verdad aceptada universalmente

Boletin de Matematicas
Vol. VI, No.5,
pp. 33-45
LAS
NOC/ONES
ALON
s.
, IV
SO T AKAH AS HI
GIUSSEPPE
(La
MATEMATICAS
PEANO
Axiomatica)
EI rigor tanto en Geometrfa como en Aritmetica y en Analisis empezo a manifestarse a fines del siglo pasado dando origen al moderno rnetodo axiomatico, pudiendo afirmarse
que, durante la dec ada de 1880 a 1890 tuvo lugar la evoluc ion de
del concepto de
axioma'
desde su sentido original de
verdad aceptada universalmente
principio auto evidente y
hasta su interpretacion moderna como afirma-
cion que se acepta como cierta con el fin de analizar sus consecuencias loqic as,
Sirnultanearnente
se reafirmo la independencia entre las teorias matematicas y
cualquier tipo de interpretacion de los objetos y de las afirmaciones de la misma en alguna "realidad
abstracto de las "cosas"
pletamente explicita
concreta",
haciendose entonces enfas is en el c aracter
que maneja la matematic a • Esta intenc ion es com -
en M. Pasch ("er padre del rigor en Geometria"l
: \\ De
33
hecho, si se quiere que la Geometrfa sea verdaderamentedeductiva,
inferencia
debe ser enteramente independiente
geometricos,
del
tanto como debe ser independiente
pir itu se refleja en las siguientes
significado
el proceso de
de los terminos
de las figuras".
palabras de G. Fano;
EI
"como
mismo es-
base de nuestro
estudio
asumimos una colecc ion arbitraria
tes que,
por brevedad, Ilamamos puntos; y esto de modo por demas independien-
te de su naturaleza ",
te el realizado
do como meta la
simultane amente con la Matematica
al de la 16gica formal.
que su interes era primordialmente
un calculo
Es conveniente
logico tenien-
mencionar que el objetivo
el de fund amentacion
metodologico:
prin-
de la Matematica sino
la axiomatic a se presentaba
herramienta optima para estudiar las teorias matematicas,
tido la corriente
do
quienes se empe-
formulaci6n de las teorias matematic as en un lenguaje slmbdlico
cipal de Peano no era especialmente
como la
er.-
arbitraria;
Pero el trabajo mas celebre en este campo es seguramen-
par G. Peano 0858-1932) y sus colaboradores
fiaron endesarrollar
semejante
de entes de naturaleza
por el impulsada puede distinguirse
sensiblemente
En este sendel asi llama-
Formalismo.
La axtomctt zaci Sn de los numeros naturales.
obra de Peano es especialmente
conocido
su desarrollo
tica (891). No se trata en este caso de explicar
en otros terminos,
Entre la copiosa e importante
fa
axiomatico
naturaleza
no se intenta responder a preguntas como ~
de la aritme-
de los nurneros
0,
que es un t1umero
natural ?, sino que, tomando este concepto como idea primitiva (sin definicion)
se trata de formular un sistema,
tericen la clase de lo snumeros
10 mas "simple"
naturales
posibte,
axiomas que carac-
y que permita deducir (por medio de las
reglas loqic as de inferenci a) todas las propiedades
demostrar todos los teoremas de la aritmetica;
34
de
de dichos numeros, es dec ir,
en este sentido se dice que el sis-
tema
de axiomas debe ser
bilidad
teorlc a de decidir
meros naturales,
completo • Relaci
la verdad 0 falsedad
una "suceston"
de objetos
obtenidos
de un proceso reiterado
se presenta
a partir
que consiste
esta la pos i-
de cada afirrnacion
cue stlon esta que seria posteriormente
La c1ase de los numerus naturales
medio
onada con I a completez
referente
a nu-
diluc idada por Gcde! •
a nuestra
de un objeto
intuic ion como
inicial
0 (cere)
en pasar de cada ebjeto
por
al \\ si _
qulente " :
0
-e
1 ....2 ...3 .....
Es esta nocion intuitiva
rrespondierite.
Se comienza
a)
un conjunto
b)
un obieto
a
IJV
la que debe "pl
entonces
cuyos elementos
particular
' .• :
por suponer
se lIaman
al cual se Ie llama
debe ser un numero natural,
Esta condicicn
acosturnbra
escribirse,
en la axlomat izaclon
la existencia
cero
y se denota
co-
de :
numeros l1.aturales
y esto se establece
0 es un elememo de
Primer Axioma.
asmase"
O.
y
Es claro que
en seguida.
