Cálculo diferencial e integral I Joaquín Chadicov

Cálculo diferencial e integral I
Joaquín Chadicov
Este texto no habría sido posible sin la ayuda de Marcos Barrios, Diego Carrasco, Bruno
Yemini, entre otros. Gracias a todos ellos, y en especial al profesor Mario Wschebor por un
curso tan inspirador y memorable.
Resumen. “Existe una opinión muy generalizada según la cual la matemática es la ciencia
más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en
el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados
quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego
y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El
resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte (y en
verdad lo hace) mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia” -Ernesto
Sabato, Uno y el Universo.
De adolescente me obsesionaba comprobar que la matemática estuviera bien, que todo
cerrase, y casi me sorprendía que así fuera. Ahora, luego de haberlo comprobado incontables
veces, me fascina por qué. ¿Será acaso la matemática una especie de utopía inmutable e incorruptible a la que accedemos al concentrarnos lo suficiente? ¿O será la ley misma que rige
el universo, la cual hemos aprendido tras millones de años de evolución como una clase de
instinto? Porque si algo fascina de las matemáticas es la estrecha relación que parece guardar
con el mundo “real”, el medible; que una invención “humana” permita modelar con tal precisión
objetos materiales, e incluso hacer predicciones que luego pueden ser confirmadas experimentalmente, parece fantástico. Claro que podría ser todo una gran coincidencia... Coincidencia
que Mercurio gire alrededor del Sol tal y como lo predice la Relatividad. Coincidencia que el
Hidrógeno emita radiación de las mismas frecuencias que predice la Mecánica Cuántica. Coincidencia la Termodinámica y el motor de combustión interna, el Electromagnetismo y la radio,
la Cuántica y los superconductores, la Relatividad y los agujeros negros. Coincidencia o no,
las matemáticas juegan un papel central en la búsqueda empírica del conocimiento, siendo el
Cálculo diferencial e integral una de las herramientas más ampliamente usadas en las ciencias
naturales.
Este texto está dirigido a estudiantes de 1o año de licenciaturas de ciencias físicas y
matemáticas, y basado en el curso de Cálculo diferencial e integral I dictado por Mario Wschebor
en 2007, Facultad de Ciencias, UdelaR. Con el objetivo de reflejar la simpleza de las matemáticas
a la que hace referencia Sabato, he tratado de ser tan abarcativo en los contenidos a cubrir
como minucioso en las demostraciones y argumentaciones. Sin embargo, este texto no pretende
ser más que una guía teórica para un curso de Cálculo de funciones reales de una variable, y
se recomienda fuertemente al estudiante consultar bibliografía adicional.
Correcciones y sugerencias son siempre bienvenidas; favor de remitirlas a mi correo electrónico: [email protected]
Índice general
Capítulo 1.
Número Real
5
1.1. Definición de R.
5
1.2. Propiedades de los Números Reales
6
1.3. Algunos subconjuntos importantes de Reales
12
1.4. Comentarios finales sobre los Números Reales
16
Capítulo 2.
Nociones Topológicas en R
18
2.1. Conjuntos abiertos y cerrados
18
2.2. Sucesiones de números Reales
19
2.3. Límites y continuidad de funciones Reales
24
Capítulo 3.
Integral de Riemann
34
3.1. Definición
34
3.2. Propiedades de la integral de Riemann
36
Capítulo 4.
Derivadas
40
4.1. Definición
40
4.2. Propiedades de las funciones derivables
41
Capítulo 5.
Teorema fundamental del Cálculo y sus consecuencias
5.1. Teorema fundamental del Cálculo diferencial e integral
46
46
5.2. Técnicas de integración I
47
5.3. Las funciones Logaritmo y Exponencial
48
5.4. Teorema de Taylor
52
Capítulo 6.
Series e Integrales impropias
55
6.1. Series
55
6.2. Integrales impropias
58
6.3. Más propiedades del Logaritmo y la Exponencial
59
6.4. Las funciones Trigonométricas
62
Capítulo 7.
Polinomios y Números Complejos
66
7.1. Números Complejos
66
7.2. Técnicas de integración II
69
3
Índice general
Capítulo 8.
Breve introducción a las Ecuaciones Diferenciales
4
72
8.1. Ecuaciones de variables separables
72
8.2. Ecuaciones Lineales
73
8.3. Comentarios finales sobre Ecuaciones diferenciales
77
Bibliografía
79
Capítulo 1
Número Real
En este primer capítulo estudiaremos las propiedades de los Números Reales, un conjunto
diseñado para que sus elementos permitan representar cantidades medibles del mundo “real”, del
mundo físico. Deben ser capaces de expresar tanto cantidades contables (manzanas en una cesta,
granos de arena en una playa, etc) como cantidades que varían de forma continua (distancias,
intervalos de tiempo, etc). Un conjunto con tales propiedades puede ser definido como sigue.
1.1.
Definición de R.
Definición 1.1. Definición axiomática de los números Reales
R : x, y, z ∈ R =⇒
1. x + y = y + x (conmutativa - suma)
2. (x + y) + z = x + (y + z) (asociativa - suma)
3. ∃ 0 ∈ R : x + 0 = x (neutro - suma)
4. ∀ x ∈ R ∃ (−x) ∈ R : x + (−x) = 0 (opuesto)
5. xy = yx (conmutativa - producto)
6. (xy) z = x (yz) (asociativa - producto)
7. ∃ 1 ∈ R : 1x = x (neutro - producto)
8. ∀ x ∈ R, x 6= 0, ∃ x−1 ∈ R : x−1 x = 1 (inverso)
9. x(y + z) = xy + xz (distributiva)
∃ R+ ⊂ R, 1 ∈ R+ :
10. x ∈ R+ Y (−x) ∈ R+ Y x = 0 (tricotomía)
11. x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ (preservación del orden - suma)
12. x, y ∈ R+ ⇒ xy ∈ R+ (preservación del orden - producto)
13. A ⊂ R, A 6= ∅∧c ∈ R : (c+(−a)) ∈ R+ , ∀a ∈ A ⇒ ∃c̄ ∈ R : (c̄+(−a)), (c+(−c̄)) ∈ R+ ∪{0}
(completitud)
Veremos en lo que resta del capítulo que un conjunto que cumpla estas 13 reglas tiene las
propiedades que intuimos (algunas tal vez no tan intuitivas) debería tener el conjunto de los
Números Reales (como conjunto de elementos que miden cantidades).
Definición 1.2. Resta y división
x − y ≡ x + (−y)
y 6= 0 ⇒
x
y
≡ y −1 x
5
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
6
Observación 1.3. Según las definiciones anteriores, los axiomas de existencia de opuesto e
inverso implican:
4. x − x = 0
8.
x
x
=1
Definición 1.4. Desigualdades
x > y ⇔ (x − y) ∈ R+
x<y ⇔ y>x
x≥y ⇔ x>y ∨ x=y
x≤y ⇔ x<y ∨ x=y
Observación 1.5. Según las definiciones anteriores y aplicando los axiomas 1., 3. y la proposición 1.24, los axiomas de orden se escriben:
10. x ∈ R ⇒ x > 0 Y x < 0 Y x = 0
11. x, y > 0 ⇒ x + y > 0
12. x, y > 0 ⇒ xy > 0
Definición 1.6. Cotas
c cota superior de A ⊂ R ⇔ a ≤ c, ∀ a ∈ A
c cota inferior de A ⊂ R ⇔ a ≥ c, ∀ a ∈ A
A acotado superiormente
A acotado inferiormente
A acotado
⇔ ∃ c ∈ R : c cota superior de A
⇔ ∃ c ∈ R : c cota inferior de A
⇔ A acotado superiormente e inferiormente
sup(A) = c ⇔ a ≤ c ≤ c, ∀ a ∈ A, c cota superior de A
ı́nf(A) = c ⇔ a ≥ c ≥ c, ∀ a ∈ A, c cota inferior de A
máx(A) = M ⇔ M = sup(A) ∈ A
mı́n(A) = m ⇔ m = ı́nf(A) ∈ A
Observación 1.7. Según las definiciones anteriores, el axioma de completitud se escribe:
13. ∅ 6= A acotado superiormente ⊂ R ⇒ ∃ sup(A) ∈ R
1.2.
Propiedades de los Números Reales
Proposición 1.8. Cancelativa de la suma
x, y, z ∈ R : x + z = y + z =⇒ x = y
Demostración. Aplicando el axioma 4. (existencia de opuesto) a z:
2.
4.
3.
2.
4.
3.
(x + z) + (−z) = x + (z + (−z)) = x + 0 = x = (y + z) + (−z) = y + (z + (−z)) = y + 0 = y
Proposición 1.9. Cancelativa del producto
