Divisibilidad - Olimpiada de Matemáticas en Guanajuato

Divisibilidad
Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Guanajuato
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1.1
Introducción
Divisibilidad y números primos
La aritmética es una parte fundamental en las matemáticas y es por ello que muchos de los problemas
de la olimpiada están basados en ella. Uno de los conceptos más básicos en ésta área es el de
divisibilidad:
Definición Decimos que un número d divide a otro número n si podemos encontrarnos un entero
k tal que d = nk. En otras palabras, cuando d 6= 0, decimos que d divide a k si el resultado de la
división de k entre d es exacto. También expresamos esto con la frase ”n es múltiplo de d”.
Desde esto, podemos observar que el 1 es divisor de cualquier número. Ası́ también tenemos que
todo número se divide a sı́ mismo. Finalmente, el 0 es múltiplo de cualquier entero. Desde este
concepto podemos extender naturalmente el de un número primo:
Definición Decimos que un número p > 1 es primo si solamente es divisible por sı́ mismo y 1. El
1 no se considera primo.
La importancia de los números primos radica en gran parte en el siguiente teorema:
Teorema Fundamental de la Aritmética Todo número entero mayor a 1 puede ser expresado
de manera única como producto (o multiplicación) de números primos (salvo en el orden).
Algunos ejemplos del teorema anterior son 144 = 24 × 32 , 2010 = 2 × 3 × 5 × 67 y 31 = 31. A esta
descomposición de los números se les llama ”descomposición en factores primos”.
1.2
Criterios de Divisibilidad
A veces es muy sencillo decir cuándo un número es divisible por otro. Esto es gracias a los llamados
”criterios de divisibilidad”. Los más conocidos se enuncian a continuación:
Criterio de divisibilidad por 2 y 5 Un número es divisible por 2 si su última cifra es divisible
por 2. De igual manera es divisible por 5 si su última cifra es divisible por 5.
Criterio de divisibilidad por 3 y 9 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es
divisible por 3. De igual manera es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9.
Criterio de divisibilidad por 4 y 25 Un número es divisible por 4 si el número formado por
sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. De igual manera es divisible por 25 si el número formado
por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25. ¿Puedes inferir un criterio similar para el 8?
Criterio de divisibilidad por 11 Para decir si un número es múltiplo de 11 hacemos lo siguiente: Sumamos los dı́gitos que están en posición par. A continuación sumamos de forma separada
los que están en posición impar. Extraemos la resta entre estas dos sumas. Si dicha resta es múltiplo
de 11, el número original también lo es.
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¿Puedes explicar por qué funcionan estos criterios? La clave para hacer esto está en observar la
manera en la que representamos los números funciona con potencias de 10. Por ejemplo 4266 =
4 × 1000 + 2 × 100 + 6 × 10 + 6.
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Ejercicios
1. Encuentra el mayor entero menor a 10000 que es cubo y cuadrado perfecto a la vez. Por
ejemplo, 64 es cubo y cuadrado perfecto pues 64 = 43 y 64 = 82 .
2. ¿Cuántos números con exactamente tres divisores hay entre el 1 y el 1000?
3. ¿Cuál es el mayor n tal que
2010!
7n
es un entero?
4. ¿Existe algún entero n tal que n! termine en exactamente 11 ceros en su representación
decimal?
5. ¿Puede un número con 100 dı́gitos iguales a 0, 100 dı́gitos iguales a 1 y 100 dı́gitos iguales a
2 ser un cuadrado perfecto?
6. ¿Cuáles son los dos últimos dı́gitos de 112010 ?
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Problemas
1. Encuentra el menor entero positivo tal que el producto de sus cifras es 189000.
2. Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus cifras es 2004 y el producto de sus
cifras es 2753 .
3. ¿Cuánto suman los últimos 2005 dı́gitos del número 20042005 × 20052004 ?
4. Tres hermanos heredan n piezas de oro, con pesos 1, 2, 3...n. ¿Para qué n pueden repartirse
las piezas?
5. Un número de 6 dı́gitos está representado por el númro 1vwxyz, donde 1, v, w, x, y, z son
sus dı́gitos. Si este número se multiplica por 3 se obtiene el número vwxyz1. Encuentra dicho
número.
6. Encuentra los dı́gitos c y d tales que hacen verdadera la expresión 2c 9d = 2c9d, donde 2c9d
representa un número de cuatro dı́gitos.
7. Encuentra una infinidad de enteros tales que la suma de sus dı́gitos es igual al producto de
ellos.
8. Se eligen 128 potencias de 2. Demuestra que hay dos cuya diferencia es múltiplo de 1000.
9. Encuentra todos los números primos p tales que p + 77 tiene exactamente 5 divisores.
10. Se tiene una fila de focos numerados del 1 al 2010. Inicialmente se encuentran todos apagados.
Se realiza el siguiente proceso: primero se cambia el estado del foco con el número 1 ası́ como
el de todos sus múltiplos. A continuación se le cambia el estado al foco 2 y el de todos sus
múltiplos. Luego el de el 3 y todos sus múltiplos, y ası́ sucesivamente hasta que se llega al
foco 2010 y se le cambia a éste su estado. ¿Cuántos focos terminan prendidos al final del
proceso?
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Problemas Avanzados
1. Dado un entero k de dos o más cifras, se genera un nuevo entero m insertando un cero entre
el dı́gito de las unidades y el dı́gito de las decenas de k. Encuentra todos los números k tales
que m resulta ser múltiplo de k.
2. Encuentra todas las ternas de dı́gitos (a, b, c) tales que ab y ac son números de dos dı́gitos,
cab es un número de tres dı́gitos y además ab × ac = cab.
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