Modelo Estándar - Universidad de Guanajuato

Modelo Estándar
Juan Barranco Monarca
DCI Universidad de Guanajuato
IV Escuela Mexicana de Cuerdas y Supersimetrı́a
Guanajuato, Guanajuato, Junio 8 a 16, 2015
Modelo Estándar– p. 1
Entender
Modelo Estándar– p. 2
Dos modelos estándares
Modelo Estándar Cosmológico
Relatividad general
Modelo Estándar– p. 3
Dos modelos estándares
Modelo Estándar Cosmológico
Relatividad general
Modelo Estándar– p. 3
Dos modelos estándares
Modelo Estándar de las partículas elementales
Teoría cuántica de campos
SU (3) × SU (2) × U (1)
Modelo Estándar– p. 4
Dos modelos estándares
Un par de comentarios respecto a la “Teoría cuántica de
campos”:
Es una teoría descriptiva
Campos
1. Campos clásicos
2. Campos cuánticos
El surgimiento de las partículas
Modelo Estándar– p. 5
Outline
La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y
filosofía
Modelo Estándar– p. 6
Outline
La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y
filosofía
El Modelo estándar como una teoría de norma
Modelo Estándar– p. 6
Outline
La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y
filosofía
El Modelo estándar como una teoría de norma
Cálculo de un proceso en el SM: Dispersión
neutrino-electrón
Modelo Estándar– p. 6
Outline
La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y
filosofía
El Modelo estándar como una teoría de norma
Cálculo de un proceso en el SM: Dispersión
neutrino-electrón
¿Qué preguntas abiertas hay en el SM?
Modelo Estándar– p. 6
El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía
Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos
damos cuenta de que toda comprensión comienza con el
reconocimiento de las similitudes o regularidades
Modelo Estándar– p. 7
El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía
Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos
damos cuenta de que toda comprensión comienza con el
reconocimiento de las similitudes o regularidades
Dichas regularidades aparecen entonces como
consecuencias parciales de algo que es común a
diversos fenómenos, que puede llamarse principio
fundamental
Modelo Estándar– p. 7
El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía
Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos
damos cuenta de que toda comprensión comienza con el
reconocimiento de las similitudes o regularidades
Dichas regularidades aparecen entonces como
consecuencias parciales de algo que es común a
diversos fenómenos, que puede llamarse principio
fundamental
Esperanza de la simplicidad de los fenómenos y con ella
la de que exista una sustancia fundamental.
Modelo Estándar– p. 7
Primera lección
Interacciones fundamentales ⇔ Constituyentes fundamentales
La ciencia es analı́tica: La investigación comienza descomponiendo sus objetos a
fin de descubrir el mecanismo interno responsable de los fenómenos observados;
...el próximo paso es el exámen de la interdependencia de las partes y la etapa
final es la tentativa de reconstruir el todo en términos de sus partes
interconectadas
Mario Bunge, La ciencia, su método y su filosofía
Modelo Estándar– p. 8
Un poco de historia
La búsqueda de las interacciones y los componentes
últimos de la materia.
1807-1909 Descubriemiento teórico de la máxima
importancia: Lorentz, Maxwell, Helmholtz y Lorentz
descubren lo que llamamos las ”gauge transformation” del
campo electromagnético.
~→A
~′ = A
~ + ∇χ ,
A
1 ∂χ
,
φ→φ =φ−
c ∂t
′
1896 ⋆ Becquerel encuentra evindencia de decaimiento
espontáneo del uranio radioactivo usando películas
fotográficas.
Modelo Estándar– p. 9
Un poco de historia
1897 ⋆ Thomson: Descubre el electrón en rayos
catódicos. La primera partícula fundamental. ¿Qué es una
partícula fundamental?
