FIA-2010-I Matemáticas Discreta I. SISTEMA NUMÉRICO BINARIO Y CÓDIGOS DE COMPUTADOR Introducción Los sistemas numéricos más antiguos son: Babilónico, Romano, Hindú, Árabe. El sistema numérico hindú y árabe son los que han llegado hasta nuestros días; es lo que conocemos como sistema numérico decimal (de base 10), siendo el de uso más extendido en todo el mundo. Debido al extendido uso del sistema decimal muchas personas desconocen la existencia de otros sistemas numéricos como, por ejemplo, el binario (de base 2), el octal (de base 8) y el hexadecimal (de base 16), entre otros. Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs), los ingenieros informáticos se vieron en la necesidad de adoptar un sistema numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable. Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear un código apropiado, adoptaron el uso del sistema numérico binario (de base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y “1”. Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad. Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos. Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar y operar con cantidades. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor que representa cada símbolo o cifra, depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa la cifra con respecto al resto. Se entiende por base (b) de un sistema de numeración al número de símbolos que se utilizan para la representación. Ejemplo: 1 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I BASE NUMÉRICA DÍGITOS EMPLEADOS Binaria(2) 0y1 2 Octal(8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 8 Decimal(10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 10 Hexadecimal(16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F CANTIDAD TOTAL 16 Como se podrá observar, el dígito de mayor valor en el sistema numérico binario es el 1, en el octal el 7, en el decimal el 9 y en el hexadecimal la letra F, cuyo valor numérico es igual a 15. Sistema de numeración decimal El sistema que cotidianamente utilizamos es el decimal, cuya base es el número 10 porque se emplean diez dígitos para representar cualquier cifra. Ellos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 En este sistema un número puede descomponerse en potencias de 10 Así, por ejemplo, el número 657 se puede descomponer de la siguiente manera: 657 = 600 + 50 + 7 = 6 100 + 5. 10 + 7 1 Al número 10 se le denomina base del sistema. Es fácil deducir que un número N (10) = a b c d puede descomponer en N(10) = a 103 + b 102 + c 101 + d 100 Por otra parte, 657,25 = 600 + 50 + 7 = 6 100 + 5 10 + 7 1 + 2 .1/10 + 5 .1/100 y, en general, N(10) = ab n+1...d m. ef.z = a10n+ b 10n-1 + ... + d10° + e10 -1+f 10 -2+ ... + z.10-m Esto es aplicable para cualquier sistema de numeración de base B. 2 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I SISTEMA BINARIO El sistema binario o de numeración de base dos, fue introducido por Leibniz en el siglo XVII, y se ha utilizado en las máquinas electrónicas porque se basa en dos estados (base dos) estables el 0 y el 1 (apagado y encendido) que utiliza el hardware de las computadoras Este sistema de numeración utiliza solamente dos símbolos (0, 1); normalmente se le denomina sistema de numeración en base 2 o binario natural. A cada dígito binario se denomina BIT. (BIT: binary digit) Bit byte Kilobyte Megabyte Gigabyte bit 1 8 8,192 8,388,608 8,589,934,592 byte 8 1 1,024 1,048,576 1,073,741,824 Kilobyte 8,192 1,024 1 1,024 1,048,576 Megabyte 8,388,608 1,048,576 1,024 1 1,024 Gigabyte 8,589,934,592 1,073,741,824 1,048,576 1,024 1 Terabyte 8,796,093,022,208 1,099,511,627,776 1,073,741,824 1,048,576 1,024 Peta byte 9,007,199,254,740,990 1,125,899,906,842,620 1,099,511,627,776 1,073,741,824 1,048,576 Exabyte 1,152,921,504,606,850,000 1,125,899,906,842,620 1,099,511,627,776 1,073,741,824 9,223,372,036,854,780,000 Zettabyte 9,444,732,965,739,290,000,000 1,180,591,620,717,410,000,000 1,152,921,504,606,850,000 1,125,899,906,842,620 1,099,511,627,776 Un número en el sistema binario se divide en cifras con diferente peso: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.... etc. Ver el siguiente gráfico 1 0 1 0 23 22 21 20 Multiplicador (0,1) Potencia de 2 Peso 1 Peso 2 Peso 4 Peso 8 3 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Cada peso tiene asociado una potencia de 2. En el primer número (de derecha a izquierda) la potencia de dos es 20, en el segundo número la potencia de dos es 21 y así hasta el último número del lado izquierdo. Entonces para formar el número 1010(2) a decimal: 1 x 23 =1x8=8 8 2 =0x4=0 + 0 1 1x2 =1x2=2 + 2 0 x 20 =0x1=0 + equivalente decimal ----- = -> 0 0x2 10 Los pesos fraccionarios son 1/2, 1/4, 1/8, etc., que corresponden a 2-1, 2-2, 2-3, etc. La Tabla siguiente muestra algunos números pertenecientes a este código y su correspondencia Código decimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Código binario natural 16 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 24 23 22 21 20 4 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 1: Para transformar 110101(2), escriba el valor posición sobre cada bit, y luego sume aquellas potencias que están ponderadas por 1: 26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1 1 1 0 1 0 1 26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1 0 1 1 0 1 0 1 32+16+4+1=53(10) Ejemplo 2: Convertir 101.1101(2) a su equivalente decimal 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 1 1 0 1 1 0 1 4+1+0.5+0.25+0.0625= 5.8125 Ejercicios: 1. Convertir los siguientes números binarios al sistema decimal: a. b. c. d. 11100111 0.10101 11.0101 11111 5 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 a. b. c. d. 1 1 1 1 1 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 1 0 1 0 0 1 0 1 1 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1 =231(10) 0.5 + 0.125 + 0.03125 =0.65625(10) 2 + 1 + 0.025 + 0.0625 =3.3125(10) 16 + 8 + 4 + 1 = 31(10) Conversión de decimal a binario Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Por ejemplo utilizamos primero el número 189 como dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible continuar dividiendo. Veamos el ejemplo: Una vez terminada la operación, escribimos los números correspondientes a los residuos de cada división en orden inverso, o sea, haciéndolo de abajo hacia arriba. De esa forma obtendremos el número binario, cuyo valor equivale a 189, que en este caso será: 10111101(2) 6 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Ejemplo: Convertir el número 428(10) en correspondiente binario. Por tanto, 428(10) = 110101100(2) Si el número decimal tiene parte fraccionaria, la parte entera se convierte de la misma manera que se ha expuesto anteriormente y la parte fraccionaria se multiplica por 2; la parte entera obtenida es la cifra más significativa del número. Si la parte fraccionaria restante se vuelve a multiplicar por 2, la nueva parte entera será la siguiente cifra más significativa, y así sucesivamente. Ejemplo: Convertir el número 327,625(10) en binario. 327,625(10) = 327(10) + 0,625(10) La parte entera es 327 (10) que pasándola al binario, resulta 7 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Para obtener la parte fraccionaria se procede de la siguiente manera: Por tanto, la parte fraccionaria será 0,625 (10) = 0,101 (2) Entonces: 327,625 (10) = 101000111,101 (2) Ejercicio: Convertir 13.6875 (10) a sistema binario 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 1 1 1 1 1 0 1 8 + 4 + 1 = 13 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 1 0 1 1 1 0 0.5+0.125+0.0625= 0.6875 1 1 0 1 1 1 Luego: 13. 6875(10) =1101.1011(2) 8 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejercicios: Convertir los siguientes números decimales al sistema binario a) b) c) d) 49 0.375 75.125 158 Reptas: a) 110001 b) 0.011 c) 1001011.001 d) 10011110 Operaciones en el sistema binario Introducción La Unidad Aritmético Lógica, en el CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones. Suma en Binario Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles: + 0 1 0 0 1 1 1 0+1 Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos: 9 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 010 + 101 = 111(2) = 2(10) + 5(10) = 7(10) 001101 + 100101 = 110010(2) 13(10) + 37(10) = 50(10) 1011011 + 1011010 = 10110101(2) 91(10) + 90(10) = 18(10) 110111011 + 100111011 = 1011110110 443(10) + 315(10) = 758(10) Ejercicio 1: Realiza las siguientes sumas de números binarios: 111011 + 110 111110111 + 111001 10111 + 11011 + 10111 Sustracción en Binario La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. - 0 1 0 0 1 1 1+1 0 Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0–0=0 1–0=1 1–1=0 La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 2(10) – 1(10)= 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos: 111 – 101 = 010 = 7(10) – 5(10) = 2(10) 10 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 10001 – 01010 = 00111 17(10) – 10(10) = 7(10) 11011001 – 10101011 = 00101110 217(10) – 171(10) = 46(10) 111101001 – 101101101 = 001111100 489(10) – 365(10) = 124(10) Ejercicio 2: Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal: 111011 - 110 111110111 - 111001 1010111 - 11011 – 10011 A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones: 1) Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 010101110010 010000101011 1001 0101 0100 1001 0111 0010 1101 0010 1011 2) Calculando el complemento a dos del sustraendo a. Complemento a dos El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como: C2N = 2n – N Veamos un ejemplo: Tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos: N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112 11 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejercicio 3: Calcula el complemento a dos de los siguientes números: 11001 10001011 110011010 b. . Complemento a uno El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir: C 1N = C2N - 1 y, por la misma razón: C2N = C1N + 1 Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior: siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011 C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010 C1N = 010010 Da la sensación de que al calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de complicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece. En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si: N = 110100101 obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta: C1N = 001011010 y su complemento a dos es: C2N = C1N + 1 = 001011011 Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea: N = 0110110101 12 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I El complemento a uno es: C1N = 1001001010 y el complemento a dos es: C2N = 1001001011 Restar en binario usando el complemento a dos La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos: Primer ejemplo Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario: 1011011 – 0101110 = 0101101 Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo: 1011011 + 1010010 = 0101101 En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Segundo ejemplo: Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos: 21910=110110112, 2310=000101112 C23 = 11101001 El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100 Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 110001002 = 19610 13 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejercicio: Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal: 11010001101 – 1000111101 10110011101 - 1110101 Método práctico (Complemento a dos) Cuando el mayor número es negativo: Realizar las siguientes operaciones: a. 93(10) = 1011101(2) -38(10) = 100110(2) Complemento a dos de: 100110 011010 1011101 0 011010 1 110111 b. 38 - 93 Se cambia carried (+) = +55 Complemento a dos de: 1011101 es: 0100011 0100110 0100011 0 1001001 No carried (-), se vuelve a sacar complemento a 2 del resultado: - 0110111 = -55 Resolver: a. 526-343 b. 343-526 14 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Multiplicación Binaria La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender: x 0 1 0 0 0 1 0 1 En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS. Veamos, por ejemplo, una multiplicación: 15 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Ejercicio: Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal: a. 10110101000101 x 1011 b. 10100001111011 x 10011 División Binaria Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS. Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario: Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100). Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente. El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal. Ejercicio: Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal: a. 10110101000101 : 1011 b. 10100001111011 : 10011 16 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta El Sistema Octal (base 8) Representar un número en sistema binario puede ser bastante difícil de leer, así que se creó el sistema octal. En el sistema Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0,1,2,3,4,5,6,7) Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc. Cuenta hecha en octal: 0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,..... se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9 Para pasar del un sistema binario al octal se utiliza el siguiente método: - Se divide el número binario en grupos de 3 empezando por la derecha. Si al final queda un grupo de 2 o 1 dígitos, se completa el grupo de 3 con ceros (0) al lado izquierdo. - Se convierte cada grupo en su equivalente en el Sistema octal y se reemplaza. Ejemplo: 101101112 pasarlo a octal Número en binario convertido a grupos de 3 010 110 111 2 6 7 Resultado: 101101112 = 2678 Equivalente en base 8 El Sistema Hexadecimal: (base 16) El sistema hexadecimal, a diferencia del sistema decimal, necesita 16 cifras y/o letras (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B;C,D,E.F).Si se cuentan las letras y números anteriores se tienen 16. Comparación de los números superiores a 9 en hexadecimal con su equivalente en decimal. A16 = 1010 B16 = 1110 C16 = 1210 D16 = 1310 E16 = 1410 F16 = 1510 Ver el siguiente gráfico 17 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Un número en el sistema hexadecimal se divide en cifras con diferente peso: 1, 16, 256, 4096, 65536,.... etc. Entonces para formar el número AB516: (el número 2741 en hexadecimal) = 10 x 256 = 2560 = 11 x 16 = 176 A x 162 B x 161 5 x 160 =5x1=5 equivalente decimal -----> 2560 + 176 + 5 = 2741 Sistema Binario Sistema Hexadecimal 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Relación entre el sistema binario y el hexadecimal El Sistema hexadecimal es una abreviación del Sistema Binario. Si a cada cifra de un número Hexadecimal se lo reemplaza por su equivalente en binario, se habrá convertido el número en hexadecimal a número binario. Ejemplo: 9B16 = 10012 10112. Donde 92 = 10012 y B16 = 10112 18 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Cuatro (4) cifras binarias se reemplazan por una (1) cifra hexadecimal. De esta manera se puede convertir un número en base 16 a uno en base 2. También se puede convertir un número binario en uno hexadecimal de la siguiente manera. Se separa el número binario en grupos de 4 dígitos empezando por la derecha. Si al final queda un grupo de 3 dígitos o menos, se completa el grupo de 4 con ceros (0) al lado izquierdo. Se busca el equivalente en base 16 de cada uno de los grupos y se reemplaza Nota: 9B16 = 9BH La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo: 69DE16= 0110 1001 1101 11102 19 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Pasar de binario a octal a) 1110101012 Solución: 7258 b) 11011, 012 Solución: 33,28 2. Pasar de octal a binario a) 20668 b) 142768 Solución: 0100001101102 Solución: 0011000101111102 3. Pasar de binario a hexadecimal a) 1100010002 b) 100010,1102 Solución: 18816 Solución: 22,C 4. Para pasar de hexadecimal a binario a) 86BF16 b) 2D5E16 Solución: 10000110101111112 Solución: 00101101010111102 5. Para pasar de octal a decimal a) 1068 b) 7428 Solución: 7010 Solución: 482108 6. Pasar de decimal a octal: a) 23610 Solución: 3548 b) 5274610 Solución: 1470128 20 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta SISTEMAS DE CODIFICACION Introducción Las computadoras no se comunican entre sí en español, inglés o francés. Tienen sus propios lenguajes, que son más adecuados para la comunicación electrónica. En estos lenguajes, los bits se combinan de acuerdo con un sistema de codificación para representar letras (caracteres alfabéticos), números (caracteres numéricos) y caracteres especiales (como *, $,+ y &). Sistemas de Codificación Binaria Los Sistemas de codificación establecen la secuencia de bits que son necesarios para que la computadora pueda almacenar la información que es ingresada (previo al procesamiento). Observaciones: 1. Es importante entender la diferencia entre la conversión de un número decimal en binario y la codificación en Sistema binario de un número decimal. En cada caso el resultado final es una cadena de bits. 2. Los bits que se obtienen de la conversión son dígitos binarios. 3. Los bits que se obtienen de la codificación son combinaciones de unos y ceros dispuestos de acuerdo con las reglas del código usado. 4. Es importante entender que una cadena de bits en una computadora representa a veces un número binario y en otras ocasiones una cadena de bits representa otra información, especificada por un código binario dado. Sistemas de codificación decimales Un sistema de codificación decimal es aquel que permite codificar el conjunto de números decimales (Diez dígitos). Para representar el conjunto de números decimales necesitamos al menos cuatro bits (24=16). Es decir tenemos 16 posibles combinaciones, de las cuales seis se mantendrán no asignadas. Decimal codificado en binario BCD El código que se utiliza mas comúnmente para representar los dígitos decimales es la Asignación Binaria Directa y se conoce comúnmente como BCD Decimal Codificado en Binario, según se representa en la siguiente tabla: 21 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Decimal Codificado en Binario (BCD) Símbolo decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dígito BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 La tabla anterior muestra el código de cuatro bits para un dígito decimal. Un número con “n” dígitos decimales requerirá 4n bits en BCD. Por ejemplo el número decimal 396 se representa en BCD con 12 dígitos como 0011 1001 0110, donde cada grupo de cuatro bits es un dígito decimal. Un número decimal en BCD es el mismo que su número binario equivalente solo cuando el número esta entre 0 y 9. Un número BCD mayor que 10 se ve diferente de su número binario equivalente aunque ambos contengan unos y ceros (1 y 0). Además, las combinaciones binarias de la 1010 a la 1111 no se utilizan y no tienen significado alguno en el código BCD. Considérese el número decimal 185 y su valor correspondiente en BCD y en binario (en forma directa): (185)10 = (0001 1000 0101)BCD = (10111001)2 Ejercicios: Decodifique cada número, expresado en el código BCD. a) 0111 0011 0000 1001 b) 0101 1000 0010 c) 0100 1010 0110 Solución: a) 7309 b) 582 c) Como 10 no es un dígito debe haber un error en la codificación Es importante entender que los números BCD son números decimales y no números binarios, aunque se representen en bits. 22 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Sistemas de codificación alfanuméricos Muchas aplicaciones de las computadoras digitales requieren manejar datos no solo de números, sino también de letras. Por ejemplo, aplicaciones que manejen los nombres del personal de una determinada empresa. Para representar los nombres y otra información pertinente, es necesario formular un código binario para las letras del alfabeto. Además, el mismo código binario debe representar numerales y caracteres especiales como “$” y “*“. Existen diversos códigos alfanuméricos. Entre los más importantes podemos mencionar: ASCII: Codificación Estándar Americana para el Intercambio de Información (Se pronuncia “aski” y es usado en la mayoría de las computadoras) EBCDIC: Codificación Extendida de Intercambio Codificado en Binario Decimal (Se pronuncia “ib-si-dic” y es usa general en computadoras grandes IBM). Código de caracteres ASCII El American Standard Code for Information Interchange (ASCII, Código Estándar Americano para el Intercambio de Información) es un código alfanumérico universalmente aceptado, que se usa en la mayoría de las computadoras y otros equipos electrónicos. La mayor parte de los teclados de computadora se estandarizan de acuerdo con el código ASCII, y cuando se pulsa una letra, un número o un comando de control, es el código ASCII el que se introduce en la computadora. El código ASCII dispone de 128 caracteres que se representan mediante un código binario de 7 bits. El código ASCII puede considerarse como un código de 8 bits en el que el MSB (bit de mayor significación) siempre es 0 Código ASCII extendido Además de los 128 caracteres ASCII estándar, existen 128 caracteres adicionales. Debido a la popularidad de las computadoras, estos caracteres especiales del código ASCII extendido se usan también en otras aplicaciones distintas a las de las PC, por lo que se ha convertido en un estándar oficial. Los caracteres del código ASCII extendido se representan mediante una serie de códigos de 8 bits que van, en hexadecimal, del 80 hasta FF. El código ASCII extendido está formado por caracteres que pertenecen a las siguientes categorías generales: 1. Caracteres alfabéticos no ingleses 2. Símbolos de moneda no ingleses 3. Letras griegas 23 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 4. Símbolos matemáticos 5. Caracteres para gráficos 6. Caracteres para gráficos de barras 7. Caracteres sombreados. Tabla del conjunto de caracteres del código ASCII extendido, junto con sus representaciones decimal y hexadecimal. Caracteres no imprimibles Nombre Dec Hex Car. Nulo 0 00 NUL Inicio de cabecera 1 01 SOH Inicio de texto 2 02 STX Fin de texto 3 03 ETX Fin de transmisión 4 04 EOT enquiry 5 05 ENQ acknowledge 6 06 ACK Campanilla (beep) 7 07 BEL backspace 8 08 BS Tabulador horizontal 9 09 HT Salto de línea 10 0A LF Tabulador vertical 11 0B VT Salto de página 12 0C FF Retorno de carro 13 0D CR Shift fuera 14 0E SO Shift dentro 15 0F SI de 16 10 DLE Control dispositivo 1 17 11 DC1 Control dispositivo 2 18 12 DC2 Control dispositivo 3 19 13 DC3 Control dispositivo 4 20 14 DC4 neg acknowledge 21 15 NAK Sincronismo 22 16 SYN Escape datos línea 24 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Fin transmitido bloque 23 17 ETB Cancelar 24 18 CAN Fin medio 25 19 EM Sustituto 26 1A SUB Escape 27 1B ESC Separador archivos 28 1C FS Separador grupos 29 1D GS Separador registros 30 1E RS Carácteres imprimibles Dec Hex Car. Dec Hex Car. Dec Hex Car. 32 20 Espacio 64 40 @ 96 60 ` 33 21 ! 65 41 A 97 61 a 34 22 " 66 42 B 98 62 b 35 23 # 67 43 C 99 63 c 36 24 $ 68 44 D 100 64 d 37 25 % 69 45 E 101 65 e 38 26 & 70 46 F 102 66 f 39 27 ' 71 47 G 103 67 g 40 28 ( 72 48 H 104 68 h 41 29 ) 73 49 I 105 69 i 42 2A * 74 4A J 106 6A j 43 2B + 75 4B K 107 6B k 44 2C , 76 4C L 108 6C l 45 2D - 77 4D M 109 6D m 46 2E . 78 4E N 110 6E n 47 2F / 79 4F O 111 6F o 25 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 48 30 0 80 50 P 112 70 p 49 31 1 81 51 Q 113 71 q 50 32 2 82 52 R 114 72 r 51 33 3 83 53 S 115 73 s 52 34 4 84 54 T 116 74 t 53 35 5 85 55 U 117 75 u 54 36 6 86 56 V 118 76 v 55 37 7 87 57 W 119 77 w 56 38 8 88 58 X 120 78 x 57 39 9 89 59 Y 121 79 y 58 3A : 90 5A Z 122 7A z 59 3B ; 91 5B [ 123 7B { 60 3C < 92 5C \ 124 7C | 61 3D = 93 5D ] 125 7D } 62 3E > 94 5E ^ 126 7E Otros códigos alfanuméricos EBCDIC es un código binario que representa caracteres alfanuméricos, controles y signos de puntuación. Cada carácter está compuesto por 8 bits = 1 byte, por eso EBCDIC define un total de 256 caracteres. EBCDIC tiene los mismos símbolos de caracteres que ASCII, pero la asignación de bits para cada carácter es diferente. Como el nombre lo indica, el código binario de las letras y los numerales son una extensión del código BCD. Esto significa que los primeros cuatro bits y los últimos cuatro del código varían de 0000 a 1001, como en BCD. Tiene su aplicación en las grandes computadoras. 