Gases ideales .

Gases ideales .
Introducción a la Física Ambiental.
Tema 3.
Tema 3. IFA (Prof. RAMOS)
1
Tema 3.- " Gases ideales ".
•
•
•
•
•
Ecuación de estado: Gases ideales.
Energía interna y Entalpía.
Capacidades caloríficas: relación de Mayer.
Procesos cuasi-estáticos: Isotermos y Adiabáticos.
Interpretación cinética de un gas ideal: Presión y
temperatura.
• Distribución de velocidades moleculares.
• Mezcla de gases.
• Presión de vapor de agua en el aire: Humedad
relativa.
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1
Gases ideales: Ecuaciones de estado.
• Propiedades de comportamiento de los
gases ideales.
– Ecuación de estado:
PV = nRT
– Ecuación energética:
U = U (T )
– Coeficientes elásticos:
1
T 
β = 
1
P
κT =  
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3
Energía interna y entalpía.
• Energía interna:
• Entalpía:
– Al no existir fuerzas de
interacción molecular
en los gases ideales.
U = U (T )
– Sólo función de la
temperatura en gases
ideales:
H = U + PV = U + nRT
– En procesos a V=cte.
– En procesos a P=cte.
dH = dU + PdV
δQV = dU
δQP = dH
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2
Gases ideales:Capacidades Caloríficas.
• Capacidad calorífica a
presión constante:
δQ p
dH
Cp =
Cp =
dT
dT
• Capacidad calorífica a
volumen constante:
δQ
dU
CV = V CV =
dT
dT
δQ p = dU − δW = dU + PdV = dH
δQV = dU
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Comportamiento de las capacidades
caloríficas.
• Para los sistemas poco compresibles como los
sólidos y líquidos, β muy pequeño. El trabajo
mecánico realizado durante una transformación
isóbara es prácticamente nulo.
C P ≅ CV
• Para aquellos sistemas muy compresibles (gases) en
los que β>0,
C P > CV
C P − CV > 0
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3
Ecuaciones calorimétricas I.
• Capacidad calorífica a V=cte. en un gas
ideal. U=U(T).
dU
CV =
dT
• Primera ecuación calorimétrica:
dU = CV dT
δQ = CV dT + PdV
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Ecuaciones calorimétricas II.
• Segunda ecuación calorimétrica:
– Gas ideal:
– Derivando:
PV = nRT
PdV = nRdT − VdP
– Utilizando la 1ª ecuación calorimétrica:
δQ = (CV + nR)dT − VdP
– Segunda ecuación calorimétrica:
» Si p=cte. δQ = (C + nR)dT = dH
P
V
dH
= CP
dT
δQ = C P dT − VdP
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4
Relación de Mayer( relación Cp-Cv=?).
• De la 2ª ecuación calorimétrica obtenemos:
C P − CV = nR
• Capacidades caloríficas para los gases ideales
monoatómicos:
CV =
3
nR
2
CP =
Problema 1. Hoja IFA3
5
nR
2
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Procesos cuasi-estáticos: Isotermos y Q=0.
• Isotermo T=cte.
• Adiabático
δQ = 0
PV = cte
• Trabajo:
V2
V
2
nRT
dV
W = −∫
dV = −nRT ∫
V
V
V1
V1
W = − nRTLn (V )VV12 = − nRTLn
V2
V1
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5
Procesos cuasi-estáticos.
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Procesos cuasi-estáticos: Adiabáticos (Q=0).
• De las ec. calorimétricas:
δQ = CV dT + PdV = 0
δQ = C P dT − VdP = 0
• Obtenemos:
C P dT = VdP
CV dT = − PdV
C P cP
=
=γ
CV cV
CV
P dV
=−
CP
V dP
» Dividiendo:
• Integrando:
∫
• Trayectoria adiabática:
dP
dV
= −γ ∫
P
V
γ
PV = cte
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Trayectorias adiabáticas.
• Trayectorias adiabáticas cuasi-estáticas:
PV γ = cte
TV γ −1 = cte
P1−γ T γ = cte
• Trabajo adiabático:
• Al ser un gas ideal:
dU = δW
dU = CV dT
W = CV ∆T = cV m∆T =
Problema 2. Hoja IFA3
( Pf V f − PiVi )
γ −1
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Coeficiente de compresibilidad adiabático.
• Definición:
 ∂V 