IJV.
usando el simbolismo
inventado
por
el mismo Peano, en la forma
o E IJV
La restriccion
ciente
para describir
impuesta
el sistema
qui era y to designamos
co elemento
mientras
es
a,
por esta unica condic icn es a todas
0
mientras
entonees
que claramente
deseado, en efecto,
101
que Ilamamos
las condiciones
si tornamos un objeto
IJV
al conjunto
hasta aqui exigidas
no es el sistema
luces insufi-
deseado.
cual-
cuyo uni-
se cumplen
Es necesario
enton-
ces introducir
otras restricciones
forma cada vez mas precisa
Segundo
(en forma de axlomas)
el concepto
Para cada elemento
Axioma.
que desearnos
n
de
de N, el cual se llamara el .. siguiente
IN
Pe ro, aun aho ra, tomando
cierto
0
objeto
y cooviniendo
1) se verificarian
0
plasma.
"sucesor"
ig ual al conjun
que el siguiente
en
ex is te un unico elem ento
IN
>.
que vayan delineando
to
de
de
es el mismo
a
un
(v, fig.
todas las condiciones.
o
Figura
Estamos
el "primer"
elemento
axioma
Tercer
aqui en presencia
elemento
de
de la secuencia
a saber, el mismo
IN,
Para todo
Axioma.
si tomanos,
de
n
entre si) y los ordenamos,
o
->
1I 2\ .
->
4~3
IN,
digamos,
cion
36
puesto
o.
en que
que es el "siguiente"
Esta situacicn
a
no es
de un cl erto
se remedia
con el
siguiente
Sin embargo,
rentes
1
de una anomal ia que consiste
n+ j:
o.
seis objetos
por ejemplo,
0,1,2, 3, 4 Y 5
en la forma ilustrada
+
n,
cuyo uni co el eme nto es
a
n
(dife-
a continua-
se obtiene
un sistema
axiomas
enun ciados.
cuencia
forme
"etc
tes (como
el
1 yel
plo
4+=
]+=:
Cuarto
Cevidentemente
debe prohibirse
4
que verifica
los
que, como en el caso arriba Ilus trado, nues tra se-
Para evitar
los"
no como el que deseamos)
explicitamente
en ejemplo anterior),
que dos elementos
diferen-
tenqan el mismo sucesor (en el ejem-
2):
para todo par
Axioma.
m,n
de elementos
de
IJV,
m.
51
I-
n
entonces
m +.1- n +.
clare
Es
bastante
0
les
qu e una secu enci a que sati sfaga todos estos axi omas se parece
a 10 que nosotros
-e ]
-e
2
->
das, en efecto,
"separados"
podria
• ••
Pero aun
•
es posible
de
10
al siguiente.
X
el mismo
(diferente
al canzarse
ceso
IN
que se encuentren
principal;
a partir de
en otros terminos,
0
pasando reitera-
IN es-
0,],
2, 3, • .•
de cada uno de los anteriores)
y ade -
cuyo siguiente
es
X:
Salta a la vista
0
de
indesea-
Este ser ia et caso sit por ejemp lo,
0->]->2->3-.
de
de los numeros natura-
la puerta a situaciones
(Inf tnlta) de objetos
formado por una secuencia
mas per un objeto
queda abierta
lIamar la secuencia
que no pudieran
damente de un elemento
debe ser el sistema
que haya m iembros (0 partes)
que podriamos
haber terminos
tuviese
entendemos
la necesidad
y torn anos su siguientey
ad infinitum,
entonces
••.
de una
cmdic
lon que garantice
lueqo el siguiente
pasano s por
todos
de este
y
que si partimos
lIevamos
,
los elementos de IN.
este pro-
EI
enun-
37
ciado formal de esta condlcion es el celebre Principio de InduccicSnCompleta:
(Principio de lnduccion).
Quinto Axioma,
Si
A
es
un conjunto tal que
1) 0 E A
2)
Para todo
ri
de A
tonces todo el conjunto
En particular, si
2), entonces
A
A
se
IN
tiene c.ue
siempre ~ue
n+ E A
esta contenido en
n E A,
en-
A.
es un conjunto de numeros naturales y satisface 1) y
es igual a
IN.
Podria quizas arqumentarse que estes axiomas no determinan completamente
al sistema de los rnimeros naturales
7 .... 9 .... 11
donde
n +2,
7 es ~I "ce
pues, p,or ejermlo, el sistema
13 .......
