NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES 1.− SISTEMAS DE NUMERACIÓN

NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES
1.− SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Paso de base 10 a base 5
234 5
34 46 5
4195
41
Paso de base 5 a base 10
144 = 4 + 4 · 5 + 1 · 5² = 49
5
Forma polinómica de un número
n−1n
n = a + a · 10 + a · 10² + ...... + a · 10 + a · 10
012n−1n
2.− M.C.D Y M.C.M DE DOS O MÁS NÚMEROS
Máximo común divisor (m.c.d)
Máximo común divisor de dos o más números (m.c.d) es el mayor de sus divisores comunes.
m.c.d (40 y 35)
40 2 35 5
20 2 7 7 40 = 2³ · 5 35 = 5 · 7
10 2 1
5 5 m.c.d = 5
1
Mínimo común múltiplo (m.c.m)
Mínimo común divisor de dos o más números (m.c.m) es el menor de sus múltiplos comunes.
1
m.c.m (40 y 35)
m.c.m = 5 · 2³ · 7 = 280
ECUACIONES Y SISTEMAS DE PRIMER GRADO
1.− IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES
Igualdades son expresiones numéricas separadas por el signo =. Pueden ser ciertas o falsas.
3 + 5 + 9 = 10 + 7
Las igualdades que son ciertas para cualquier valor de la variable o variables se llaman identidades.
(x + 2)·(x + 3) = x² + 5x + 6 (a − b)² = a² − 2ab + b² a (b + c)= ab + ac
Las igualdades algebraicas que sólo son ciertas para uno o más valores determinados de las variables se
llaman ecuaciones.
3x + 4 = 2x + 7 sólo cierta cuando x = 3
x² − 9 = 0 sólo cierta para x = 3 y x = −3
x = 4 + y es cierta para infinitos valores de x e y
2.− CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Según el número de incógnitas
De una: 5x + 3 =18
De dos: 5x + 3y = 2x + 5
De tres: 5x − 3y + 2z + 8 =25
Según su término de mayor grado
Ecuaciones de primer grado o lineales:
3x − 2 = 7
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
2x² + 3x − 2 = 5
Ecuaciones de grado n.
x − x -¹ + ... 6x³ + 2x² − 3x + 1 = 0
Por el número de soluciones
2
Compatibles: Aquellas ecuaciones que tienen solución.
Compatibles determinadas: Aquellas que tienen un número determinado de soluciones.
3x + 2 = 8 Su solución es única, x = 2
x² − 9 = 0 Tiene dos soluciones, x = ± 3
Compatibles indeterminadas: Aquellas que tienen infinitas soluciones.
x = 4 + y Tiene infinitas soluciones.
Incompatibles: Aquellas ecuaciones que no tienen solución.
2x − 3 = 2x + 5
Por la forma de presentarse las variables
Enteras: Ninguna incógnita aparece en el denominador.
= 3x +
Fraccionarias: Alguna incógnita aparece en el denominador.
Racionales: Cuando ninguna incógnita aparece debajo del símbolo raíz.
Irracionales: Cuando aparece alguna incógnita debajo del símbolo raíz.