x, y, z ∈ R, z 6= 0 : xz = yz =⇒ x = y
Demostración. Observando que por el axioma 5. (conmutativa - producto) tenemos;
zx = zy , la demostración resulta análoga a la anterior, aplicando los axiomas 6., 7. y 8. en
lugar de 2., 3. y 4. respectivamente.
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
7
Proposición 1.10. Unicidad del cero
x ∈ R =⇒ ∃! 0 ∈ R : x + 0 = x
1,8
Demostración. (-T) ∃ 00 ∈ R, 00 6= 0 : x + 00 = x + 0 = x ⇒ 00 = 0 (-H)
Proposición 1.11. Unicidad del uno
x ∈ R =⇒ ∃! 1 ∈ R : 1x = x
Demostración. Es análoga a la anterior, aplicando la propiedad cancelativa del producto
en lugar de la de la suma.
Proposición 1.12. Unicidad del opuesto
x ∈ R =⇒ ∃! (−x) ∈ R : x + (−x) = 0
1,8
Demostración. (-T) ∃(−x)0 ∈ R, (−x)0 6= (−x) : x+(−x)0 = x+(−x) = 0 ⇒ (−x)0 = (−x)
(-H)
Observación 1.13. La proposición anterior permite definir inequívocamente el opuesto de
un número real, dando sentido a la definición de Resta.
Proposición 1.14. Unicidad del inverso
x ∈ R, x 6= 0 =⇒ ∃!x−1 ∈ R : x−1 x = 1
Demostración. Es análoga a la anterior, aplicando la propiedad cancelativa del producto
(1.9) en lugar de la de la suma.
Observación 1.15. La proposición anterior permite definir inequívocamente el inverso de un
número real, dando sentido a la definición de División.
Proposición 1.16. Opuesto del cero
−0 = 0
3.
Demostración. 0 + 0 = 0
Proposición 1.17. Inverso del uno
1−1 = 1
7.
Demostración. 1 × 1 = 1
Proposición 1.18. Opuesto del opuesto
x ∈ R =⇒ −(−x) = x
1
4
Demostración. (−x) + x = x + (−x) = 0
Proposición 1.19. Inverso del inverso
x ∈ R, x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x
Demostración. Análoga a la anterior aplicando axiomas 5. y 8. en lugar de 1. y 4. respectivamente.
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
8
Proposición 1.20. x ∈ R =⇒ 0x = 0
3.
4.
1.
5.
7.
2.
9.
3.
Demostración. 0x = x0 + 0 = x0 + (1x + (−x)) = (x0 + x1) + (−x) = x(0 + 1) + (−x) =
5.
4.
1x + (−x) = 0
7.
Proposición 1.21. x ∈ R =⇒ (−x)y = −(xy)
5.
9.
4.
5.
1,20
Demostración. xy + (−x)y = yx + y(−x) = y(x + (−x)) = y0 = 0y = 0
Nota: En lo que sigue obviaremos explicitar cúales axiomas de cuerpo (del 1. al 9.) estamos
usando.
Proposición 1.22. Transitiva
x, y, z ∈ R : x > y ∧ y > z =⇒ x > z
11.
Demostración. (x − y), (y − z) ∈ R+ ⇒ (x − y) + (y − z) = x + 0 − z = x − z ∈ R+
Proposición 1.23. x, y, z ∈ R : x > 0 ∧ y > z =⇒ xy > xz
1,21
12.
Demostración. x, (y − z) ∈ R+ ⇒ x(y − z) = xy − xz ∈ R+
Proposición 1.24. x, y, z ∈ R : x < 0 ∧ y > z =⇒ xy < xz
1,21
12.
1,18
Demostración. (−x), (y − z) ∈ R+ ⇒ (−x)(y − z) = −xy − (−xz) = xz − xy ∈ R+
Observación 1.25. Las dos proposiciones anteriores valen también cambiando > por ≥ y <
por ≤.
Proposición 1.26. x ∈ R =⇒ xx ≥ 0
Demostración. Por axioma 10.(tricotomía) sabemos;
x>0 Y x<0 Y x=0
12.
Si x > 0 ⇒ xx > 0 ⇒ xx ≥ 0.
12.
Si x < 0 ⇔ −x > 0 ⇒ (−x)(−x) = xx > 0 ⇒ xx ≥ 0.
Por último, si x = 0 ⇒ xx = 0 ≥ 0.
Proposición 1.27. xy = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0
10.
Demostración. (-T) x, y 6= 0 ⇒ (x > 0 Y x < 0) ∧ (y > 0 Y y < 0)
⇔ (x > 0 ∧ y > 0) Y (x > 0 ∧ y < 0) Y (x < 0 ∧ y > 0) Y (x < 0 ∧ y < 0)
En los cuatro casos es evidente que xy 6= 0 (-H)
x−1 > y −1 > 0
Demostración. Por 1.26 y 1.27 x−1 x−1 , y −1 y −1 > 0. Entonces, por el axioma 12.
Proposición 1.28. 0 < x < y
=⇒
tenemos
x−1 x−1 x = x−1 > 0 ∧ y −1 y −1 y = y −1 > 0
⇒
0 < x−1 y −1 x = y −1 < x−1 y −1 y = x−1
⇒
x−1 y −1 > 0
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
9
Nota: En lo que sigue obviaremos explicitar también cúales axiomas de orden (del 10. al 12.)
estamos usando.
Proposición 1.29. Unicidad del supremo
∅ 6= A acotado superiormente ⊂ R ⇒ ∃! sup(A) ∈ R
Demostración. Por 13. (completitud) sabemos de la existencia de al menos un supremo.
(-T) c0 6= c : a ≤ c, c0 ≤ c, ∀ a ∈ A, c cota superior de A ⇒ c, c0 cotas superiores de A
⇒ a ≤ c ≤, c0 ∧ a ≤ c0 ≤ c ⇒ c = c0 (-H)
Observación 1.30. La proposición anterior permite definir inequívocamente el supremo de
un conjunto de números reales, dando sentido a la definición de sup(A).
Proposición 1.31. Existencia y unicidad del ínfimo
∅ 6= A acotado inferiormente ⊂ R =⇒ ∃! ı́nf(A) ∈ R
Demostración. A acotado inferiormente
1,21
⇔ ∃ c ∈ R : a ≥ c, ∀ a ∈ A ⇒ −a ≤ −c
1,24
Por tanto, el conjunto −A ≡ {−a ∈ R : a ∈ A} está acotado superiormente, y por la
proposición anterior; ∃! sup(−A) ∈ R.
1,21
−a ≤ sup(−A) ≤ −c, ∀ a ∈ A, (−c) cota superior de − A ⇒ a ≥ − sup(−A) ≥ c
1,24
⇒ ı́nf(A) = − sup(−A)
Observación 1.32. La proposición anterior permite definir inequívocamente el ínfimo de un
conjunto de números reales, dando sentido a la definición de inf (A).
Proposición 1.33. ∅ 6= A acotado superiormente ⊂ R
=⇒ ∀ > 0 ∃ a ∈ A : sup(A) − < a ≤ sup(A)
Demostración. (-T) > 0 : a ≤ sup(A) − < sup(A) Y sup(A) − < sup(A) < a , ∀ a ∈ A
Si a ≤ sup(A) − < sup(A) entonces (sup(A) − ) es una cota superior de A menor que el
supremo (-H)
Si por el contrario, sup(A) − < sup(A) < a, entonces sup(A) no es cota superior de A
(-H)
Proposición 1.34. ∅ 6= A acotado inferiormente ⊂ R
=⇒ ∀ > 0 ∃ a ∈ A : ı́nf(A) + > a ≥ ı́nf(A)
Demostración. Basta observar que el conjunto −A está acotado superiormente y aplicarle
la proposición anterior.
Proposición 1.35. ∅ 6= A acotado superiormente ⊂ R ∧ B : ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A / a > b
=⇒ sup(A) ≥ sup(B)
Demostración. (-T) sup(A) < sup(B). Definiendo = sup(B) − sup(A) > 0 y aplicando la
proposición 1.32. sabemos que existe algún b ∈ B : sup(B) − = sup(A) < b ≤ sup(B).
Pero por definición; a ≤ sup(A), ∀ a ∈ A ⇒ a < b ⇒ a ≤ b (-H)
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
10
Proposición 1.36. ∅ 6= A acotado inferiormente ⊂ R ∧ B : ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A / a < b
=⇒ ı́nf(A) ≤ ı́nf(B)
Demostración. Basta observar que los conjuntos −A y −B cumplen las hipótesis de la
proposición anterior.
Proposición 1.37. ∅ 6= A, B acotados superiormente ⊂ R∧(A + B) = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
=⇒ sup(A + B) = sup (A) + sup (B)
Demostración. a ∈ A, b ∈ B
⇒
a + b ≤ sup A + sup B
⇒
⇒
a ≤ sup A, b ≤ sup B
sup (A + B) ≤ sup A + sup B
Además, por la proposición 1.33 tenemos que dado > 0 existen a ∈ A, b ∈ B tal que:
sup A− 2 < a ≤ sup A, sup B− 2 < b ≤ sup B
(-T) sup (A + B) < sup A + sup B
⇒
∧
⇒
sup A+sup B− < a+b ≤ sup A+sup B
= sup A + sup B − sup (A + B)
sup A + sup B − = sup (A + B) ≥ a + b, ∀ a ∈ A, b ∈ B (-H)
Proposición 1.38. ∅ 6= A, B acotados inferiormente ⊂ R∧(A + B) = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
=⇒ ı́nf(A + B) = ı́nf (A) + ı́nf (B)
Demostración. Es análoga a la de la proposición anterior.
Proposición 1.39. λ > 0 ∧ ∅ 6= A acotados inferiormente ⊂ R ∧ (λA) = {λa : a ∈ A}
=⇒ sup(λA) = λ sup (A)
Demostración. Esta proposición se puede probar por el mismo mecanismo que la 1.37;
mostrando que sup(λA) debe ser menor o igual a λ sup (A) y luego probando por absurdo que no
puede ser menor porque se contradice con la proposición 1.33.
Proposición 1.40. λ > 0 ∧ ∅ 6= A acotados inferiormente ⊂ R ∧ (λA) = {λa : a ∈ A}
=⇒ ı́nf(λA) = λı́nf (A)
Demostración. Es análoga a la de la proposición anterior.
Nota: En lo que sigue obviaremos explicitar cúales de los axiomas que definen a los Reales
estamos usando.
1.2.1.
Valor absoluto y signo.
Definición 1.41. Valor absoluto
|x| =