26 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta 27 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Sistema de codificación “UNICODE” UNICODE: 65,536 posibilidades UNICODE, es un Sistema de Codificación de caracteres para los caracteres de todo el mundo. Está diseñado para permitir a los Sistemas de las computadoras intercambiar información textual sin ambigüedades porque cada carácter tiene una sola codificación (caracteres a nivel mundial). Un consorcio de compañías importantes de la industria de la computación, entre ellas IBM, Microsoft y Sun Microsystems, esta patrocinando el desarrollo de UNICODE, un sistema de codificación uniforme de 16 bits. Unicode permitirá a computadoras y aplicaciones comunicarse entre si con mayor facilidad y se adaptara a la mayoría de los idiomas de todo el mundo. El código ASCII con sus 128 (2**7) caracteres, es suficiente para el idioma ingles, pero se queda corto ante los requerimientos del japonés Unicode, al igual que cualquier otro avance en la tecnología de cómputo, presenta problemas de conversión. Por tener 16 bits, el código Unicode requiere más memoria que las claves tradicionales de 8 bits. Una A en Unicode ocupa el doble de RAM y de espacio en disco que una A en ASCII. 28 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta II. LÓGICA Este tema se desarrollará con el enfoque formal algebraico y estará orientado a sustentar teóricamente las aplicaciones de la lógica en la tecnología moderna. La lógica es el sistema de comunicación entre las personas y los computadores. El estudio de la lógica nos proporciona el empleo de un conjunto de conceptos y procedimientos para analizar determinadas expresiones a través del razonamiento, de modo que se obtengan otras más complejas, indicando la validez de cada una. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES: Enunciado: Es toda frase u oración que señala alguna idea. Puede cumplir las siguientes funciones: a. Directiva.- Su objeto es dar órdenes o hacer pedidos. Los enunciados pueden ser Interrogativos, imperativos o exhortativos. b. Expresiva.- Busca comunicar sentimientos, deseos o actitudes. Pueden ser exclamativos o admirativos, desiderativos, informativos. Proposición: Es aquel enunciado aseverativo (afirma algo) del cual se puede señalar si es verdadero (V) o falso (F), pero no ambos a la vez, con respecto a una realidad. A la verdad o falsedad de una proposición se llama valor de verdad Ejemplos: Señalar cuales de los enunciados son proposiciones: 1) 17 es divisible por 9 2) Un cuadrilátero es un rombo 3) 3 = 3 4) ¿Qué hora es? 5) Si un triángulo es equilátero, entonces, sus lados son iguales. 6) ¿Cuánto dinero tienes? 7) X + 5 = 13 8) Si x² + 1 = 17 entonces x = ± 4 9) (a – b) (a + b) = a² - b² Clases de proposiciones: Proposición simple: Llamada también atómica, monódica o monaria, es aquella que está formada por un solo sujeto y un solo predicado. Las proposiciones serán simbolizadas con letras minúsculas: p, q, r,…etc. Llamadas variables proposicionales. Ej.: p: Un cuadrilátero es un rombo 29 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Proposición compuesta: También llamada molecular, es aquella constituida por proposiciones simples ligadas entre sí por conjunciones gramaticales o afectadas del adverbio de negación “no”. Su valor de verdad depende de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman. Eje: Cada vez que -4 es número natural además es un número imaginario, entonces es un número entero. Conectivas u operadores lógicos: Llamadas también signos de enlace o ligadura, sirven para unir proposiciones sin formar parte de ellas. Eje: Cada vez que, además etc. Operaciones lógicas: Aquellas que utilizan proposiciones para transformarlas en otras usando las conectivas lógicas. De ellas resulta: la conjunción, la disyunción, la condicional, la bicondicional y la negación. a. Conjunción: Aquella que vincula dos proposiciones mediante la conectiva “y” o algún equivalente (,) (;) (.) siempre que no haya otra expresión que esté señalando otro correctivo. También se puede utilizar otras palabras como: pero, además, incluso, sin embargo, también, igualmente, no obstante, tanto como, etc. Ejemplos: 1. Juan enseña, Óscar coordina, Blanca controla. 2. El log2 = 0.301030 y log4 = 2(0.301030) 3. Isabel barre el piso, sin embargo el dormitorio está limpio. 4. Elton llegó tarde a la universidad, igualmente llegó tarde a la casa. 5. El 10% de S/. 500 es S/.50, el 25% de S/. 1000 es S/. 250 6. Karla gusta de nadar, tanto como gusta de bailar. 7. Carlos es el coordinador de EEGG de Sta. Anita también lo es de EEGG de la ciudad de Chiclayo. TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN p q p q VV V VF F FV F FF F 30 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I b. Disyunción: Es aquella operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo “o” esta operación puede ser: • Disyunción débil o inclusiva “o” • Disyunción fuerte o exclusiva o “pero no ambos” Ejemplo: 1. Ó 3²+4²= 5² ó 2. 3X2=6 ó 3²+4² = 5² (disyunción fuerte) 2=2 (disyunción débil) DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA p q p q VV V VF V FV V FF F DISYUNCION FUERTE O EXCLUSIVA p q p q VV F VF V FV V FF F c. Condicional: Es aquella operación que toma dos proposiciones, llamando a la primera antecedente y a la segunda consecuente. Una condicional puede utilizar otras palabras que unan las proposiciones es así que: pq 1. Si Natividad se enfermó, dejó de ir a la universidad. 2. Carlos está fuera de Lima, por consiguiente Óscar reemplaza a Carlos. Otras formas que toma la condicional: Si…entonces, cada vez que, de allí que, en consecuencia, por lo tanto, en conclusión, luego etc. En otros casos la condicional se da en orden inverso, como: 31 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 1. Natividad dejó de ir a la universidad cuando se enfermó. Otras formas similares: cada vez si dado que CONSECUENTE ANTECEDENTE CONDICIONAL p q p q VV V VF F FV V FF V Proposiciones condicionales: Las proposiciones condicionales pueden ser de cuatro formas: Proposición Directa p q Proposición Reciproca q p Proposición Inversa ~p ~q Proposición Contra recíproca ~q ~p Es aquella que vincula dos proposiciones con el término “ si d. . Bicondicional y sólo si” o expresiones equivalentes. También se utiliza: cuando y sólo cuando entonces y sólo entonces 32 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I BICONDICIONAL p q p q VV V VF F FV F FF V e. Negación “~”: Afecta a una proposición cambiándole su verdad. Utiliza el adverbio “no”. TABLA DE VERDAD DE “~ “ p ~ p V F F V La negación utiliza: Es falso que, no ocurre que, no es cierto que, etc. Esquemas Moleculares: Es la combinación de variables proposicionales, operaciones lógicas y signos de agrupación. Es la expresión lógica utilizada en la representación de una proposición. Ejemplo: a. ( p q) (p q) r b. ( q r ) ( q r ) ( p r) ( p r) (p r) q Los signos de agrupación (paréntesis, corchetas, llaves etc.), se utilizan para indicar el conectivo de menor o mayor jerarquía. Además para darle un nombre al esquema molecular. Así, el ejemplo a recibe el nombre de esquema conjuntivo y el b esquema condicional. 33 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Evaluación de esquemas moleculares: Según los valores hallados en la tabla de verdad de un esquema molecular, este puede ser: tautológico, contingente o contradictorio. a. Tautológico.- Cuando todos los valores encontrados son verdaderos. b. Contingente.- Cuando existe por lo menos un valor verdadero y otro falso. c. Contradictorio.- Cuando solo existe valores falsos. Equivalencia e Implicación: Consideramos dos esquemas moleculares A y B tal que A B es una tautología, entonces decimos que A es lógicamente equivalente a B. También se simboliza A B y se lee “A equivalente a B” o “B equivalente a A” Consideramos dos esquemas moleculares A y B tal que A B es una tautología, entonces decimos que “A implica a B”. B puede o no implicar a A. Los términos “A es condición suficiente para B” se simboliza: “AB” “ A es condición necesaria para B” se simboliza “B A” Inferencia: es el paso de un conjunto de premisas a la conclusión, como la premisa y la conclusión están constituidas por proposiciones, la inferencia es una estructura de proposiciones, donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra llamada conclusión. Formalmente podemos definir la inferencia como: ( p₁ p₂ p3 ….pn ) C Donde “Pi” , 1 ≤ i ≤ n representarán cada una de las premisas “” significa: luego, por lo tanto, etc. y “ C ” representa la conclusión Ejemplo: 1. Ramón viajará al sur de Argentina o se quedará en Buenos Aires. Por lo tanto, si Ramón viaja al sur de Argentina entonces no se quedará en Buenos Aires. 2. Si todas las tierras son cultivadas entonces la reforma agraria dará buenos resultados. Si la reforma agraria da buenos resultados entonces aumentará el 34 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I volumen de producción. En consecuencia, si todas las tierras son cultivadas entonces aumentará el volumen de producción. 3. Si una persona es drogadicta entonces fuma marihuana. Esta persona fuma marihuana. En consecuencia esta persona es drogadicta. Verdad y validez: El concepto de verdad o falsedad se aplica sólo a proposiciones. Es decir, sólo las proposiciones son verdaderas o falsas. En cambio el concepto de validez sólo se aplica en inferencias ya que son relaciones entre proposiciones, en base a sus conectivas. Puede ser válida o no válida. Análisis de validez de Inferencias: Pasos a seguir: a. Simbolización de las premisas, diferenciándose una de otra y después simbolizaremos la conclusión. b. Unir las premisas y conclusión de acuerdo al siguiente esquema inferencial: p₁ Λ p₂Λ…. Λ p C c. Evaluar la forma de la inferencia mediante las tablas de verdad. La inferencia es válida si la conjunción de premisas implica la conclusión, caso contrario la inferencia no es válida. Ejemplo: 1. Ramón viajará al sur de Argentina o se quedará en Buenos Aires. Por lo tanto si Ramón viaja al sur de Argentina entonces no se quedará en Buenos Aires. Análisis: Asignemos variables a las proposiciones simples, simbolizaremos premisas y conclusión En efecto: p: Ramón viajará al sur de Argentina q: Ramón se quedará en Buenos Aires. Simbolizando premisa: p v q Simbolizando conclusión: p ~q Evaluaremos 35 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I p q (p v q) (p ~q) V V V F F V F V V V F V V V V F F F V V (1) (3) (2) La fórmula no es una tautología La inferencia no es válida 2. Si Renzo gana el concurso de poesía entonces obtendrá una beca. Renzo ganó el concurso de poesía. Por lo tanto, Renzo obtendrá una beca. Análisis: Procedemos como en el ejemplo 1 En efecto: p: Renzo gana el concurso de poesía. q: Renzo obtendrá una beca. Simbolizamos las premisas: (p q) Λ p la conclusión : q p q) Λ p ] q [ (p q V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F La fórmula es una tautología. La inferencia es válida. Leyes Lógicas Las Leyes lógicas las podemos dividir en tres: a. Principios Lógicos b. Equivalencias lógicas c. Implicaciones lógicas a. Principios Lógicos Principio de Identidad: Principio de no contradicción: Principio del tercio excluido: pp ( p p) p p ò p p 36 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I b. Equivalencias Leyes de idempotencia a) p v p ≡ p b) p Λ p ≡ p Leyes asociativas a) (p v q) v r ≡ p v (q v r) b) (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r) Leyes conmutativas a) p v q ≡ q v p b) p Λ q ≡ q Λ p Leyes distributivas a) p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r) b) p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r) Leyes de Morgan a) ~(p v q) ≡ ~p Λ ~q b) ~(p Λ q) ≡ ~p v ~q Leyes de la absorción a) p ( p q ) p b) p ( p q) p q c) p ( p q ) p d) p ( p q ) p q Leyes de identidad a) p v F ≡ p pΛV≡p b) p v V ≡ V pΛF≡F Leyes del complemento a) p v ~p ≡ V b) ~(~p) ≡ p p Λ ~p ≡ F ~V ≡ F ~F ≡ V 37 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta CONJUNTOS INTRODUCCIÓN Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver preguntas que implican la noción de cantidad. Los conceptos geométricos y aritméticos pueden ser formulados de una manera clara y concisa en términos de conjuntos. Desde que se introdujo formalmente la teoría de conjuntos, se facilitó el desarrollo de diversas ramas de la matemática como la geometría, la aritmética, el análisis y la topología. Las ideas de conjunto y elemento son ideas primitivas y se presentan en forma intuitiva. Un conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos del conjunto. Para denotar los conjuntos se utilizan con frecuencia letras mayúsculas: A, B, C, ...; y para denotar los elementos, letras minúsculas: a, b, c, ...: números, símbolos o variables subindizadas. Ejemplo 1 a) A = {1,3,5,7} significa que el conjunto A se compone de los primeros cuatro números naturales impares. b) B = {a,b,c} los elementos del conjunto B son las tres primeras letras del alfabeto. c) C = {x | e es una vocal} la notación x | x se lee “x tal que x”, o sea que C es el conjunto de los “x tal que x” es una vocal. d) D = {x | x es un número natural par} el conjunto D consta de todos los números naturales pares. Observaciones a) Para indicar que un determinado objeto es miembro o elemento de un conjunto dado, se emplea el símbolo, de pertenencia. En el Ejemplo 1 se puede escribir: 5 A que se lee “5 pertenece a A”, también a B, u C, 6 D. El símbolo se lee “no pertenece a” o “no es elemento de”. Observe que d C, 3 D. b) En el Ejemplo 1 no surgen dudas acerca de si un miembro pertenece o no a cada uno de los conjuntos dados. Son conjuntos bien definidos pues se puede afirmar de manera inequívoca si un objeto dado es o no elemento de los conjuntos 38 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I considerados. En los casos a) y b) se ha dado la lista explícita de los elementos de los conjuntos, y se dice que A y B se han determinado por extensión. En los casos c) y d) se ha establecido una regla que permite decidir si un objeto es miembro o no de los conjuntos, se dice que C y D se han determinado por comprensión. c) Los conjuntos A, B y C son finitos. El Conjunto C también se puede determinar por extensión. El conjunto D es infinito, no se puede determinar por extensión. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Subconjunto Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, lo cual se escribe A B y se lee “A es subconjunto de B”, si todo elemento de A es elemento de B. Es decir x A x B. Ejemplo 2 a) A = {6,9,12} y B = {x | x es múltiplo de tres} A B. b) G = {x | x es un número natural divisible por tres} y H = {x | x es un número natural} G H se lee “G es un subconjunto de H”. Observar que G H pero H G. (El símbolo se lee “no es subconjunto de”). c) A = {a, m, p} y B = {p, a, m} A B. Observaciones a) En el Ejemplo 2, a) A B pero A B, en este caso se dice que A es subconjunto propio de B. b) En el mismo ejemplo, c) A B y B A ya que los conjuntos son iguales. Este caso permite afirmar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo A A. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si todos los elementos de A pertenecen a B y todos los elementos de B pertenecen a A. O sea A=B ABB A Ejemplo 3 El Conjunto C = {m, a, a, p, m} = {a, m, p} es igual a los conjuntos A y B del ordinal c) del Ejemplo 2. Esto sugiere que no interesa el orden en que se enumeran los elementos ni si éstos aparecen repetidos. 39 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto vacío Es el carece de elementos, se simboliza por {} o por . El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con más de 500 años de edad es un ejemplo de conjunto vacío. Conjunto Universal Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos, es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenecen a alguna “población” determinada. Por ejemplo, si se habla de conjuntos de números es útil establecer una población general de números denominada conjunto universal o conjunto de referencia, cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada. El conjunto universal se denota U. Si U = N, el conjunto de los números naturales, A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {x | x es número primo}: C = {x | x es un número natural par} A, B y C son subconjuntos propios de U. Conjunto de partes Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denotado por P (A), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales: el mismo A, ya que A A; y el conjunto vacío . Ejemplo 4 Si A = {a, b, c}, entonces P(A) = {{a}; {b}, {c}; {a, b}, {a, c}; {b, c}; {a, b, c}; } Observaciones a) Los conjuntos {a}, {b}, {c} son elementos (o miembros) de P(A). Tales conjuntos constan de un solo elemento y se llaman conjuntos unitarios. b) El conjunto A está conformado por 3 elementos, y el conjunto P(A) por 8 = 23. En general, si un conjunto M posee n elementos, el conjunto P(M) constará de 2n elementos. 40 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I c) Los elementos del conjunto P(A) son a su vez conjuntos. Un conjunto cuyos elementos son conjuntos se les llama familia de conjuntos. P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos. Diagramas de Venn Los diagramas de Venn o de Euler son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos. Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de pertenencia, inclusión y las operaciones con conjuntos. En la figura 1. se puede apreciar uno de esos diagramas. U A B C Figura 1 En general, para representar el conjunto universal se usa cualquier región cerrada del plano (con frecuencia un rectángulo), entendiendo que la región interior del rectángulo representa al conjunto U. En el diagrama se han utilizado círculos para representar los subconjuntos A, B y C de U. En la figura 2 se han incluido los elementos de los conjuntos U, A, B, C y D. U A C 4 6 D 2 B 1 8 9 3 5 7 Figura 2 41 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I La Figura 2 constituye una descripción gráfica del siguiente conjunto: U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3}; B = {1}; C = {8,9}, D = {8} Por tanto, tenemos A U, B U, C U, B A y D C. OPERACIONES CON CONJUNTOS Así como los números se combinan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, los conjuntos se pueden combinar para obtener otros conjuntos con ciertas operaciones. Unión de conjuntos La unión (o reunión) de dos conjuntos A y B, denotada por A B que se lee “A unión B”) es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos conjuntos. Simbólicamente: A B = {x | x A x B} En el diagrama de Venn, la región sombreada de la Figura 3 corresponde al conjunto A B. U A B Figura 3 Ejemplo 5 A = {a,b,c,d}; B = {c,d,e,f} A B = {a,b,c,d,e,f} 42 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A B (que se lee “A intersección B”), es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos. Simbólicamente: A B = {x | x A x B} En el diagrama de la Figura 4, la región sombreada corresponde al conjunto A B. U A B Figura 3 Con relación a los conjuntos del Ejemplo 5, A B = {c,d}. Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B. Nota: A B también se llama la suma lógica de los conjuntos A y B A B se denomina también el producto lógico de los conjuntos A y B. Dos conjuntos que no tienen elementos comunes se llaman disyuntos. En símbolos A y B son disyuntos A B = . U U A A B B Figura 5a Figura 5b En la Figura 5a se observa que A B = B porque B A. 43 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I En la figura 5b no hay región sombreada puesto que los conjuntos son disyuntos y por tanto su intersección es vacía. Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A – B (que se lee “A menos B”), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Simbólicamente: A – B = {x | x A x B} En los diagramas de la Figura 6, la región sombreada corresponde al conjunto A – B. U U U A A B B A B Figura 6 Ejemplo 6 a) A = {a,b,c}; B = {c,d} A – B = {a,b} b) A = {3,4,5,6}; B = {4,5} A – B = {3,6} c) A = {1,2,3}; B = {6,7} A – B = {1,2,3} Diferencia simétrica de conjuntos La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, denotada por (que se lee “A diferencia simétrica B”), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Simbólicamente: A B = {x | x A x B x A B} En el diagrama de la Figura 7 se muestra A B. 44 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I U A B Figura 7 Observe que las regiones sombreadas a la izquierda y a la derecha corresponden respectivamente a los conjuntos A – B y B – A, por esto también: A B = {A – B} {B – A) A B = {A B} – {B A) Ejemplo 7 A = {1,2,3,4}; B = {4,5} A B = {1,2,3,5} Complemento de un conjunto El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denotado por A’, es el conjunto constituido por los elementos de U que no pertenecen a A. Simbólicamente: A’ = {x | x U y x A} Observe en la figura 8, que A’ = U – A U A Figura 8 45 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 8 Sea U = N (el conjunto de los números naturales) A = {x | x es un número natural par} A’ = {x | x es un número natural impar} = U – A NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Mediante la noción primitiva del apareamiento entre los elementos de un conjunto cualquiera A y el conjunto N = {1,2,3,4,...} de los números naturales (o números para contar) se puede establecer cuántos elementos tiene el conjunto A, cuando éste es finito. Es decir, que al conjunto A se le puede asignar un número natural, denotado por n(A) (que también se llama la cardinal de A) y que es igual al número de elementos de A. Ejemplo 9 a) A = {x | x N y x es submúltiplo de 8} n(A) = 3 b) B = {x | x es un número primo divisible entre 3} n(B) = 1 Es fácil probar que, en general: 1. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 2. Cuando A y B son disyuntos, es decir, A B = entonces n(A B) = n(A) + n(B) 3. Para tres conjuntos A, B y C: n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) - n(B C) + n(A B C) 4. Cuando A y B, A y C y B y C son disyuntos: n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) 46 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 5. Las siguientes cuatro propiedades son válidas para las operaciones de unión e intersección: a. Leyes de idempotencia a.1. A A = A a.2. A A = A b. Leyes asociativas b.1. (A B) C = A (B C) b.2. (A B) C = A (B C) c. Leyes conmutativas c.1. A B = B A c.2. A B = B A d. Leyes distributivas d.1. A (B C) = (A B) (A C) d.2. A (B C) = (A B) (B C) 6. Relacionadas con los conjuntos universal y vacío. e. Leyes de identidad e.1. A U = U e.2. A = A AU=A A= 7. Con respecto al complemento f. Leyes del complemento f.1. A A’ = U f.2. (A’)’ = A A A’ = U’ = ’ = U g. Leyes de D’Morgan g.1. (A B)’ = A’ B’ g.2. (A B)’ = A’ B’ 47 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Álgebra de conjuntos Con base en la relación de orden A B y en las operaciones A B y A B se puede formar un álgebra de conjuntos. La relación de contenencia es una relación de orden ya que satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, así: a) A A b) Si A B B A entonces A = B c) Si A B B C entonces A = C Con base en la definición de A C, se tiene a) A para todo conjunto A b) A U Es posible interpretar la parte a) como sigue: Si la relación A fuera falsa, indicaría que debe al menos tener un elemento que no esté en el conjunto A, lo cual resulta imposible porque vacío no tiene elementos y si una proposición no es falsa entonces es verdadera. La relación A B es equivalente a una de las dos relaciones A B = B o A B = A Relación entre la lógica y los conjuntos Todas las leyes del álgebra de conjuntos se apoyan en el análisis lógico de la relación A B, de las operaciones binarias (de dos conjuntos) A B y B A; y de la operación unitaria (sobre un conjunto A’) complemento de A. Con base en esto las leyes del álgebra de conjuntos se pueden traducir al lenguaje lógico de la siguiente manera: Sean las proposiciones: p: ser un elemento del conjunto A q: ser un elemento del conjunto B, entonces: Conjuntos Proposiciones Se lee AB pq Ser de A o de B AB pq Ser de A y de B A’ ~p No ser de A 48 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I (A B)’ A’ B’ ~(p q) ~p ~q No ser de A ni ser de B (A B)’ A’ B’ ~(p q) ~p ~q No ser de A y B AB pq AB = pqF Algunos elementos de A son elementos A B’ = de B pqF Ningún elemento de A es elemento A= p=F Si es de A entonces es de B de B No hay elementos en A Ejemplo 10 Demostrar que A – B = A B’ = B’ – A’ a) A – B = {x | x A x B} = {x | x A x B’} = A B’ =A–B b) A – B = {x | x A x B} = {x | x A’ x B’} = {x | x B’ x A’} = B’ A’ =A–B Ejemplo 11 a) Demostrar la Ley de D’Morgan: (A B)’ = A’ B’ = {x | x (A B )’} = {x | x A B} 49 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I = {x | x A x B} = {x | x A’ x B’} = A’ B’ b) Demostrar: A – (B C) = (A – B) (a – C) = {x | x A x (B C) = {x | x A (x B x C)} = {x | x A x B) (x A x C)} = {x | x (A – B) x (A – C)} = {x | x (A – B) (A – C)} = (A – B) (A – C) FORMAS NORMALES Las formas normales disyuntiva y conjuntiva corresponden en la teoría de conjuntos a las formas unión e intersección. Esto se obtiene de manera similar al asignar los valores F y V a las proposiciones “no ser elemento de” y “ser elemento de” respectivamente. De la siguiente tabla se deducen las formas normales completas. A B Término Término Intersección Unión F F A’ B’ AB F V A’ B A B’ V F A B’ A’ B V V A B A’ B’ La forma normal completa de la unión se obtiene reuniendo los términos intersección cuyo resultado es el conjunto universal (U): (A’ B’) (A’ B) (A B’) (A B) = U 50 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I En el diagrama de Venn se ilustra la validez del anterior resultado. U A B A B’ A B A’ B A’ B’ Figura 9 Note que el conjunto universal ha quedado particionado en cuatro regiones que son conjuntos disyuntos. La forma normal completa de la intersección se obtiene intersectando los términos unión cuyo resultado es el conjunto vacío. (A B) (A B’) (A’ B) (A’ B’) = Ejemplo 12 Comprobar con los siguientes conjuntos las formas normales completas: U = {x | x N x 15} A =} x | x es impar} B = {x | x es primo} a) Forma normal unión A = {1,3,5,7,9,11,13,15} B = {2,3,5,7,11,13} A’ = {2,4,6,8,10,12,14} B’ = {1,4,6,8,9,10,12,14,15} AB A’ B A B’ A’ B’ = = = = {3,5,7,11,13} {2} {1,9,15} {4,6,8,10,12,14} n(A B) n(A’ B) n(A B’) n(A’ B’) n(U) = = = = = 5 1 3 6 15 (A B) (A B’) (A B) (A’ B’) = U 51 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I b) Forma normal de intersección A’ B’ = {1,2,4,6,8,9,10,12,14,15} A’ B = {2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14} A B’ = {1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} A B = {1,2,3,5, 7, 9, 11, 15} (A’ B’) (A’ B) = {2,4,6,8,10,12,14} (A B’) (A B) = {1,3,5,7,9,11,13,15} (A’ B’) (A’ B) ó (A B’) (A B) = PRODUCTO CARTESIANO Pares ordenados: intuitivamente un par ordenado (a,b) es un par de objetos en el cual el orden en el que éstos se consideran debe ser: primero a y después b. Las letras ay b se llaman la primera y la segunda componentes, respectivamente, de la pareja ordenada. Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales, si y solo si a=cb=d Producto cartesiano: dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano (o conjunto producto) de A y B, al conjunto de todos los pares ordenados (a,b) de tal forma que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b es elemento del conjunto B. Este conjunto se denota por A B y se lee “A cruz B”. Simbólicamente: A B = {(a,b) | a A b B} Ejemplo 13 a) Si A = {a,b,c}; B = {x,y} A B = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)} Note que el conjunto contiene seis elementos (parejas) b) Si A = {1,2,3}; B = {4,5,6} A B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} B A = {(4,1), (5,1), (6,1), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3)} Observe que cada conjunto tiene nueve elementos, y que A B B A. 52 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I En general, si n(A) = p y n(B) = q entonces, N(A B) = n(B A) = pq Además, el producto cartesiano no es conmutativo. A B B A, a menos que A = B o que uno de los conjuntos sea vacío. Si A y B son conjuntos finitos dicho producto puede ser representado en el plano cartesiano colocando el conjunto A en el eje horizontal, y B en el eje vertical. A cada par ordenado (a,b) le corresponde un punto del plano. Por ejemplo, si A = {a1, a2, a3, a4} y B = {b1, b2, b3 } , el conjunto producto consta de 12 elementos o parejas, y en su representación gráfica deben aparecer 12 puntos, que forman una red, así: B b3 b2 b1 a1 a2 a3 a3 A Otra manera de representar el producto A B es mediante un diagrama de árbol. Por ejemplo, si A = {1,2,3} y B = {a,b), la gráfica arborescente correspondiente a A B, es: a (1,a) 1 b (1,b) a (2,a) 2 b (2,b) a (3,a) 3 b (3,b) 53 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Conjuntos numéricos En esta sección se presentan los conjuntos numéricos más importantes sin entrar a operar con ellos. El interés fundamental es distinguir y determinar sus elementos, y clasificarlos de acuerdo con la relación de inclusión. Números naturales Es la colección de objetos matemáticos representados por los símbolos 0,1,2,3,4,..., etc., llamados números para contar. El conjunto se suele representar con el símbolo N, es decir: N = {0,1,2,3,4,...} Dos características esenciales son: el conjunto tiene un primer elemento, el 1, y cada elemento tiene un sucesor. Números enteros Ampliando el conjunto de los naturales para incluir el cero y los negativos de los naturales, se obtiene el conjunto de los enteros que se acostumbra denotar mediante el símbolo Z, es decir: Z = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Números racionales p donde p y q son enteros, con q O. Se q representa mediante el símbolo Q, de tal forma que: p Q = { q Z q O} q Es el conjunto de los números de la forma Observaciones: a) Todo número entero es racional. 3 5 0 = -3, = 5, = 0 son números racionales enteros. 1 1 1 b) Si q no es divisor de p, los números p son racionales no enteros. q 7 2 , son números racionales no enteros. 3 5 54 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I c) Todo número racional es equivalente a un número que tiene una expansión decimal que se repite periódicamente. 8 2.666 ... periodo 6 (periódica pura) 3 12 3.000 ... 4 periodo 0 (periódica pura) 29 0.3222 ... 90 periodo 2 (periódica mixta) Números irracionales Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros; se representa con el símbolo Q’. Entre los irracionales más conocidos están los números y e. El primero es la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro, y el segundo es la base de los logaritmos naturales; sus valores aproximados son 3.141592 t 2.718281, respectivamente. Los números irracionales se caracterizan por tener expansiones decimales infinitas no periódicas. Otros números irracionales son: 2 , 3 , 5 , 3 2 , 3 7 , 3 9 , etc. Números reales Es el conjunto constituido por todos los números racionales e irracionales. Cada número real puede ser representado como un punto en una recta, y recíprocamente cada punto de la recta corresponde a un número real. A tal recta se le llama recta real. El conjunto se simboliza por R, y de acuerdo con lo anterior: R = Q Q’ De las definiciones anteriores se tiene que Q Q’ = , o sea que los conjuntos de los racionales y los irracionales son disyuntos. Números complejos Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números relaes, e i es la unidad imaginaria, que cumple con la propiedad i2 = -1. El conjunto se denota C. Simbólicamente: C = {a + bi | a,b R i2 = 1} Observaciones 55 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I a) Todos los números reales son complejos. Cuando b = 0 se obtiene A Bi =a,2 + 0i = 2, 2 + 0i = 2 son números complejos reales. b) Cuando a = 0, y b 0 los números de la forma bi se llaman imaginarios puros. 1 ( )i, 8i son imaginarios puros. 3 Cada uno de los conjuntos de números considerados ha sido presentado en orden creciente de “amplitud”, de tal modo que cada conjunto está totalmente incluido en el siguiente, excepto el conjunto Q que no es subconjunto de Q’. De acuerdo con esto es posible escribir: NZQRC Q’ R, Q Q’ = Q Q’ = R En el siguiente diagrama se puede apreciar la relación de inclusión. La flecha indica que el conjunto de “abajo” está conectado en el de “arriba”. C C Q Q C C El conjunto Z es la unión de tres subconjuntos disyuntos: Z = {enteros negativos} {0} {enteros positivos} RESUMEN Un conjunto es una colección de objetos de cualquier naturaleza. Tales objetos se llaman elementos del conjunto. Dos conjuntos especiales son el vacío y el universal. 56 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos se llama familia de conjuntos. Todo conjunto A de n elementos tiene 2n subconjuntos distintos. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, se llama conjunto de partes de A, P(A). Con los conjuntos se pueden realizar cuatro operaciones básicas: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. Operación Unión Intersección Diferencia Diferencia Simétrica Símbolo Definición Simbólica A B = {x | x A x B} A B = {x | x A x B} A b = {x | x A x B} A b = {x | x A x B} EJERCICIOS RESUELTOS 1. Sean A = {1}, B = {1,2}, C = {2,3,4}, D = {2,3}, E = {1,2,3,4}. Establecer la verdad o la falsedad de las siguientes proposiciones. a) D B c) C D b) C E d) E A Solución a) Como 3 D y 3 B, entonces, D B es verdadera. b) Todo elemento de C lo es de E, luego C E es verdadera. c) C es un superconjunto de D, porque todos los elementos de D lo son de C; la proposición es verdadera. d) E es un superconjunto de A, puesto que el único elemento de A es elemento de E, por tanto la afirmación es falsa. 2. Dado M = {a,b, {a,b}}. Establecer la verdad o falsedad de: a) {a} M c) {a,b} M b) {a,(a)} M d) {(a,b)} M Solución Los elementos de M son: a, b y el conjunto {a,b}; luego a) es falsa y c) es verdadera. El conjunto M tiene 23 = 8 subconjuntos, entre los cuales están: {a}, {(a,b)}; por lo tanto b) y d) son verdaderas. 3. Si x = {1, {1}}; hallar todos los subconjuntos de x. 57 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Solución Como x tiene dos elementos: 1 y {1}, entonces hay 22 = 4 subconjuntos distintos que son: , {1}, {{1}}, {1,{1}}. 4. Si A = {a,b,c}: B = {c,d,e}; C = {b,c,e}; comprobar que: a) b) c) d) (A C) A (A B) (A B) A (B C) = (A B) (A C) Si el universo es U = a,b,c,d,e,f); (A B)’ = A’ B’ Solución a) Como todos los elementos de A C = }b,c} también lo son de A, entonces se verifica la proposición. b) A B = {a,b,d,e} y A B = {a,b,c,d,e}. Todo elemento del primer conjunto pertenece al segundo, por tanto se comprueba la afirmación. c) El conjunto A (B C) = {a,b,c} {b,c,d,e} = {b,c} es igual al conjunto (A B) (A C) = {c} {b,c} = {b,c} d) (A B)’ = {f} y A’ B’ = {d,e,f} {a,b,f} = {f} 5. Sean A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6}, C = {3,5,7} y U = {x|x es un número natural menor o igual que 9}. Hallar a) A’ B’ b) A’ B’ c) A–B d) A B e) BC Solución a) Cómo A’ = {6,7,8,9} t B’ = {1,33,5,7,8,9}, entonces A’ B’ = {7,8,9} b) A’ B’ = {1,3,5,6,7,8,9} c) El conjunto consta de los elementos de A que no están en B: A – B = {1,3,5} d) Los elementos de la intersección son los comunes a ambos conjuntos: A B = {2,4} e) B C = . Los conjuntos no tienen elementos comunes, son disyuntos. 6. Para los conjuntos dados en el Ejercicio 5, hallar: a) A B b) B C c) Comprobar que el número de elementos de A B y de B C, está dado respectivamente por: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(B C) = n(B) + n(C) 58 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Solución a) La unión está constituida por los elementos de ambos conjuntos, incluyendo elementos comunes y no comunes: A B = {1,2,3,4,5,6} b) B C = {2,3,4,5,6,7} c) n(A B) = 6, n(A) = 5, n(B) = 3, n(A B) = 2 con lo cual n(A B) =5+3–2=6 n(B C) = 6, n(B) = 3, n(C) = 3 Así n(B C) = 3 + 3 = 6. El resultado se debe a que la intersección de B y C es vacía, es decir n(B C) = 0. 7. Hallar los conjuntos A y B, si: A’ = {2,3,5,7} B’ = {1,4,7} y U = {1,2,3,4,5,6,7,8} Solución Empleando las leyes de D’Morgan: A’ B’ = {7} = (A B)’. O sea que 7 es el único elemento del conjunto universal que no está ni en A ni en B, luego A B = {1,2,3,4,5,6,8} A’ B’ = {1,2,3,4,5,7} = (A B)’ El complemento de este último conjunto: (A B)’’ = A B = {6,8} es subconjunto de A y de B. Luego los elementos de A son 6,8 más los de B’, exceptuando el 7. los elementos de B son 6,8 más los de A’ excluyendo el 7. En consecuencia: A = {1,4,6,8} y B = {2,3,5,6,8}. 8. Cuando en cualquiera de las leyes del álgebra de conjuntos se intercambian los símbolos y los símbolos U y , el resultado también es una ley que se denomina la dual de la primera (son mutuamente duales). Escribir el dual en cada caso: a) b) c) d) (A ) (A U) = A A= (A B)’ = A’ B’ (A B) C = (A C) (B C) Solución a) b) c) d) (A U) (A ) = A AU=U (A B)’ = A’ B’ (A B) C = (A C) (B C) 59 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 9. Si en lugar de las notaciones X Y y X Y, se emplea X + Y y X.Y; y en vez de U y se usa I y O, respectivamente, hallar el dual de: a) b) c) d) X + X’ = 1 X.X’ = 0 X + X.Y = X X +Y.Z = (X + Y).(X + Z) Solución a) b) c) d) X.X’ = 0 X + X’ = 1 X.(X + Y) = X X.(Y + Z) = X.Y + X.Z 10. Cuando se ha demostrado un teorema sobre conjuntos, el dual del teorema se puede demostrar utilizando el dual de cada paso de la primera demostración: Demostrar: a) (X.Y) + (X.Y’) = X b) (X + Y).(X + Y’) = X Solución a) (X.Y) + (X.Y’) = X.