantes ..........................................................................................................14
Dos Soluciones Mínimas .................................................................................................14
Funciones Incompletamente Especificadas .....................................................................15
Riesgos Estáticos y Dinámicos ........................................................................................17
Distintas Formas de Sintetizar o Simplificar Funciones con el Mapa K .........................19
Trabajo Práctico Nº 3 ...................................................... Error! Bookmark not defined.
Trabajo Práctico Nº 4 ...................................................... Error! Bookmark not defined.
Trabajo Práctico Nº 5 ...................................................... Error! Bookmark not defined.
1
Mapas K
Introducción
En la actualidad y desde hace ya muchos años, el hombre en su vida diaria se expresa,
se comunica, almacena información y la maneja, etc. , desde el punto de vista numérico
con el sistema decimal y desde el punto de vista alfabético con un determinado idioma.
Asimismo, la computadora, debido a su construcción basada fundamentalmente en
circuitos electrónicos digitales, lo hace desde ambos puntos de vista con el sistema
binario, utilizando una serie de códigos que permiten su perfecto funcionamiento.
Este es el motivo que nos obliga a transformar internamente todos nuestros datos, tanto
numéricos como alfanuméricos, a una representación binaria para que la maquina sea
capaz de procesarlos.
Códigos Numéricos
El sistema numérico binario, es decir, el código numérico binario, tiene el merito de que
sus dígitos tienen una correspondencia exacta con los valores de una variable lógica.
Sin embargo, tiene una desventaja, ya que una magnitud numérica expresada en código
binario requiere más de tres veces tantos dígitos como el numero equivalente. Este
inconveniente se puede resolver empleando el código octal o el hexadecimal.
Otra desventaja de este código se refiere a las conversiones, inversa y directa entre
digito binario y decimal. Las conversines son relativamente complicadas, cada digito
binario puede afectar a cada decimal y viceversa.
Cuando es importante poner remedio a esta situación, puede utilizarse el sistema de
representación decimal codificado binario (BCD) o tendremos ocasión de utilizar un
segundo código denominado código reflejado.
Código Gray y Binario Reflejado
Es un código continuo y cíclico.
Continuo: porque al pasar de una combinación válida del código a la siguiente, se
cambia un único bit.
Cíclico: porque también hay un bit de diferencia entre la última y la primera
combinación válida.
Código: conjunto de significado o reglas asociadas a un grupo de bits. Toda
combinación de datos posee un significado determinado, basado en reglas determinadas.
2
Ejemplo: de código no continuo y no cíclico
0
0
1
1
0
1
0
1
2 cambios
Cara interna
del disco
Cara externa
del disco
Ejemplo: de código continuo y cíclico
0
0
1
1
0
1
1
0
1 cambio
Cara externa
del disco
Cara interna
del disco
Es reflejado porque al codificarlo tengo que suponer que se refleja en un espejo para
formarlo
Ejemplo: Código Gray para tres bits y binario para tres bits
0
0
0
0
Gray
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
Binario
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
Permutando
se obtiene
Gray
3
Ejemplo: Código Gray para cuatro bits y binario para cuatro bits
Gray
Binario
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Conversión de binario a Gray
Conversión de Gray a binario
Si Bn = Bn + 1 => Gn = 0
Si Bn = Gn + 1 => Bn = 0
Si Bn ≠ Bn + 1 => Gn = 1
Si Bn ≠ Gn + 1 => Bn = 1
Se compara con el número binario de la izquierda
Para resolver problemas con circuitos lógicos existen dos formas:
a) Análisis: dado un circuito encontrar la función lógica que cumple a su salida.
b) Sintaxis: encontrar el circuito suponiendo que se parte de una especificación.
1º Tabular la especificación (hacer tabla de verdad)
2º Mapearla (hacer el mapa de Veitch-Karnaugh)
3º Simplificarla (hacer la expresión más simple)
4º Implementarla (o sea colocar las compuertas para realizar esa función)
4
Mapa de Veitch-Karnaugh
Normalmente llamado mapa K, se lo utiliza para sintetizar funciones lógicas en forma
gráfica y rápida. Agrupando los “1” (unos o mintérminos) obtenemos expresiones con la
suma de productos; mientras que si se agrupan los “0” (ceros o maxtérminos) se
obtienen productos de la suma. Para realizar el mapa K se utiliza el código Gray.
