Solución: Hagamos la siguiente tabla: F%i 4 14 4 14

Primera Parcial
Lapso 2 010-1
764 – 1/4
Universidad Nacional Abierta
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I (764)
Vicerrectorado Académico
Cód Carrera: 106 - 120 - 508
Área De Matemática
Fecha: 13 – 03 – 2010
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1, 2 , 3 y 4.
OBJ 1 PTA 1
Una persona que opera una pequeña estación telefónica observó que el tiempo entre una llamada y otra, que se
recibe por día, podía considerarla como una variable aleatoria. Decidió efectuar observaciones y con los
resultados obtuvo el siguiente cuadro de frecuencias:
Tiempo entre llamadas
(en minutos)
1
2
3
4
5
6
7
8
Frecuencias
4
2
1
2
2
1
1
1
Si consideramos el tiempo entre llamadas como una variable aleatoria.
~
Determine la función de distribución empírica F y elabore su gráfica.
Criterio de dominio: Para el logro de este objetivo debe responder correctamente ambas partes.
Solución: Hagamos la siguiente tabla:
Tiempo entre llamadas (en
minutos)
xi
Frecuencias
fi
1
4
2
2
3
1
4
2
5
2
6
1
7
1
8
1
Total
14
Frecuencias
Relativas
P(xi)
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
4
14
2
14
1
14
2
14
2
14
1
14
1
14
1
14
Distribución Empírica
%i
F
4
14
6
14
7
14
9
14
11
14
12
14
13
14
1
1
Validado por: Richard Rico y Frankie Gutiérrez
Área de Matemática
Primera Parcial
Lapso 2 010-1
764 – 2/4
~
Entonces la función de distribución empírica F es:
⎧0
⎪4
⎪
⎪14
⎪6
⎪
⎪14
⎪7
⎪
⎪14
% = ⎨⎪ 9
F(x)
⎪14
⎪ 11
⎪14
⎪
⎪12
⎪14
⎪
⎪13
⎪14
⎪⎪ 1
⎩
x ≤1
, si
, si 1 < x ≤ 2
, si 2 < x ≤ 3
, si 3 < x ≤ 4
, si 4 < x ≤ 5
, si 5 < x ≤ 6
, si 6 < x ≤ 7
, si 7 < x ≤ 8
x >8
, si
~
La gráfica de F es:
1 F%
0
1
2
3
4
5
6
7
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
8
x
Validado por: Richard Rico y Frankie Gutiérrez
Área de Matemática
Primera Parcial
Lapso 2 010-1
764 – 3/4
OBJ 2 PTA 2
Una caja contiene tres bolas: una roja (R), una azul (A) y una blanca (B). Considere el experimento de extraer
una bola de la caja, devolverla a la caja y extraer una segunda bola.
a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
b) ¿Cuál es el suceso de que la primera bola extraída sea amarilla?
c) ¿Cuál es el suceso que la misma bola sea extraída dos veces?
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente 2 de las 3 partes.
Solución:
a) Comenzaremos por mencionar que el espacio muestral Ω está conformado por pares ordenados, donde para
la primera componente existen tres posibilidades y lo mismo ocurre para la segunda componente, en virtud
de que luego de extraer la primera bola, la misma es devuelta a la caja. Por lo antes dicho, tenemos que el
espacio muestral es el conjunto:
Ω = {(B, B), (B, A), (B, R), (A, A), (A, B), (A, R), (R, R), (R, B), (R, A)}
b) El suceso: “la primera bola extraída es amarilla” al que se refiere el inciso b) es el siguiente:
X = {(A, A), (A, B), (A, R)}
c) Por último, el suceso: “la misma bola es extraída dos veces” es:
Y = {(B, B), (A, A), (R, R)}
OBJ 3 PTA 3
Consideremos el conjunto A = {a, b, c, d, e, f}, formadas con las letras de este conjunto:
a) ¿Cuántas palabras de longitud 4 con repetición se pueden forma?
b) ¿Cuántas palabras de longitud 3 se pueden formar, tal que la f esté siempre en el primer lugar?
c) ¿Cuántas palabras de longitud 5 sin repetición se pueden formar de tal manera que la b está siempre en el
primer lugar?
Palabra: Sucesión de letras con o sin sentido.
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente 2 de las 3 partes.
Solución:
a) Estamos interesados en formar 4 - uplas, es decir, palabras con 4 letras donde se permite la repetición. Por lo
tanto, en virtud de lo antes dicho, tenemos que para la primera posición de la palabra existen 6 posibilidades,
para la segunda también existen 6 posibilidades, lo mismo ocurre tanto para la tercera como para la cuarta
posiciones, luego por el principio de multiplicación tenemos que el total de palabras pedidas que cumplen
con la condición dada es:
6x6x6x6 = 64 = 1 296
b) Puesto que en el enunciado no se especifica si las palabras que se desea formar son con o sin repetición,
debemos analizar ambos casos:
Caso 1: (con reposición)
Como se permite la repetición de letras, caemos en el apartado a), salvo por el hecho de que la f siempre
debe ocupar la primera posición, con lo que resulta que existen 6 posibilidades para la segunda y la tercera
letra, con lo que tenemos que bajo la condición pedida existen un total de:
1x6x6 = 62 = 36
palabras.
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico y Frankie Gutiérrez
Área de Matemática
Primera Parcial
Lapso 2 010-1
764 – 4/4
Caso 2: (sin reposición)
Como queremos formar palabras de longitud 3, y la f debe estar siempre en el primer lugar, observamos
entonces que como no se permite repetir letras, tenemos 5 posibilidades para el segundo lugar y 4 para el
tercero.
Por lo tanto, el resultado es:
1x5x4 = 20
palabras.
c) Por analogía con el caso 2b), tenemos que el número total de palabras que cumplen con la condición exigida
es:
1x5x4x3x2 = 120
OBJ 4 PTA 4
Un sombrero contiene 20 pedazos de papel de color blanco numerados del 1 al 20; 10 de color rojo numerados
del 1 al 10; 40 de color amarillo numerados del 1 al 40 y 10 de color azul numerados del 1 al 10. Si se revuelven
vigorosamente estos 80 pedazos de papel de manera que cada uno tenga la misma probabilidad de ser extraído,
determine las probabilidades de tomar un pedazo que sea:
a) azul o blanco;
b) numerado 1, 2, 3, 4 o 5.
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta.
Solución:
El espacio muestral consta de los 80 pedazos de papel distribuidos en cuatro colores, por lo tanto:
#Ω = 80
Como cada pedazo de papel tiene la misma probabilidad de ser extraído, tenemos que la probabilidad del evento
E = {se extrae un pedazo de papel} es:
P(E) =
#E
1
=
#Ω
80
a) Consideremos los eventos: A = {El pedazo de papel es azul} y
B = {El pedazo de papel es blanco} ,
con #A = 10 y #B = 20.
Por lo tanto, puesto que los eventos A y B son disjuntos la probabilidad pedida es:
P(A) + P(B) =
#A
#Ω
+
#B
10
=
#Ω
80
+
20
30
3
=
=
20
80
8
b) Consideremos los eventos: Ai = {El pedazo de papel tiene el número i; i = 1, 2, 3, 4 o 5}, con Ai = 4 para
todo i = 1, 2, 3, 4, 5.
Así:
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5) =
4
4
4
4
4
20 2 1
+
+
+
+
=
=
=
80 80 80 80 80 80 8 4
FIN DEL MODELO
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico y Frankie Gutiérrez
Área de Matemática