1900 ⋆ Planck: Inicio de la era cuántica.
1. adj. Fı́s. Perteneciente o relativo a los cuantos de energı́a.
El conocimiento cientı́fico es claro y preciso.
Mario Bunge, La ciencia, su método y su filosofía
1905 Einstein: Inicio de la era relativista.
Primer postulado:) Las leyes de la fı́sica son las mismas en todos
los sistemas de referencia inerciales
Segundo postulado (invarianza de c): La velocidad de la luz en el
espacio vacio tiene el mismo valor c en todos los sistemas de
referencia inerciales
Modelo Estándar– p. 10
Un poco de historia
1905 ⋆ Einstein: Explicación del efecto foto-eléctrico como
un efecto cuántico.
1911 ⋆ Millikan: Hace la medición de la carga eléctrica del
electrón.
1911 Rutherford: Obtiene evidencia de la existencia del
núcleo atómico.
1913 ⋆ Bohr: invención de la teoría cuántica para el
espctro atómico
1914 Chadwick : Primera observación de que el espectro
β es continuo. Observación indirecta de la existencia de
partículas neutras penetrantes.
Modelo Estándar– p. 11
Un poco de historia
1919 Rutherford: Descubre el protón, constituyente del
núcleo atómico.
1923 ⋆ Compton: Confirmación experimental de que el
fotón es una partícula elemental en γ + C → γ + C .
1923 ⋆ de Broglie: Dualidad onda-partícula para
electrones. λ = hp .
Modelo Estándar– p. 12
Un poco de historia
1925 ⋆ Pauli: Descubrimiento del principio de exclusión.
¿De que observación experimental viene el principio de
exclusión?
¿Qué es una enana blanca?
1925 ⋆ Heisenberg: Fundamentos de la mecánica
cuántica.
1926 ⋆ Schrödinger: Creación de la mecánica cuántica
ondulatoria.
Modelo Estándar– p. 13
Un poco de historia
1926 Fock: Observa que en complemento a las
transformaciones gauge:
~→A
~′ = A
~ + ∇χ ,
A
1 ∂χ
,
φ→φ =φ−
c ∂t
cuando se combinan con la mecánica cuántica hay un
hecho notable: para la dinámica cuántica, es decir, para
que la ecuación cuántica sea invariante por esta
transformación, la función de onda debe satisfacer la
condición:
ψ → ψ ′ = ψ exp(ieχ/~c)
′
Modelo Estándar– p. 14
Un poco de historia
1927 Ellis and Wooster: Confirmación de que el espectro
del decaimiento β es continuo.
1927 Dirac: Fundamentos de la electrodinámica cla’sica
(QED)
1928 ⋆ Dirac: Descubrimiento de la función de onda
relativista para el electrón.
(i 6 ∂ − m)ψ = 0
1929 Skobelzyn: observación de una cascada de rayos
cósmicos.
1930 Pauli: Primera propuesta de la existencia de una
partícula ligera, neutra, y débilmente interactuante →
neutrino.
Modelo Estándar– p. 15
Una posible solución desesperada
El decaimiento beta (β) es el proceso mediante el cual, un núcleo radioactivo emite un
electrón.
Originalmente se creía que un neutrón decaía en un protón y un electrón
(n → p + e− ).
Si esto es así, por conservación de la energía:
m21 − m22
M
+
,
E1 =
2
2M
m22 − m21
M
E2 =
+
2
2M
M es la masa del neutrón y m1 la masa del electrón y m2 la masa del protón.
Modelo Estándar– p. 16
Carta de Pauli del 4 de diciembre de 1930
Dear Radioactive Ladies and Gentlemen,
As the bearer of these lines, to whom I graciously ask you to listen, will explain to you in more detail, how
because of the ”wrong”statistics of the N and Li nuclei and the continuous beta spectrum, I have hit upon a
deseperate remedy to save the .exchange theorem.of statistics and the law of conservation of energy. Namely, the
possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which
have spin 1/2 and obey the exclusion principle and which further differ from light quanta in that they do
not travel with the velocity of light. The mass of the neutrons should be of the same order of magnitude
as the electron mass and in any event not larger than 0.01 proton masses. The continuous beta spectrum