-e
ro: y el "siguiente"
cumple todas las condiciones.
de cada elemernto
ri
Sinemharqo, si lIamamos
del sistema es
0' a 7, l ' a 9,
2' a 11, etc., £:1 sistema puede escribirse en la forma
0' ....l'
el cual es "esencialm
....2' ....3' ......
'.
ente" el mismo sistema de los rnimeros naturales.
mente se dice que dichos sistemas son
isomorfos
bres dados a los objetos que los cm stituyen.
En realidad se dife -
entre si.
rencian unicamente en los signos usados para describirlos,
vale decir, en los nom-
Podria pensarse que todos estos sis-
temas isomorfos son representae iones de alguna entidad
ros natural es) ex istente en alqun mundo abstracto.
rei sistema de los nume-
Vale la pena anotar que el "re-
presentante " original mente ernpleado por Peano fue 1, 2, 3,.
38
Tecnica-
. .
en lugar de
0, 1,2,3,
. , .
El Metodo
Dentro de su programa de escribir
Axiomatico.
forma puramente simbdlica
formulas,
dando reql as logicas estrictas
Peano introdujo un simbolismo
gada a ser universalmmte
de "contiene")
aceptado.
fue usadopor
la matematica en
para el manejo de las
muy adecuado y sugestivo
,EI signa
C
(deformacion
el cual ha lie·
de la letra inicial
Peano en formulas tales como
AcB
para indicar que el conjunto
sentido ha sido invertido
ta contenido
de
B.
al conjunto
.en B, es decir, que todo elemernto de
pues si
jor, no mayor) que
A
de conjuntos
B.
cB
A
entonces, en cierto sentido,
Aes
Peano los hoy usuales signos de
union
ademas del s iqno de pertenencia
C
dicho
A es-
elemento
y el signa arit-
"memr"
(0 me-
Formulario,
obra en cinco vohimenes publicados
y se echan las bases del formalismo
U e
interseccion
E •
aqui donde por primera vez se usa en forma sistematica
axiomatica
es tambien un
cierta con cordan ci a entre el signo
Los esfuerzos de Peano y de varies de sus discipulos
el celebre
En la actualidad
B.
Tambien introdujo
n
contiene
ermle andcse la formula anterior para indicar que
Este uso establece
<
metico
A
fueron
registrados
en
entre 1894 y 1908. Es
y rigurosa la asi Ilamada
que seria luego desarrolJado
por
Hilbert.
Por esta misma epoca el f ilosofo y matematico
table obra de Peano con las siguientes
palabras :
B. Russell
camentaba la no-
En la actualidad el gran maes~
39
tro del arte del razonamiento formal es un italiano, el profesor Peano de la Ilnuersidad de Turin
0
•
0,
bien el mitodo por il creadoes susceptible
lSi
de ser llevado
mas alia de 10 (jue iJ 10 ha llevado, te c orres ponde el honor de habersido el pnmeroo
Cabe anotar que, en cuanto a reclamar credito por su obra, Peano fue siempre
muy honesto y, en alqunos casas excesivamente modesto, cosa que no puede afirmarse, por ej emplo, acerca de Hi Ibert. Anotemos tam bien que la obra de hombres
como Pash, Dedekind y Frege fue de gran importancia en el desarrollo de estas
nuevas concepcknes
matematicas aunque en general Peano obtuvo sus resultados
en forma mdeperdiente.
La
Axiomatica
Mitodo Axiomatico General
0
introducido por Peano y peste-
riormente adoptado en todo el ambito de la Matematica
r
desarrollar una teoria
sentan los "objetos"
tes entre ellos.
y relac iones:
contermoranea, consiste en
terminos
pati endo de ciertos
a los cuales se refiere la teoria
no definidos y que repre-
y las "relaciones"
existen-
Lueqo se enumeran ciertas afirmaciones acerca de dichos objetos.
son los
para formul ar una
axiomas
teoria
de la tecria
er
pone de presente que
0
no
Esta elecci6n de elementos
es la
naturaleza
de los entes
matematiccs 10 que interesa sino, en cambia, sus propiedades y las de las relaciones entre ellos existentes.
los axiomas
Tambien es claro que en este concepto de
teoria de
no estan sujetos a coodiciones como la de ser "autoevidentes"
"universarm ente aceptados",
0
Es a este concepto de teoria matematica que Russell
hace referencia al afirmar que "Ia Matematica puede definirse como la ciencia
que nunca sabemos de que hablamos, ni si 10 que dec irnos es verdad ",
En una geometria, por ejemplo, pueden tomarse las expresiones «punta),
-recta , y «estar entre) como terrnino s primitivos,
40
ser
enunciando lueqo los axiomas
en
que expresan
sus "pr opiedades " •
1.
