1. Función Compuesta 1.1. Composición de funciones Sean A, B, C y D conjuntos no vacíos tales que B C ; sean F y G dos funciones tales que F: A→B y G: C→ D. Entonces la composición entre F y G se denota G F y da como resultado una función H tal que: para cada X E A , H(X) = (G F)( X) = G(F( X)) D. f A B E C g D K X F(X) G(F(X)) H La notación G F se lee “G compuesta con F”. En la figura puede observarse que el dominio de H es el conjunto E A, donde para todo X E, F(X) B C ; y el rango de H es el conjunto K D , donde para todo F(X) B C , G(F(X)) K Para que sea posible hallar G F, se debe cumplir lo siguiente: la dimensión del rango de F debe ser igual a la dimensión del dominio de G. la intersección entre el rango de F y el dominio de G no debe ser el conjunto vacío; para que G F tenga imagen en el conjunto de llegada (rango de G). La composición de funciones no cumple con la propiedad conmutativa. No obstante, si cumple con la propiedad asociativa: (H (G F)) (X) = H(G F(X)) = H(G(F(X))) ((H G) F))(X) = (H G)( F(X)) = H(G(F(X))), y (H (G F)) (X) = ((H G) F))(X) = (H G F)(X). 1.2. Continuidad de una función compuesta Sea F: A→B una función continua en X0 A , y sea G : C→D tal que B C una función continua en F(X0) B C . Sea H = G F. F A G B D C E G(F(X0)) F(X0) X0 H Como F es continua en X0 entonces lim F(X) F(X 0 ) , X X0 >0 existe un lo que indica que dado un > 0 tal que: F( X ) F( X 0 ) cuando X X0 . Así mismo, Como G es continua en F(X0) entonces: lim F ( X ) F ( X 0 ) G(F(X)) G( F(X 0 )) , lo que indica que dado un > 0 existe un > 0 tal que : G( F( X )) G( F( X 0 )) cuando F( X ) F( X 0 ) . De donde G( F( X )) G( F( X 0 )) cuando X X 0 , lo que es equivalente a decir que lim G(F(X)) G( F(X 0 )) X X0 y permite afirmar que la función H = G F es continua en X0. De la composición de dos funciones continuas en X0, resulta otra función que también es continua en X0. 1.3. Diferencial de la función compuesta. Regla de la cadena Casos de estudio gf gf gf gf , , , , con con con con f f f f :→ : → p : n → p : n → p y y y y g: g: g: g: → : p → : p → : p → m: A) Caso g f , con f : → y g: → : Sean f y g dos funciones reales de una variable; tales que f es diferenciable en un elemento x0 de su dominio y g es diferenciable en el elemento f(x0) que pertenece al dominio de g. La derivada en x0 de la función g f se calcula a través de: g f ' (x0 ) Haciendo g lim t 0 u = f(x0) y f (x0 t) g f (x0 ) lim g f(x0 t) g f(x0 ) t 0 t t v = f(x0 t) f(x0 ) , o lo que es equivalente, f(x0 t) v f(x0 ) v u queda: g f ´ (x0 ) lim g v u g u t 0 t que puede rescribirse así: g f ´ (x0 ) = lim g v u g u v lim g v u g u v t 0 t 0 t v v t lim g v u g u f(x0 t) f(x0 ) t 0 v t Tomando en cuenta que cuando t 0, v 0, y que u = f(x0) : g f ´ (x0 ) lim g f ( x0 ) v g f ( x0 ) lim f(x0 t) f(x0 ) , de donde : v 0 t 0 v t g f ´ (x0 ) g ´( f ( x0 )) f ´( x0 ) El resultado obtenido recibe el nombre de “regla de la cadena” y permite determinar la derivada en x0 de la función compuesta g f. Este resultado es de uso frecuente en situaciones como la que se muestra a continuación: Si g(x) = xn, entonces g´(x) = n xn-1; luego si (g f)(x) = g(f(x)) = ( f(x))n, entonces: (g f)´(x) = (( f(x)) n)´ = n (f(x)) n-1 f´(x). B) Caso g F , con F : → p y g: p → : En principio, para facilitar la comprensión en éste caso, se toma F : → 2 y g: 2 → . Considere que f ( t ) x F( t ) 1 f 2 ( t ) y es una función diferenciable en el elemento t0 de su dominio, y g(x,y) = z es una función diferenciable en el elemento F(t0 ). x0 f 1 ( t 0 ) F( t 0 ) y0 f 2 ( t 0 ) Dado que F : → 2 y que g: 2 → , y que la intersección del rango de F con el dominio de g no es vacía ( ya que F(t0) pertenece al dominio de g ), entonces: z = z(t) = g(f1(t),f2(t)) = (g F)(t) . donde g F : → . F g x y t z gF Como g es diferenciable en (x0,y0), puede afirmarse, sobre la base de la definición del diferencial total de una función, que: z= z z x y x ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 1 , resulta: t Sea t = t – t0 0 . Multiplicando la igualdad anterior por z z x z y = t x ( x , y ) t y ( x , y ) t 0 0 0 0 En virtud que cuando t t0, (x, y) (x0,y0) y t 0, entonces: z y z x z = lim t 0 t t 0 x t y ( x0 , y0 ) t ( x0 , y 0 ) lim y dado que: z dz t 0 t dt z´(t 0 ) , lim t0 x dx t 0 t dt x´(t 0 ) lim y dy t 0 t dt y´(t 0 ) , y lim t0 t0 Sustituyendo queda: z dx z dy dz = dt t0 x ( x 0 , y 0 ) dt t 0 y ( x 0 , y 0 ) dt t 0 o en forma equivalente: z´(t0) = zx(x0,y0)x´(t0) + zy(x0,y0)y´(t0). Si lo anterior se hace para t y (x, y) cualquiera de los dominios de F x respectivamente, con F( t ) , se obtiene que: y dz = dt z dx x dt z dy y dt z´ = zx x´+ zy y´. Por otra parte, dado que: z(t) = (g F)(t) ; z = g(x,y) ; x = f1(t), y = f2(t), y que (x0,y0) = (f1(t0), f2(t0)) = F(t0) y g y en virtud que : z´(t0) = zx(x0,y0)x´(t0) + zy(x0,y0)y´(t0) entonces : g F ´( t0 ) g f ( t ) ( F( t0 )) f1´( t0 ) g f ( t ) ( F( t0 )) f 2´( t0 ) 1 2 o también: g df1 g d( g F ) = f1 F( t ) dt t 0 f 2 dt t0 0 F( t 0 df 2 dt ) t0 que, escrito en forma de producto matricial, queda: df1 g g d( g F ) dt = dt f1 f 2 F ( t 0 ) df2 t0 dt t0 Como g es diferenciable en F(t0) y F es diferenciable en t0, entonces: df1 g g = d F ( t0 ) g ; d t0 F = dt df2 f1 f 2 F ( t0 ) dt t0 Por otro lado, en virtud que g F : → , al existir d( g F ) , puede afirmarse que dt t0 g F es diferenciable en t = t0; luego: d( g F ) = d t0 ( g F ) . dt t0 Sustituyendo, queda: d t0 ( g F ) = d F ( t0 ) g d t0 F . Observe que d t0 ( g F ) es una matriz de una fila con una columna, ya que g F : → . Todo lo anteriormente escrito es válido para F y g tales que F : → p es una función de variable t diferenciable en un elemento t0 de su dominio y g: p → es una función de variables x1,x2,x3,…,xp diferenciable en el elemento F(t0). Es decir, dadas las funciones: f1( t ) f2 ( t ) = F( t ) f ( t ) p x1 x2 x p g(x1,x2,x3,…,xp) = y f 1 ( t 0 ) x10 f 2 ( t 0 ) x 20 diferenciables en t0 y F( t 0 ) f ( t ) x p 0 p0 respectivamente, entonces, dada (g F)(t) = g( f1(t), f2(t), …, fp(t)), puede afirmarse que : d (g F) dt t g f1 F ( t0 df1 g dt t 0 f 2 ) g f 1 g f 2 F ( t0 df2 dt ) = 0 t0 g f p df p F ( t0 ) df1 dt df2 g dt f p F ( t0 ) df p dt o en forma equivalente: d t0 ( g F ) = d F ( t0 ) g d t0 F dt t 0 = t0 siendo ésta última matriz de una fila y una columna (note que resaltar que si F : → p g F : → ). Cabe y g: p → , diferenciables en respectivamente, g F es diferenciable en t0; ya que como g F t0 y F(t0) : → (la existencia de la derivada de ésta función en t0 es suficiente para afirmar que es diferenciable en t0) . También: dy dt t0 y = x1 ( x 10 ,x20 ,,x p0 dx1 y dt t0 x2 ( x ) 10 ,x20 ,,x p0 dx2 y dt t0 x p ) dxp ( x10 ,x20 ,,x p0 ) dt t0 y´( t 0 ) = yx1 ( x10 , x20 ,, xp0 )x1´( t0 ) yx2 ( x10 , x20 ,, xp0 )x2´( t0 ) yx p ( x10 , x20 ,, xp0 )xp´( t0 ) y para t y ( x1 , x2 ,, x p ) cualesquiera de los dominios de F y g respectivamente, con ( x1 , x2 ,, x p ) F( t ) , puede afirmarse que: y dx1 y dx2 y dxp dy = dt x1 dt x2 dt x p dt y´ = yx1 x1´ yx2 x2´ yx p xp´