would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the
electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant...
I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they
really exist. But only the one who dare can win and the difficult situation, due to the continuous structure of the
beta spectrum, is lighted by a remark of my honoured predecessor, Mr Debye, who told me recently in Bruxelles:
.Oh, It’s well better not to think to this at all, like new taxes”. From now on, every solution to the issue must be
discussed. Thus, dear radioactive people, look and judge. Unfortunately, I cannot appear in Tubingen personally
since I am indispensable here in Zurich because of a ball on the night of 6/7 December. With my best regards to
you, and also to Mr Back.
Your humble servant, W. Pauli
The text above is an abridged version of the original.
Modelo Estándar– p. 17
El nacimiento
Electricamente neutra
Fermión
Masa menor a la masa del
electrón
Modelo Estándar– p. 18
Un poco de historia
1931 Dirac: Predicción de las antipartículas.
1932 ⋆ Anderson: primera evidencia del positron en rayos
cósmicos.
1932 ⋆ Chadwick: Descubrimiento del neutrón.
1932 Heisenberg: Núcleo esta compuesto por protones y
neutrones.
1934 Pauli: explanation of continuous electron spectrum
of β decay — proposal for the neutrino.
n → p + e− + ν̄e .
Modelo Estándar– p. 19
Un poco de historia
1934 Fermi: teoría de campo para el decaimiento β ,
asumiendo la existencia del neutrino.
Fermi propone un Lagrangiano de la forma:
Lweak
GF
µ
= √ ψ̄p γµ ψn ψ̄e γ ψν .
2
1936 Gamow and Teller: proponen una extension a la
teoría de Fermi para ∆J nuc 6= 0.
Modelo Estándar– p. 20
Un poco de historia
1937 Neddermeyer and Anderson: Primera evidencia del
muón. (Rabi: ¿Quién ordenó eso?)
1937 Majorana: Teoría del neutrino de Majorana.
1940 Williams and Roberts:
µ− → e− + (ν̄e + νµ ) .
1943-1948 ⋆ Feynman, Schwinger, Tati and Tomonaga
crearon la teoría covariante de la QED.
Modelo Estándar– p. 21
Un poco de historia
1949 Wheeler y Tiomno; Lee, Rosenbluth y Yang:
proponen la universalidad de las interacciones débiles, esto
es, los procesos
β − decay
:
µ − capture
:
µ − decay
:
n → p + e− + ν̄e ,
µ− → e− + ν̄e + νµ ,
µ − + p → νµ + n ,
son de la misma naturaleza y tienen la misma constante de
acoplamiento: GF .
Modelo Estándar– p. 22
Los grandes aceleradores de partículas
50’s Se descubre un gran número de nuevas partículas:
π 0 , K ± , Λ, K 0 , ∆++ , Ξ− , Σ± , ν̄e , p̄, KL,S , n̄, Σ0 , Λ̄, Ξ0 , · · ·
1954 Yang and Mills: Introducción del principio de
invariancia local de norma en teoría cuántica de campos.
1955 Alvarez y Goldhaber: Rompecabezas θ − τ , que
sugería que la paridad podría ser violada.
1956 ⋆ Lee and Yang: proponen probar la conservación de
paridad espacial en interacciones débiles.
Modelo Estándar– p. 23
Violación de la paridad
1957 Wu y colaboradores: obtienen la primera evidencia
de la no-conservación de la paridad en decaimientos
débiles.
La confirmación de la violación de paridad por las
interacciones débiles muestra que es necesario tener un
término γ5 en la corriente débil:
Lweak
GF X
i
i
→ √
Ci ψ̄p Γ ψn ψ̄e Γ (1 ± γ5 ) ψν .
2 i
Modelo Estándar– p. 24
El papel den neutrino para V − A
1958 Feynman y Gell–Mann, Marshak y Sudarshan ;
Sakurai: interacciones débiles universales V − A
+µ
µ
Jlept = ψ̄e γ (1 − γ5 ) ψν .
(1)
1958 Goldhaber, Grodzins and Sunyar: primera evidencia
de la helicidad negativa del νe .
Modelo Estándar– p. 25
El neutrino
1959
⋆
Reines: Detección del neutrino de Pauli.
Modelo Estándar– p. 26
Observación experimental del neutrino: Reines
Modelo Estándar– p. 27
Observación experimental del neutrino: Reines
Modelo Estándar– p. 28
