253 - amontes

Ejercicio 253 Ejercicios de cónicas
Applet CabriJava
(1896-424)
La circunferencia circunscrita al triángulo formado por tres tangentes a una parábola, pasa por el foco
de la parábola.
SOLUCIÓN:
Consideremos las tangentes a la parábola en A, en B y en C, que se cortan, las dos primeras en P , la primera y
la tercera en Q, y la segunda y la tercera en R. Vamos a demostrar que, si F es el foco de la parábola, se tiene
\
\
F
PQ = F
RQ,
con lo que el segmento F Q se ve desde P y R bajo un mismo ángulo. Luego los puntos P, Q, F y R están en una
circunferencia.
Para demostrar la igualdad de ángulos citada, comencemos probando que los triángulos P F B y AF P son semejantes.
La tangente AP es la medistriz del segmento F A0 y la tangente BP es la mediatriz del segmento F B 0 , luego
P F = P A0 = P B 0 , es decir, el circuncentro del triángulo A0 F B 0 es P .
Se tiene la siguiente igualdad de ángulos:
\
F[
AP = F\
A0 B 0 = F
P B.
La primera igualdad surge de que los lados de los ángulos son respectivamente perpendiculares. La segunda, de que
\
A0 B 0 .
el arco que abarca F
P B, en la circunferencia circunscrita a A0 F B 0 , es la mitad del arco que abarca F\
Similarmente, tenemos la igualdad de ángulos:
F[
AP = F\
B 0 A0 = F[
P A.
Ası́, los triángulos P F B y AF P , tienen dos ángulos iguales, por lo que son semejantes. se tiene ası́ que
\
\
F
PQ = F
BP .
Repitiendo el razonamiento, para las tangentes en C y B, que se cortan en R, se obtiene que
\
\
F
RQ = F
BP .
\
\
De estas dos últimas igualdades, se tiene la igualdad de ángulos buscada: F
RQ = F
P Q.
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejco1896.pdf
La Laguna, Viernes 12 de Septiembre del 2008
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Angel Montesdeoca