S3 - UAM

1.4 Tracción
1.4.
Tracción
1.4.1.
Postulados de Cauchy
Consideremos un medio continuo sobre el que actúan las correspondientes fuerzas de cuerpo
y superficiales (ver Fig. 1.14). Consideremos también una partícula P del interior del medio
continuo y una superficie arbitraria, que pasa por el punto P y de normal unitaria n en dicho
punto, que divide al medio continuo en dos partes (volúmenes materiales). En la superficie de
corte, considerada ahora como parte del contorno de cada uno de estos volúmenes materiales,
actuarán las fuerzas superficiales debidas al contacto entre ambos.
Sea t el vector de tracción que actúa en el punto P considerado como parte del contorno del
primero de estos volúmenes materiales. En principio este vector de tracción (definido ahora en
un punto material del interior del medio continuo original) dependerá:
1) De cuál sea la partícula considerada,
2) de la orientación de la superficie (definida a través de la normal n) y
3) de cuál sea la propia superficie de corte.
Figura 1.14: Postulado de Cauchy.
1er Postulado de Cauchy: El vector de tracción t que actúa en un punto material P de un
medio continuo según un plano de normal unitaria n, depende únicamente del punto P y de la
normal n.
t = t( n)
2 Postulado de Cauchy - Principio de acción y reacción: El vector de tracciones en un punto
P de un medio continuo, según un plano de normal unitaria n , es igual y de sentido contrario
al vector de tracciones en el mismo punto P según un plano de normal unitaria −n en el mismo
punto (Fig, 1.14):
c
°Gelacio
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21
1.4 Tracción
Figura 1.15:
t( n) = −( −n)
El vector de tracciones actúa sobre un área infinitesimal  en un plano inclinado cortado, que
se caracteriza por un vector normal unitario n definido como, Fig. 1.16:
⎡
1
⎤
⎡
1
⎤
⎢
⎥
⎥
n=⎢

2
⎣
⎦
3
y el vector de tracciones t como:
⎥
⎢
⎥
t=⎢

2
⎦
⎣
3
Figura 1.16: Vector de tracciones en un tetraedro.
Las superficies resultantes del tetraedro proyectadas de  puedes escribirse:
1
2
3
c
°Gelacio
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⎫
=  cos  =  1 ⎪
⎪
⎬
=  cos  =  2
⎪
⎪
=  cos  =   ⎭
3
22
1.4 Tracción
Por lo que las componentes del vector de tracciones, dependientes del estado de esfuerzos se
calcula como:
t = σ·n
(1.9)
1 = 11 1 +  12 2 +  13 3
2 =  21 1 +  22 2 +  23 3
3 =  31 1 +  32 2 +  33 3
1.4.2.
Ejemplo
El tensor de esfuerzos en un punto de un sólido es:
⎡
1000
⎢
σ=⎢
⎣ 500
0
500
0
1000
0
0
−400
⎤
⎥
⎥
⎦
(1.10)
Determinar el vector de tracciones t, esfuerzo normal σ  , y esfuerzo cortante τ  asociado a la
normal, Fig. (1.17):
⎡
√
1 3
⎢ √
n=⎢
⎣ 1√3
1 3
⎤
⎥
⎥
⎦
Figura 1.17: a) Esfuerzo notación científica, b) esfuerzo notación ingenieril y c) plano asociado a
la normal n.
El vector te tensión asociado es (Fig. 1.18a):
c
°Gelacio
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23
1.4 Tracción
t= σ · n
⎡
√
500 3
⎢
√
t = ⎢
⎣ 500 √3
− 4003 3
⎡
⎤
866025
⎤
⎥
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ 866025 ⎥
⎦
⎦ ⎣
−23094
La magnitud del vector de tracción se calcula como:
√
100 √ √
|t| = t · t =
3 466 = 1246328
3
La magnitud del esfuerzo normal al plano es:
|σ  | = t · n =
2600
= 86667
3
El vector de esfuerzo normal al plano (Fig. 1.18b) se determina con el vector unitario n:
2600
·n
⎡3
√
2600
3
9
⎢
√
2600
= ⎢
⎣ 9 √3
2600
3
9
σ =
σ
⎤
⎥
⎥
⎦
El vector de esfuerzo cortante (Fig. 1.18b) es:
τ  = t⎡− σ 
√
1900
3
9
⎢
√

1900
⎢
τ
= ⎣
3
9
√
3800
− 9
3
⎤
⎡
365655
⎤
⎥
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ 365655 ⎥
⎦
⎦ ⎣
−73131
con magnitud
|τ | =
√
1900 √
τ ·τ =
2 = 89567
3
Todos estos vectores de esfuerzo, asociados al plano n, se representan en la Fig. 1.18c.
1.4.3.
Tarea
Determine del estado de esfuerzos definido en la ec. (1.10): el vector de tracciones t, esfuerzo
normal σ , y esfuerzo cortante τ  asociado a la normal al plano Fig. (1.19).
c
°Gelacio
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24
1.5 Equilibrio
Figura 1.18: Vectores de: a) tracción t, b) normal σ y cortante τ  , c) t, σ , y τ  .
Figura 1.19: a) Estado de esfuerzos y b) plano asociado a la normal n.
1.5.
Equilibrio
Considere un elemento diferencial de masa  en un sólido. Por Newton se requiere que:
f = ü
(1.11)
donde f es la suma de las fuerzas superficiales f y de las fuerzas de cuerpo f . Sustituyendo
las ec. (1.5) y (1.6) en la ec. (1.11) e integrando sobre el dominio Ω y superficie Γ se tiene:
Z
t(x)Γ +
Γ
Z
b(x)Ω =
Ω
Z
ü(x)Ω
(1.12)
Ω
siendo  = Ω. Sustituyendo las tracciones t(x) por σ(x) · n en la ec. (1.12)se tiene:
Z
σ · n Γ +
Γ
Z
Ω
b Ω =
Z
ü Ω
(1.13)
Ω
sustituyendo la ec. (1.3) en la ec (1.13)
c
°Gelacio
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25
1.5 Equilibrio
Z
∇·σΩ +
Ω
Z
b Ω =
Ω
Z
ü Ω
(1.14)
Ω
rescribiendo la ec. (1.14) se tiene:
Z
[∇·σ + b − ü ] Ω = 0
(1.15)
Ω
Puesto que el dominio es arbitrario se tiene la siguiente ecuación de equilibrio dinámico:
∇·σ + b − ü = 0
(1.16)
Para el caso cuasiestático, ignorando los efectos inerciales, se tiene la siguiente ecuación de
equilibrio:
∇·σ + b = 0
(1.17)
La cual en un sistema de coordenadas cartesianas se escribe:
 
   
+
+
+  = 0



 
  
+
+
+  = 0



   

+
+
+  = 0



(1.18)
La ecuación de equilibrio dada en la ec. (1.17) se escribe en coordenadas cilíndricas:
1
 1    
+
+
+ (  −   ) +  = 0

 


  1    
2
+
+
+   +  = 0

 


  1   
1
+
+
+   +  = 0

 


(1.19)
y en coordenadas esféricas:
1   1
 1  
+
+
+ (2  −   −   +   cot ) +  = 0

 
 sin  

  1  
1   1
+
+
+ [(  −   ) − cot  + 3  ] +  = 0

 
 sin  

1  1
  1  
+
+
+ (2  cot  + 3  ) +  = 0

 
 sin  

c
°Gelacio
Juárez, UAM
(1.20)
26