Indique en cuáles de
combinación lineal de los
6
1) b = 1 , a1 =
1
las siguientes opciones el el primer vector
restantes:
5
1
−11
5 , a2 = 3 , a3 = −13 , a4 =
1
1
−3
sı́ es una
42
56
14
40
6
2
4
2) d = 44 , e1 = 1 , e2 = 1 , e3 = 6
4
4
38
5
−1
1
1
−4
11
3) f = −4 , g1 = 4 , g2 = 4 , g3 = −16 , g4 = 44
−7
6
5
−21
62
5
2
4
15
4) 35 , 6 , 4 , 3
4
3
1
21
3
6
1
5) 4 , 4 , 2
4
6
4
Solución
El resultado fundamental 1 en Álgebra Lineal dice que:
Siendo b,a1 ,a2 ,. . . ,ak vectores en Rn : El vector b es combinación
lineal de los vectores a1 ,a2 ,. . . , ak si y sólo si es consistente el
sistema [a1 a2 · · · ak |b].
Observe que sólo requiere la consistencia, no importa si la solución es única o
infinitas. Esto sólo hace referencia si la manera de obtener b es única o existen
infinitas maneras de obtenerlo. Apliquemos el resultado a cada inciso; en cada
caso formamos la aumentada y reducimos.
1) Tenemos que
c1 c2
c3 c4
5
1 −11 42 6
3 −13 56 1
5
1
1 −3 14 1
a1 a2
a3 a4 b
c1
rref 1
−−−→
0
0
c2
0
1
0
c3
2
−1
0
c4
7 0
7 0
0 1
Como el sistema es inconsistente, concluimos que no existen escalares
c1 , c2 , c3 y c4 que cumplan
c1 · a1 + c2 · a2 + c3 · a3 + c4 · a4 = b
Ası́ b no es combinación lineal de a1 , a2 , a3 , y de a4 .
2) Tenemos que
c1
6
1
5
e1
c2 c3
2 4
1 6
4 4
e2 e3
c1
6
rref 1
1 −−−→
0
1
0
d
c2
0
1
0
c3
0 2
0 0
1 7
Como el sistema tiene solución, de hecho es única; el vector d sı́ es combinación lineal de e1 , e2 y de e3 . Se puede comprobar que
d = 2 · e1 + 0 · e2 + 7 · e3
3) Tenemos que
c1 c2
c3 c4
1
1 −4 11 −1
rref
4 −16 44 −4 −−−→
4
6
5 −21 62 −7
g1 g2
g3 g4
f
c1
1
0
0
c2
0
1
0
c3
−1
−3
0
c4
7 −2
1
4
0
0
Como el sistema es consistente, el vector f sı́ es combinación lineal de g1 ,
g2 , g3 y de g4 . De hecho, si hacemos las variables libres cero (c3 = 0,
c4 = 0) podemos verificar
f = −2 · g1 + 1 · g2 + 0 · e3 + 0 · e4
0
![1 Considere una matriz n × 3 descrita en columnas A = [c, d, a] para](http://s2.studylib.es/store/data/007384371_1-ed8eedfce97cb2d3533515e767897869-300x300.png)
![1 Si v = [ 36 -12 ] , w = [ 9 -3 ] , y S = 1wl. Indique cuáles opciones](http://s2.studylib.es/store/data/004950498_1-7f0b4c506a631255d680bd90dfa0a3e5-300x300.png)