(y + Y’) (Ley distributiva) (X.Y) + (X.Y’) = X.1 (Ley del Complemento) (X.Y) + (X.Y’) = X b) (X + Y). (X + Y’) = X + (Y.Y’) (dual) (X + Y). (X + Y’) = X + 0 (dual) (X + Y). (X + Y’) = X (el teorema es el dual del anterior) 11. Dados n(U) = 60, n(A) = 26, n(B) = 24, n(C) = 8, n(A B) = 10, n(A C) = 0 y C B. Hallar: a) n(A – B) b) n(A B)’ c) n(A C)’ d) nA – (B C)’ Solución En el siguiente diagrama de Venn se encuentra la información dada U A B 16 10 C 8 6 60 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 20 a) El elemento de A que no está en B es 16: n(A – B) = 16 b) (A B)’ corresponde a los elementos fuera de la unión: n(A B)’ = 20 c) A C tiene 16 + 10 + 8 = 34 elementos, luego n(A C)’ = 60 – 34 = 26 elementos. d) Como C es subconjunto de B, la unión B C es el mismo B; los elementos de A – B’ son los que pertenecen a A y no a B. De los 26 = 16 + 10 elementos de A, sólo hay 10 que cumplen las dos condiciones: nA – (B C)’ = 10 12. Determinar los elementos de los conjuntos X y Y, sabiendo que el complemento de X es {f,g,h}, X Y = {a,b,c,d,e,f,g} y X Y = {d,e} Solución En este caso el universo debe ser: U = {a,b,c,d,e,f,g,h} y hay un solo elemento de éste que no está en la unión: h. Como X’ = {f,g,h}, el complemento de este conjunto es: X = {a,b,c,d,e} y Y = {d,e,f,g} EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean a = {a,b}, B = {a,b,c}, C = {c{d{e), D = b,c} y E ) {a,b,c,d,e}, establecer la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) D B b) C E c) C D d) E A Respuesta: a) Falso c) Falso 2. b) Verdadero d) Falso Dado M = {0,1,{0,1}}, establecer la verdad o falsedad de: a) {1} M b) {0,19 M c) {0,1} M d) {{0,1}} M Respuesta: Todas son verdaderas excepto a) 3. Si X = {, {}}, establecer la verdad o falsedad de: a) X b) X c) {} X d) {} X e) {{}} X Respuesta: Todas son verdaderas 61 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 4. Hallar todos los subconjuntos de: M = {0, {{0}} Respuesta: Son cuatro: , {0}, {{{0}}} y el mismo M. 5. Si A, B, C, D, E son conjuntos con 3,7,12,4 y 5 elementos respectivamente, cuántos elementos tiene el conjunto de partes de M = {A,B,C,D,E} Respuesta: 32 6. Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {1,2,3,4}, B = {2,44,5,6}, C = {3,4,6,7}, comprobar que: a) (A C) A b) (A B) (A B) c) A (B C) = (A B) (A C) d) (A B)’ = A’ B’ 7. Para los conjuntos del ejercicio 6, hallar: a) A’ B’ b) (A B)’ c) A B d) B C e) (C A)’ B f) (A C) (B C) Respuesta: a) {7,8} c) {1,3} e) (1,3,8} 8. b) {7,8} d) {4,6} f) {2,7} Hallar los conjuntos A y B, si: A’ = {3,4,5}, B’ = {1,2,4} y U = {1,2,3,4,5,6,7} Respuesta: A = {1,2,6,7} B = {3,5,6,7} 9. Escribir el dual de: a) (A ) (A U) = A b) A U = U c) (A B)’ = A’ B’ d) (A B) C = (A C) (B C) Respuesta a) (A U) (A ) = A b) A = c) (A B)’ = A’ B’ d) (A B) C = (A C) (B C) 62 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 10. Hallar el dual de: a) X.X´= 0 b) X + X´ = 1 c) X. (X + Y) = X d) X.(Y + Z) = X.Y + X.Z Respuesta a) X + X´= 1 b) X.X´= 0 c) X + X.Y = X d) X + Y.Z= (X + Y) + X + Z) 11. Demostrar que: a) (X. Y) + (X.Y´)= Y b) ( X + Y). X´+ Y = Y 12. Dados n(U)= 60, n(A) = 10, n(B)=20, n(C)=38, n(B C) = 8, n(A C) = 0 y A B, hallar: a) n(C B) c) n(A C)’ b) n(B C)’ d) nC – (A B)’ Respuesta: a) 30 b) 10 c) 12 d) 8 13. Determinar los elementos de los conjuntos X y Y, sabiendo que el complemento de Y es el conjunto {m,n,t}, X Y = {m,n,p,q,e} y X Y = {p,q} Respuesta: X = {m,n,p,q} y Y = {p,q,r} 14. Sabiendo que U = {x| x es el número natural, menor que 11}, A’ = {x | x > 2}, A B = {x | x2 6x + 9 = 0, A B = {1,2,3,4,6}, hallar los conjuntos A, B, A By (A B)’ Respuesta: A = {1,2,3} B = {3,4,6} A B = {1,2,4,6} (A B)’ = {5,7,8,9,10} 15. Determinar cuál de los conjuntos dados es vacío: a) A = {a | a N a2 1 = 0} b) B = {b | b R b2 2 = 0} c) C = {c | c Q c2 9 = 0} d) D = {d | d Q’ d2 3 = 0} e) E = {e | e R e2 + 9 = 0} Respuesta: Sólo es vacío el conjunto E. 63 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 16. En un examen a 200 estudiantes relacionado con la habilidad para leer inglés, francés y español se obtuvieron los siguientes resultados: 80 leen inglés, 105 leen francés, 80 leen español, 55 leen español y francés, 55 leen inglés y no leen francés, 60 leen ingles y no lee español, 15 leen inglés y español, pero no francés. Cuántos de estos estudiantes a) leen los tres idiomas, b) cuántos leen únicamente francés, c) cuántos no leen ninguno de los tres idiomas, y d) cuántos leen español pero no inglés ni francés. Respuesta: a) 5 b) 30 c) 30 d) 10 17. Dados dos conjuntos no disyuntos A y B, usar diagramas de Venn para mostrar que: a) b) c) d) 18. A (A B) = A A (A B) = A (A B)’ = A’ B’ (A B)’ = A’ B’ Si A B demuestra que: a) A B = B c) A B = A 19. b) A B’ = d) A’ B = U Demostrar utilizando las leyes del álgebra de conjuntos: a) ( A B ) = (A B’) (A’ B) b) (A B )’ = (A B’) (A’ B)’ c) (A B )’ = (A’ B) (A’ B’) 20. Dados tres conjuntos A, B, C demuestre utilizando las leyes del álgebra de conjuntos las siguientes igualdades: a) b) c) d) e) f) 21. (A B’) (A C) (A B) = A (A B) (A’ B) = B (A B’ C) (A’ B’ C’) = U (A B’) (B C) (B C’) = A B (A B) (A’ C) (B C) = (A B) (A’ B) (A’ C) (A B) (A’ B’) = (A’ B) (A B’) En cada uno de los diagramas de Venn identificar el área sombreada. a) A B C Falcón/Nazario/Uribe 64 Matemáticas Discreta FIA-2010-I Respuesta: A B C’ b) A B C Respuesta: (A B C) (A’ B C’) c) A B C Respuesta: A (A’ B C) d) A B C Respuesta: (A’ B’ C’) (A B C) e) A B C 65 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Respuesta: (A B’ C’) (A’ B C’) (A’ B’ C’) f) A B C 22. Respuesta: (A B C) (A B C’) (A B’ C) (A’ B C) Simplificar utilizando las leyes: a) b) c) d) e) f) A B’ A’ B’ (A B) (A B’) (A’ B) (A’ B’) (A C’) (A B C) (A C) (A B C) A’ B’ C’ (A B) (A’ B) B (C’ B) B (A C) Respuesta: a) b) U e) B f) B c) A g) A d) U ALGEBRA BOOLEANA INTRODUCCIÓN Las aplicaciones de la electrónica digital a los procesos de control y automatismo industriales y a la computación, están fundamentadas teóricamente en el sistema matemático denominado álgebra booleana. Los círculos digitales o lógicos operan de un modo binario donde cada voltaje (señal) de entrada o de salida es un cero (9) o un uno (1). Las designaciones 0 y 1 representan intervalos predefinidos de voltaje. Esta característica de los circuitos lógicos permite emplear el álgebra booleana en el análisis y diseño de sistemas digitales. En este capítulo se estudiarán las compuertas lógicas, que son los circuitos lógicos fundamentales cuyo funcionamiento puede describirse mediante el uso del álgebra booleana. Las combinaciones de estas compuertas conforman circuitos lógicos cuyas salidas son las respuestas deseadas para propósitos de automatismo y control. 66 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta VARIABLES Y CONSTANTES BOOLEANAS Las variables y constantes del álgebra booleana sólo pueden tener dos valores posibles: cero (0) y uno (1). Una variable booleana, denominada también variable lógica, puede, en diferentes ocasiones, ser igual a 0 ó a 1. las variables booleanas se emplean para representar el nivel de voltaje presente en los terminales de entrada y salida de un circuito. A este nivel de voltaje también se llama El “nivel lógico” de la variable. Cuando este nivel de voltaje es bajo (entre 0 y 0.8 voltios) se emplean los términos: falso, desactivado, no, interruptor abierto (0). Cuando el nivel lógico es alto (por ejemplo, entre 4 y 5 voltios) se usan las palabras: verdadero, activado, si, interruptor cerrado (1). El álgebra booleana se utiliza para describir los efectos que producen las entradas lógicas sobre los diversos circuitos digitales (circuitos lógicos). También se usa para manipular variables lógicas en la determinación del método de ejecución de una cierta función de un circuito. Las operaciones del álgebra booleana son: Adición o suma lógica También llamada operación OR, o simplemente OR. Corresponde a la disyunción de proposiciones en lógica y a la unión de conjuntos; su símbolo es (+). El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación se denomina compuerta OR y su representación es: Multiplicación o producto lógico. Llamada también operación AND o simplemente AND. Corresponde a la conjunción de proposiciones en lógica y a la intersección de conjuntos; su símbolo es el punto (.). El dispositivo electrónica que ejecuta esta operación se llama compuerta AND y su representación es: 67 Falcón/Nazario/Uribe FIA-2010-I Matemáticas Discreta Complementación o inversión lógica Denominada también operación NOT, corresponde a la negación de una proposición en lógica o a la operación de complementación en conjuntos. Se simboliza con apóstrofo en la variable complementada. El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación es un inversor y su representación es: 68 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Lógica Disyunción Negación Conjunción pq Conjuntos Complemento pq Unión ~p Intersección AB AB Algebra Inversor Booleana Suma Producto x+y xy x’ Compuertas lógicas OR AND NOT A’ Tabla 4.1. La tabla 4.1. muestra las correspondencias mencionadas. Las propiedades o leyes que se cumplen para estas operaciones en lógica y en conjuntos son válidas también para las correspondientes operaciones del álgebra booleana. DEFINICIÓN DEL ÁLGEBRA BOOLEANA Una definición del álgebra booleana como un sistema axiomático consistente, completo e independiente fue dada por E.V. Huntington en 1904. La definición formal es la siguiente: Un álgebra booleana es un sistema matemático que comprende: un conjunto B, con al menos dos elementos; dos operaciones binarias, la suma y el producto (+ y.), y una operación unitaria, la complementación, definidas para todos los x, y, z elementos de B, tales que se cumplen los siguientes axiomas: P1: las operaciones suma y producto lógico son conmutativas: x+y=y+x xy = yx Leyes conmutativas P2: cada operación es distributiva respecto a la otra: x + yz = (x + y)(x + z) x(y + z) = xy + xz Leyes distributivas P3: existen elementos individuales 0 y 1, tales que: 69 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I x+0= x x.1 = x Leyes modulativas P4: para todo x B existe el elemento x’ llamado el complemento de x, o la negación de x, tal que: x + x’ = 1 x.x’ = 0 Leyes del complemento Sobre la anterior definición caben las siguientes observaciones: 1. Tanto la lógica matemática como la teoría de conjuntos cumplen con la definición de álgebra booleana por son sistemas axiomáticos similares. 2. La definición de álgebra booleana no hace mención del axioma de asociatividad de las operaciones suma y producto lógico, porque éste no es independiente de los cuatro postulados citados, sino que es deducible de ellos. La ley o propiedad asociativa de las operaciones suma y producto lógico se escribe: Para todo x, y, z elementos de B se verifica que: x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x(yz) = (xy)z = xyz 3. En cada axioma de la definición aparecen dos expresiones. Cada una puede obtenerse de la otra intercambiando + por . y 0 por 1. por esta razón se denominan expresiones duales. Cada uno de los axiomas y teoremas del álgebra booleana tiene la propiedad de tener su dual. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA Otras propiedades o leyes del álgebra booleana empleadas en los procesos de simplificación de expresiones booleanas o en la demostración de teoremas, son: Ley de idempotencia: x+x=x x.x = x x+1=1 x.0 = 0 x + xy = x x(x + y) = x (x’)’ = x (0’)’ = 0 Ley de acotación: Ley de absorción: Ley de involución: (1’)’ = 1 Ley de De Morgan: (x + y)’ = x’.y’ (x.y)’ = x’ + y La representación de algunos axiomas y teoremas del álgebra booleana se puede realizar con compuertas lógicas como se demuestra en la tabla 4.2: 70 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Nombre Ley Modulativa Ley dual x+0= x x.1 = x x x x 0 x + x’ = 1 Complemento x Ley de idempotencia: x.x’ = 0 1 x 0 x+x=x x Ley de acotación: x.x = x x x x x+1=1 x.0 = 0 x x 1 1 Ley de absorción: x 1 0 0 x + xy = x x(x + y) = x x x x x y y (x’)’ = x Ley de involución: (0’)’ = 0 x x Ley de D’Morgan: (x + y)’ x Ley de D’Morgan: x’.y’ (x + y)’ = y (x.y)’ = x y (x.y)’ x x x y x’.y’ x’ + y’ = x y x’ + y’ Tabla 4.2 71 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I RELACIÓN DE ORDEN EN UN ÁLGEBRA BOOLEANA El conjunto B, con al menos dos elementos, debe ser parcialmente ordenado. Esto quiere decir que sus elementos deben cumplir con las propiedades de la relación de orden: reflexiva, antisimétrica y transitiva. La relación de orden parcial (menor o igual) en un conjunto B, por ser parcialmente ordenado, cumple las siguientes propiedades: Para todo x, y,z elementos de B: Reflexiva: xx Antisimétrica: xyyxx=y Transitiva: xyyzxz El conjunto potencia de B o de partes de B es un conjunto parcialmente ordenado que cumple las condiciones de la definición de un álgebra booleana. En este caso el cero (0) es el conjunto vacío y el uno (1) es el mismo conjunto B. La relación de orden es la de inclusión de conjuntos. Establecida la relación de orden parcial anterior, se puede enunciar: Definición: En un álgebra de Boole: x y si y solo si x + y = y Para indicar que el elemento y es mayor que x, se emplea el diagrama (línea dirigida de x hacia y) y x Así 0 1 porque 0 + 1 = 1 En un álgebra de Boole, las siguientes afirmaciones son equivalentes: Si x y, entonces: 1. 