Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO COLEGIO BENIGNO TOMÁS ARGOTE UNIDAD # 2 ASIGNATURA: Matemática. NIVEL: Duodécimo grado. PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz TRIMESTRE: I TÍTULO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA: 2. Análisis combinatorio. OBJETIVO DIDÁCTICO: Resolver situaciones con análisis combinatorio. CONTENIDOS: 1. Permutaciones 1.1 Principio fundamental del conteo. 1.2 Diagrama de árbol. 1.3 Clases de permutaciones Permutaciones simples Permutaciones con repetición o distinguibles Permutaciones circulares El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar. . Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla. El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados. Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados. Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados. Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO Permutaciones simples Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Calcular las permutaciones de 6 elementos. P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5. m=5 n=5 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Permutaciones con repetición o distinguibles Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que : Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO Con l as cif ras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿ cuánt os nú meros de nuev e cif ras se pue den f or mar ? m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9 S í ent ran t odos los e le me nt os. S í import a e l ord en. Sí se repit en los e le me nt os. En el pa l o de se ñal es de u n ba rco se pue den i zar t res band eras ro jas, dos a zu les y cuat ro v erdes. ¿ Cuánt as señ ale s dist int as p ued en in dicars e con la coloc aci ón de l as nuev e band eras ? S í ent ran t odos los e le me nt os. S í import a e l ord en. Sí se repit en los e le me nt os . Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO Permutaciones circulares Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra. Calcul ar las p ermu ta ci o n es ci rcu l are s de 7 el e ment os . PC 7 = (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 20 ¿ De cuánt as f or mas d ist in t as pued en s ent arse ocho pe rsonas alred ed or de un a mesa red on d a? Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo Unidad #2: ANÁLISIS COMBINATORIO Objetivo: Resolver situaciones aplicando las permutaciones. 1) ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 5 , 6, 7, 8, 9, ? Resp: 120 2) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Resp: 40320 3) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? Resp: 5040 4) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? Resp: 1260 5) Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? Resp: 48 6) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Resp: 120 ó 48 7) En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Resp: 1260 8) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? Resp: 3628800 9) Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Resp: 10080 10)Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. Resp: a) 207360 b) 8709120 11)Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse? Resp: 2520 Prof. José Alexander Echeverría Ruiz Mat 12° Comercio y Turismo