Capítulo 5º

Capı́tulo 5
Continuidad
5.1 Continuidad en un punto
Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos,
y sea f : X −→ Y una aplicación entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a ∈ X si
para todo U ∈ E(f (a)) existe un V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U .
Proposición 5.1.2 (Continuidad y base de entornos). Sean (X, τX ), (Y, τY ) dos espacios topológicos,
f : X −→ Y una aplicación y B(a) y B(f (a)) son bases de entornos de a en τX y de f (a) en τY ,
respectivamente. Entonces f es continua en a si y sólo si para todo U ∈ B(f (a)) existe V ∈ B(a)
tal que f (V ) ⊂ U .
Demostración. ⇒ Supongamos que f es continua en a. Dado U ∈ B(f (a)) existirá V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂
U . Pero como B(a) es base de entornos tendremos que existe V 0 ∈ B(a) de modo que V 0 ⊂ V ,
con lo que f (V 0 ) ⊂ f (V ) ⊂ U .
⇐ Sea ahora U ∈ E(f (a)), entonces existe U 0 ∈ B(f (a)) de modo que U 0 ⊂ U . Por hipótesis
existe V ∈ B(a) de modo que f (V ) ⊂ U 0 ⊂ U y como V ∈ B(a) ⊂ E(a).
Corolario 5.1.3 (Continuidad en un espacio métrico). Sean dos espacios métricos (X, d) e
(Y, d0 ), una aplicación f : X −→ Y , y un punto a ∈ X. Entonces f es continua en a si
y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que
d0 (f (x), f (a)) < ε.
Demostración. Sólo hay que tener en cuenta que las bolas abiertas son base de entornos en una
topologı́a métrica.
45
46
CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD
Ejemplo 5.1.4.
(1)La continuidad en R, con la topologı́a usual, coincide con el concepto habitual de continuidad
utilizado en Análisis. En particular se tiene la siguiente lista de funciones continuas de R en R:
(a) las funciones constantes
(b) la función identidad
(c) las funciones elementales xa , sen(x), cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definición.
(d) la suma y el producto de funciones continuas.
(e) la inversa para el producto de una función continua no nula.
(2)En Rn con la topologı́a usual (d = d2 o d1 o d∞ ), podemos hacer algo similar: f : Rn −→ Rn
es continua en a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn si y sólo si
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < ε
(3) Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} con la topologı́a τ = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}.
La función f : X −→ X, definida por el diagrama siguiente, es continua en d y no lo es en c.
a
a
b
c
:z b
d
jd
: c
Proposición 5.1.5 (Continuidad y sucesiones). Sean dos espacios métricos (X, d) e (Y, d0 ), f :
X −→ Y una aplicación entre ellos, y a ∈ X. Entonces son equivalentes:
(a) f es continua en a.
∞
(b) Si (xn )∞
n=1 es una sucesión en X con lı́mite a, entonces {f (xn )}n=1 converge a f (a).
Demostración. (a)⇒(b)
Supongamos que f es continua en a ∈ X y que (xn )n → a. para ver que (f (xn ))n → f (a)
tenemos que probar que dado
ε > 0, existe no tal que n > no ⇒ d0 (f (xn ), f (a)) < ε
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5.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Como f es continua en a, dado
ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d0 (f (x), f (a)) < ε
Por otra parte, como (xn )n → a, dado
δ > 0, existe no tal que n > no ⇒ d(xn , a) < δ
Por tanto, si n > no , d0 (f (xn ), f (a) < ε puesto que d(xn , a) < δ.
b)⇒a)
Supongamos que (f (xn ))n converge a f (a) y supongamos que f no es continua. Eso significa
que existe
ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ X con d(xδ , a) < δ y d0 (f (xδ ), f (a) ≥ ε.
Si para este ε fijo, tomamos
δ = 1 existe x1 con d(x1 , a) < 1 y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε
δ=
1
1
existe x2 con d(x2 , a) < y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε
2
2
Ası́ sucesivamente para
δ=
1
1
existe xn con d(xn , a) < y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε
n
n
De modo que hemos obtenido una sucesión (xn )n en X que converge hacia a puesto que la
sucesión de términos positivos (d(xn , a))n es menor término a término que la sucesión ( n1 )n ; y, sin
embargo, la sucesión (f (xn ))n no converge a f (a) ya que siempre es d0 (f (xn ), f (a)) > ε.
Ejemplo 5.1.6.
Sea función f : R −→ R, en ambos casos con la topologı́a usual, definida por
(
1
si x 6= 1
f (x) x−1
1 si x = 1
no es continua en x = 1, pues la sucesión xn = 1 +
lim f (xn ) = lim
n
n
1
n
1
n
tiene por lı́mite 1, y sin embargo
1
= lim n 6= f (1)
n
+1−1
Proposición 5.1.7 (Composición de funciones continuas). Sean (X, τ ), (Y, τ 0 ) y (Z, τ 00 ) tres
espacios topológicos, y sean f : X −→ Y , g : Y −→ Z dos aplicaciones tales que f es continua
en a ∈ X, y g es continua en f (a). Entonces g ◦ f es continua en a.
