Aceleración

UNIDADES 2 y 3
MECÁNICA
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005
Fisica, Vol. 1
GRM. Física I. Semestre 2014-1
Ohanian/Markert, 2009
Tipler/Mosca 2005
Bauer, 2011
1
MOVIMIENTO EN UNA
DIMENSIÓN
GRM. Física I. Semestre 2011-1
Usain Bolt gana su segundo oro
en Moscú, en la carrera de 200 m
hizo un tiempo de 19.66 segundos,
le falta una medalla para superar
a Carl Lewis
2
Problemas para clase: Dependencia de
la velocidad con respecto al tiempo
Durante el intervalo de tiempo de 0.0 a 10.0 s, el
vector de posición de un automóvil en la carretera
está dado por
x(t) = a + b t + c t 2 ,
con a = 17.2 m, b = - 10.1 m/s y c = 1.10 m/s2.
¿Cuál es la velocidad del automóvil como función
del tiempo?
¿Cuál es la velocidad media durante el intervalo?
GRM. Física I. Semestre 2011-1
3
Problemas para clase:
Rapidez y velocidad
Suponga que una nadadora termina los primeros 50 m
de los 100 m en estilo libre en 38.2 s. Una vez que
llega al extremo opuesto de la piscina de 50 m de
largo, se vuelve y nada de regreso al punto de partida
en 42.5 s
¿Cuál es la velocidad media y cuál es la rapidez
media de la nadadora para
a) el tramo desde la salida hasta el lado opuesto
de la piscina
b) el tramo de regreso
c) la distancia total recorrida?
GRM. Física I. Semestre 2011-1
4
Rapidez promedio
Pero es una
determinación
relativa…
GRM. Física I. Semestre 2011-1
5
Velocidad promedio para
movimiento rectilíneo
Un automóvil que se mueve
en línea recta. El eje x
coincide con esta línea recta.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
6
Velocidad promedio para
movimiento rectilíneo
Gráfica de posición contra
tiempo de un automóvil que
acelera y luego se detiene.
Velocidad promedio
para el intervalo de
t1 = 8.0 s a t2 es la
pendiente de la línea
GRM. Física I. Semestre 2011-1
recta
P1 y P2
7
Velocidad instantánea
Gráfica de posición contra
tiempo para un automóvil que
se mueve con velocidad
variable
En un intervalo de tiempo
puede aproximarse a la
gráfica por una línea recta
corta (azul)
GRM. Física I. Semestre 2011-1
8
Velocidad instantánea
Velocidad instantánea
como derivada de x
con respecto a t
• Para hallar las velocidades
instantáneas a tiempos diferentes,
se trazan las tangentes a la gráfica
en estos tiempos y se miden sus
pendientes.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
9
Aceleración: es un cambio en la velocidad
La aceleración promedio para
el intervalo de
t1 = 0 a t2 = 10.0 s es la
pendiente de la línea recta
Q 1Q 2
• Aceleración promedio
GRM. Física I. Semestre 2011-1
10
Aceleracion instantánea
• La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración promedio conforme t se
aproxima a 0
2
vx dvx d x
a x  lim

 2
t 0 t
dt
dt
• La pendiente del gráfico de
velocidad vs. tiempo es la
aceleración
• La línea verde representa la
aceleración instantánea
• La línea azul es la
aceleración promedio
GRM. Física I. Semestre 2011-1
11
Aceleración
La aceleración instantánea
en t = 4 s es la pendiente de
la tangente en ese punto.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
12
Aceleración
instantánea
como función del
tiempo
• Aceleración
instantánea como
derivada de v con
respecto a t
GRM. Física I. Semestre 2011-1
13
EJEMPLO: Cuando se está viajando en
automóvil en un camino recto, se puede estar
viajando en sentido positivo o negativo, y se
puede tener una aceleración positiva o
negativa. Asocie las siguientes combinaciones
de velocidad y aceleración
a) Vel (+), acel (+)
b) Vel (+), acel (-)
c) Vel (-), acel (+)
d) Vel (-), acel (-)
GRM. Física I. Semestre 2011-1
1. Desacelerando en el
sentido positivo.
2. Acelerando en el
sentido negativo.
3. Acelerando en el
sentido positivo.
4. Desacelerando en el
sentido negativo.
14
Aceleración y Velocidad
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez.
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en dirección opuesta, el objeto desacelera.
Observe el Bat-móvil:
• El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las
flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño).