Desarrollo teórico en la teoría de campos
1961 Goldstone : predicción de un bosón sin masa si una
simetría del Lagrangiano es rota espontanéamente. 1961
Salam and Ward: invención del principio de norma como la
base para construir teorías cuánticas de campo de los
campos interactuantes fundamentales.
1961 ⋆ Glashow: primera introducción del bosón de norma
débil Z 0
1962 ⋆ Danby et al.: primera evindecia del νµ de
π ± → µ± + (ν/ν̄). Número leptónico
Modelo Estándar– p. 29
Desarrollo teórico en la teoría de campos
1963 Cabibbo: introducción del ángulo de Cabibbo y de
las corrientes hadrónicas.
1964 Higgs; Englert and Brout; Guralnik, Hagen and
Kibble: Construyen un ejemplo de una teoría de campo con
rompimiento espontaneo de la simetría, sin un bosón no
masivo de Goldstone y bosones vectoriales masivos.
Modelo Estándar– p. 30
El nacimiento del modelo estándar
1964 ⋆ Salam y Ward: Escriben el Lagrangiano de la
sintesis electro-débil. Estiman la masa del W .
1964 ⋆ Gell–Mann; Zweig: introducción de los quarks
como bloques fundamentales de construcción para los
hadrones.
1964 Greenberg; Han y Nambu: introducen el número
cuántico color, los quarks coloreados y los gluones.
1967 Kibble [?]: extienden el mecanismo de Higgs de
generación de masas para teorías de campo no abelianas.
Modelo Estándar– p. 31
El nacimiento del modelo estándar
1967 ⋆ Weinberg: Lagrangiano para la sintesis
electrodébil y estimación de las masasa de los bosones
vectoriales W y Z .
1967 Faddeev and Popov: método para la construcción
de las reglas de Feynman para las teorías de Yang-Mills.
1968 ⋆ Salam: Lagrangiano para la sintesis electrodébil.
Modelo Estándar– p. 32
El nacimiento del modelo estándar
1970 Glashow, Iliopoulos and Maiani: introducción de una
simetría lepton– quark y la propuesta de un quark
encantado. (Mecanismo GIM).
1971 ⋆ ’t Hooft: Prueba rigorosa de que las teorías de
Yang-Mills son renormalizables.
1973 Kobayashi y Maskawa: La violación de CP es
acomodada en el SM con seis sabores.
1973 Hasert et al. (CERN): Observación experimental de
la existencia de las corrientes débiles. Calcularemos la
sección eficaz
Modelo Estándar– p. 33
Modelos estándar
Los experimentos a bajas energías han aportado una gran cantidad de información.
Sólo los fermiones (anti-fermiones) de quiralidad izquierda (derecha) participan en las
interacciones débiles. Además la interacción parece ser universal lo cual queda
manifiesto al estudiar otros procesos como π − → e− ν̄e o π − → µ− ν̄µ que implican
que los neutrinos tienen también quiralidad izquierda y los anti-neutrinos una
quiralidad derecha.
Existen tres tipos diferentes de neutrinos (νe 6= νµ ) y que hay una conservación de los
número leptónico que distingue a los neutrinos de los antineutrinos. Así es que
observamos transiciones como ν̄e p → e+ n , νe n → e− p , ν̄µ p → µ+ n o
νµ n → µ− p , pero nunca procesos como νe p 6→ e+ n , ν̄e n 6→ e− p , ν̄µ p 6→ e+ n o
νµ n 6→ e− p .
Ausencia de corrientes neutras con cambio de sabor (µ− 6→ e− e− e+ ).
Modelo Estándar– p. 34
Corrientes cargadas
νµ
νµ
µ−
W
−
e
−
νe e −
µ−
W
+
νe
Figura 1: Diagramas de Feynman a nivel árbol para
µ− → e− ν̄e νµ y νµ e− → µ− νe .
Modelo Estándar– p. 35
Corrientes cargadas
La interacción de los quarks y de los leptones con los bosones W ± exhiben las siguientes
características:
Sólo los fermiones izquierdos y los antifermiones derechos se acoplan con W ± .
Además hay un rompimiento al 100 % de la paridad P (izquierda ↔ derecha) y
conjugación de carga C (partícula↔ antipartícula). Sin embargo CP aún es una buena
simetría.
Los bosones W ± se acoplan a los dobletes fermiónicos donde las cargas eléctricas
de los dos fermiones difieren en una unidad.