48
CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD
Demostración. Sea U ∈ E(g(f (a))). Por el hecho de ser g continua en f (a) existe V ∈ E(f (a))
tal que g(V ) ⊂ U y como f es continua en a, existe W ∈ E(a) tal que f (W ) ⊂ V . Pero entonces
g(f (W )) ⊂ g(V ) ⊂ U .
Proposición 5.1.8 (Continuidad y adherencia). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos,
f : X −→ Y una aplicación continua en a ∈ X y un subconjunto S ⊂ X. Entonces si a ∈ S se
cumple que f (a) ∈ f (S) (f (S) ⊂ f (S)).
Demostración. Sea U ∈ E(f (a)); como f es continua en a existe V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U .
Pero a es un punto de adherencia de S, por tanto V ∩ S 6= ∅. Esto implica que
∅ 6= f (V ∩ S) ⊂ f (V ) ∩ f (S) ⊂ U ∩ f (S),
y ası́ f (a) es un punto de adherencia de f (S).
Ejemplo 5.1.9.
El resultado anterior no es cierto ni para puntos interiores ni para puntos frontera pues la función
◦
z }| {
◦
cos : R −→ R es una función continua, 0 ∈R y, sin embargo cos 0 = 1 ∈
/ f (R)= (−1, 1). Por
3π
3π
otra parte, si S = [0, π] ∪ { 3π
},
∈
f
r(S),
pero
cos(
)
=
0
∈
/
f
r(cos(S)).
2
2
2
5.2
Continuidad en todo el espacio
Definición 5.2.1 (Función continua). Sean dos espacios topológicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ), y sea f :
X −→ Y una aplicación entre ellos. Diremos que f es continua (en X) si lo es en todo punto de
X.
Proposición 5.2.2. Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos, y sea f : X −→ Y una
aplicación. Entonces son equivalentes:
a) f es continua.
b) Para todo A ∈ τ 0 , f −1 (A) ∈ τ .
Demostración. a)⇒b) Supongamos que f es continua y sea A ∈ τ 0 . Para demostrar que f −1 (A) es abierto en
τ veremos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ f −1 (A), entonces f (x) ∈ A, luego A
es entorno de f (x). Como f es continua, en particular lo será en x, y existe V ∈ E(a) tal que
f (V ) ⊂ A. Pero eso implica que V ⊂ f −1 (A) y ası́ f −1 (A) ∈ E(a).
5.2. CONTINUIDAD EN TODO EL ESPACIO
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b)⇒a) Supongamos ahora que para todo A ∈ τ 0 , f −1 (A) ∈ τ y veamos que f es continua en
cada punto de X. Sea x ∈ X y sea U ∈ E(f (x)). Entonces existe A ∈ τ 0 tal que f (x) ∈ A ⊂ U .
Eso significa que x ∈ f −1 (A) y como f −1 (A) ∈ τ se puede tomar V = f −1 (A) ∈ E(x).
Además, f (V ) = f (f −1 (A)) ⊂ A ⊂ U , por tanto f es continua en x.
Proposición 5.2.3. Una aplicación f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) es continua si y sólo si para todo
cerrado C en (Y, τ 0 ), se tiene que f −1 (C) es un cerrado en (X, τ ).
Demostración. (Ejercicio)
Proposición 5.2.4 (Continuidad y bases). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topológicos y B 0
una base de (Y, τ 0 ). Son equivalentes:
(a) La aplicación f : X −→ Y es continua.
(b) Para todo B‘ ⊂ B0 , se cumple que F −1 (B 0 ) es abierto en (X, τ ).
Demostración. Ejercicio.
Ejemplo 5.2.5.
(1) Hay que tener en cuenta que, en general, si f : X → Y es continua y A es un abierto en
X, f (A) no tiene por qué ser abierto en Y . Por ejemplo la función f : R −→ R, dada por
f (x) = sen(x), es continua para la topologı́a usual y sin embargo, f (R) = [−1, 1] que no es un
abierto en R.
(2) Una función constante f : X → Y es continua respecto cualquier topologı́a en X y cualquier
topologı́a en Y .
(3) Si (X, τD ) es un espacio topológico discreto, toda aplicación f : X −→ Y en un espacio
topológico (Y, τ 0 ) es continua.
(4) Si (Y, τT ) es un espacio topológico con la topologı́a trivial, toda aplicación f : (X, τ ) −→
(Y, τT ) es continua.
(5) La función identidad 1 : (X, τ ) → (X, τ 0 ) tal que 1(x) = x para cada x ∈ X, es continua si,
y sólo si τ es más fina que τ 0 .
Proposición 5.2.6 (Composición y continuidad). Sean f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) y g : (Y, τ 0 ) −→
(Z, τ 00 ) dos aplicaciones continuas, entonces la composición g ◦ f : X −→ Z es continua.
