Serie de ejercicios de Estática

VIII. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su
distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y de
áreas y de líneas. Se llaman momentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que se
obtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea de acción a un cierto eje
y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los momento estáticos no producen ninguna tendencia
al giro, por eso son estáticos. Se llaman también momentos de primer orden.
Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna referencia física, nos
servirán para obtener lugares reales, como el centro de gravedad y el centro de masa de un
cuerpo, así como los centroides de volumen, de área y de línea.
Peso de un cuerpo
La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la hemos venido
considerando como una fuerza concentrada, realmente no lo es, el peso de un costal de manzanas,
por ejemplo, es la suma de los pesos de cada manzana.
Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera (1). Su peso es la suma de los pesos
de cada una de sus partículas. Todos esos pesos constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para
determinar su resultante emplearemos las dos ecuaciones siguientes:
de donde
que, para este caso particular, se convierten en
Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje de las yes, que se
suele simbolizar así:
Momentos estáticos
Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es
Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente trabajar con los momentos
estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a ejes, sino respecto a planos; o sea
Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas, los momentos
estáticos también pueden resultar positivos, negativos o nulos.
Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano de simetría son nulos, puesto que el
momento de un lado del plano es igual al del otro lado, pero de sentido contrario. Dicho de otra
manera, el centro de gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo
tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.
Centro de gravedad
Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el peso del cuerpo se obtienen
tres coordenadas de un punto contenido siempre es decir, independientemente de la colocación
del cuerpo en la línea de acción del peso.
Ese punto se llama centro de gravedad:
El centro de gravedad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.
Centro de masa
Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos pensar en los momentos
estáticos de la masa de un cuerpo:
109
Momentos estáticos
Y el punto cuyas coordenadas sean
será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que, como el peso es igual al
producto de la masa por la aceleración de la gravedad, es decir, P = mg, también dP = g dm. Y si
el valor de la gravedad es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y el
centro de gravedad coinciden.
Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes la razón de la masa al
volumen es igual, la posición de los centros de gravedad y de masa dependen sólo del volumen.
El punto cuyas coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre el
volumen, (/ x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen y coincide con los dos
centros mencionados.
Centroides de algunos volúmenes
Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en particular los de volumen, son la
suma de los productos de cada parte por su distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se
obtiene sumando los momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma
entre el volumen de todo el cuerpo obtenemos la distancia del plano al centroide. Ilustraremos
esto con el siguiente ejemplo.
z
Ejemplo. El cuerpo que se muestra en la figura es
homogéneo. Determine las coordenadas de su centro
de gravedad.
2 cm
2 cm
20 cm
y
30 cm
x
12 cm
Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo y por sus limitadas dimensiones tanto el
centro de masa como el centro de gravedad y el centroide del volumen son el mismo punto, nos
limitaremos a obtener este último.
Observamos, en primer lugar, que hay un plano paralelo al yz que es de simetría, pues corta
en dos partes iguales al cuerpo cuya ecuación es x = 15 . Por tanto, la abscisa x del centro de
gravedad es 15 cm.
Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de 12 x 30 x 2 cm, y otro
de 2 x 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admite tres planos de simetría. Sabemos que sus
respectivos centros de gravedad están en (15, 6, 1) y (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los
momentos estáticos respecto a los planos, sumarlos, y, al dividirlos entre el peso total, hallar la
posición del centro de gravedad del peso. Pero para facilitar el trabajo haremos la siguiente tabla.
110
Momentos estáticos
Parte
1
2
∑
Vi
72
108
180
yi
6
1
zi
1
11
yiVi
432
108
540
ziVi
72
1188
1260
Como y = BVxz/V y z = BVxy/V, entonces y = 540/180 = 3, z = 1260/180 = 7.
Por tanto, las coordenadas buscadas son G(15, 3, 7)[cm].
Centroide del cono
Colocaremos un cono cuya base tiene un radio R y cuya altura es h con el vértice en el origen
de un sistema de referencia y con su eje de figura coincidiendo con el eje de las cotas, como se
muestra en la figura.
z
Descompondremos el cono en volúmenes cuyos
centroide sepamos en donde se hallan, de modo que
podamos calcular sus momentos estáticos con respeto
al plano xy y, sumándolo, obtener el del cono. En
realidad se trata de elegir un elemento diferencial del
volumen que nos permita realizar esa suma.