x
si x ≥ 0
−x si x < 0
Proposición 1.42. x ∈ R. Entonces,
1) |x| = | − x|
2) −|x| ≤ x ≤ |x|
3) |x| = M ax{x, −x}
1.2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
11
Demostración. Cualquiera de las anteriores propiedades resulta trivial estudiando los casos
x ≥ 0, x < 0.
Proposición 1.43. a > 0. Entonces,
1) |x| > a ⇐⇒ x < −a Y x > a
2) |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
Demostración. 1) (→) Si x ≥ 0 entonces |x| = x > a. Y si, por el contrario, x < 0 entonces
1,24
|x| = −x > a ⇒ x < −a.
(←) Si x ≥ 0 entonces x = |x| > a. Si, por el contrario, x < 0 entonces x < −a
1,24
⇒ −x = |x| > a
La demostración de 2) es análoga a la anterior y queda a cargo del lector.
Teorema 1.44. El valor absoluto es una norma en R
x, y ∈ R. Entonces,
1) |x| ≥ 0 ∧ |x| = 0 ⇔ x = 0
2) |xy| = |x||y|
3) |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad triangular)
Demostración. 1) Es obvio a partir de la definición.
2) Resulta trivial estudiando los casos x, y ≥ 0, y < 0 ≤ x, x < 0 ≤ y, x, y < 0.
1,21
A modo de ejemplo, si x < 0 ≤ y entonces xy ≤ 0 ⇒ |xy| = −xy = (−x)y = |x||y|.
3) Usaremos la proposición 37. 2):
1,39
−|x| ≤ x ≤ |x| ∧ −|y| ≤ y ≤ |y| ⇒ −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| ⇒ |x + y| ≤ |x| + |y| Definición 1.45. Signo de un número real