= 5x + 2
3.− RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
Métodos algebraicos
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
4x − y = 15
x + 2y = 6 x = 6 − 2y x = 6 − 2
4 · (6 − 2y) − y = 15
24 − 8y − y = 15 x = 4
−9y = 15 − 24
−9y = −9
y=1
MÉTODO DE IGUALACIÓN
3
4x − y = 15 x =
x + 2y = 6 x = 6 − 2y x = 6 − 2
x=4
= 6 − 2y
15 + y = 4 · (6 − 2y)
15 + y = 24 − 8y
y + 8y = 24 − 15
9y = 9
y=1
MÉTODO DE REDUCCIÓN
4x − y = 15
x + 2y = 6 y = y = 1
4x − y = 15 ( se multiplica por 2); 8x − 2y = 30
8x − 2y = 30
+ x + 2y = 6
9x = 36
9x = 36
x=
x=4
Métodos gráficos
4x −y = 5 y = 4x − 5
2y + x = 8 y =
y = 4x − 5 y =
X
Y
X
Y
−2 0
5
4
−2 −1
− 13 − 9
2
3
4
2
0
−5
1
−1
6
1
2
3
4
7
6
5
4
3
2
1
−4−3−2−112345678
−2
−3
−4
−5
−6
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
SISTEMA INCOMPATIBLE
ECUACIONES Y SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO
1.− ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ecuaciones de la forma ax² = 0; con a " 0
X=±0
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0; con a y c " 0
ax² + c = 0; ax² = −c ; x² = x =
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0; a y b " 0
Tiene dos soluciones
Resolución de la ecuación completa
− b ± b² − 4ac
5
X=
2a
2.− INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
x−y<1
10x + 5y
3.− SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Sistemas formados por una inecuación y una ecuación de primer grado
x−y<1
x+y=5
Región que cumple
x −y <1
Sistemas formados por una inecuación y una ecuación de segundo grado
x−y<1
x² + y = 5
Sistema formado por dos inecuaciones
x−y<1
x+y>2
NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES
1.− OPERACIONES CON RADICALES
Suma
Producto
·=³·²=
Cociente
Potencia
() = ()
()
6
Radicación
2.− EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL
PROGRESIONES. MATEMÁTICA FINANCIERA
1.− PROGRESIONES ARITMÉTICAS. TÉRMINO GENERAL
a
2.− SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
S=
3.− PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. TÉRMINO GENERAL
a= a· r
4.− SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
S=
S = = , con r1
S = , con r < 1
5.− PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
P=
6.− INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Interés simple
I = C· r · t
C = C· (1 + r + t)
Interés compuesto
C = C·
7.− ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
C=
10.− ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
C=C
FUNCIONES
7
1.− LA FUNCIÓN LINEAL Y LA FUNCIÓN AFÍN
La función lineal
Cantidad
0.5 1
2
3
4
5
(Kg) = x
Coste
(Ptas.) = 65 130 260 390 520 650
y
y = 130x
y = mx
La función afín
Distancia
recorrida Km 0
=x
Cantidad a
pagar (Ptas.) 3000
=x
100
200
300
400
4200
5400
6600
7800
y = 12x + 3000
y = mx + b
Rectas paralelas
Cuando dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente.
y = 2x − 3 (1,5)
y = 2x + b (1,5)5 = 2 · 1 + by = 2x + 3
5=2+b
5−2=b
b=3
y = 2x + 3
y = 2x − 3
2.− LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La función y = x²
X
Y
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
8
Vértice de la parábola
ax² + bx + c = 0
x=
3.− SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
4x + 2y 2x + y
2x + 2y x + y
FUNCIONES POLINÓMICAS
1.− SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
P(x) = 4x³ + 5x² − 6 Q(x) = 7x² −3x + 5
P(x) = 4x³ + 5x² − 6 P(x) = 4x³ + 5x² − 6
+ Q(x) = 7x² − 3x + 5 − Q(x) = −7x² + 3x − 5
P(x) + Q(x) = 4x³ + 12x² − 3x −1 P(x) − Q(x) = 4x³ − 2x² + 3x − 11
2.− PRODUCTO DE POLINOMIOS
P(x) = −2x³ + 7x − 5 Q(x) = x² + 3
−2x³ + + 7x − 5
X x² + 3
− 6x³ + 21x − 15
− 2x + 7x³ − 5x²
− 2x + x³ − 5x² + 21x − 15
P(x) · Q(x) = −2x + x³ − 5x² + 21x − 15
3.− COCIENTE DE POLINOMIOS
P(x) Q(x) P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)
R(x) C(x)
Regla de Ruffini
P(x) = 4x³ − 6x² + 5x − 11 / x − 2
4 −6 5 −11 4x³ − 6x² + 5x − 11 x − 2
9
2 8 4 18
− 4x³ + 8x² 4x² + 2x + 9
4297
2x² + 5
− 2x² + 4x
9x − 11
− 9x + 18
C(x) = 4x² + 2x + 9 7
R(x) = 7
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1.− APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Interés compuesto
C=C
Interés continuo
C = C· e
Crecimiento de poblaciones
P = P· e
Curvas de decrecimiento exponencial
R = cantidad inicial
R = R· e donde R = cantidad final
K = constante asociada al elemento
2.− ECUACIONES Y SISTEMAS EXPONENCIALES
Ecuaciones exponenciales
2
2x − 3 = 3x + 3 x = −6
3
10
, llamamos 3= t
; t + 9t − 3t = 189 t = 27
Si t = 27, 3
Para resolver 2 · 3hacemos = t
2t − t² + 3 = 0
t=
Si t = 3, 3 y si t = −1, 3que no tiene solución.