νe
u
e−
d′


,


νµ
c
µ−
s′
Los canales de decaimiento del W − son:


,


ντ
t
τ−
b
W − → e− ν̄e , µ− ν̄µ , τ − ν̄τ , d ′ ū , s ′ c̄ .


,
(2)
(3)
Modelo Estándar– p. 36
Corrientes cargadas
Todos los dobletes fermionicos se acoplan con los bosones W ± con la misma
intensidad universal.
Los auto-estados débiles d ′ , s ′ , b ′ son diferentes a los auto-estados de masa
d , s , b . Estos estan relacionados a través de una matriz unitaria 3 × 3 V que
caracteriza el fenómeno de mezcla de sabores.
Modelo Estándar– p. 37
Corrientes Neutras
e–
e+
γ, Z
–
µ– e
ν
Z
ν
µ+ e+
Figura 2: Diagramas de Feynman a nivel árbol para
e+ e− → µ+ µ− y e+ e− → ν ν̄.
Modelo Estándar– p. 38
Corrientes Neutras
Los acoplamientos entre los fermiones y los portadores neutros de las interacciones
eléctricas y débiles presentan las siguientes características:
Todos los vértices conservan el sabor. Tanto el γ y el Z se acoplan a los fermiones y a
los antifermiones , es decir, γ f f¯ y Z f f¯. Transiciones del tipo µ 6→ eγ o
Z 6→ e± µ∓ nunca se han observado.
Las interacciones dependen de la carga eléctrica Qf . Los fermiones con la misma Qf
tienen exactamente el mismo acoplamiento universal . Los neutrinos no tienen
interacciones electromagnéticas (Qν = 0), pero tienen un acoplamiento al bosón Z.
Los fotones tienen la misma interacción con ambas quiralidades de los fermiones,
pero el acoplamiento del bosón Z es diferente para cada quiralidad. El acoplamiento
de los neutrinos con el Z involucra sólo neutrinos zurdos.
Hay sólo tres especies de neutrinos ligeros.
Modelo Estándar– p. 39
La teoría SU(2)L ⊗ U(1)Y
Usando invariancia de norma es posible obtener los lagrangianos correctos para la
electrodinámica cuántica (QED). Pero, para describir las interacciones débiles se necesita
una estructura más elaborada, que incluya distintos sabores fermiónicos y diferentes
propiedades para los campos izquierdos y derechos tal que se reproduzcan los hechos
experimentales mencionados en la sección anterior. Además, los fermiones izquierdos
deben aparecer en dobletes y se desea que los bososnes de norma W ± y el Z sean
masivos, y adicionalmente incluir al fotón. El grupo más simple con representación de
dobletes es SU (2). Como queremos incluir las interacciones electromagnéticas incluimos
un grupo U (1) adicional. Por lo tanto el grupo de simetría obvio a considerar es
G ≡ SU (2)L ⊗ U (1)Y ,
(4)
donde L se refiere a campos izquierdos (left). Por el momento el significado de Y no se
específica y la interpretación obvia de electromagnetismo no se aplica.
Modelo Estándar– p. 40
Tomemos una sola familia
Por simplicidad, sólo tomaremos una sola familia de quarks e introducimos la notación