Un elemento diferencial idóneo es un cilindro
cuya base sea paralela al plano horizontal y cuyo
espesor sea infinitamente pequeño. El volumen de
este elemento es dV = r2 dz. Y el volumen del cono
será V = r2 dz = r2 dz. Es fácil establecer una
relación entre r y z para poder integrar: por semejanza
de triángulos, r/z = R/h, o sea, r = (R/h)z. El volumen
es, por tanto, V = ( R2/h2) z2 dz. Los límites de la
integral son 0 y h, por lo cual resulta V = R2/3.
R
h
y
x
z
r
dz
z
y
x
Su momento estático se calcula fácilmente, pues es dBVxy = z dV. Con las mismas
sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llegamos a BVxy = ( R2/h2) z3 dz. Y,
puesto que lo límites son nuevamente 0 y h, BVxy = R2h2/4. Dividiendo este momento estático
entre el volumen, encontramos la cota del centroide:
o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altura, desde la base.
111
Momentos estáticos
Centroide de un hemisferio
Para hallar la posición del centroide de un hemisferio de radio R, se puede seguir un
procedimiento muy similar al que utilizamos para la determinación de la ubicación del centride
del cono.
z
El elemento diferencial que elegiremos es
nuevamente un cilindro de radio r, paralelo al plano
xy, a una distancia z de dicho plano: dV = r2 dz.
Para poder integrar con respecto a la variable z,
podemos recurrir al teorema de Pitágoras para
establecer la relación R2 = r2 + z2; de donde r2 = R2 –
z2. El lector podrá por su cuenta realizar las integrales
correspondientes para llegar a encontrar que
R
y
x
z
r
dz
z
R
x
r
R
z
y al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición buscada:
Centroides de algunas áreas
Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides de superficies a las más
usuales, que son el triángulo y el sector circular.
Centroide del triángulo
Para hallar el lugar que ocupa el centroide del triángulo, o baricentro, como lo llamaban los
antiguos, podemos recurrir a vario procedimientos, el más conocido es trazar las medianas del
triángulo y determinar su unto de concurrencia. En realidad bastaría con dibujar dos medianas, es
decir dos líneas que pasen por el centro de dos lados cualesquiera y por sus vértices opuestos: en
la intersección se halla el centroide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución
de problemas usuales de ingeniería.
En el capítulo correspondiente a resultantes de
fuerzas paralelas, dedicamos un apartado a las fuerzas
distribuidas, y hallamos que la línea de acción de la
resultante de un sistema de cargas representado mediante un triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partir de la base. De modo que
no necesitamos ninguna otra demostración para saber
que el centroide de un triángulo tiene esa posición:
112
h
G
h/3
Momentos estáticos
basta conocer dos de las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho punto
Centroide de un sector circular
y
Estudiaremos un sector circular de radio R comprendido en un ángulo 2 elegiremos un eje de las
equis sobre su eje de simetría, de modo que su centroide se encuentre en él, es decir Y = 0.
Como elemento diferencial tomaremos un sector
circular de radio R, inclinado un ángulo y comprendido en un ángulo d , como se muestra en la figura.
x
dϴ
ϴ
G
ds
dA
x
R
Asimilaremos tal sector a un triángulo cuya altura sea R y cuya base ds. Por tanto
Como tenemos que integrar con respecto a , tengamos en cuenta que, como todo ángulo se
mide dividiendo el arco entre el radio, d = ds/R, o sea que ds = R d . Podemos escribir
e integrando desde – hasta
es igual a la de abajo
o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arriba del eje de las equis
Calcularemos ahora el momento estático:
Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área bajo el eje
113
Momentos estáticos
y
Dos vectores circulares de especial interés son el semicírculo y el
cuadrante de círculo. Para el primero, es igual a /2 y su seno es 1;
por tanto
R
x
R
y
G
x
Si el semicírculo se le quita el cuadrante inferior, la distancia del
centroide del que queda al eje de las yes no cambia.
Por tanto, las coordenadas del centroide de un cuadrante son:
y
G
x
x
6 cm
Ejemplo. Determine las coordenadas del centroide
del área compuesta que se muestra en la figura.
18 cm
y
12 cm
Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6 cm, un triángulo de 18
cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculo de 6 cm de radio
Parte
Ai
xi
yi
xiAi
yiAi
108
3
9
324
972
54
8
6
432
324
-28.3
2.55
15.45
-72
-437
684
859
133.7
114
Momentos estáticos
Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto a los ejes cartesianos, se
puede extrapolar sin ninguna dificultad a referirlos a los planos cartesianos. De forma que
z
Ejemplo. Diga cuáles son las tres coordenadas del
área compuesta que se representa en la figura.
