Plan N° 2 - Prof. José Alexander Echeverría Ruiz

Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
COLEGIO BENIGNO TOMÁS ARGOTE
UNIDAD # 2
ASIGNATURA: Matemática.
NIVEL: Duodécimo grado.
PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz
TRIMESTRE: I
TÍTULO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA:
2. Análisis combinatorio.
OBJETIVO DIDÁCTICO:
 Resolver situaciones con análisis combinatorio.
CONTENIDOS:
1. Permutaciones
1.1 Principio fundamental del conteo.
1.2 Diagrama de árbol.
1.3 Clases de permutaciones
 Permutaciones simples
 Permutaciones con repetición o distinguibles
 Permutaciones circulares
El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles
resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.
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Mat 12°
Comercio y Turismo
Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.
El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El
diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un
total de 6 resultados.
Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de
la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En
el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.
Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar
el total de resultados.
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Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
 Permutaciones simples
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones
de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3,
4, 5.
m=5
n=5
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de
butacas?
 Permutaciones con repetición o distinguibles
 Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento
se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c
+ ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m
elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
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Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
Con l as cif ras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿ cuánt os nú meros de
nuev e cif ras se pue den f or mar ?
m = 9
a = 3
b = 4
c = 2
a + b + c = 9
S í ent ran t odos los e le me nt os.
S í import a e l ord en.
Sí se repit en los e le me nt os.
En el pa l o de se ñal es de u n ba rco se pue den i zar t res
band eras ro jas, dos a zu les y cuat ro v erdes. ¿ Cuánt as señ ale s
dist int as p ued en in dicars e con la coloc aci ón de l as nuev e
band eras ?
S í ent ran t odos los e le me nt os.
S í import a e l ord en.
Sí se repit en los e le me nt os .
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Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
 Permutaciones circulares
 Es un caso particular de las permutaciones.
 Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por
ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que
"se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Calcul ar las p ermu ta ci o n es ci rcu l are s de 7 el e ment os .
PC 7 = (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 20
¿ De cuánt as f or mas d ist in t as pued en s ent arse ocho pe rsonas
alred ed or de un a mesa red on d a?
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Unidad #2:
ANÁLISIS COMBINATORIO
Objetivo: Resolver situaciones aplicando las permutaciones.
1) ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 5 , 6, 7,
8, 9, ? Resp: 120
2) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de
butacas?
Resp: 40320
3) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una
mesa redonda?
Resp: 5040
4) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
Resp: 1260
5) Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden
hacer que empiecen por vocal? Resp: 48
6) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras
impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Resp: 120 ó 48
7) En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules
y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación
de las nueve banderas?
Resp: 1260
8) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la
portería?
Resp: 3628800
9) Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Resp: 10080
10)Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes
de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible
ordenarlos si:
a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
Resp: a) 207360
b) 8709120
11)Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
Resp: 2520
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