ψ1 (x) = 
u
d


,
ψ2 (x) = uR ,
ψ3 (x) = dR .
(5)
L
y de igual forma para el sector leptónico

ψ1 (x) = 
νe
e−


,
ψ2 (x) = νeR ,
ψ3 (x) = e−
R.
(6)
L
y el lagrangiano libre es
¯ γ ∂µ d(x) =
L0 = i ū(x) γ ∂µ u(x) + i d(x)
µ
µ
3
X
i ψ j (x) γ µ ∂µ ψj (x) .
(7)
j=1
L0 Es invariante ante transformaciones de norma globales G en la base de sabor:
Modelo Estándar– p. 41
Tomemos una sola familia
G
ψ1 (x)
−→
ψ1′ (x) ≡ exp {iy1 β} UL ψ1 (x) ,
ψ2 (x)
−→
ψ2′ (x) ≡ exp {iy2 β} ψ2 (x) ,
ψ3 (x)
−→
ψ3′ (x) ≡ exp {iy3 β} ψ3 (x) ,
G
G
(8)
donde la transformación SU (2)L
UL
n σ
o
i i
≡ exp i
α
2
(i = 1, 2, 3)
(9)
sólo actúa sobre los dobletes ψ1 . Los parámetros yi son llamados hipercargas debido a que
las transformaciones U (1)Y son análogas a las de la QED. Nótese que no se ha introducido
ningún término de masa en 7 porque dicho término mezclaría los campos izquierdos y
derechos destruyendo las simetrías impuestas.
Modelo Estándar– p. 42
Invariancia de norma local → interacción
Si ahora se exige que el Lagrangiano sea invariante bajo transformaciones de norma local
SU (2)L ⊗ U (1)Y que implica que αi = αi (x) y β = β(x), este requirimiento de simetría
requiere que las derivadas sean ahora derivadas covariantes. Puesto que se tienen 4
parámetros de norma, αi (x) y β(x) entonces se requieren 4 diferentes bosones de norma
h
i
f
∂µ − i g Wµ (x) − i g ′ y1 Bµ (x) ψ1 (x) ,
Dµ ψ1 (x)
≡
Dµ ψ2 (x)
≡
[∂µ − i g ′ y2 Bµ (x)] ψ2 (x) ,
Dµ ψ3 (x)
≡
[∂µ − i g ′ y3 Bµ (x)] ψ3 (x) .
(10)
donde
fµ (x) ≡ σi W i (x)
W
µ
2
(11)
denota a un campo matricial SU (2)L . De esta forma tenemos el número correcto de
campos; 3 Wµi y un Bµ que se relacionarán con los campos de norma físicos W ± , Z y γ.
Modelo Estándar– p. 43
Transformación de los campos
Una vez introducidas las derivadas covariantes se requiere además que Dµ ψj (x)
transforme de la misma forma que el campo ψj (x) lo cual determina la transformación de
los campos de norma:
G
Bµ (x)
−→
fµ
W
−→
G
1
∂µ β(x),
g′
fµ U † (x) − i ∂µ U (x) U † (x),
f ′ ≡ U (x) W
W
µ
L
L
L
L
g
′
(x) ≡ Bµ (x) +
Bµ
(12)
(13)
σi i donde UL (x) ≡ exp i 2 α (x) . Nótese que los acoplamientos de ψj a Bµ son
completamente arbitrarios mientras que dada la no-linealidad en las relaciones de
conmutación de SU (2)L esta libertad no existe para Wµi . Existe una sola constante de
acoplamiento g para SU (2)L .
Finalmente el lagrangiano
L =
3
X
i ψ j (x) γ µ Dµ ψj (x) ,
(14)
j=1
es invariante ante transformaciones locales G.
Modelo Estándar– p. 44
Términos cinéticos
Para construir términos cinéticos invariantes de norma para los campos de norma se
construyen los correspondientes tensores de campo:
Bµν ≡ ∂µ Bν − ∂ν Bµ ,
fµν
W
i
i h
fν − ∂ν W
fµ − ig [Wµ , Wν ] ,
fν
fµ , ∂ν − i g W
≡
= ∂µ W
∂µ − i g W
g
fµν ≡ σi W i ,
W
µν
2
i
= ∂µ Wνi − ∂ν Wµi + g ǫijk Wµj Wνk .
Wµν
(15)
(16)
(17)
fµν transforma
Bµν permanece invariante ante transformaciones G mientras que W
covariantemente:
G
Bµν −→ Bµν ,
G
fµν −→
fµν U † .
W
UL W
L
(18)
Modelo Estándar– p. 45
Términos cinéticos
Finalmente el lagrangiano cinético, propiamente normalizado está dado por
LKin
1
1
1 h f f µν i
1 i
µν
= − Bµν B − Tr Wµν W
= − Bµν B µν − Wµν
Wiµν .
4
2
4
4
(19)
i contienen términos cuárticos, esto da origen a
Puesto que los tensores de campo Wµν
auto-interacciones de los campos de norma de orden cúbico y cuártico.
Es importante enfatizar que la simetría de norma prohíbe escribir un término de masa para
los bosones de norma. Las masas de los fermiones tampoco se pueden agregar
directamente en el lagrangiano porque estos mezclarían campos izquierdo y derechos que
explicítamente rompen la simetrá de norma. Los lagrangianos 14 y 19 contienen por lo tanto
sólo campos sin masa.
Modelo Estándar– p. 46
Interacciones de corrientes cargadas
W
qd
g
2
3/2
(1− γ )
5
W
qu
l−
g
(1− γ )
5
2
νl
3/2
El lagrangiano 14 contiene interacciones de los fermiones con los campos de norma,
L
−→
fµ ψ1 + g ′ Bµ
g ψ1 γ µ W
3
X
yj ψ j γ µ ψj .
(20)
j=1
Modelo Estándar– p. 47
Interacciones de corrientes cargadas
El término que contiene la matriz SU (2)L
 √
i
1
σ
fµ =
Wµi = √ 
W
2
2
2 Wµ3
Wµ
Wµ†
√
− 2 Wµ3