El mapa K es muy cómodo para sintetizar problemas de más de dos variables de
entrada. Permite sintetizar funciones sin aplicar las leyes del álgebra de Boole. Es decir,
que permite encontrar la primera y segunda forma canónica, así como las expresiones
con el mínimo número de letras y operandos. Se recorre de la siguiente manera:
BA
DC
00
01
11
10
00
01
11
10
BA
00
01
11
10
00
1
comienzo
2
4
3
01
5
6
8
7
11
13
14
16
final
15
10
9
10
12
11
DC
5
Construcción del mapa K para 2, 3 y 4 variables e identificación de las zonas
a) Mapa K con 2 variables
A
0
1
0


1


B
A
0
1
0


1
B
B
11
10
B
b) Mapa K con 3 variables
BA
C
0
00
01

B
1
BA
C
0
00
01

11
10
A

11
10
11
10
1
BA
C
00
01
0
C
1
C
c) Mapa K con 4 variables
BA
DC
00
01
00
01


A
11
10
6
BA
DC
00
01
11
10
00
01

B
11
10
BA
DC
00
01
00
C
01
C
11
10
11
10
11
C
10
BA
DC
00
00
01
D
01
11
D
10
Implicantes Primos en la Minimización
Se llama implicantes primos (IP) a las agrupaciones de máximo número posible de
celdas adyacentes tales que el recuadro que las abarca no puede estar incluido en otro
recuadro que permita una agrupación mayor de celdas. Los IP dan lugar a productos con
el menor número de variables, objetivo de la minimización. Se llama implicantes primos
no esenciales a aquellos que presentan entre las celdas que agrupan uno o más unos
compartidos con otros implicantes primos. En caso contrario, se llaman esenciales. En
consecuencia, el primer paso para minimizar consiste en encontrar todos los IP
existentes. Esto es la base para llevar a buen fin una minimización usando el diagrama,
siendo esta la principal causa de los errores que se cometen.
Una vez determinados todos los IP, se podrá decir cuáles de ellos son necesarios para
cubrir todos los “unos” del diagrama, y cuáles son redundantes, amén de poder
reconocer más de una solución mínima.
Así mismo, el concepto de IP apunta al objetivo de determinar y solucionar aquellos
agrupamientos de celdas que permitan obtener simultáneamente una suma de productos
7
(SP) con mínimo número de sumandos, constituidos por los productos con el menor
número de variables, como se pretende.
Determinados en un diagrama la totalidad de IP posibles, hay que ver cuáles de ellos,
denominados IP “no esenciales”, tienen todos los unos que agrupan enlazados por otros
IP, dado que según el caso pueden aparecer o no en la SP mínima buscada, los
productos correspondientes a ellos. Esta función mediante el cálculo algebraico se
obtiene:
A  C (B  B)  A  C  D  A  C  A  C  D
(SP mínima)
Los pasos realizados se pueden hacer sin usar álgebra, por ejemplo, los cuatro primeros
sumandos son directamente los correspondientes a los cuatro unos adyacentes enlazados
en la parte superior del diagrama y los dos siguientes se corresponden con los dos
“unos” adyacentes enlazados en la parte inferior. En el diagrama de Karnaugh las
variables coordenadas de un lazo (en la obtención de SP mínimas) con la conversión de
los mintérminos 0 = -A y 1 = A (lo mismo para cualquier otra variable).
En general, enlazando dos celdas adyacentes en un diagrama se elimina una variable en
el producto correspondiente a ese lazo. En el caso de enlace de cuatro celdas adyacentes
en un diagrama se eliminan dos variables con el producto de ese lazo y en el caso de
ocho celdas adyacentes se eliminan tres variables en el producto correspondiente a ese
lazo. Dejando de lado el proceso de minimización algebraico, el diagrama permite llegar
al mismo resultado, siguiendo estos pasos:
1) Se enlazan las celdas con “unos” adyacentes buscando lazos que engloben a otros.