2. 3. 4. x+y=y x.y’ = 0 x.y = x x’ + y = 1 72 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I EXPRESIONES BOOLEANAS Una expresión booleana (función booleana o función lógica) es un conjunto finito de símbolos, cada uno representa una constante o una variable, combinados mediante las operaciones de suma, producto o complementación. Por ejemplo, la expresión x + x’ = 1 representa la proposición de que esta función de la variable x es igual a la constante 1. Funciones booleanas de dos variables El número total de funciones lógicas que se pueden escribir con dos variables es 16. si n es el número de variables lógicas, entonces el número total de funciones lógicas que 2n se pueden escribir con n variables es 2 . Para n = 3 (tres variables lógicas: x, y, z), el número de funciones lógicas distintas es de 256. para n = 2 (dos variables lógicas, x, y), las 16 funciones lógicas se denominan Fi para i = 0...15. En la tabla 4.3. se presentan las 16 funciones lógicas posibles que pueden ser generadas con dos variables. Al frente de cada Fi aparece el número binario correspondiente al subíndice i. Observar además la simetría entre cada par de funciones Fi y Fj, para i + j = 15. Cuando esto se cumple las funciones Fi y Fj son complementarias, es decir, una es negación de la otra. Así F0 y F15 son 0 y 1 respectivamente; F1 y F14 AND y NAND; F13 y F2 la implicación directa y su negación; F11 y F4 la implicación contraria y su negación; F6 y F9 XOR y XNOR, F7 y F8 OR y NOR. Las cuatro funciones restantes corresponden a las variables y sus negaciones. x 0 0 1 1 Función Lógica Expresión Otra Compuerta Equivalente Expresión y 0 1 0 1 F0 0 0 0 0 x’ ó yy’ 0 0 F1 0 0 0 1 xy (x’ + y’)’ AND F2 0 0 1 0 xy’ (x’ + y)’ F3 0 0 1 1 x x F4 0 1 0 0 x’y (x’ + y’)’ F5 0 1 0 1 y y F6 0 1 1 0 x’y + xy’ xy F7 0 1 1 1 x+y (x’y’)’ (x y)’ (y x)’ (x y)’ XOR OR 73 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I F8 1 0 0 0 (x + y)’ x’y’ F9 1 0 0 1 x’y’ + xy (x y)’ F10 1 0 1 0 y’ y’ F11 1 0 1 1 x + y’ (x’y)’ F12 1 1 0 0 x’ x’ F13 1 1 0 1 x’ + y (xy’)’ F14 1 1 1 0 (xy)’ x’ + y’ NAND 1 1 F15 1 1 1 1 x + x’ ó y + y’ NOR xy XNOR yx xy Tabla 4.3.: Funciones Lógicas de dos variables Las expresiones booleanas pueden adoptar dos formas útiles para las aplicaciones tecnológicas; tales expresiones están conformadas por una suma de productos o por un producto de sumas denominadas, respectivamente, la forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva. Forma normal disyuntiva La función booleana adopta una forma normal disyuntiva si está escriba como una suma de términos, en la cual cada término es un producto que involucra todas las n variables con negación o sin ella. Cada término se llama término minimal o minterm y la función se denomina función polinomial de términos minimales o minterms. Ejemplos de tales funciones son: x + x’, xy’, xyz’ + x’yz + xyz’ en una, dos y tres variables, respectivamente. El proceso para llegar a la forma normal disyuntiva de una función booleana consiste en aplicar las leyes de D’Morgan, hasta que los complementos aparezcan aplicados solamente a variables individuales. Después, por la aplicación de la ley distributiva del producto sobre la suma la función puede ser reducida a un polinomio. Si en algún término falta una variable, por ejemplo w, entonces este término pede ser multiplicado por x + x’ sin cambiar la función. Ejemplo 1 Escribir la función f = (xy + yz’)’ +y’ en la forma normal disyuntiva (xy + yz’)’ +y’ = (xy)’.(yz’)’ +y’ = (x’ + y’).(y’ + z) + y’ = (y’ + x’).(y’ + z) + y’ = y’ + x’z + y’ 74 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I = y’ + x’z = y’(x + x’) (z + z’) + x’z(y + y’) = y’(xz + xz’ + x’z + x’z’) + x’yz + x’y’z = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + x’yz + x’y’z = xy’z + xyz’ + x’y’z + x’y’z’ + x’yz Una función booleana puede ser expresada en forma normal disyuntiva en más de una manera, mediante el cambio del número de variables; sin embargo, para un número dado de variables la forma normal es única. Por ejemplo, f = xy está en forma normal disyuntiva en x y en y pero si xy es multiplicada por z + z’, entonces f = xyz + xyz’ está también en forma normal en las variables, x, y, z. En forma similar, g = x’yz + xyz + x’yz’ + xyz’ está en forma normal disyuntiva en x, y, z, pero reduciéndola se llega a g = y, la cual está en forma normal en y. La forma normal disyuntiva en n variables que tiene 2n términos se llama “forma normal disyuntiva completa en n variables” y es idénticamente igual a la unidad. Por ejemplo, para el caso de dos variables (n = 2) la forma normal disyuntiva se puede obtener de la tabla: x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f x’y’ x’y xy’ xy x’y’ + x’y + xy’ + xy = 1 Cuyo valor es 1 porque x’y’ + x’y + xy’ + xy = x’(y’ + y) + x(y’+y) = x’1 + x1 = x’ + x =1 Una función booleana f está completamente determinada por los valores que ella asuma para cada una de las combinaciones de los valores asignados, 0 ó 1, a las respectivas variables. Esto sugiere que una función booleana puede ser convenientemente especificada mediante una tabla que represente las condiciones deseadas. En las aplicaciones tecnológicas, particularmente en el diseño de circuitos lógicos, ésta es la manera como se construyen las funciones booleanas. Si la tabla es dada, entonces la función, en forma normal disyuntiva, puede ser escriba por inspección. Para cada conjunto de condiciones que producen un 1 en la tabla, el término correspondiente es incluido en la forma normal disyuntiva. La suma de estos tres términos da la función, aunque no necesariamente en su forma más simple. 75 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 2 Encontrar y simplificar la función booleana f(x,y,z) especificada en la tabla 4.4.: Fila 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 f(x,y,z) 0 1 0 0 0 1 1 0 Tabla 4.4 La tabla 4.4. muestra el valor de f para cada una de las 23 = 8 posibles combinaciones de valores de 0 y 1 para x,y,z. Las combinaciones representadas en las filas, 1, 5 y 6 de la tabla tienen valor 1. así la forma normal disyuntiva de f contendrá tres términos: F(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ = y’z(x’ + x) + xyz’ = y’z.1 + xyz’ = y’z + xyz’ Una aplicación de lo anterior consiste en encontrar, por simple inspección, el complemento de una función en forma normal disyuntiva. Dicho complemento contendrá exactamente aquellos términos de la forma normal disyuntiva completa que no aparecen en la función dada. El complemento de x’y’ + x’y es xy’ + xy. El complemento de x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z’ es xy’z + xyz’ + xyz Forma normal conjuntiva Una función booleana adopta la forma normal conjuntiva si está escriba como un producto de términos, en el cual cada término es una suma que involucra todas las n variables, con complementación o sin ella. Cada término se denomina término maximal o maxterm. El proceso para obtener la forma normal conjuntiva de una función booleana consiste en aplicar las leyes de D’Morgan para quitar los complementos de los paréntesis. Después, la función es factorizada y luego se introducen la(s) variable(s) que falta(n) en cada factor, por ejemplo w, sumando un término de la forma w.w’ que no cambia la función. El paso final es expandirla en factores y reducir aquellos que sean semejantes. 76 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 3 Escribir la función (xy + yz’)’ + y’ en la forma normal conjuntiva. (xy + yz’)’ + y’ = (xy)’.(yz’)’ + y’ = (x + y’).(y’ + z) + y’ = y’ + (x’ + y’) + (y’ + z) = (y’ + x’ + y’) (y’ + y’ + z) = (x’ + y’) (y’ + z) = (x’ + y’ + zz’). (xx’ + y’ + z) = (x’ + y’ + z)(x’ ´y’ + z’) (x ´y’ + z) (x’ + y’ + z) = (x’ + y’ + z).(x’ + y’ + z’) (x + y’ + z) Una función booleana puede ser expresada en forma normal conjuntiva en más de una manera, mediante el cambio del número de variables; sin embargo, para un número dado de variables la forma normal es única. Por ejmplo, f = x + y está en forma normal en x y en y, pero si a x + y se le suma z.z’ entonces f = x + y + zz’ ó f = (x + y + z) (x + y + z’) está también en forma normal en las variables x, y, z. Por otra parte, g = (x’ + y + z) (x + y + z) (x’ + y + z’) está en forma normal conjuntiva en x.y.z pero simplificándola se obtiene g = y que está en forma normal en y. La forma normal conjuntiva en n variables que tiene 2n términos se llama la forma normal conjuntiva completa en n variables y es igual a cero. Por ejemplo, para el caso de dos variables (n 0 2) la forma normal conjuntiva completa se puede obtener de la siguiente tabla, al tomar las variables complementadas. x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f x + y’ x+y x’ + y’ x’ + y (x + y) (x + y’) (x’ + y) (x’ + y’) Porque (x + y) (x + y’) (x’ + y) (x’ + y’) = (x + yy’) (x’ + yy’) = (x + 0) (x’ + 0= = xx’ =0 77 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 4 Encontrar y simplificar la función booleana f(x,y,z) especificada en la tabla 4.5. Fila 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 f(x,y,z) 1 0 1 1 1 0 1 1 Tabla 4.5 Como sólo dos filas de la tabla, la 1 y la 5, tienen el valor cero, es más fácil escribir la función en forma normal conjuntiva, así: F(x,y,z) = (x + y + z’) . (x’ + y + z’) = (y + z’ + x) . (y + z’ + x’) = (y + z’ + xx’) = y + z’ + 0 = y + z’ En los ejemplos de este tipo, la forma normal disyuntiva se usa si el número de unos (1) es menor que el número de ceros (0) en la columna f, y la forma normal conjuntiva se usa si el número de ceros (0) es menor que el número de unos (1). Dos funciones, cada una expresada en la forma normal conjuntiva en n variables, son iguales si tienen idénticos factores. La forma normal conjuntiva puede usarse para hallar el complemento de funciones escritas en esta forma. El complemento de una función escriba en forma normal conjuntiva es una función cuyos factores son exactamente aquellos de la forma normal conjuntiva completa, los cuales no aparecen en la función dada. Por ejemplo el complemento de (x ´y’) (x’ + y’) es (x’ + y) (x + y). Para cambiar una función de una forma normal a la otra se utiliza (f’)’ = f. El siguiente ejemplo ilustra el método. Ejemplo 5 Encontrar la forma normal conjuntiva para la función f = xyz + x’yz + xy’z’ + x’yz’ (f’)’ = = [(xyz + x’yz + xy’z’ + x’yz’)’]’ [(x’ + y’ + z´) (x + y’ + z’) (x’ + y + z) (x + y’ + z)]’ 78 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I = (x + y + z) (x’ + y + z’) (x + y + z’) (x’ + y’ + z) El apóstrofo significa la complementación de toda la expresión entre paréntesis. Después de negar doblemente la función, la primera negación se trata con la ayuda de las leyes de D’Morgan; para la segunda negación (la del corchete) se construye el complemento, es decir, se buscan los términos que allí faltan para totalizar la forma normal conjuntiva completa. Ejemplo 6 Hallar la forma normal conjuntiva para la función: f = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z’ (f’)’ = [(xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z’)’)’ = [(x’ + y’ + z´) .(x’ + y’ + z). (x’ + y + z’). (x’ + y + z).