MATEMÁTICAS EMPRESARIALES FEB 2000 1−. CONTESTAR RAZONADAMENTE

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES
FEB 2000
1−. CONTESTAR RAZONADAMENTE
• Sean u1,u2,u3 tres vectores independientes de !3. Indicar si {u1,u2−u3,u1+u2+u3} es una base de !3.
• Sean u, v, w, tres vectores de un espacio vectorial ". Sea x un vector de " tal que
x = u + v +w y x = 3u−2w. ¿Pueden ser u, v, w, independientes?
• Sea f:!3!4 una aplicación lineal.¿Es posible que img(F) sea de dimensión 2 y que el
Ker(f)={x/x1−x2+x3=0}
• Sea f:"!3 una aplicación lineal inyectiva y u y v dos vectores independientes.¿Es
Posible que f(u)=(−1,2,1) y f(w)=(3,−6,−3)?
• Sea f un endomorfismo de !4, =−2,=3,=−1 tres autovalores, con vectores propios asociados
a=(a1,a2,a3,a4) b=(b1,b2,b3,b4),c=(c1,c2,c3,c4) respectivamente?. Hallar el rango de la matriz M:
a1 a2 a3 a4
M = b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
2−. Sea M2x2 el espacio vectorial de las matrices 2x2 y H el subespacio formado por las matrices que
conmutan con la matriz A.
−1 0
A = 1 1 H ={x"M2x2/A X =X A}
• Probar que H es subespacio de M2x2 y hallar su dimensión y una base.
• Sean:
a + b −2a −a + 2b a
L = b a + b M = b a + 4b
Estudiar si L o M son suplementarios de H.
3−. Sea f un endomorfismo de !3 tal que:
f(1,0,0)=(3,2,2)
f(0,1,0)=(2,2,0)
1
6 es autovalor de f y £{=6}=£{(2,2,1)}
• Calcular la matriz de f en la base canónica.
• Calcular la dimensión y una base del Ker(f) e Img(f).
• Estudiar la posible diagonalización de f mediante una base ortonormal.
• Calcular An.
RESOLUCIÓN DEL EXAMEN:
1−.
1a) Serán base si son independientes:
2 formas de resolución:
1ª forma:
au1 + b( u1 − u3 ) + c( u1 + u2 + u3 ) = 0
(a + b + c)u1 + cu2 + ( −b + c )u3=0
a+b+c=0
c=0c=b=a=0
−b + c = 0
2ª forma:
Hallando el rango
100
1 0 −1
111
= número de independientes " 2
/M/=1"0 indep. base
1b)
u + v + w = 3u − 2w
−2u + v + 3w = 0
combinación lineal de los vectores iguales a 0 sin ser 0 los coeficientes.
Son dependientes
1c)
2
Para que sea así se tiene que cumplir esta condición:
dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3
x1=x2−x3
x1=−
x2= £{(1,1,0)(−1,0,1)}
x3=
Hallamos la dimensión:
110
dim= −1 0 1 =2
dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3
2 + 2 " 3 No es posible
1d)
Las aplicaciones inyectivas transforman vectores independientes a dependientes a veces.
No es posible porque las aplicaciones lineales inyectivas conservan la independencia lineal y a dos vectores
independientes les ha transformado en vectores dependientes.
1e)
A autovalores distintos les corresponden autovalores independientes:
Hallamos el rango de la matriz:
a1 a2 a3
= b1 b2 b3 =3
c1 c2 c3
2−.
2a)
1º Si x1, x2 "!x1,x2"
2º si x " !x
1º Hipótesis Tesis
A x1 = x1 A A (x1 + x2)=(x1 + x2) A
3
A x2 = x2 A
Demostración
A (x1 + x2)=Ax1+Ax2=(por hipótesis)x1A+x2A=(x1 + x2) A
2º Hipótesis Tesis
A x = x a A(x)=(x)A
Demostración
A(x)=Ax=(por hipótesis) xA=(x)A
Dimensión y base:
ab
x=cd
−1 0 a b a b −1 0
11cd=cd11
−a = −a + b b=0
−b = b d=a+2c
a + b = −c + d El conjunto H es el conjunto que tiene la forma a 0
b + d = d c a+2c
a01000
H= c a+2c = £ 0 1 1 2
1001
dim H== 0 0 1 2 =2
2b)
a+b −2a −a+2b a
L = b a+4b M= b a+4b
H+L=M2x2
H"L=0
1 −2 1 0 −1 1 2 0
4
L=£ 0 1 1 1 M=£ 0 1 1 4
1 0 0 0 1 −2 1 0
H+L = £ 0 1 1 2 0 1 1 1
1001
0012
dim H+L= 1 −2 0 1 =4
1011
"3
1000
0012012
//= 1 −2 0 0 = 2 0 0 " 0
1010010
dim H+L=M2x2
dim H+L + dim H"L= dim H +dim L
4+x=2+2
Si son suplementarios.
1 0 0 0 −1 1 2 0
H+M=£01120114
1001
0012
dim H+M= −1 1 0 1
2014
"3
101
//= − 0 1 2 " 0
214
5
dim H+M" M2x2 No son suplementarios
3−.
3a) 3 2 a
f:A 2 2 b
20c
f(x)=x
Ax=x 3 2 a 2 2
22b1=61
20c22
8+2a=12 a=2
6+2b=6 b=6
4+2c=12 c=4
322
A= 2 2 0 " 2 /A/=0
204
3b) dim y base del núcleo:
(A)=2
dim Img(f)= (A)=2
Base Img={(3,2,2)(2,2,0)}
dim núcleo = N−(A)=3−2=1
Img Núcleo:
322x0
220y=0
204z0
2y+2z=−3x
2y =−2x
6
x=
y=−
z= −1/2
Ker(f)=£{(1,−1,1/2)}={(2,−2,−1)}
3c)
diagonalización de f por base ortonormal.
La matriz asociada a A es simétrica. Si se puede diagonalizar mediante base ortonormal.
3− 2 2
2 2− 0 = (3−)(2−})(4−)−4(2−)−4(4−)=−+9−18=0
2 0 4−
=0
−(−9+18)=0 =−9+18=0
= 9±" 81−72
2 =6 =3
=0
=6
=3
£{=6}=£{(2,1,2)}
£{=0}=£{(2,−2,−1)}
£{=3}=£{(1,2,−2)}
Base ortogonal:{(2,1,2)(2,−2,−1)(1,2,−2)}
Base ortonormal:{(2/3,1/3,2/3)(2/3,−2/3,−1/3)(1/3,2/3,−2/3)}
600
−^− 0 0 0
003
3d)
7
An=M−^−nM−1=M−^−nMT
2/3 2/3 1/3 6n 0 0 2/3 1/3 2/3
= 1/3 −2/3 2/3 0 0 0 2/3 −2/3 −1/3
2/3 −1/3 −2/3 0 0 3n 1/3 2/3 −2/3
8