(21)
da origen a las interacciones de corriente cargada con el campo bosónico
√
√
†
1
2
1
2
Wµ ≡ (Wµ + i Wµ )/ 2 y su complejo conjugado Wµ ≡ (Wµ − i Wµ )/ 2 que como se
verán corresponden al W ± .
Modelo Estándar– p. 48
Interacciones de corrientes cargadas
Entonces para una familia de quarks y leptones el
lagrangiano resultante es,
LCC
g †
µ
µ
= √
Wµ [ūγ (1 − γ5 )d + ν̄e γ (1 − γ5 )e] + h.c. .
2 2
(22)
y se observa que la universalidad de las interacciones es una
consecuencia de la simetría de norma asumida. Nota, sin
embargo, que 22 no puede describir la dinámica
experimental observada porque los bosones de norma no
tienen masa y por lo tanto, dan origen a fuerzas de largo
alcance lo cual no se observa.
Modelo Estándar– p. 49
Interacciones de corrientes neutras
γ
f
e Qf
Z
f
f
f
e
2 sθ c θ
(vf − af γ5 )
La eq. 20 contiene también interacción con los bosones de norma neutros Wµ3 y Bµ . Sería
conveniente poder identificar estos bosones con Z y γ. Sin embargo, puesto que el fotón
tiene la misma interacción con fermiones de ambas quiralidades, el bosón Bµ no puede ser
igual al campo electromagnético porque eso requiere que y1 = y2 = y3 y g ′ yj = e Qj , lo
cual no se puede satisfacer simultáneamente.
Modelo Estándar– p. 50
Interacciones de corrientes neutras
Puesto que ambos campos son neutros, para resolver este problema, se puede tratar con
una combinación arbitraria de ellos:


Wµ3
Bµ


 ≡ 
cos θW
sin θW
− sin θW
cos θW


Zµ
Aµ

.
(23)
En términos de los “verdaderos” campos de norma Aµ (γ) y Zµ el lagrangiano de corrientes
neutras esta dado por
LNC =
X
j
ψj γ
µ
n
h σ
h σ
i
io
3
3
Aµ g
ψj .
sin θW + g ′ yj cos θW + Zµ g
cos θW − g ′ yj sin θW
2
2
(24)
Modelo Estándar– p. 51
Interacciones de corrientes neutras
Por último, para obtener la QED se impone la condición
g sin θW = g ′ cos θW = e ,
Y = Q − T3 ,
(25)
donde T3 ≡ σ3 /2 y Q denota el operador de carga electromagnética

Q1 ≡ 
Qu/ν
0
0
Qd/e

,
Q2 = Qu/ν ,
Q3 = Qd/e .
(26)
La primera igualdad de 25 relaciona los acoplamientos de SU (2)L y U (1)Y mientras que la
segunda fija las hipercargas en términos de su carga eléctrica y su número cuántico de
isoespín:
Quarks:
Leptones:
y1 = Qu −
y1 = Qν −
1
2
1
2
= Qd +
= Qe +
1
2
1
2
=
1
6
,
= − 12 ,
,
y3 = Qd = − 13 ,
y2 = Qν = 0 ,
y3 = Qe = −1 .
y2 = Qu =
2
3
Modelo Estándar– p. 52
Interacciones de corrientes neutras
Usando entonces 25 el lagrangiano de corrientes neutras puede ser escrito como
LNC = LQED + LZ
NC ,
(27)
donde
LQED = e Aµ
X
j
µ
ψ j γ µ Qj ψj ≡ e Aµ Jem
(28)
es el lagrangiano usual de la electrodinámica cuántica y
LZ
NC =
e
2 sin θW cos θW
µ
JZ
Zµ
(29)
contiene la interacción del bosón Z
µ
JZ
≡
X
j
µ
.
ψ j γ µ σ3 − 2 sin2 θW Qj ψj = J3µ − 2 sin2 θW Jem
(30)
Modelo Estándar– p. 53
Interacciones de corrientes neutras
En términos de los campos fermiónicos LZ
NC tiene la siguiente forma
LZ
NC
=
e
2 sin θW cos θW
T3f
T3f
Zµ
X
f
f¯γ µ (vf − af γ5 ) f ,
(31)
| sin2
1 − 4|Qf
θW . En la tabla 1 se han colocado los
y vf =
donde af =
diferentes valores de acoplamiento de las corrientes neutras.
Cuadro 1: Neutral-current couplings.
u
2 vf
2 af
1−
8
3
sin2 θW
1
−1 +
4
3
d
νe
e
sin2 θW
1
−1 + 4 sin2 θW
1
−1
−1
Modelo Estándar– p. 54
El mecanismo Higgs–Kibble
El modelo presentado anteriormente es muy elegante, pero padece el inconveniente de que
tanto los fermiones como los bosones no tienen masa.
Sin embargo hay una característica muy interesante que se da cuando existe una simetría
local de norma como lo notó Weinberg. Si se considera un doblete SU (2)L de campos
escalares

φ(x) ≡ 
φ(+) (x)
φ(0) (x)
y un lagrangiano para estos campos
LS
2
†
= (Dµ φ) D φ − µ φ φ − h φ φ
,
†
µ
2 †
i
h
µ
µ
µ
f
φ,
D φ = ∂ − i g W − i g ′ yφ B
µ