2) Cada sumando de la expresión minimizada, es el producto que se forma con las
variables que son las coordenadas de cada lazo considerado.
3) La expresión SP mínima buscada es la suma de todos los productos hallados según
el paso anterior.
Una suma de productos será mínima si no existe otra suma de productos con menor
número de sumandos, ni otra de igual número de sumandos pero con menor cantidad
de variables lógicas.
Reglas Prácticas para Minimizar
Suponiendo que se tiene una función representada por una cierta disposición de “unos”
en el diagrama, los pasos a seguir con vistas a obtener soluciones con el menor número
de lazos, siendo que cada uno de estos encierra la mayor cantidad de celdas adyacentes
agrupables pueden ser:
1) Encontrar todos los IP de la función para lo cual:
Procurar primero formar todos los lazos posibles que contengan ocho celdas
adyacentes. Con celdas que no fueron cubiertas en el paso anterior tratar de
formar todos los lazos posibles que contengan cuatro celdas adyacentes.
8
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Si aún quedaran celdas que se pueden enlazar como dos adyacentes, formar
todos los lazos posibles de este tipo.Luego del paso anterior sólo pueden quedar
sin enlazar celdas aisladas, que constituirán lazos con una celda.
Preferiblemente indicar en punteado los lazos que tienen todos sus “unos”
compartidos con otros lazos, o sea los IP no esenciales.
Probar si con los lazos en trazo lleno (IP esenciales) se pueden cubrir todos los
unos del diagrama, teniendo siempre presente que se busca hacer con esto el
menor número posible de lazos.
Si con los lazos en trazo lleno no se cubren todos los “unos” del diagrama
realizar esto usando el menor número de lazos en punteado disponible.
En caso de que los lazos en punteado den lugar a más de una solución mínima,
realizar preferentemente un diagrama para cada uno.
Para cada paso de solución mínima hallar las variables que son sus coordenadas
y formar el producto correspondiente desechando las variables que no
intervendrán en el mismo
Cada solución mínima expresarla como suma de todos los productos hallados
conforme al paso anterior.
Tener presente que cualquiera sea el número de variables de un diagrama, lazos de ocho
celdas eliminan tres variables, lazos de cuatro celdas eliminan dos variables, lazos de
dos celdas eliminan una variable y lazos de una celda no eliminan variables originando
mintérminos. En general un lazo de 2n permitirá eliminar n variables
1º ¿cuándo podemos agrupar o simplificar 2 unos?
A) Cuando estos sean adyacentes (no en diagonal)
B) Cuando estén en los extremos opuestos de una misma fila o columna
BA
00
0
1
01
11
10
C
1
1
1
1
AC  AC
9
2º ¿Cómo podemos agrupar o simplificar 4 unos?
A
0
1
0
1
1
1
1
1
B
BA
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
00
01
11
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
C
C
BA
DC
00
BA
10
00
01
11
10
1
BA
DC
00
01
1
01
1
1
11
1
11
1
1
10
1
10
BA
DC
00
00
01
11
10
1
1
1
1
01
11
10
¿Como podemos agrupar o simplificar ocho unos?
BA
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
10
00
1
BA
DC
00
1
1
1
01
1
1
11
11
1
1
10
10
1
1
BA
DC
00
00
01
11
10
1
1
1
01
1
1
1
01
11
10
El hecho de que los unos (o los ceros) de las esquinas sean adyacentes resulta de
imaginar al mapa como un planisferio de la tierra.
A pesar de que éste se ve en el plano, todos tenemos en mente la idea de que cubre toda
una "esfera".
Algo similar ocurre con el "mapa" de Karnaugh (la idea es que cubre todo un "toro",
figura geométrica cuya forma es la de una cámara de un neumático de auto).
En resumen, dado el mapa K de una determinada función los pasos a seguir son:
Enlazar la mayor cantidad de unos de la tabla con la menor cantidad posible de
lazos.
Indicar en punteado los lazos que tienen todos sus unos compartidos con otros
lazos, o sea los implicantes primos no esenciales.