1
si x > 0


sg(x) = 0
si x = 0



−1 si x < 0
Proposición 1.46. x ∈ R =⇒ |x| = sg(x)x
Demostración. Es trivial estudiando los casos x > 0, x = 0, x < 0.
Nota: En lo que sigue obviaremos explicitar, no solo cúales de los axiomas que definen a los
Reales estamos usando, sino también las proposiciones anteriores, en la medida que resulte trivial
la referencia.
1.3. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE REALES
1.3.
1.3.1.
12
Algunos subconjuntos importantes de Reales
Naturales.
N:

0 ∈ N
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N+ = N \ {0}
Proposición 1.47. N no acotado ⊂ R+ ∪ {0}
Demostración. 0 ≥ 0
0+1=1≥0
n∈N:n≥0 ⇒ n+1≥1≥0
Lo que muestra que N ⊂ R+ ∪ {0}.
Para probar que los Naturales no están acotados, supongamos por absurdo que sí lo están;
1.33
(-T) 0 ∈ N acotado superiormente
⇒
⇒
n + 1 > sup (N)
⇒
∃ n ∈ N : sup (N) − 1 < n ≤ sup (N)
n+1∈
/ N (-H)
Corolario 1.48. Propiedad arquimediana de los números Reales
x, y ∈ R, x > 0
=⇒
∃n ∈ N : nx > y
Demostración. (-T) nx ≤ y, ∀n ∈ N
⇒
n≤
y
x
⇒
y
x
cota superior de N (-H)
Definición 1.49. Números primos
p primo
⇔
p ∈ N+ : n−1 p ∈
/ N, ∀ n ∈ N+ \ {1, p}
Nota: Dados dos Naturales n, p 6= 0, decimos que p es divisible entre n si n−1 p ∈ N. Es decir
que un cierto número Natural p es primo si y solo si es divisible únicamente entre 1 y sí mismo
(la condición de “únicamente” es imprescindible dado que todo Natural es divisible entre 1 y sí
mismo). Es evidente entonces que 1 es primo, pues solo es divisible entre 1.
Definición 1.50. Potenciación
x ∈ R, n ∈ N. Entonces,

1
xn =
xn−1 x
√
n
x=y
⇔
si n = 0
si n ∈ N+
yn = x
Nota: Dado que x2 ≥ 0, ∀x ∈ R, cuando se trate de potencias pares asumiremos que la raíz
√
asociada es mayor o igual a cero; 2n x = |y| ⇔ y 2n = x.
Teorema 1.51. Teorema fundamental de la Aritmética
n ∈ N+
=⇒
∃! p1 < . . . < pk primos , α1 , . . . , αk ∈ N+ : n =
k
Q
i=1
i
pα
i
1.3. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE REALES
13
Definición 1.52. Factorial
n ∈ N. Entonces,
n! =

1
si n = 0
n (n − 1)!
si n ∈ N+
Teorema 1.53. Binomio de Newton
a, b ∈ R
∧
n∈N
=⇒
n
P
n
(a + b) =
k=0
n
k
ak bn−k
/
n
k
=
n!
k!(n−k)!
Demostración. Para la demostración necesitaremos un par de resultados sobre el Número
combinatorio nk :
n
n
n!
n!
n!
n!
∧
= n!
n = n!(n−n)! = n!0! = n! = 1
0 = 0!(n−0)! n! = 1 (n−1)!
(n−1)!
(n−1)!
(n−1)!
n−1
n−1
1
1
n
k + k−1 = k!(n−1−k)! + (k−1)!(n−k)! = (k−1)!(n−k−1)! k + n−k = (k−1)!(n−k−1)! k(n−k) =
n
n!
k!(n−k)! = k
Ahora si, probaremos el teorema por inducción en n.
0
n = 0 ⇒ (a + b) = 00 a0 b0 = 1
n
n
P
P
n
n+1
n k n−k
(a + b) =
⇒ (a + b)
= (a + b)
k a b
=
k=0
n
P
k=0
=
n
n
n
k
ak+1 bn−k +
n
P
n
k
k=0
n+1 0
a
k=0
b +
n−1
P
k=0
n
k
n+1
n+1
=
n+1
0
n
P
a0 bn+1 +
k=1
n
P
ak bn−k =
ak bn−k+1 =
ak+1 bn−k +
n
0
a0 bn+1 +
n
P
k=1
n
k
ak bn−k+1 =
n
0 n+1 P
n k n−k+1
ak bn−k+1 + n+1
+
=
0 a b
k a b
k=1
k=1
h
i
n
0 n+1 P
k n−k+1
n+1 0
n
n
= n+1
+
a b
+ n+1
b =
0 a b
k + k−1
n+1 a
=
an+1 b0 +
n
k
k=1
n
k−1
n+1
k
ak bn−k+1 +
n+1
n+1
an+1 b0 =
n+1
P
k=0
n+1
k
ak bn+1−k
Nota: Se le llama Número combinatorio a los coeficientes de la expansión de Newton porque
n
k
es exactamente la cantidad de combinaciones que se pueden tomar de k elementos entre un
total de n (k factores a en un total de n factores a, b, en el caso del teorema); por ejemplo,
podemos obtener los términos con k factores a y n − k factores b aplicando sucesivamente la
propiedad distributiva (axioma 9);
n
(a + b) = an +· · ·+ak bn−k +ak−1 bn−k a+· · ·+bn−k ak +bn−k−1 ak b+· · ·+abab . . .+· · ·+bn =
an + · · · + nk ak bn−k + · · · + bn
Concluimos que nk es la cantidad de términos con k factores a en la expansión de Newton.
1.3. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE REALES
1.3.2.
14
Enteros.
Z = N ∪ {x ∈ R : −x ∈ N}
Proposición 1.54. x, y ∈ Z =⇒ (−x), (x + y), (xy) ∈ Z
Demostración. (−x) es entero por definición.
Por hipótesis, x e y son naturales u opuestos de naturales. Supongamos x, (−y) ∈ N.
x
z }| {
construcción,
los elementos de N son sumas finitas de unos; x + y = 1 + · · · + 1 −
 Por