.
(32)
(h > 0 , µ2 < 0) ,
(33)
1
,
2
(34)
yφ = Qφ − T3 =
observamos que dicho Lagrangiano es invariante bajo tranformaciones SU (2)L ⊗ U (1)Y . El
valor de la hipercarga escalar esta fijada al requerir el acoplamiento correcto entre φ(x) y
Aµ (x) por lo que el fotón no se acopla a φ(0) , y se obtiene la carga correcta para φ(+) .
Modelo Estándar– p. 55
El mecanismo Higgs–Kibble
El potencial del lagrangiano que aparece en 33 tiene un número infinito de estados
degenerados de mínima energía que satisfacen
h0|φ(0) |0i =
s
−µ2
v
≡ √ .
2h
2
(35)
Puesto que la carga eléctrica es una cantidad conservada, sólo el campo escalar neutro
puede adquirir un valor de expectación de vacío.
Una vez que se escoge un estado base particular la simetría SU (2)L ⊗ U (1)Y se rompe
espontáneamente al sub-grupo U (1)QED que por construcción sigue siendo una simetría
del vacío. De acuerdo al teorema de Goldstone, tres estados de masa deberían aparecer.
Ahora, al parametrizar al doblete escalar de la forma general


o 1
n σ
0
i i
,
θ (x) √ 
φ(x) = exp i
2
2
v + H(x)
(36)
tiene cuatro campos reales θi (x) y H(x). El punto crucial es que la invariancia local del
lagrangiano permite eliminar la dependencia en θi (x). Estos tres campos eran precisamente
los bosones sin masa tipo Goldstone asociados al rompimiento espontáneo de la simetría.
Modelo Estándar– p. 56
El mecanismo Higgs–Kibble
La derivada covariante 34 asocia el multiplete escalar a los bosones de norma
SU (2)L ⊗ U (1)Y , y la parte cinética del lagrangiano escalar 33 toma la forma
(Dµ φ)† Dµ φ
θi =0
−→
1
∂µ H∂ µ H + (v + H)2
2
g2
g2
µ
†
µ
Wµ W +
Z
Z
µ
4
8 cos2 θW
. (37)
El valor esperado del vacío del campo escalar ha generado un término cuártico para los
bosones W ± y Z, es decir, los bosones de norma han adquirido masa :
MZ cos θW = MW =
1
vg.
2
(38)
Este el el método de dar masa a los portadores de las interacciones débiles que es
simplemente agregar LS al lagrangiano del modelo SU (2)L ⊗ U (1)Y . Este nuevo
lagrangiano es invariante ante transformaciones de norma, lo cual garantiza que la teoría es
renormalizable [?]. Una vez que se da el rompimiento espontáneo de la simetría, los tres
generadores rotos dan origen a 3 bosones de Goldstone sin masa que pueden ser
eliminados del lagrangiano. Llendo a la norma unitaria se descubre que los W ± y el Z han
adquirido masa que están relacionados con 38.
Modelo Estándar– p. 57
Masa de los fermiones
f
mf
v
H
f
Por último falta agregara masa
Un término de masa en el lagrangiano de la
a los fermiones.
forma Lm = −m ψψ = −m ψ L ψR + ψ R ψL
no esta permitido porque rompe la simetría
de norma. Pero gracias a la introducción de un doblete escalar en el modelo, entonces
podemos escribir el siguiente acoplamiento fermión-escalar invariante de norma
LY = c1






(+)
(0)∗
(+)
φ
φ
φ
 dR + c2 ū, d¯ 
 uR + c3 (ν̄e , ē) 
 eR + h.c. ,
ū, d¯ L 
L
L
(0)
(−)
(0)
φ
−φ
φ
(39)
Modelo Estándar– p. 58
Masa de los fermiones
Donde el segundo término involucra un acoplamiento el campo escalar φc ≡ i σ2 φ∗
C-conjugado. Después del rompimiento espontaneo de la simetría, este lagrangiano tipo
Yukawa adquiere la forma
1
¯ + c2 ūu + c3 ēe .
LY = √ (v + H) c1 dd
2
(40)
Entonces, el mecanismo de rompimiento de simetría produce además las masas
fermiónicas
v
md = −c1 √ ,
2
v
mu = −c2 √ ,
2
v
me = −c3 √ .
2
(41)
Puesto que no conocemos los parametros ci a priori los valores de las masas son arbitrarios.
Modelo Estándar– p. 59