Probar que los implicantes primos cubren todos los “unos” del diagrama con la
menor cantidad posible de lazos
Realizar un diagrama para cada solución mínima .
Hallar las coordenadas de cada mintérmino y formar el producto
correspondiente, desechando las variables que no intervendrán en el mismo.
Tener presente que en general un lazo de dos permitirá eliminar “n” variables.
11
Cómo Simplificar los Mintérminos
1º Se simplifican los mintérminos que son adyacentes y se toman o agrupan de 2, 4, 8,
16...2n . Dos mintérminos son adyacentes cuando difieren en una letra.La suma de dos
mintérminos adyacentes es igual al producto de las variables que tienen en común.
BA
DC
DCBA
00
01
11
10
00
+
DCBA
C B A (D  D)  C B A
da 1
01
1
11
1
10
1
A BCD
De sumar 2 mintérminos queda C B A
2º Los mintérminos que no son adyacentes no se pueden simplificar (A, B, C, D)
3º Si tomo dos mintérminos se elimina una variable, si tomo cuatro se eliminan dos
variables.
BA
11
10
0
1
1
1
1
1
C
00
01
A B C +  BC+  BC+ A BC =
 (  )  B C  B C  (A  A) = B  (C  C)  B
12
Dos Soluciones Mínimas
Una misma función puede tener dos o más soluciones mínimas.
11
10
01
1
1
11
1
1
BA
DC
00
00
01
1
1
10
1
1
1
1
BA
DC
00
00
01
11
10
1
1
01
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
Z  DC  BC  BC
CD
Z  DB  BC  BC
BA
DC
00
00
01
1
1
01
1
1
10
11
1
10
1
00
01
00
A BC D
ABCD
01
A  B C  D
A  B C  D
AB
11
11
10
11
A  B C  D
10
A  B C  D
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Lazos Redundantes
Algunas veces aunque se tenga en cuenta todos los lazos mayores posibles, un
subconjunto de ellos puede cubrir todos los “unos” de esa función, en estos casos existe
un lazo redundante que viola el principio de que los “unos” queden enlazados con el
menor número de lazos posibles.
BA
DC
00
00
01
1
11
10
01
11
1
1
Z  AB  AC D  BC D  ACD  BCD
1
1
1
10
1
1
Esta suma de productos no es mínima, dado que si bien se han tenido en cuenta los
mayores lazos posibles, en este caso con un subconjunto. El lazo dibujado en línea
punteada que corresponde al producto  es redundante, pues agrega un sumando
innecesario.
BA
DC
00
00
01
1
11
10
01
11
1
1
1
Z  AC D  BC D  ACD  BCD
1
1
10
1
1
14
Funciones Incompletamente Especificadas
Cuando una variable de salida no se puede definir con un cero o con un uno en la tabla
de verdad se coloca una “x” que significa redundancia o “no preocuparse”. Esto sucede
cuando no nos interesa la funciòn de salida o cuando se trata de estados prohibidos que
no forman parte de algún código.
La redundancia se puede usar como un comodín, se puede tomar como uno o cero
indicidualmente.
Ejemplo: realizar un circuito que (a la salida) encienda una lámpara cuando en su
entrada viene el código del 3 y el código es el BCD natural.
D
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
BA
B
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
A
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
Nº nat
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
00
01
11
10
00
0
0
1
0
01
0
0
0
0
11
X
X
X
X
10
0
0
X
X
DC
Estados prohibidos
del BCD natural
Z = ABC
Z = ABC D
15
Nivel de un Circuito Lógico: es el número de compuertas que atraviesa la señal para
llegar a la salida. Cada nivel implica un retardo adicional de tiempo.
Dos Niveles
Tres Niveles
Riesgo de un circuito lógico: un riesgo es una breve excursión a un nivel lógico
inesperado. La desigual propagación de los retardos en las compuertas puede dar lugar a
riesgos. Se llama riesgo a la salida “espuria transitoria” de un circuito lógico
combinacional.