Toda recta es una coleccion de puntos.
2.
Para cada par de puntos (distintos)
ne
etc. ( donde, naturalmente,
Teoria
nes de la
se suponert previamente
los terrninos
desde el punto de vista
primitivos
y los axlomas.el
16gico, en derivar,
glas aceptadas
de inferencia,
ci 6n constituye
una
demos tracion
en d icha teori a.
ben usarse nociones
0 prepiedades
que
(en los axiomas
abuso de la intuiCi6n
ajenos
ayuda a evitar
a la situaci6n
analoqia,
mas introducidos se ha descrito,
: el sistema
Mucho antes de
do que en el proceso
por cuanto al errplear
aceptaci6n
ta de
otros
de la
de acuerdo con las re -
de los axiom as.
Una tal deriva-
En las demostrac iones no de ...
6 demostradas.
lasfrecuentes
introducidas
Como recurso
falacias
metodo ...
motivadas
en las demostraciones,
por el
nociones
y re ...
cons iderada , abusando muchas veces de razonamienPor otra parte,
se 11eg~ a una contracjicci6n,
terrninos
las noc io-
desarrollo
no hayan sido adecuadamente
que impele a introducir
tos bas ados en la sola
reglas
las consecuencias
0 por medio de def inic iones)
16gico, este procedimiento
laciones
introducidas
de Conjuntos).
Una vezintroducidos
teor ia consiste,
hay una recta, y una sola, que los contie-
si observando
debemos concluir
por as! decir,
rigurosamente
las
que por medio de los axio-
una situaci6n
irrealizable.
En otros
de axiomas es, en si mismo, contradictorio.
ra
introducci6n
deductivo
de una teoria
signos desprovistos
de hechos "evidentes"
hechos los cuales
,Hi ca
sistem
el lenguaje
de interpretati6n
cuya evidencia
posiblemente
de la Axiornatica
simb61ico
se habia indicaes de utilidad
inmediata
se evita
pro viene de la aceptaci6n
no se tienen
en el.contexto
la
taci-
cons idera-
41
do.
Recuerde se a este respecto
partes
dentro de la teoria
Una situaci6n
ras.
trazados
de Cantor.
similar
Basar demostraciones
se presenta
en Geometria
qeometric as en dibujos
ha sido una practic a tradicional
genes y naturaleza
de la disciplina.
mite, con base en la confecci6n
trianqulosson
is6sceles!.
con respecto
Un ejemplo
de un dibujo,
b la bisectriz
vantada
en el punto medio del lado
A
del angulo de vertice
BC.
Entonces
y sea
debido
a los ori-
rnuy conoc idas las fa-
clasico,
Vearno slo : dado un triangu!o
2) sea
natural
Sin embargo son tambien
defectuosa
al usc de figu -
mas 0 menos cuidadosamente
y evidente:mente
puede conducir,
laci as a que tal practica
el todo es mayor ~ue las
la pos ici6n del "axioma"
citado par Klein
concluir
que:
i todos los
ABC
cualquier a
(Figura
la perpendicular
m
per-
le-
:
A
B
Figura
a)
Si
b y
m.
faci Imente que
b)
Si
se
42
AP
AB
los trianqulos
=
A (I.
b
no se cortan en un punto tendremos
J
BC
concl uyendose
= AC .
b y m se cortan en un punto
tonces
2
OP
sea
APO y
rectanqulos
Pero tambien
0,
OP
= 0(1
J_
A(lO
y como
AB
Y
0(1
Sal iguales,
OB
= OC
J.
AC.
En-
obteniendo-
y los tr ianqu -
PBO
los
= AQ
AP
Luego,
QCO
y
PB
y
=
en cualquier
Parece pertinente
son rectanqulos,
QC
recordar
=
AB
se deduce que
caso,
PB = QC.
se tiene
los lados
AB
la "definic
ion"
Ahora bien,
AC .
y AC
resultan
iguales.
la Geometria es elarte
:
nar bien sobre figuras mal hechas
(vale deci r,
Et papel del Metoao Axiomatlco.