Demostración. Si A ∈ τ 00 es un abierto, tenemos que probar que (g◦f )−1 (A) ∈ τ . En efecto, (g◦
f )−1 (A) = f −1 (g −1 (A)), y como g es continua, g −1 (A) ∈ τ 0 , y al ser f continua f −1 (g −1 (A)) ∈
τ.
50
CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD
Definición 5.2.7 (Aplicación abierta y aplicación cerrada). Sean dos espacios topológicos (X, τ )
e (Y, τ 0 ), y f : X −→ Y una aplicación. Diremos que f es abierta si para todo A ∈ τ , f (A) ∈ τ 0
y diremos que f es cerrada si para todo C ⊂ X cerrado en τ , f (A) ⊂ Y , es cerrado en τ 0 .
Ejemplo 5.2.8.
La proyección π : (R2 , d2 ) −→ (R, τu ) del plano sobre el eje de las x, π(x, y) = x es una
aplicación abierta puesto que la proyección de cualquier bola abierta B((a, b), r) sobre el eje de
las x es un intervalo abierto (a−r, a+r). Pero no es cerrada puesto que la proyección del conjunto
cerrado C = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 1} es el intervalo (0, +∞), que no es cerrado.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
B((a, b), r)
(a − r, a + r)
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
C
(0, +∞)
La última parte de esta sección está dedicada al estudio de los homeomorfismos. Este concepto
tiene mucha importancia en Topologı́a, ya que dos espacios topológicos que sean homeomorfos
se pueden considerar iguales topológicamente.
Definición 5.2.9 (Homeomorfismo). Dados dos espacios topológicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ), se llama
homeomorfismo entre (X, τ ) e (Y, τ 0 ) a una aplicación biyectiva f : X −→ Y tal que tanto f
como su inversa f −1 sean continuas (se dice que f es bicontinua). Diremos que dos espacios
topológicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.
Diremos que una propiedad en un espacio topológico una propiedad topológica si es invariante
por homeomorfismos.
La siguiente caracterización de los homeomorfismos es consecuencia inmediata de las definiciones
y de las proposiciones 5.2.2 y 5.2.3.
Proposición 5.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicación biyectiva entre espacios dos topológicos
(X, τ ) e (Y, τ 0 ).Son equivalentes:
a) f es un homeomorfismo.
51
5.3. CONTINUIDAD UNIFORME. ISOMETRÍAS
b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto (A ∈ τ ) si y sólo si f (A) ∈ τ 0 .
c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si y sólo si f (C) es cerrado en (Y, τ 0 ).
Ejemplo 5.2.11.
(1) Dos espacios topológicos triviales son homeomorfos si y sólo si existe una biyección entre
ellos.
(2) Lo mismo pasa si se consideran dos espacios topológicos discretos.
(3) La aplicación sen : (0, π/2) −→ (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida a estos
intervalos es biyectiva, y su inversa arcsen : (0, 1) −→ (0, π/2) es también continua.
(4) La función f : (−1, 1) −→ R definida por f (x) = tan π2 x es un homeomorfismo ya que f
es biyectiva y continua y también lo es f −1 . Esto implica que (−1, 1) y R son topológicamente
equivalentes.
(5) La longitud y la acotación no son propiedades topológicas. En el ejemplo anterior, (−1, 1) y
R tienen longitudes diferentes y, además, el primero de ellos está acotado y el segundo no.
(6) El que una sucesión sea de Cauchy tampoco es una propiedad topológica puesto que
f : (0, +∞) −→ (0, +∞) con f (x) =
1
x
es homeomorfismo y a la sucesión de Cauchy ( n1 )n le corresponde por f la sucesión (n)n que no
es de Cauchy.
5.3
Continuidad uniforme. Isometrı́as
En el caso de los espacios métricos, además de las aplicaciones continuas, hay otras clases de
aplicaciones interesantes:
Definición 5.3.1 (Función uniformemente continua). Diremos que una aplicación entre espacios métricos f : (X, d) −→ (Y, d0 ) es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe un
δ > 0 tal que para todo x, y ∈ X con d(x, y) < δ se verifica que d0 (f (x), f (y)) < ε.
Ejemplo 5.3.2.
Obviamente, toda aplicación uniformemente continua es continua, pero el recı́proco no es cierto:
basta considerar la función f (x) = x2 .
Definición 5.3.3 (Isometrı́a). Dados dos espacios métricos (X, d) e (Y, d0 ), diremos que una aplicación biyectiva f : X −→ Y es una isometrı́a si verifica que para todos los puntos x1 , x2 ∈ X,
entonces d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )). En este caso decimos que (X, d) e (Y, d0 ) son isométricos.
52
CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD
Proposición 5.3.4. Una isometrı́a es uniformemente continua.
Proposición 5.3.5. Si dos espacios métricos son isométricos, entonces también son homeomorfos.
Ejemplo 5.3.6.
El recı́proco de la última proposición no es cierto en general. Si Consideramos R con la distancia
discreta y con la distancia
(
2 si x 6= y
d(x, y) =
0 si x = y
la aplicación identidad es un homeomorfismo que no es isometrı́a.