Ejemplo: sabemos que
A A 1
En la conmutaciòn puede ser que primero “rompe en A” y luego “hace en A” y el
contacto es:
En las compuertas lógicas éste problema también existe.
Momentáneamente en un tiempo “t”
la señal pasó por cero, cuando debería
estar siempre en uno.
16
Análogamente: A  A  0
Momentáneamente la señal pasó
por uno, cuando debería ser
siempre cero.
Riesgos Estáticos y Dinámicos
Un riesgo es estático cuando una señal debe permanecer constante y sin embargo toma
transitoriamente un valor distinto.
En los ejemplos anteriores, en el primer gráfico es riesgo estático en los unos, y en este
último gráfico, en los ceros.
Un riesgo es dinámico cuando una señal que debe cambiar, lo hace un número impar de
veces mayor que uno.
Riesgo dinámico que puede importar o no según los siguientes teorema..
1º Teorema: los circuitos lógicos de menos de tres niveles están libres de riesgos
dinámicos.
2º Teorema: un circuito lógico que sea la implementación de una expresión
simplificada de una expresión obtenida en Mapa K por agrupamiento de unos, está libre
de riesgos estáticos en los ceros.
3º Teorema: dual del anterior. Una función lógica por agrupamiento de ceros, está libre
de riesgos estáticos en los unos.
17
Ejemplo: Z  BC  AC
BA
C
00
01
0
1
1
11
10
1
1
evito el riesgo
(color verde)
Z  BC  AC +AB
1
en un momento pasa por
cero al ser A = 1 y B = 1
con el agregado de una compuerta AB
se evita el riesgo, dado que si A y B
vale “1”, entonces Z vale “1”
El problema del riesgo existe cuando se cambia de un minitérmino adyacente a otro
pasando de un “1” a otro “1” de dos grupos distintos, entonces para solucionarlo se
debe unir esa separación.
BA
DC
00
00
01
11
10
1
0
0
0
01
1
0
0
0
11
1
1
1
0
10
0
0
1
0
Si se quiere ocupar tiene dos soluciones posibles:
00
01
11
10
0
BA
DC
00
1
0
0
0
0
0
01
1
0
0
0
1
1
0
11
1
1
1
0
0
1
0
10
0
0
1
0
BA
DC
00
00
01
11
10
1
0
0
01
1
0
11
1
10
0
Libre de riesgo se tienen 5 términos
18
Los mapas anteriores son un ejemplo de dos soluciones posibles libres de riesgo, en
caso de no tomar en cuenta el riesgo, se obtendrían sólo 3 términos.
Distintas formas de Sintetizar o Simplificar Funciones con el Mapa K
a) Se pueden agrupar las “1” y la función Z será una suma de productos a la salida.
b) Si agrupamos los “0” la función Z será un produto de sumas a la salida.
La utilización de cada uno de estos agrupamientos depende de la tecnología y tipos de
compuertas a utilizar.Además, se dividen en 2 grupos, obteniendo 4 expresiones
booleanas y 8 circuitos con compuertas distintas; pero cada circuito cumple la tabla de
verdad.
Mapa K
Agrupando los “0” (ceros)
Z = Suma de Productos
(SP)
Agrupando los “1” (unos)
A)
Z = Suma de Prods. (SP)
1) varias AND y una OR
2) todas NAND
Z = Suma de Prods. (SP )
(5) varias AND y una NOR
(6) varias NAND y una AND
  Suma de Prods. (SP )
C)
D)
Z = Prod. de Sumas (PS)
7) varias OR y una AND
8) todas NOR
B)
Z = Prod.de Sumas (PS)
3) varias OR y una NAND
4) varias NOR y una OR
Ejemplo: Sintetizar por los cuatro métodos y realizar los ocho circuitos:
19
1) Por agrupamiento de los “1”
BA
00
01
11
10
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
C
a) Z  AB  AC (suma de productos)
Z  AB  AC
b) Z  ( A  B)  ( A  C )
(productode sumas)
20
2) Por agrupamiento de los “0”
Z  AB  AC
c) Z  AB  AC (suma de productos)
d) Z  ( A  B)  ( A  C) (producto de sumas)
21