−y
z }| {
1 + · · · + 1. Es claro entonces que si |x| ≥ |y|, (x + y) será natural, y que si |x| < |y|, (x + y)
será el opuesto de un natural. En ambos casos concluimos que (x + y) es entero, y claramente los
casos x, y ∈ N, (−x) , y ∈ N y (−x) , (−y) ∈ N nos llevan al mismo resultado.
En cuanto a (xy), sabemos que x es natural u opuesto de un natural y que la suma de enteros
es un entero (por el argumento anterior), entonces basta con aplicar la propiedad distributiva
(axioma 9); xy = ± (1 + · · · + 1) y = ± (y + · · · + y) ∈ Z.
1.3.3.
Racionales.
Q=
p
∈ R : p, q ∈ Z, q 6= 0
q
Observación 1.55. Por definición se cumple que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Proposición 1.56. Q es denso y numerable.
Demostración. El concepto de densidad es topológico (ver capítulo 2), pero en el caso de
Q (como subconjunto de R) equivale a que, dados dos reales cualesquiera, exista un racional entre
ellos. Probémoslo entonces.
x, y ∈ R, x < y. Como (y − x) , 1 > 0, la propiedad arquimediana de los reales (1.48) implica
que existe un natural n tal que n >
1
y−x
> 0.
Por otro lado, los números enteros no están acotados y distan al menos 1 unos de otros, por
tanto,
∃ p : p ≤ nx < p + 1
⇒
p
n
≤x<
p+1
n
⇒
y = x + (y − x) >
p
n
+
1
n
=
p+1
n
> x.
Se dice que un conjunto es numerable si existe una función biyectiva entre el mismo y los
Naturales. O dicho de otra forma, si sus elementos se pueden contar. Es claro que la función
f : Z × (Z \ {0}) → Q / f (p, q) =
p
q
es sobreyectiva (Z × Z tiene más elementos que Q). El
siguiente diagrama muestra una forma de contar los elementos de Z × Z:
1.3. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE REALES
15
Para contar los elementos de Q basta saltearse los puntos que se encuentran sobre la recta
(x, 0) y los que estén repetidos;
1
2
=
2
4
=
3
6
= . . .,
1
3
=
2
6
=
3
9
= . . ., etc.
Nota: Como se vio en la demostración, dado un real x existe un (único) entero p tal que
p ≤ x < p + 1. A este número entero se le suele llamar parte entera de x y se escribe bxc = p.
1.3.4.
Irracionales.
I=R\Q
Proposición 1.57. I es no vacío, denso y no numerable.
√
√
Demostración. Probaremos por absurdo que 2 = 1 + 1 es irracional.
√
√
(-T) Supongamos que 2 es racional, es decir, que existen enteros p, q tales que 2 =
p
q.
Entonces, aplicando el teorema fundamental de la aritmética (1.51) tenemos;
√
2=
1
m
p 1,51 pα
· · · pα
m
= 1β1
q
q1 · · · qnβn
o lo que es equivalente, 2 =
/ pi , qj primos , pi 6= qj , ∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n
2α1
m
···p2α
m
2β1
2βn
q1 ···qn
p1
∈
/ Z (-H).
Es fácil ver que I es denso;
1,56
x, y ∈ R, x < y ⇒ √x2 < √y2
⇒
√
√
⇒ x<r 2<y /r 2∈R\Q
∃r ∈ Q :
x
√
2
<r<
√y
2
En el capítulo 2 (proposición 2.32) se da una demostración de que los números Reales no son
numerables, y dado que los Racionales si lo son, es claro que I debe ser la parte no numerable de
R.
1.4. COMENTARIOS FINALES SOBRE LOS NÚMEROS REALES
1.4.
16
Comentarios finales sobre los Números Reales
Existen formas de construir los Reales, es decir un conjunto que tenga las propiedades 1.
a 13. de la definición 1.1, partiendo directamente de los axiomas de Teoría de Conjuntos (en
general, el sistema de axiomas de Zermelo–Fraenkel junto con el axioma de elección). Daremos a
continuación una descripción a grandes rasgos de una de estas construcciones.
Comenzamos por definir los Naturales como sigue:


0=∅





1 = {0} = {∅}




 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}



3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅} , {∅, {∅}}}
N=

..



.





n = {0, 1, 2, . . . , n − 1}




 ...





























Es claro de la definición anterior que 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ . . . ⊂ n ⊂ . . ., lo que permite definir
un orden en N;
m, n ∈ N, m ≤ n
⇔
m⊂n
y se puede mostrar que la relación anterior es un buen orden en N (ordena totalmente al conjunto
tal que todo subconjunto de naturales tiene un primer elemento). Luego, una de las propiedades
de los conjuntos bien ordenados es que todo elemento del conjunto tiene uno siguiente (cosa clara
en los Naturales por definición), lo que nos permite definir la suma de naturales:
Sea S (n) el natural que le sigue a n (S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, . . .), entonces
+ : N × N → N / m + 0 = m ∧ m + S (n) = S (m + n)
El producto de naturales puede definirse a partir de la suma:
· : N × N → N / 0 · n = 0 ∧ S (m) · n = (m · n) + n
Para definir los Enteros y Racionales usaremos relaciones de equivalencia, así que antes de
continuar recordamos algunas definiciones: 