 La aceleración es igual a cero.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
15
Observe :
• La velocidad y la aceleración están en la misma dirección.
• La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la
misma longitud)
• La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas)
 Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva.
• La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas.
• La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la
misma longitud)
• GRM.
La Física
velocidad
decrece (las flechas rojas se hacen más cortas)
I. Semestre 2011-1
 La velocidad es positiva y la aceleración negativa.
16
Ejercicio para practicar:
En los campeonatos mundiales de pista y
campo de 1991 de Tokio, Japón, Carl Lewis
estableció un nuevo record mundial de los
100 m planos. A continuación se muestra una
lista de los tiempos en los que llegó a las
marcas de 10 m, 20 m, etc.
Determine la velocidad promedio para cada
intervalo de 10 s.
Determine también la aceleración promedio
considerando dos valores de
velocidad promedio y vea el desempeño del
atleta durante la carrera.
¿es constante su velocidad?
Trace los gráficos de posición vs. tiempo y
velocidad promedio vs tiempo.
t (s)
x (m)
0.00
0
1.88
10
2.96
20
3.88
30
4.77
40
5.61
50
6.46
60
7.30
70
8.13
80
9.00
90
9.87
100
17
Ecuaciones cinemáticas para el caso
especial de movimiento con aceleración
constante, donde t0 = 0 (tiempo inicial)
Además
GRM. Física I. Semestre 2011-1
vx prom = ½ (vxf + vxi)
18
Movimiento con aceleración constante
a)
Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante;
esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s2
b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente
de 2.0 m/s2
c) GRM.
Gráfica
de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola.
Física I. Semestre 2011-1
19
Ejemplo 1: Movimiento con
aceleración constante
Mientras un avión se desplaza por la pista para alcanzar la rapidez de
despegue, se acelera por sus motores de propulsión a chorro. En un
vuelo específico se ha determinado que la aceleración promedio es de
ax = 4.3 m/s2. Bajo la suposición de aceleración constante y partiendo
del reposo,
a) ¿cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s?
b) ¿qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento
del despegue?
Respuesta:
Vx = 79 m/s
GRM. Física I. Semestre 2011-1
20
x = 7.3 x102 m
Ejemplo 2: Movimiento con
aceleración constante
Ahora, como reto sencillo para Ud., considere el siguiente
problema, también de portaaviones:
Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s.
a) ¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0 s
debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja en
reposo?
b) Si el jet toca al portaaviones en x0 = 0, ¿cuál es su posición
final?
21
Respuesta para Ud.:
ax = - 32 m/s2 xf = 63 m
Gráfico de la curva de movimiento:
desplazamiento vs. tiempo
• La pendiente de la
curva es la
velocidad.
• La línea curva indica
que la velocidad es
cambiante
– Y por lo tanto, hay
aceleración !
GRM. Física I. Semestre 2011-1
22
Gráfico de la curva de movimiento:
curva velocidad vs. tiempo
• La pendiente da la
aceleración.
• La línea recta indica
aceleración
constante.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
23
Gráfico de movimiento: curva
aceleración vs. tiempo
• La pendiente cero
indica aceleración
constante.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
24
Ejemplo 3: Movimiento con aceleración
constante
Un automóvil que viaja con rapidez constante de 45.0 m/s
pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto
detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después
de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su
escondite para detener al automóvil, y acelera
constantemente a 3.00 m/s2.
¿Cuánto tiempo tarda
en darle alcance al
automóvil?
25
Respuesta para Ud.:
t = 31 s
Ejemplo 4: Movimiento con aceleración constante
Un automóvil viaja a 86 km/h en un camino recto cuando el
conductor detecta un accidente que está adelante y frena
repentinamente. El tiempo de reacción del piloto, es decir, el
intervalo de tiempo entre ver el accidente y pisar el pedal de
freno, es de 0.75 s. Una vez que se aplican los frenos, el
automóvil desacelera a 8.0 m/s2
¿Cuál es la distancia total para detenerse?
Un automóvil frenando. El origen de las coordenadas está en el
punto en el que el conductor detecta un accidente
26
Respuesta para Ud.:
x = 54 m
• EJEMPLOS DE MOVIMIENTO EN
UNA DIMENSIÓN: CAÍDA LIBRE
La aceleración de la
caída libre
GRM. Física I. Semestre 2011-1
Fotografía estroboscópica de una
manzana y de una pluma en caída
libre en una cámara en vacío
parcial.
