Producto cartesiano y relaciones Resumen

Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B llamamos producto cartesiano de A “por” B al conjunto de pares
ordenados tales que la primer componente del par pertenece al conjunto A y la segunda al
conjunto B.
A x B = {(x, y)/ x ∈A ∧ y∈B}
Definición de relación:
Dados dos conjuntos A y B, una relación de A en B es todo subconjunto del producto
cartesiano A x B.
R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A x B
Clasificación de relaciones
1. Relación de equivalencia
Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A
decimos que
esta relación es de equivalencia si y solo si R cumple:
1) Propiedad idéntica ∀a, a ∈A, aRa
2) Propiedad recíproca ∀ a ∈A ,∀ b∈B , ( aRb ⇒ bRa )
3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A ,∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc )
2. Relación de orden estricto
Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A
decimos que
esta relación es de orden estricto si y solo si R cumple:
1) Propiedad inidéntica ∀a, a ∈A, a R/ a
2) Propiedad asimétrica ∀ a ∈A , ∀ b∈B , ( (aRb ⇒b R/ a )
3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc )
3. Relación de orden amplio
Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A
decimos que
esta relación es de equivalencia si y solo si R cumple:
1) Propiedad idéntica ∀a, a ∈A aRa
2) Propiedad antisimétrica ∀ a ∈A , ∀ b∈B , ( (aRb ∧bRa ) ⇒ a = b )
3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A ,∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc )
4. Relación de orden estricto total
Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A
decimos que
esta relación es de orden estricto total si y solo si R cumple:
Propiedad de tricotomía ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,( aRb ó bRa ó a = b )
5. Relación de orden amplio total
Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A
decimos que esta relación es de orden amplio total si y solo si R cumple:
Propiedad dicotómica ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,( aRb ∨ bRa )
UTU Maldonado
Prof. Juan Cabral
Distintas formas de representar una relación
a)
Mediante Diagramas de Venn También llamados gráficos de flechas
Por ejemplo: Dados A = {a , b , c } B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
A
B
a
1
c
b
2
3
5
4
b)
Mediante un gráfico cartesiano
c)
Mediante cuadro de doble entrada o matriz cero-uno
a
b
c
1 2 3 4 5
x x
x

1 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
Tal que es 1 si (ai , bj)  R y 0 si (ai , bj)  R
Distintas formas de definir una relación
a)
Definición por extensión
Esta definición se utiliza en el caso de relaciones finitas
Ejemplo: Sean los conjuntos A y B definidos anteriormente y
R2 = { ( a , 3 ) , ( b , 4 ) , ( b , 5 ) , ( c , 3 ) }
b)
Definición por comprensión
Sean A y B los conjuntos definidos anteriormente x R3 y ⇔ y = 1
c)
Definición gráfica
Cualquiera de las formas gráficas vistas anteriormente define una relación
UTU Maldonado
Prof. Juan Cabral