(x + y+ z)]’ = (x + y’ + z´) (x + y’ + z) (x + y + z) 79 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS Para simplificar expresiones booleanas, además de las leyes del álgebra lógica, se emplea un método llamado mapas de Karnaugh o mapas K. Estos son diagramas cuadrangulares o rectangulares que tienen 2n compartimentos o casillas, donde n es el número de variables lógicas consideradas. Los diagramas asocian a cada compartimiento una fila de tabla de verdad. El número binario que identifica cada fila de la tabla de verdad se hace corresponder con las coordenadas binarias que identifican cada casilla del mapa K. En estos mapas se puede trabajar con términos minimales (miniterms) llenando los compartimentos correspondientes a los unos (1) que aparezcan en la tabla de verdad de la función considerada, o con términos maximales (maxiterms) con los ceros (0) de la tabla de verdad. El uso de minterms o de maxterms depende de la forma elegida para la expresión: la forma normal disyuntiva o la forma normal conjuntiva, respectivamente. Mapa de Karnaugh para dos variables Una expresión booleana con dos variables, es decir f(x,y), tiene una tabla de verdad con cuatro filas, conteniendo cada una el valor de la función para cada combinación de valores de verdad de las variables x, y. El mapa K correspondiente es una tabla de 2.2. casillas como se muestra a continuación: x’ = 0 x=1 y’ = 0 y=1 Si dos casillas contiguas (horizontal o verticalmente, no en diagonal) tienen unos (1), se dice que forman una adyacencia. Por ejemplo, si en el mapa K sólo aparecen unos (1) en el primer renglón, entonces la función booleana en forma normal disyuntiva es: y' = 0 x' = 0 x=1 1 1 y=1 f(x,y) = x’y’ + xy’ = y’x’ + y’x = y’(x’ + x) = y’.1 = y’ 80 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Note que al simplificar la expresión se anula la variable x porque x ´x’ = 1. Además ambos unos (1) se encuentran en el primer renglón, es decir, se encuentran en el renglón denominado y’, por lo tanto la expresión simplificada es: f(x,y) = y’ Ejemplo 7 Simplificar la función booleana representada en la tabla: x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 El mapa K correspondiente a la tabla es: x' = 0 x=1 y' = 0 1 y=1 1 1 Este mapa K tiene dos adyacencias, una en la segunda fila y la otra en la segunda columna. La función sin simplificar es: f(x,y) = x’y + xy’ + xy Utilizando las adyacencias mencionadas se obtiene la función reducida: f(x,y) = y + x Observe que las adyacencias pueden sobreponerse y que los valores en una fila o una columna pueden ser usados más de una vez. Además, una adyacencia de dos unos (1) elimina una variable. Mapas de Karnaugh para tres variables El mapa K para tres variables es una tabla 2.4. como se presenta a continuación: 81 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I x’y’ 00 x’y 01 xy’ 10 xy 11 z’ = 0 z=1 Hay que observar que en el anterior mapa K para tres variables, la numeración binaria se cambia de la segunda columna a la tercera, es decir, se pasa de 01 a 11, no a 10. la única razón para esto es que es deseable que haya cambio en una sola variable y no en ambas, como sucedería si al 01 le sigue 10. de esta forma pueden distinguirse seis regiones. Región de x Región de x’ Región de y Región de y’ Región de z Región de z’ : columnas 3° y 4° : columnas 1° y 2° : columnas 2° y 3° : columnas 1° y 4° : fila 2° : fila 1° En este caso pueden ocurrir adyacencias de dos, cuatro u ocho unos (1). También se considera las adyacencias entre la primera y la cuarta columna, tal como si el mapa K fuera dibujado sobre un cilindro. Además, las adyacencias pueden estar en una sola fila o formando un cuadrado. Los ejemplos siguientes ilustran lo anterior. Ejemplo 8 Encontrar la expresión booleana simplificada cuyo mapa K es: x'y' 00 x'y 01 xy 11 xy' 10 z' 0 1 1 z1 1 1 Al existir una adyacencia de cuatro unos (1), la función booleana de tres variables se reduce a una sola. Observe que la adyacencia está en la primera y cuarta columna, es decir, en la región de y’, por tanto, la función booleana simplificada será: f(x,y,z) = y’ Para demostrar lo anterior, se escribe la función en forma normal disyuntiva, así: f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z = x’y’(z’ + z) + xy’(z’ + z) = x’y’ + xy’ = y’(x’ + x) = y’ 82 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 9 Encontrar la expresión booleana simplificada cuyo mapa K es: x'y' 00 x'y 01 xy 11 z' 0 1 1 z1 1 1 xy' 10 La adyacencia está en la segunda y tercera columna, es decir, en la región de y, por lo que la función booleana simplificada será: f(x,y,z) = y Para demostrar lo anterior, se escribe la función en forma normal disyuntiva: f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z = x’y(z’ + z) + xy(z’ + z) = x’y + xy = y(x’ + x) =y Mapas de Karnaugh para cuatro variables El mapa K para funciones booleanas de cuatro variables es una talba de 4.4. diseñada de la siguiente forma: x'y' 00 z'w' 00 z'w' 01 zw 11 zw' 10 x'y 01 xy 11 xy' 10 Como en el caso anterior, pueden distinguirse ocho regiones así: Región de x Región de x’ Región de y Región de y’ Región de z : columnas 3° y 4° : columnas 1° y 2° : columnas 2° y 3° : columnas 1° y 4° : fila 3° y 4° 83 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Región de z’ : fila 1° y 2° Región de w : fila 2° y 3° Región de w’ : fila 1° y 4° Aquí pueden ocurrir adyacencias de dos, cuatro, ocho o diecisésis unos (1) que eliminan una, dos, tres o cuatro variables, respectivamente. Se consideran adyacencias entre la primera y cuarta columna y también entre la primera y cuarta fila como puede verse en los ejemplos siguientes: Ejemplo 10 Simplificar la función booleana cuyo mapa K asociado es: x'y' 00 x'y 01 xy 11 z'w' 00 1 z'w' 01 1 1 zw 11 1 1 zw' 10 1 xy' 10 1 1 f(x,y,z,w) = x’y’z’w’ + xy’z’w’ + x’y’zw’ + xy’zw’ + x’yz’w + xyz’w + x’yzw + xyzw = y’z’w’(x’ + x) + y’zw’(x’ + x) + yz’w(x’ + x) + yzw(x’ + x) = y’z’w’ + y’zw’ + yz’w + yzw = y’w’(z’ + z) + yw’(z’ + z) = yw + y’w’ 84 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Ejemplo 11 Simplificar la función booleana cuyo mapa K asociado es: x'y' 00 x'y 01 xy 11 xy' 10 z'w' 00 1 1 z'w' 01 1 1 zw 11 1 1 zw' 10 1 1 f(x,y,z,w) = x’y’z’w’ + x’y’z’w + x’y’zw + x’y’zw’ + xy’z’w’ + xy’z’w + xy’zw + xy’zw’ = x’y’z’(w’ + w) + x’y’z(w’ + w) + xy’z’(w’ + w) + xy’z(w’ + w) = x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z = x’y’(z’ + z) + xy’(z’ + z) = x’y’ + xy’ = y’(x’ + x) = y’ En los ejemplos anteriores la consideración de las adyacencias señaladas conducen directamente a las expresiones simplificadas, observando las regiones del mapa K en las que se encuentran estas adyacencias. RESUMEN Resumen de operaciones y compuertas Lógica Disyunción pq Conjuntos Unión AB Conjunción pq Intersección AB Negación ~p Complemento A’ 85 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Algebra Suma Booleana x+y Producto xy Inversor x’ AND NOT Compuertas lógicas OR Leyes P1: Conmutativas: P2: Distribuitiva x+y=y+x xy = yx x + yz = (x + y)(x + z) x(y + z) = xy + xz P3: Modulativas x.1 = x x+0= x P4: Complemento x + x’ = 1 x.x’ = 0 T1: Asociativa x + (y + z) = (x + y) + z x.(yz) = (xy).z T2: Idempotencia: x+x=x x.x = x T3: Acotación: x+1=1 x.0 = 0 T4: Absorción: x + xy = x x(x + y) = x T5: Involución: (x’)’ = x T6: De Morgan: (x.y)’ = x’ + y’ (x + y)’ = x’.y’ (0’)’ = 0 (1’)’ = 1 86 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I Expresiones Booleanas Forma normal disyuntiva completa (n = 2) x y f 0 0 x’y’ 0 1 x’y 1 0 xy’ 1 1 xy f = x’y’ + x’y + xy’ + xy = 1 Forma normal conjuntiva completa (n = 2) x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f x + y’ x+y x’ + y’ x’ + y f = (x + y) (x + y’) (x’ + y) (x’ + y’) = 0 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Escribir las siguientes funciones en forma normal disyuntiva (polinomial de términos minimales o minterms): a) (y + z’y).(y ´xz) b) (xz + yz’)(xy + xz + y’z’) Respuesta: a) (y + z’y).(y ´xz) = y ´z’y.xz = y + xy(z.z’) = y + xy(0) =y+0 =y = y(x + x’) (z + z’) = (xy + x’y)(z + z’) = xxyz + xxyz’ + x’yz + x’yz’ Distributiva Asociativa Complemento Acotación Modulativa Complemento Distributiva Distributiva b) (xz + yz’)(xy + xz + y’z’) = (xz + yz’)[xz + (xy + y’z’)] = xz + yz’.(xy + y’z’) = xz + yz’.xy + yz’.y’z’ Asociativa Distributiva Distributiva 87 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I = xz + xyz’ + (y.y’)z’ Conmutativa = xz + xxyz’ + (0)z’ Invertiva = xz + xyz’ Acotación = x(z + yz’) Distributiva = x(z + y) (z + z’) Distributiva = x(y + z) Conmutativa = xy + xz Distributiva = xy(z + z’) + xz (y + y’) Complemento = xyz + xyz’ + xyz + xy’z Distributiva = xyz + xyz’ + xy’z Idempotencia 2. Escribir las siguientes expresiones en forma normal conjuntiva (términos maximales o maxterms): a) xz’ + y b) (x + z)y’ + yz’ Respuesta: a) xz’ + y = y + xz’ = (y + x).(y + z) = (y + x + x.x’).(y + z’ + x.x’) = (x + y + z)(x + y + z’)(y + z’ + x) (y + z’ + x’) = (x + y + z)(x + y + z’) (x’ + y + z’) Conmutativa Distributiva Complemento Distributiva Idempotencia b) (x + z)y’ + yz’ = xy’ + y’z + yz’ Distributiva = xy’ (z + z’)+ y’z (x + x’)+ yz’(x + x’) Complemento = xy’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + x’yz’ Distributiva = xy’z + xy’z’ + x’y’z + xyz’ + x’yz’ Idempotencia = [(x’ + y + z’)(x’ + y + z)(x + y + z’)(x’ + y’ + z)(x + y’ +z)]’ D’Morgan = (x’ + y’ + z’)(x + y’ + z’)(x + y + z) Complemento 3. Simplificar las siguientes expresiones booleanas: a) xy’x’y’ c) xz’ + xyz + xz Respuesta: a) xy’x’y’ = (x.x’)(y’.y’) = 0.y’ =0 b) xy + xy’ + x’y + x’y’ d) xyz + x’ + y’ + z’ Asociativa Complemento Acotación 88 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I b) xy + xy’ + x’y + x’y’ = 1 Forma normal disyuntiva completa en dos variables c) xz’ + xyz + xz = xz’ + [xz + (xz)y) = xz’ + xz = x(z + z’) = x.(1) =x Asociativa Absorción Complemento Modulativa d) xyz + x’ + y’ + z’ = xyz + (x’ + y’ + z’) = xyz + (xyz)’ =1 Asociativa D’Morgan Complemento 4. Simplificar las siguientes expresiones booleanas: a) (xy + x’y + x’y’)’ c) x’z + y’z + xyzw’ e) (x’yz’)’.(xy’z’)’ b) (x + y’ + z)(xy.x’z)’ d) (xw + y’z’)(yz + yz’ + y’z)’ f) (xyz + yz + x’y)yz Respuesta: a) (xy + x’y + x’y’)’ = xy’ b) (x + y’ + z)(xy.x’z)’ = (x + y’ + z) [(x.x’)yz]’ = (x + y’ + z) [(0)yz]’ = (x + y’ + z) [0]’ = (x + y’ + z) 1 = (x + y’ + z) Conmutativa Complemento Acotación Complemento Acotación c) x’z + y’z + xyzw’ Distributiva Doble negación D’Morgan D’Morgan Distributiva Complemento D’Morgan = z(x’ + y’ + xyw’) = z[(x’ + y’ + xyw’)’]’ = z[x.y.(xyw’)’]’ = z[xy(x’ + y’ + w)]’ = z[xyx’ + xyy’ + xyw]’ = z[0.y + x.0 + xyw]’ = z(xyw)’ d) (xw + y’z’)(yz + yz’ + y’z)’ = (xw + y’z’).y’z’ = xwy’z’ + y’z’. y’z’ = xwy’z’ + y’z’ = (y’z’) + (y’z’)(xw) = y’z’ Complemento Distributiva Idempotencia Conmutativa Absorción e) (x’yz’)’.(xy’z’)’ = [(x’yz’) + (xy’z)’]’ = [(x + y’ + z)’ + (x’ + y + z)’]’ D’Morgan D’Morgan 89 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I = [(x + y’ + z)’ + (x’ + y + z)’ = [(x + y’ + z) + (x’ + y + z) = z + (x’ + y) (x + y) = z + x’x + x’y’ + yx + yy’ = z + x’y’ + xy f) (xyz + yz + x’y)yz = yz.y(xz + z + x) = yz(z + x’) = yz.z + yzx’ = yz + yzx’ = yz D’Morgan Doble complemento Distributiva Distributiva Complemento Distributiva Absorción Distributiva Idempotencia Absorción 5. Escribir cada una de las siguientes expresiones en forma normal disyuntiva en las tres variables x, y, z. a) x’ + y b) x’z + xz’ c)(y + z) (y’ + z’) d) x Respuesta: a) x’ + y = x’(y + y’) (z + z’) + y (x + x’)(z + z’) Complemento = (x’y + x’y’)(z + z’) + (xy + y’y)(z + z’) Distributiva = x’yz + x’yz’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz + x’yz’ Distributiva = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xyz’ + xyz Idempotencia b) x’z + xz’ = x’z(y + y’) + xz’(y + y’) = x’yz + x’y’z + xyz’ + xy’z’ Complemento Distributiva c) (y + z) (y’ + z’) = {[(y + z).(y’ + z’)]’}’ = [(y + z)’ + (y’ + z’)]’ = (y’z’ + yz)’ = y’z(x + x’) + yz(x + x’) = xy’z + x’y’z + xyz’ + x’yz’ Doble negación Doble D’Morgan Complemento Complemento Distributiva d) x = x(y + y’)(z + z’) = x[(y + y’).z + (y + y’)z’] = x[(yz + y’z + yz’ + y’z = xyz + xy’z + xyz’ + xy’z’ Complemento Distributiva Distributiva Distributiva 90 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 6. Escribir las funciones, f1, f2, y f3 especificadas en la siguiente tabla en forma normal disyuntiva y simplificarlas: x y z f1 f2 f3 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 Respuesta: a) f1 = x’yz + x’yz + xyz’ + xyz = x’y(z + z’) + xy(z + z’) = x’y(1) + xy(1) = x’y + xy = y(x’ + x) = y(1) =y b) f2 = x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z = x’y’(z’ + z) + xy’(z’ + z) = x’y’(1) + xy’(1) = y’(x’ + x) = y’(1) = y’ c) f3 = x’y’z’ + x’yz’ + xy’z + xyz = x’y’(y’ + y) + xz(y’ + y) = x’z’(1) + xz’(1) = x’z’ + xz 91 Falcón/Nazario/Uribe Matemáticas Discreta FIA-2010-I 7. Escribir una expresión booleana para la salida f(x,y,z) del siguiente circuito, además determinar el valor de F para todas las posibles entradas y hacer una lista en una tabla de verdad. x y z f Respuesta: f(x,y,z) = (x’ + y’).’(yz) x y z x’ y’ x’ + y’ (x’ + y’)’ yz f 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 92 Falcón/Nazario/Uribe