La manzana y la pluma se soltaron
simultáneamente desde la escotilla
en la parte superior.
La fotografía se hizo dejando
abierto el obturador de la cámara y
disparando un flash de luz a
intervalos regulares
27
Objetos en caída libre
• Un objeto en caída libre es cualquier
objeto que se mueva libremente,
solamente bajo la influencia de la
gravedad.
• No depende del movimiento inicial del
objeto.
Ejemplos:
– Objetos liberados desde el reposo
– Lanzados hacia abajo
– Lanzados hacia arriba
GRM. Física I. Semestre 2011-1
28
Aceleración de objetos en caída libre
• La aceleración de un
objeto en caída libre se
dirige hacia abajo, sin
importar su movimiento
inicial.
• La magnitud de la
aceleración de la caída
libre es g = 9.80 m/s2
– g varia con la latitud
– g se reduce al
incrementarse la altitud
– 9.80 m/s2 es el promedio
en la superficie terrestre
GRM. Física I. Semestre 2011-1
• Se desprecia la resistencia
del aire
• El movimiento de caída
libre es un movimiento con
aceleración constante en
una dimensión
• Por conveniencia se fija
como positivo el eje
ascendente (hacia arriba)
• Se emplean las ecuaciones
de movimiento con ay = g =
-9.80 m/s2
29
Ejemplo 1. (Serway)
A una piedra que se lanza desde lo alto de un
edificio se le da una velocidad inicial de 20.0
m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0
m de alto y la piedra apenas libra el borde del
techo en su camino hacia abajo, como se
muestra en la siguiente figura.
i) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra
deja la mano del lanzador en la posición (A) y
determine el tiempo en el que la piedra llega a su
altura máxima.
ii) Encuentre la altura máxima de la piedra
iii) Determine la velocidad de la piedra cuando
regresa a la altura desde la que se le lanzó.
iv) Encuentre la velocidad y posición de la
piedra en t = 5.0 s
30
Análisis del Ejemplo 1.
• La velocidad inicial en A es hacia
arriba (+) y la aceleración es g (-9.8
m/s2).
• En B, la velocidad es 0 y la
aceleración es g (-9.8 m/s2).
• En C, la velocidad tiene la misma
magnitud que en A, pero es en
dirección opuesta.
• El desplazamiento es –50.0 m
(termina 50.0 m por debajo de su
punto inicial)
31
Respuestas para Ud. tB = 2.04 s yB = 20.4 m vyC = -20.0 m/s
vyD = -29.0 m/s yD = -22.5 m
Ejemplo 2. (Ohanian/Markert)
En Acapulco, clavadistas profesionales
divierten a los turistas saltando al mar desde
un risco de 36 m de altura (ver figura).
a) ¿Durante cuánto tiempo caen?
b) ¿Cuál es la velocidad de impacto en el
agua?
Salto de un
clavadista.
El cambio de
posición es negativo
(x-x0 < 0)
32
Respuestas para Ud. t = 2.7 s
vx = -26 m/s
Ejemplo 4. (Ohanian/Markert)
Un arco potente, como los que se usan para
establecer récords mundiales de arquería,
puede lanzar una flecha a una velocidad de
90 m/s.
¿A qué altura subirá una flecha si se dispara
verticalmente hacia arriba?
¿Cuánto tardará en regresar al suelo?
¿Cuál será la velocidad al tocar tierra?
Por simplicidad ignore la fricción del aire y
trate la flecha como una partícula ideal.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
33
EL BIRRETE VOLADOR (Tipler/Mosca)
y
ymáx
v
v0
y0
Año 2018: Un estudiante de física del grupo 3,
contento por su graduación, lanza su
birrete hacia arriba con una velocidad
inicial de 14.7 m/s. Considerando que su
aceleración es 9.81 m/s2 hacia abajo
(desprecie la resistencia del aire).
a) ¿Cuánto tiempo tarda el birrete en
alcanzar su punto más alto?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
c) Suponiendo que el birrete se retoma a la
misma altura de la que ha salido ¿Cuánto
tiempo permanece en el aire?
0
34
Tarea 4 parte 1 (se entrega el martes 10 sept)
Resuelva el siguiente problema y conteste las
preguntas que se plantean:
1) Juan trepa a un árbol para escuchar mejor al conferenciante
de su ceremonia de graduación que se celebra al aire libre.