12´´
y
12´´
x
Para determinar esas coordenadas, utilizaremos los momentos estáticos del área, descompuesto
en partes, respecto a los planos cartesianos
Parte
Ai
xi
yi
zi
xiAi
yiAi
ziAi
72
4
0
4
288
0
288
144
6
6
0
864
864
0
144
0
6
6
0
864
864
-113.1
0
6.91
6.91
0
-781
-781
1152
947
371
246.9
115
Momentos estáticos
Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también determinar los centros de
gravedad y de masa de cuerpos no homogéneos, como el que se presenta en el siguiente ejemplo.
y
30 mm
Ejemplo. La figura representa la sección transversal de una barra de 50 cm de largo, fabricada con
aluminio (1) y acero (2) cuyos pesos específicos son
520 y 780 g/cm2, respectivamente. Determine la posición del centro de gravedad de la barra.
30 mm
(1)
60 mm
(2)
30 mm
x
20 mm 20 mm
Como el plano paralelo al xy que pasa a 25 cm del
origen es plano de simetría,
.
y
Para hallar las otras dos coordenadas, emplearemos
los momentos estáticos de área, dándoles cierto peso.
Descompondremos en tres partes: un área semielíptica
de aluminio, una rectangular negativa de aluminio, más
otra rectangular de acero.
x
50 cm
z
Aunque podríamos recurrir a las tablas de los textos para conocer la posición del centroide de un
área semielíptica, la buscaremos mediante integración.
*Además, el plano xy también es de simetría; o sea que x=0.
y
dA
De la ecuación de la elipse
60
x
x
dy
y
30
Y el momento estático será
116
30
x
Momentos estáticos
Entonces
Parte
Ai
iAi
i
yi
yi iAi
2827
0.520
1470
25.47
37440
-1200
0.520
-642
15
-9630
1200
780
936
15
14040
∑
1764
41850
Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son
Teorema de Pappus-Guldinus
Una aplicación interesante y práctica de los momentos estáticos se presenta con el teorema de
Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era, que formalizó Guldin en el s. XVI. Como este
último latinizó ambos nombre, los teoremas siguen conociéndose como de Pappus-Guldinus (2).
Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpo de sección
transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área de la base por la longitud del cuerpo,
el teorema de Pappus-Guldinus demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer
girar una superficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto del área generatriz
multiplicada por la longitud que recorre su centroide.
Tomemos una superficie cualquiera de tamaño A, cuyo
centroide es el punto G, como se muestra en la figura.
Escogeremos un área diferencial separada una distancia y
del eje de las equis. Al girar dicha superficie alrededor
del eje equis, el área diferencial dA generará un volumen
igual a dicha área multiplicada por la longitud que
recorre: dV = l dA, pero tal longitud en 2 y. El volumen
del cuerpo engendrado lo podemos obtener integrando:
G
dA
y
en donde la última integral es el momento estático del área generatriz con respecto al eje de las
equis. Por tanto
117
Momentos estáticos
pero
es la longitud que recorre el centroide del área al girar una revolución. Por tanto,
QED
El teorema se puede expresar como sigue: el volumen de un sólido de revolución es igual al
producto del área generatriz por la distancia que recorre su centroide.
y
R
Ejemplo. Encuentre la fórmula del volumen del
cono, empleando el teorema de Pappus- Guldinus.
h
G
x
R/3
1´´
1´´
Ejemplo. La figura representa la sección
transversal de un anillo de 4 in de diámetro. Calcule
su volumen.
2´´
2´´
1´´
2
x
118
Momentos estáticos
Corte A´A
Ejemplo. Se desea calcular el volumen de
concreto que se necesita para la construcción de la
cortina de la presa cuyas planta y sección transversal
se muestran en las figuras. ¿Cuál es ese volumen?
70 m
C
80 m
60°
A´
A
80 m
200 m
Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la
abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C.
Parte
70
O
x
80 m
∑
Ai
xi
xiAi
6400
40
256000
-3848
29.7
-114333
2552
141667
El radio de la trayectoria del centroide es
y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia
NOTAS DEL CAPÍTULO VIII
(1)
(2) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero, que no se estudiará
aquí, desmuestra que el árez de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de
la línea generatriz por la distancia que recorre su centroide.
119