a∼a


∼ relación de equivalencia en A ⇔
a∼b⇒b∼a



a ∼ b ∼ c ⇒ a ∼ c
, ∀ a, b, c ∈ A
[a] = {b ∈ A : b ∼ a}, A/∼ = {[a] : a ∈ A}
Definamos ahora los Enteros.
2
Z = N /∼ : (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c
Podemos nombrar a los enteros por . . . , −2 = [(0, 2)] , −1 = [(0, 1)] , 0 = [(0, 0)] , 1 = [(1, 0)] , 2 =
[(2, 0)] , . . .. Así tenemos, por ejemplo, que [(1, 3)] = [(2, 4)] = −2. También podemos definir suma,
1.4. COMENTARIOS FINALES SOBRE LOS NÚMEROS REALES
17
producto y orden en Z:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]
[(a, b)] · [(c, d)] = [(a · c + b · d, a · d + b · c)]
[(a, b)] ≤ [(c, d)]
⇔
a+d≤b+c
Teorema 1.58. (Z, +, ×) es un anillo conmutativo con unidad; verifica las propiedades 1. a
7. y 9. de la definición 1.1 (cambiando R por Z).
Estamos ahora en condiciones de definir los números Racionales:
Q = Z×(Z\{0})/∼ : (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a · d = b · c
Suma, producto y orden pueden definirse de la siguiente manera:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a · d + b · c, b · d)]
[(a, b)] · [(c, d)] = [(a · c, b · d)]
[(a, b)] ≤ [(c, d)]
⇔
(b · d > 0 ∧ a · d ≤ b · c) ∨ (b · d < 0 ∧ a · d ≥ b · c)
La notación habitual para los racionales surge de identificar [(a, b)] con
a
b.
Teorema 1.59. (Q, +, ×, ≤) conforma un cuerpo totalmente ordenado; verifica las propiedades 1. a 12. de la definición 1.1 (cambiando R por Q).
Finalmente, definimos el conjunto de los números Reales como los límites de las sucesiones
de Cauchy de números Racionales (ver sección 2.2):
R = {lı́m xn : (xn ) : N → Q / ∀ > 0∃N ∈ N : |xm − xn | < , ∀ m, n ≥ N }
Por supuesto, gracias a las propiedades del límite de sucesiones que veremos en el capítulo siguiente, las operaciones de suma y producto, así como la relación de orden, se extienden a los
Reales; sean (xn ), (yn ) sucesiones de Cauchy de racionales, entonces
lı́m xn + lı́m yn = lı́m (xn + yn ) ∈ R
lı́m xn · lı́m yn = lı́m (xn · yn ) ∈ R
lı́m xn ≤ lı́m yn
⇔
lı́m |xn − yn | = 0 ∨ ∃N ∈ N : xn ≤ yn , ∀n ≥ N
Teorema 1.60. (R, +, ×, ≤) es un cuerpo totalmente ordenado y completo; verifica la definición 1.1.
Por último un resultado importante para redondear la cuestión...
Teorema 1.61. Todos los cuerpos totalmente ordenados y completos son isomorfos entre sí;
R y R0 conjuntos que verifican la definición 1.1, entonces


φ (x + y) = φ (x) + φ (y)


0
∃ φ : R → R biyectiva / φ (x · y) = φ (x) · φ (y)



