Combinatoria y estad´ıstica

Capı́tulo 3
Combinatoria y estadı́stica
Objetivos
Recordar las principales operaciones combinatorias y de estadı́stica descriptiva.
3.1.
Combinatoria
Sea n un número natural. Definimos el factorial de n, y lo denotamos por
n!, de la siguiente forma:
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 .
Como definición aceptaremos que 0! := 1.
Ejemplo 3.1.1 1! = 1 . 2! = 2 · 1 = 2 .
24 . 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 . . .
3! = 3 · 2 · 1 = 6 .
4! = 4 · 3 · 2 · 1 =
Sea X un conjunto de n elementos. Denominaremos variaciones de n elementos tomados de m en m a las distintas maneras de extraer subconjuntos
ordenados de m elementos de X.
El número total, Vnm , de variaciones de n elementos tomados de m en m
viene dado por la fórmula:
Vnm =
n!
= n(n − 1) · · · (n − m + 2)(n − m + 1) .
(n − m)!
Ejemplo 3.1.2 Las distintas secuencias de dos letras que se pueden formar con
las letras a, b, c son variaciones de tres elementos tomados de dos en dos:
ab , ac , ba , bc , ca , cb ,
y su número es V32 =
3!
= 6.
(3 − 2)!
Sea X un conjunto de n elementos. Denominaremos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a las distintas maneras de extraer
1
2
CAPÍTULO 3. COMBINATORIA Y ESTADÍSTICA
subconjuntos ordenados de m elementos de X, permitiendo que los elementos
se repitan.
El número total, V Rnm , de variaciones con repetición de n elementos tomados
de m en m viene dado por la fórmula:
V Rnm = nm .
Ejemplo 3.1.3 Las distintas secuencias de dos letras que se pueden formar con
las letras a, b, c admitiendo repeticiones son variaciones con repetición de tres
elementos tomados de dos en dos:
aa , ab , ac , ba , bb , bc , ca , cb , cc ,
y su número es V R32 = 32 = 9.
Sea X un conjunto de n elementos. Denominaremos permutaciones de n
elementos a las variaciones de n elementos tomados de n en n.
El número total, Pn , de permutaciones de n elementos viene dado por la
fórmula:
Pn = n! .
Ejemplo 3.1.4 Las distintas secuencias de tres letras que se pueden formar
con las letras a, b, c son permutaciones de tres elementos:
abc , acb , bac , bca , cab , cba ,
y su número es P3 = 3! = 6.
Sea X un conjunto de n elementos, entre los cuales un elemento está repetido
n1 veces, otro n2 veces. . . de modo que n = n1 + n2 + · · · np . Denominaremos
permutaciones con repetición de n elementos a las permutaciones de los
n elementos, excluyendo las permutaciones repetidas.
El número total, P Rn , de permutaciones con repetición de n elementos viene
dado por la fórmula:
n!
.
P Rn =
n1 ! · · · np !
Ejemplo 3.1.5 Las distintas secuencias de cinco letras que se pueden formar
con las letras a, a, a, b, b son permutaciones con repetición:
aaabb , aabab , aabba , abaab , ababa ,
abbaa , baaab , baaba , babaa , bbaaa ,
5!
y su número es P R5 =
= 10.
3!2!
Sea X un conjunto de n elementos. Denominaremos combinaciones de n
elementos tomados de m en m a las distintas maneras de extraer subconjuntos de m elementos de X, sin tener en cuenta el orden.
El número total, Cnm , de combinaciones de n elementos tomados de m en m
viene dado por la fórmula:
n!
n
Cnm =
:=
.
m
m! · (n − m)!
A esta expresión se la conoce como número combinatorio.
3
3.2. ESTADÍSTICA
Ejemplo 3.1.6 Los distintos subconjuntos de dos letras que se pueden formar
con las letras a, b, c sin tener en cuenta el orden de las mismas son combinaciones de tres elementos tomados de dos en dos:
ab, ac, bc,
y su número es C32 =
3!
= 3.