EI empleo juic ios o de la axlomatica
matematico
analizando
T
do un teorema
iR
tema
JR
A
pueden quitarse
aparecieren
A
yendo
0 una version
imperfecta
contraejemplos,
y
II
T cmvenientemente
de
falta de elegancia
T.
aun probar
A
Cuan-
(p.e], en el sis-
particular
trata de ver cual es de los
tr atara de recuperar
de la "estructura
at
permite
de caca demostracicn.
en una estructura
el matematlco
pudiendose
raze-
anatomia comparada de los siste -
mas profundos
por una condlc lon un poco mas debil
es la identificacion
T
ha s ido demostrado
de los ruimeros re ales),
mas de
ma
los resortes
de
sin figums).
modemo lJevar a cabo una verdadera
mas que estudia,
de
',etc.
Si al eliminar
axio-
un axle-
la demos trac ion sustitu
-
U no de los objetivos
mas amplia en la cual pueda aiin probarse
formulada.
una deri vacion
En general,
que ermlee
se considera
mas premisas
de
las
necesarlas,
Como corolario
lizacic»
y
la econornia
ras multivalentes"
bra, por ejemplo,
de
mlmero
natural,
este metodo conlleva
de pensamiento
hac ia la genera-
lograda con la consideracicn
de "e structu-
que agrupan un gran nurnero de cases particulares.
despues
del proceso de generalizac
pasando sucesivamente
<los racionales,
una tendencia
los reales
y
de un sistema
los comple los),
ion 0 extension
unico (los enterns)
se da el salto hacia
las
En el Algedel concepto
a varios
estructuras
43
abstractas
(grupas,
La diferencia
matica
aniJlas,
entre los enunciados
moderna es similar
Algebra
lares,
••• J.
modules,
elementales
ala
de la Matematica
existente
: mientras
entre los enunciados
que en la primera
y
clasrca
los de la Mate-
de la Aritrnet ica y el
se consideran
relaciones
particu-
como
(5 +2) +3 == 5 +(2 +3) ,
en la segunda se afirman
[x
La Matematica
para reunir
todos
ruimeros
una estructura
cuerpo ordenado)
por ultimo
rac ion de una Teoria
Peligros
empleada,
:
== x +(y +z).
de axiomas
que presentan
general
convenientemente
propiedades
y abstracta
caracterlzada
de una vez por todas
posibles.
Se considera
en lugar de estudiar
eleqidos
comunes
importan-
por dichas
propie-
los rasgos comunes
un tipo de estructura
un solo especimen
a
(por ejem-
dig amos los
rac ional es.
Recordemos
tualmente
a muchos 0 a todos los mimeros
moderna usa sistemas
los casas particulares
viciosos
+z
Se logra de este malo analizar
plo, la de
que la Axiomatica
de Conjuntos
para intentar
es indiscutible.
que consisten
formal
(sistema
una fundamentacion
del Metoda Axiomatico.
mero manipular
44
+y)
muchos casas especiales
tes, definiendo
dades.
hechos relativos
de Zermelo)
salvador
que pudiese
de laAxiomatica,
usarse even-
su usa incontrolado
juiciosamente
conduce
en parte en cons ider ar que la maternatica
de "axiomas"
en la elabo-
de la matematica.
La utilidad
Sin embargo,
fue el recurso
para obtener
"teoremas".
a excesos
se reduce a un
Tambien
puede
exagerarse
cencia,
el rigor en el tratamiento
conduciendo
tiqac ldn.
En cualquier
necesariamente
riamente
a crear barreras
La axiomatlca
relaciones
artifici
caso, se tiende
debe nutrirse
para explotar
de temas importantes,
nuevas regiones
no puede,
por
fondo sus Iimitaciones
que
a veces temera-
del conocimiento.
Eneste
producir
pero
porsi
solo nuevas
campo son otros los recursos
quien frecuentemente
ten6£>el resultado
Para lograr el rendimiento
la creatividad
e im aqinac ion y proceder
0 mostr ar la forma de probarlas.
de Gauss cuando decia :
a coartar
su misma naturaleza,
que acuden en ayuda del matematico,
y ia inves-
ale s al progreso del estudio
peligrosamente
de intuicicn
espec iaJrnente en la do -
se halla en la s ituac ion
no se al:'n como obtenerlo.
optirno de una herramientaes
asi como sus posibilidades.
necesario
F.sto se aplica
conocer
en particular
a
at
Metodo Axlomatico.
*
COHGRESO
EI
*
Of MATfMATICOS
IHTERHACIOHAL
Congreso Internacional de Matemciticos
entre el 21y
de 1973.
el 29 de aqosto de 1974.
La correspondencia
referente
tendra
Mas detalles
lugar en Vancouver,
se daran a conocer en el otofio
al Congreso
Congreso
Internacional
University
of British
Vancouver
8, Canada.
Canada,
debe dirigirse
a :
de Matematicos
Columbia,
45