φ (x) ≤ φ (y)
, ∀x ≤ y
Capítulo 2
Nociones Topológicas en R
En este capítulo estudiaremos conceptos de convergencia en R (límite de sucesiones, funciones
continuas, etc), e intentaremos relacionarlos con ciertos subconjuntos de reales (abiertos, cerrados,
etc).
2.1.
Conjuntos abiertos y cerrados
Definición 2.1. Intervalos Reales
(a; b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a; b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(a; b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a; b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a; +∞) = {x ∈ R : x > a}
[a; +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
(−∞; a) = {x ∈ R : x < a}
(−∞; a] = {x ∈ R : x ≤ a}
Proposición 2.2. a ∈ R ∧ > 0 =⇒ (a − ; a + ) = {x ∈ R : |x − a| < }
Demostración. a − < x < a + ⇔ − < x − a < ⇔ |x − a| < Definición 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados
A abierto ⊂ R ⇔ ∀ a ∈ A ∃ > 0 : (a − ; a + ) ⊂ A
B cerrado ⊂ R ⇔ B c = R \ B abierto
A◦ = {a ∈ A : ∃ > 0 / (a − ; a + ) ⊂ A} (interior del conjunto A)
A0 = {x ∈ R : ∀ > 0 ∃ a ∈ A / 0 < |x − a| < } (puntos de acumulación de A)
A = A ∪ A0 (clausura de A)
Proposición 2.4. A abierto
⇐⇒ A = A◦
Demostración. Obvio a partir de la definición de conjunto abierto.
Observación 2.5. ∅, R son abiertos y cerrados. En efecto,
∅◦ = ∅ ⇒ ∅ abierto
(x − ; x + ) ⊂ R, ∀ x ∈ R ⇒ R abierto
∅c = R abierto ⇒ ∅ cerrado
Rc = ∅ abierto ⇒ R cerrado
18
2.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
19
Proposición 2.6. Uniones e intersecciones
S
1) Aα abiertos , ∀ α =⇒
Aα abierto
α
=⇒ A ∩ B abierto
T
3) Bα cerrados , ∀ α =⇒
Bα cerrado
2) A, B abiertos
α
=⇒ A ∪ B cerrado
4) A, B cerrados
=⇒ A \ B abierto ∧ B \ A cerrado
5) A abierto , B cerrado
Demostración. 1) x ∈
S
Aα ⇒ ∃ α : x ∈ Aα abierto
S
⇒ ∃ > 0 : (x − ; x + ) ⊂ Aα ⊂ Aα
α
α
2) Si A ∩ B = ∅ entonces A ∩ B abierto por la observación 2.5.
x ∈ A ∩ B ⇒ ∃ 1 , 2 > 0 : (x − 1 ; x + 1 ) ⊂ A ∧ (x − 2 ; x + 2 ) ⊂ B
= min {1 , 2 } ⇒ (x −; x +) ⊂ A ∩ B
c
T
S
3) Bαc abiertos , ∀ α ⇒
Bα = Bαc abierto
α
4) Ac , B c abiertos
c
α
⇒ (A ∪ B) = Ac ∩ B c abierto
5) Es trivial si recordamos que A \ B = A ∩ B c .
(1)
(2)
Proposición 2.7. A cerrado ⇐⇒ A0 ⊂ A ⇐⇒ A = A
Demostración. (1) (-T) x ∈ Ac : ∀ > 0 ∃ a ∈ A / a ∈ (x − ; x) ∪ (x; x + )
⇔ @ > 0 : (x − ; x + ) ⊂ Ac ⇔ Ac no abierto (-H)
(2) Obvio a partir de (1).
Nota: En referencia a las proposiciones 1.56 y 1.57; un subconjunto de reales es denso en R
si su clausura es R.
2.2.
2.2.1.
Sucesiones de números Reales
Definición, monotonía y límite de sucesiones. Llamaremos sucesión de núme-
ros Reales a toda función (an ) : N → R / (an ) (m) = am (o también (an ) : N+ → R). A su vez,
notaremos con {an } al conjunto (an ) (N) = {an ∈ R : n ∈ N} (o (an ) (N+ ) = {an ∈ R : n ∈ N+ },
según sea el caso).
Definición 2.8. Monotonía
(an ) % ⇔ ∃ N ∈ N : an ≤ an+1 , ∀ n ≥ N
(an ) ↑ ⇔ ∃ N ∈ N : an < an+1 , ∀ n ≥ N
(an ) & ⇔ ∃ N ∈ N : an ≥ an+1 , ∀ n ≥ N
(an ) ↓ ⇔ ∃ N ∈ N : an > an+1 , ∀ n ≥ N
(an ) monótona
⇔ (an ) % ∨ (an ) &
(an ) estrictamente monótona
⇔ (an ) ↑ Y (an ) ↓
Observación 2.9. (an ) estrictamente monótona
⇒ (an ) monótona
2.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
20
Definición 2.10. Límite de sucesiones de Reales
lı́m an = a ∈ R ⇔ an −→ a ⇔ ∀ > 0 ∃ N ∈ N : an ∈ (a − ; a + ), ∀ n ≥ N
n
n
lı́m an = +∞ ⇔ an −→ +∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∈ N : an > M, ∀ n ≥ N
n
n
lı́m an = −∞ ⇔ an −→ −∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∈ N : an < −M, ∀ n ≥ N
n
n
(an ) converge
(an ) diverge
⇔ ∃ lı́m an ∈ R
n
⇔ lı́m |an | = +∞
n
Observación 2.11. En español, una sucesión (an ) tiende a un cierto valor límite a si, dado
un real positivo , existe un natural N a partir del cual todos los puntos de la sucesión distan de
a en menos de .
Por otro lado, de la definición de Valor absoluto y Límite de una sucesión resulta evidente
que lı́m an = ±∞ ⇒ (an ) diverge
n
⇒ {an } no acotada.
Nota: Mientras no resulte ambiguo, escribiremos lı́m an = lı́man .
n
2.2.2.
Propiedades de las sucesiones de Reales.
Proposición 2.12. Unicidad del límite de sucesiones
(an ) converge
=⇒ ∃! lı́m an ∈ R
n
Demostración. (-T) a 6= a0 : ∀ > 0 ∃ N, N 0 ∈ N :
an ∈ (a − ; a + ) ∩ (a0 − ; a0 + ), ∀ n ≥ máx {N, N 0 }
=
a−a0 2
⇒ (a − ; a + ) ∩ (a0 − ; a0 + ) = ∅ (-H)
Proposición 2.13. Conservación local del signo
lı́m an 6= 0 =⇒ ∃ N ∈ N : sg (an ) = sg (lı́m an ) , ∀n ≥ N
Demostración. ∀ > 0 ∃ N ∈ N : a − < an < a + , ∀ n ≥ N . Si elegimos = |a| > 0
entonces, si a > 0 entonces a − a = 0 < an < a + a = 2a, y si a < 0 entonces a + a = 2a < an <
a − a = 0. En ambos casos sg (an ) = sg(a)
Proposición 2.14. (an ) converge
=⇒ {an } acotada
Demostración. > 0 ⇒ ∃ N ∈ N : a − < an < a + , ∀ n ≥ N
A = {an ∈ R : n < N } , B = {an ∈ R : n ≥ N } ⇒ {an } = A ∪ B
A finito ∧ (a − ) cota inferior de B, (a + ) cota superior de B
⇒ A, B acotados ⇒ {an } = A ∪ B acotado
Proposición 2.15. (an ) %: {an } acotada =⇒ lı́m an = sup {an }
Demostración. N 0 ∈ N : an ≤ an+1 , ∀ n ≥ N 0 . Recordando la proposición 1.32 vemos que
∀ > 0 ∃ N 00 ∈ N : sup {an } − < aN 0 ≤ an ≤ sup {an } , ∀ n ≥ N 00
N = máx {N 0 , N 00 }
⇒
an ∈ (sup {an } − ; sup {an } + ) , ∀n ≥ N
Proposición 2.16. (an ) &: {an } acotada =⇒ lı́m an = ı́nf {an }
2.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
21
Demostración. Es análoga a la anterior aplicando la proposición 1.33 del ínfimo.
Proposición 2.17. Límite de la sucesión comprendid a
(an ) , (bn ) , (cn ) : ∃ N ∈ N : an ≤ bn ≤ cn , ∀ n ≥ N
=⇒
∧
lı́m an = lı́m cn = L
lı́m bn = L
Demostración. > 0
⇒
∃ Na , Nc ∈ N : L − < an < L + , ∀ n ≥ Na ∧ L − < cn < L + , ∀ n ≥ Nc
0