2!1!
Ejemplo 3.1.7 Binomio de Newton.
Vamos a demostrar la fórmula
n X
n
n
an−m bm = an + nan−1 b + · · · + nabn−1 + bn .
(a + b) =
m
(3.1)
m=0
La potencia (a + b)n es el producto de n factores de la forma (a + b), con lo
cual en la expresión aparecerán monomios de la forma ap bq tales que p + q = n,
es decir, de la forma an−m bm , que se obtienen como producto de n − m a y m
b, en cualquier orden.
Por tanto, el monomio an−m bm aparece tantas veces como permutaciones
de n elementos donde a se repite n − m veces y b se repite m veces. Es decir,
aparece n!/(n − m)!m! veces, que no es sino el número combinatorio que figura
en la fórmula del binomio de Newton.
3.2.
Estadı́stica
Obtener la media de varios valores numéricos tiene por objeto sustituir una
muestra de valores por otro valor que represente a la muestra de algún modo, o
que proporcione información sobre la muestra.
Denominamos media aritmética de una muestra de N números x1 ,. . . , xN
a la expresión
N
x1 + · · · xN
1 X
x̄ =
xi .
=:
N
N i=1
P
Es la definición de media más usual. El sı́mbolo
se denomina sumatorio
y sirve para agilizar la notación.
Ejemplo 3.2.1
N
X
i=1
1 = 1 + · · · + 1 = N.
| {z }
N
Otra definición de media, aunque menos usual, es la media geométrica,
√
dada por la expresión N x1 · · · xN . Una propiedad importante es que la media
geométrica de varios números positivos es siempre menor que su media aritmética.
Finalmente, otra definición poco usual de media es la media armónica,
x−1
1
N
,
+ . . . x−1
N
que no es más que la inversa de la media de las inversas de los números x1 ,. . . ,
xN .
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CAPÍTULO 3. COMBINATORIA Y ESTADÍSTICA
Ejemplo 3.2.2 Medias de 4, 6, 9.
La media aritmética es 19/3. La media geométrica es 6 y la media armónica,
108/19.
3.3.
Progresiones
Una sucesión es una lista ordenada de números, x0 ,. . . , xn . . . Muchas
P veces
es interesante conocer el valor de la suma de los valores de la sucesión,
xi , lo
cual no suele ser fácil de realizar.
Un ejemplo sencillo de sucesión es la progresión aritmética,
x1 = a , x2 = a + r , x3 = a + 2r , . . . , xn = a + (n − 1)r . . .
en la que cada elemento se obtiene sumando la razón r al anterior.
En este caso, la suma de los términos hasta xN de la sucesión es
N
X
xn = N
n=1
x1 + xN
,
2
es decir, la semisuma del primero y el último elemento, multiplicada por el
número de elementos.
Ejemplo 3.3.1 Suma de los diez primeros elementos de la progresión artimética con a = 2, r = 3, x1 = 2, x2 = 5,. . . , x10 = 29.
10
X
xn = 10
n=1
2 + 29
= 155 .
2
Otra sucesión interesante es la progresión geométrica,
x1 = a , x2 = ar , x3 = ar2 , . . . , xn = arn−1 , . . .
en la que cada elemento se obtiene multiplicando por la razón r al anterior.
La suma de los términos hasta xN de la sucesión es, en este caso,
N
X
xn =
n=1
arN − a
rxN − x1
=
.
r−1
r−1
Ejemplo 3.3.2 Suma de los cinco primeros elementos de la progresión geométrica con a = 2, r = 3, x1 = 2, x2 = 6,. . . , x5 = 162.
5
X
n=1
xn =
162 · 3 − 2
= 242 .
3−1
Finalmente, otro tipo interesante de sucesiones son las sucesiones de Fibonacci, en las que cada término se obtiene como suma de los dos precedentes,
xn = xn−1 + xn−2 . Curiosamente, describe el número de pétalos que tiene una
flor en cada capa.
Ejemplo 3.3.3 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . es una sucesión de Fibonacci.