 ∂P T
• Isotermo:
κ = −(1 / V )
 ∂V 

 ∂P  S
• Adiabático:
κ = −(1 / V )
• Para un gas ideal:
» Isotermo:
» Adiabático:
Problema 3. Hoja IFA3
[κ ] = M −1LT 2
1
P
κT =  
 1 
κ S =  
 γP 
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Interpretación cinética de un gas
ideal: Presión y temperatura.
• Bases Físicas:
– Hipótesis atómica de la materia.
– Interpretación mecanicista de los componentes
atómicos (mecánica clásica).
– Gran número de partículas (leyes estadísticas).
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N≈NA=6.10 moléculas/mol.
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Interpretación cinética de un gas
ideal:Hipótesis.
• Gran número de partículas, en un sistema con baja
densidad.
• Movimiento de las partículas definido por la mecánica
clásica.
• Interacción entre partículas por choques elásticos.
• Fuerzas de interacción molecular despreciables.
• Gas puro.
• Sistema en equilibrio térmico. Tgas=cte.
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Interpretación cinética de la presión I.
• La presión macroscópica es la suma de contribuciones
microscópicas del intercambio de momento lineal de las
partículas del sistema contra las paredes del recipiente que
las contiene.
– nº de moléculas en (vx∆tA):
N
(v x ∆tA)
V
– nº de moléculas sentido (←) :
N
(v x ∆tA)
2V
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Interpretación cinética de la presión II.
• Cambio de momento al chocar una partícula
contra el recipiente:
∆p x = − mvx − (mvx ) = 2mvx
• Cambio de momento al chocar N partículas
contra el recipiente:
1N
→ ∆p x = N mv x 2 A∆t
∆p x =
(v x ∆tA)2mvx
2V
V
n
n
• A partir de la ley de Newton:
– Tenemos, en módulo:
P=
r dpr
F=
dt
F 1 ∆p
→
=
A A ∆t Tema 3. IFA (Prof. RAMOS)
P=
N
2
mv x
V
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Significado estadístico de la temperatura.
• Tenemos, en 1-Dimensión:
2
PV = Nm < v x >= 2 N <
1
2
mv x >= NkT = PV
2
⇓
<
• En 3-D, siendo equiprobables:
2
1
1
2
mv x >= kT
2
2
2
2
< v x >=< v y >=< v z >
• La energía cinética media de las partículas será:
2
< v 2 >= 3 < v x >
1
3
3kT
< Ec >=< mv 2 >= kT
⇒
< v 2 >=
2
2
m
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Distribución de las velocidades moleculares.
• Función de Maxwell-Boltzmann:
– Si el número total de moléculas es N, el nº de moléculas dN cuya
velocidad está comprendida entre v y v+dv, es: dN = Nf (v ) dv
⇓
3
f (v ) = 4
 m  2 2 − mv 2 2 kT

 ve
π  2kT 
» Velocidad más probable:
vmax =
2kT
m
» Raíz de la velocidad cuadrática media:
vrcm = < v 2 > =
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M = N Am
3kT
3RT
=
m
M
R = N Ak
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Distribución de las velocidades moleculares.
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Velocidades cuadráticas medias.
• Velocidad cuadrática media para H2 y O2, para una temperatura de
300 k.
Vel.
O2
H2
3
kT
(m/s)
< v2 > =
483
1930
m
• Velocidad de escape en la Tierra y Luna:
ve =
2GM T
= 11200 m
s
RT
• Para que exista un gas:
ve =
2GM L
= 2300 m
s
RL
1
vrmn = < v 2 > ≤ ve
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Capacidades caloríficas. Gases
monoatómicos.
• Para un gas ideal, la capacidad calorífica a V=cte:
dU
dT
CV =
• La energía cinética para 3N grados de libertad:
U = ∑ < Ec > = ∑ <
N
N
3 2
3
mv > = NkT
2
2
• Capacidades caloríficas:
CV =
3
3
Nk = nR
2
2
⇒ C P − CV = nR ⇒
CP =
5
nR
2
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Mezcla de gases.
• Ley de Gigss-Dalton:
– Cada componente gaseoso de la mezcla ocupa el volumen
total a la temperatura de equilibrio, comportamiento ideal
(si hay i-componentes):
Pi =
ni RT
V
• La presión total de la mezcla será:

 RT
RT
=n
P = P1 + .... + Pi = ∑ Pi =  ∑ ni 
V
i
 i  V
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P=
nRT
V
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Mezcla de gases:propiedades energéticas.
• Energía interna de la mezcla de gases:
U = U1 + .... + U i = ∑ U i
u=
i
1
∑ miui
m i
– Calor específico a V=cte.
cV =
 1
du
d 1
du
=
 ∑ mi ui  = ∑ mi i
dT dT  m i
dT
 m i
⇒
cV =
1
∑ mi cVi
m i
• Entalpía de la mezcla de gases:
H = ∑ Hi
h=
i
– Calor especifico a P=cte.
cP =
1
∑ mi hi
m i
dh
1
dh 1
= ∑ mi i = ∑ mi cPi
dT m i
dT m i
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Presión de vapor de agua en el aire.
• Se considera al aire como una mezcla de gases (aire seco + vapor de agua).
Ecuación de estado:
P = PV + ∑ Pi
i
• La presión del vapor de agua sigue el comportamiento del diagrama de
equilibrio del agua en sus diferentes fases (diagrama del punto triple):
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Presión de vapor del agua en función de la
temperatura.
T (ºC )
P (m m H g)
P (K pa)
0
10
4.581
9.209
0.611
1.23
15
20
12.653
17.535
1.69
2.34
30
31.827
4.24
40
50
60
70
55.335
92.55
149
233.8
7.38
12.3
19.9
31.2
80
355
47.4
90
526
70.1
100
760
101.3
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Humedad relativa.
• Punto de rocío:
– Temperatura a la que el vapor de agua está en saturación con su fase
líquida. Cuando se realiza un enfriamiento del sistema a presión
constante (diagrama de punto triple) el vapor se licúa.
• Humedad absoluta:
– Masa total de agua, en forma de vapor, que por unidad de volumen
contiene el sistema.
H =M
[
ab
]
• Humedad relativa:
– Cociente entre la masa de agua, en forma de vapor, y la masa de
saturación en equilibrio térmico.
H (%) =
Problema 4. Hoja IFA3
Tema 3. IFA (Prof. RAMOS)
nV
P V RT
P
= V
= V
nsat PsV RT Psat
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