Sistemas exponenciales
x−y=2x=2+yx=2+y
222
2de donde y = 1, x = 3
2 2 x + 2y = 5
2 2 3x − 5y = 4
x=3ey=1
3.− PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
El logaritmo de 1 en cualquier base vale 0.
log1 = 0; a= 1; a, luego log1 = 0
El logaritmo de la base, para toda base, es 1.
loga = y; a= a , luego loga = 1
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
log
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
log
El logaritmo en base a de un número x se puede obtener a partir de los logaritmos en base b de x y de a.
11
log
4.− SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Una ecuación polinómica y otra logarítmica
x + y = 22
log x − log y = 1
x + y = 22 x + y = 22 x + y = 22
log x − log y = log 10 log = log 10 =10
x = 20, y = 2
Dos ecuaciones logarítmicas
logx + 3 logy =5
2 logx − logy = 3 se multiplica por 3
logx + 3 logy = 5
6 logx − 3 logy = 9
7 logx = 14, logx = 2 x = 2² = 4, y = 2
Una ecuación logarítmica y otra exponencial
log (x + 7) + log (y − 1) = log 40
e
log = log 40 (x + 7)(y − 1) = 40
e= e x + y = 8
x = 3, y = 5
FUNCIONES Y GRÁFICAS
1.− DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Al conjunto de valores de x para los cuales existe la función se llama dominio.
2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
Los puntos de corte de la función y = "(x) con el eje OX (y = 0) satisfacen la condición: "(x) = 0.
Los puntos de corte de la función y = "(x) con el eje OY (x = 0) satisfacen la condición: "(x) = 0.
12
3. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Asíntotas horizontales
Las funciones racionales de la forma y = tienden a cuando x tiende a . La recta y = es
una asíntota horizontal.
Asíntotas verticales
En las funciones racionales de la forma y = , el valor de x que anula el denominador y no anula el
Numerador, determina una asuntota vertical en la ecuación x = −.
ESTADÍSTICA: TABLAS, GRÁFICOS Y PARÁMETROS
1.− FRECUENCIAS Y TABLAS
El número que expresa el número de veces que aparece cada valor de la variable es la frecuencia absoluta.
Se expresa por .
Dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de observaciones, n, obtenemos las frecuencias
relativas h: h
La frecuencia absoluta acumulada F es la suma de la frecuencia aboluta de cada valor con las frecuencias
absolutas anteriores.
La frecuencia relativa acumulada Hes la de suma de cada frecuencia relativa con las anteriores.
2.− MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media aritmética (X)
La media aritmética de una serie de valores se obtiene sumándolos y dividiendo la suma por el número de
valores.
x=
Mediana (Me)
Mediana o valor central de un conjunto ordenado de valores de una variable es un valor, tal que la mitad de
los valores son iguales o inferiores a él, y la otra mitad iguales o superiores. Se representa por Me.
3.− MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rafael: 5, 7, 7, 7, 9
13
Alicia: 2, 6, 8, 10, 9
Desviación media (DM)
La media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media se llama desviación
media. DM
En Rafael:
DM =
En Alicia:
DM =
Varianza (V)
El cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones y el número de datos se llama varianza. (V)
En Rafael:
V=
En Alicia:
V=
Desviación típica ()
Desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
En Rafael:
= = 1'26
En Alicia:
= = 2'83
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
1.− RECTA DE REGRESIÓN
Covarianza ()
Recta de ajuste o recta de regresión
2.− COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
r=
14
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1.− PROBABILIDAD
nº de casos favorables al suceso
Probabilidad =
nº de casos posibles
2.− PROBABILIDAD CONDICIONADA
P(B/A) = con P(A) > 0
3.− DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
4.− FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Variable aleatoria discreta
P(a < X " b) = F(b) − F(a)
Variable aleatoria continua
P(a < X " b) = F(b) − F(a)
5.− ESPERANZA MATEMÁTICA
E(X) = p + p + ... + p
6.− VARIANZA
V(X) =
15