Desgraciadamente olvidó sus prismáticos abajo. María lanza
los prismáticos hacia Juan, pero su fuerza es mayor que su
precisión. Los prismáticos pasan a la altura de la mano
extendida de Juan 0.69 s después del lanzamiento y vuelven
a pasar por el mismo punto 1.68 s más tarde.
1a) ¿A qué altura se encuentra Juan?
1b) Determinar la velocidad inicial de los prismáticos y la
velocidad que llevan cuando pasan a la altura de Juan en su trayectoria
descendente.
35
Tarea 4 parte 1 (se entrega el martes 10 sept)
Continúa….
2) Suponga que se arroja una piedra directamente hacia arriba
de modo que alcanza una altura máxima y luego cae de
regreso. En el instante en que la piedra alcanza la altura
máxima ¿su velocidad es positiva, negativa o cero? ¿su
aceleración es positivo, negativa o cero? Suponga que el eje x
se dirige hacia abajo
3) Se deja caer un vaso lleno de agua desde lo alto de un edificio
¿Se derramará el líquido fuera del vaso mientras este cae?
¿Por qué?
36
La relatividad del movimiento y la suma
de velocidades
•
•
•
•
•
El sistema de
coordenadas x’ y y’
(azul) del barco se
mueve en relación
con el sistema de
coordenadas x – y
• (verde) de la costa
GRM. Física I. Semestre 2011-1
37
La relatividad del movimiento y la suma de
velocidades
Regla de la suma para las velocidades,
también conocida como
transformación galileana de
velocidades
La velocidad en los dos marcos de referencia difiere
sólo por una constante Vo. Por lo que las
aceleraciones en los dos marcos de referencia son
iguales:
PARA MARCOS DE REFERNCIA EN MOVIMIENTO
UNIFORME EN RELACION MUTUA, LA
ACELERACIÓN ES UNA CANTIDAD ABSOLUTA.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
38
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Componentes de la velocidad y la aceleración
Trayectoria de un automóvil
por las calles de la ciudad de
Nueva York
GRM. Física I. Semestre 2013-1
39
Componentes de la velocidad
y la aceleración
a) En un pequeño intervalo
de tiempo dt, el
desplazamiento es P1P2
y los cambios en las
coordenadas x y y son dx
y dy
b) Los desplazamientos dx
y dy son los catetos de
un triángulo rectángulo
GRM. Física I. Semestre 2011-1
40
Componentes de la velocidad
y la aceleración, 2D
Componentes
de la velocidad
instantánea
Componentes
de la aceleración
instantánea
Magnitud de la velocidad en
términos de los componentes
GRM. Física I. Semestre 2011-1
41
Componentes de la velocidad
y la aceleración
Automóvil tomando una
curva. Las flechas
indican las direcciones
del movimiento
GRM. Física I. Semestre 2011-1
42
Los vectores velocidad y aceleración
En un pequeño intervalo de
tiempo dt, los cambios en
las coordenadas x y y son
dx y dy. El vector de
desplazamiento es
dxi + dxj.
Este vector es tangente a la
trayectoria de la partícula,
como lo es también el
vector de la velocidad
v = (dxi + dyj)/dt
GRM. Física I. Semestre 2011-1
43
Representaciones vectoriales y de
componentes de (a) la velocidad
(b) la posición de una partícula
que se mueve con una aceleración
constante
a.I. Semestre 2011-1
GRM. Física
44
Extensión de las ecuaciones cinemáticas
para dos dimensiones
GRM. Física I. Semestre 2013-1
45
Los vectores velocidad y aceleración
Vectores velocidad de un proyectil en diferentes instantes
GRM. Física I. Semestre 2012-1
46
GRM. Física I. Semestre 2011-1
47
Los vectores velocidad y aceleración
a) Una “bomba volcánica” después
del impacto en el suelo
b) El vector de velocidad inicial
de la “bomba volcánica” y
sus componentes
GRM. Física I. Semestre 2011-1
48
Movimiento de proyectiles
Trayectoria de una
bomba volcánica con
una velocidad inicial
v0+
GRM. Física I. Semestre 2012-1
49
Movimiento de proyectiles
Trayectoria de una bomba soltada por un bombardero.
La componente vertical inicial de la velocidad es cero y la
componente horizontal inicial es la misma que la del bombardero
GRM. Física I. Semestre 2011-1
50
Ejemplo para resolver:
El final del salto con esquíes (Serway, 2005)
Una esquiadora deja la rampa y se desliza en la dirección
horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. El plano de aterrizaje bajo
ella cae con una pendiente de 35°.
¿Dónde
aterrizará
en el plano?
GRM. Física I. Semestre 2011-1
51
Tarea 5 (se entrega):
EL COYOTE Y EL CORRECAMINOS
GRM. Física I. Semestre 2011-1
52
Tarea 5 (se entrega):
Un decidido coyote está nuevamente en persecución del elusivo
correcaminos. El coyote usa un par de patines (marca ACME), con
ruedas de propulsión, que proporcionan una aceleración horizontal
constante de 15 .0m/s2. El coyote parte del reposo a 70.0 m de la orilla
de un risco en el instante en que el correcaminos lo pasa en la
dirección del risco.
a) Si se supone que el correcaminos se mueve con rapidez
constante, determine la rapidez mínima que debe tener para
alcanzar el risco antes que el coyote.
En el borde del risco, el correcaminos escapa al hacer un giro
repentino mientras el coyote continúa de frente. Los patines del
coyote permanecen horizontales y continúan funcionando mientras el
coyote está en vuelo, de modo que su aceleración, mientras está en el
aire es (15.0 i – 9.80 j) m/s2.
b) El risco está a 100 m sobre el suelo plano de un cañón. Determine
dónde aterriza el coyote en el cañón.
c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
53
Una piedra es lanzada hacia
arriba desde lo alto de un
edificio,
a un ángulo de 30.0° con la
horizontal y con una rapidez
inicial
de 20.0 m/s. La altura del
edificio es de 45.0 m
Ejemplo para resolver:
¡Vaya brazo ! (Serway, 2005)
a) ¿Cuánto tarda la piedra en
llegar al suelo?
b) ¿Cuál es la rapidez de la
piedra justo antes de golpear
el suelo?
GRM. Física I. Semestre 2011-1
54
ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA
EN UN PROYECTIL
GRM. Física I. Semestre 2011-1
Revise en un texto de Física I
Universitaria la deducción de estos
casos particulares de movimiento
55
en dos dimensiones.
Ejemplo para resolver: Salto de longitud (Serway, 2005)
Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a
un ángulo de 20.0° sobre la horizontal y con una rapidez
de 11.0 m/s.
a) ¿Qué distancia salta en la dirección horizontal?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
El atleta mexicano Luis Rivera ganó una
histórica medalla de bronce en la prueba
de salto de longitud, en el Mundial de
Atletismo Moscú 2013, con un registro de
8.27 metros.
En la Universiada Mundial de Kazán 2013,
obtuvo la medalla de oro con un salto de
8.46 metros
56
Movimiento circular uniforme
Vectores velocidad
instantánea para una
partícula en movimiento
circular uniforme
GRM. Física I. Semestre 2011-1
57
Movimiento circular uniforme
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
(dirección es hacia el centro del círculo)
Una partícula en movimiento circular
uniforme, experimenta una aceleración
radial a puesto que la dirección de v
cambia con el tiempo.
PERÍODO EN EL MOVIMIENTO
CIRCULAR
Intervalo de tiempo requerido para
una revolución completa de la
partícula
58
Ejemplo para resolver:
Aceleración centrípeta de la Tierra (Serway, 2005)
¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra a medida que se
mueve en su órbita alrededor del Sol?
Dato: radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol = 1.496x1011 m.
GRM. Física I. Semestre 2011-1
59
Aceleraciones tangencial y radial
Aceleración total
Si el vector velocidad v
(siempre tangente a la trayectoria)
cambia en dirección y magnitud,
las componentes de la aceleración a
son una componente tangencial at y
otra componente radial ar
GRM. Física I. Semestre 2011-1
La componente de aceleración
radial surge de una cambio en
dirección del vector velocidad.
La componente de aceleración
tangencial causa un cambio en
la rapidez v de la partícula. 60
Ejemplo para resolver:
En la cumbre (Serway, 2005)
Un automóvil muestra una aceleración constante de 0.300 m/s2 paralela
a la autopista. El automóvil pasa sobre una elevación en el camino tal
que, lo alto de la elevación tiene forma de círculo con 500 m de radio.
En el momento en que el automóvil está en lo alto de la elevación, su
vector velocidad es horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s.
¿Cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración total
para el automóvil en ese instante?
GRM. Física I. Semestre 2011-1
61