N = máx {N, Na , Nc }
⇒
L − < an ≤ bn ≤ cn < L + , ∀ n ≥ N 0
Proposición 2.18. Operaciones con límites de sucesiones
(an ) , (bn ) convergen . Entonces,
1) lı́m (an + bn ) = lı́m an + lı́m bn
2) lı́m (an bn ) = (lı́m an ) (lı́m bn )
∃Na , Nb ∈ N : |am − a| , |bn − b| < 2 , ∀ m ≥ Na , n ≥ Nb
⇒
Demostración. 1) > 0
N = máx {Na , Nb }
⇒
|an + bn − (a + b)| = |an − a + bn − b| ≤ |an − a| + |bn − b| <
2) > 0
⇒
∃Na , Nb ∈ N : |am − a| <
2|b| ,
Además, por la proposición 2.14. sabemos que
2
+
∀ m ≥ Na ∧ |bn − b| <
∃Na0
2 =
2M ,
, ∀n ≥ N
n ≥ Nb
∈ N : |am | ≤ M, ∀ m ≥ Na0 .
N = máx {Na , Na0 , Nb } ⇒ |an bn − ab| = |an bn + an b − an b − ab| = |an (bn − b) + b (an − a)|
≤ |an (bn − b)| + |b (an − a)| = |an | |bn − b| + |b| |an − a| < M 2M
+ |b| 2|b|
= , ∀n ≥ N
Proposición 2.19. (an ) : an 6= 0, ∀ n ∈ N. Entonces,
lı́m a1n = 0
⇐⇒
(an ) diverge
Demostración.
(→)
=
1
1
⇒ |an | = an − 0 < (←) M =
1
>0
⇒
1
M
>0
⇒
∃ N ∈ N : |an | > M, ∀ n ≥ N
∃ N ∈ N : a1n < , ∀ n ≥ N
⇒
−1
1
an = |an | > M
Ejemplo 2.20. Algunos ejemplos de interés y muy básicos de límites de sucesiones son los
de la sucesión constante, la identidad en los Naturales y la sucesión 1/n :
(an ) : an = c constante
(bn ) : bn = n
P 2,19
⇒
⇒
⇒
an ∈ (c − ; c + ) , ∀ > 0, n ∈ N
∀ M > 0 ∃ N ∈ N : bn > M, ∀ n ≥ N
⇒
⇒
lı́m an = c
(bn ) diverge
lı́m n1 = lı́m b1n = 0
Es importante observar que los resultados anteriores implican que dado un Real cualquiera
siempre existe una sucesión
que converge a él;
2,18
1
lı́m c + n = lı́m an + b1n = lı́m an + lı́m b1n = c + 0 = c, ∀c ∈ R
Por último veremos 
un ejemplo de una sucesión que no converge ni diverge.
1
si n = 2m, m ∈ N
n
(cn ) : cn = (−1) =
−1 si n = 2m + 1, m ∈ N
Esta sucesión claramente no diverge pues está acotada por 1 y −1.
2.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
22
Ahora, de converger,
debería
n
o hacerlo a 1 o −1, pues dado cualquier otro Real c 6= 1, (−1) y
|c−1| |c+1|
eligiendo = mı́n
vemos que cn ∈
/ (c − ; c + ) , ∀n ∈ N. Pero a su vez si elegimos
2 , 2
< 2, = 1 por ejemplo, si cn ∈ (1 − ; 1 + ) = (0; 2) para algún Natural n, es porque cn = 1 y
entonces cn+1 = −1 ∈
/ (0; 2). Por lo tanto @ N ∈ N : cn ∈ (0; 2) , ∀ n ≥ N y el límite de (cn ) no es
1. El mismo argumento vale para probar que −1 tampoco es límite de (cn ), con lo que concluimos
que no converge.
2.2.3.
Subsucesiones. Una subsucesión de una sucesión de Reales (an ) es toda composi-
ción de dicha sucesión con una sucesión de naturales estrictamente creciente, es decir;
(an ) : N → R
⇒
∧
(nk ) ↑: N → N
(ank ) = (an ) ◦ (nk ) : N → R / (an ) ◦ (nk ) (j) = (an ) (nj ) = anj subsucesión de (an )
Definición 2.21. Límite superior e inferior de una sucesión
lı́m sup an = sup lı́mank : (ank ) subsucesión de (an )
k
lı́m inf an = ı́nf lı́mank : (ank ) subsucesión de (an )
k
Observación 2.22. Recordar que el supremo está definido para un conjunto de números
Reales, y sin embargo el límite de una sucesión puede ser infinito, de modo que si alguna subsucesión tiene límite +∞ entonces la sucesión no tendrá límite superior (ídem. de haber alguna
subsucesión con límite −∞ la sucesión no tendrá límite inferior).
Proposición 2.23. lı́m an = a
Demostración. > 0
(nk ) ↑: N → N
⇒
⇒
⇒
=⇒
lı́m ank = a, ∀ (ank ) subsucesión de (an )
∃N ∈ N : an ∈ (a − ; a + ) , ∀n ≥ N
∃K ∈ N : nk ≥ nK ≥ N, ∀k ≥ K
ank ∈ (a − ; a + ) , ∀k ≥ K
Teorema 2.24. Bolzano-Weierstrass
{an } acotada
=⇒
∃ (ank ) subsucesión de (an ) : (ank ) converge
Demostración. c = ı́nf {an } , s = sup {an }
(sk ) : sk = sup {an : n ≥ k}
⇒
{an : n ≥ k + 1} ⊂ {an : n ≥ k}
⇒
>0
(sk ) &: {sk } acotada
⇒
2,16
⇒
⇒
c ≤ an ≤ s, ∀n ∈ N
c ≤ sk ≤ s0 = s, ∀k ∈ N
⇒
sk+1 ≤ sk , ∀k ∈ N
lı́m sk = ı́nf {sk } = s0
∃K ∈ N : s0 ≤ sk < s0 + , ∀k ≥ K por ser s0 límite e ínfimo de (sk ).
A su vez sk es el supremo de {an : n ≥ k}, por lo que aplicando la proposición 1.33 tenemos
que ∀k ∈ N ∃n0k ≥ k : sk − < an0k ≤ sk .
n
o
(nk ) : nk = mı́n n0k ≥ k : sk − < an0k ≤ sk
⇒
(nk ) ↑
∧
s0 − ≤ sk − < ank ≤ sk < s0 + , ∀k ≥ K
Es decir, s0 es el límite de (ank ) subsucesión de (an ).
Proposición 2.25. lı́m an = a ⇔ lı́m sup an = lı́m inf an = a
2.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
23
Demostración. (→) Por proposición 2.23, lı́m ank = a, ∀ (ank ) subsucesión de (an )
⇒
lı́m sup an = lı́m inf an = a
(←) > 0
⇒
∃ N ∈ N : lı́mı́nf an − < an < lı́m sup an + , ∀ n ≥ N
lı́m sup an = lı́m inf an = a
⇒
a − < an < a + , ∀ n ≥ N
Teorema 2.26. Las sucesiones de Cauchy convergen en R
⇐⇒
(an ) converge
∀ > 0 ∃ N ∈ N : |am − an | < , ∀ m, n ≥ N
Demostración. (→) > 0 ⇒ ∃ N ∈ N : |an − a| < 2 , ∀ n ≥ N
m, n ≥ N ⇒ |am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |an − a| <
0
(←) > 0 ⇒ ∃ N ∈ N : aN − < an < aN + , ∀ n ≥ N
2
+
2
=
0
A = {an ∈ R : n < N 0 } finito ∧ B = {an ∈ R : n ≥ N 0 } acotado ⇒ {an } = A∪B acotado
Entonces, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, ∃ (ank ) subsucesión de (an ) : lı́mank = a.
⇒
∃N 00 ≥ N, K ∈ N : |am − an | , |ank − a| < 2 , ∀ m, n ≥ N 00 , k ≥ K
k
N = mı́n {nk ≥ N 00 : k ≥ K}
⇒
|an − a| = |an − aN + aN − a| ≤ |an − aN | + |aN − a| <
2.2.4.
2
+
2
=
Topología con sucesiones.
Proposición 2.27. a ∈ A0
⇐⇒
∃ {an } ⊂ A \ {a} : lı́m an = a
Demostración. (→) Por definición de A0 (puntos de acumulación de A),
∀k ∈ N ∃ak ∈ A : 0 < |ak − a| < k1 ⇒ lı́m ak = a.
(←) ∀ > 0∃N ∈ N : |an − a| < , ∀n ≥ N ∧ {an } ∈ A \ {a}
⇒
0 < |an − a| < , ∀n ≥ N
Corolario 2.28. (an ) converge : an 6= lı́m an , ∀ n ∈ N
⇐⇒
Proposición 2.29. B cerrado
∀k ∈ N∃bk ∈ B : |bk − b| <
1
k
⇔
lı́m an ∈ {an }’
lı́m an ∈ B, ∀ (an ) convergente : {an } ⊂ B
Demostración. (↔) (-T/-H) B no cerrado
⇔
=⇒
◦
∃b ∈ B c \ (B c )
⇔
lı́m bk = b ∈
/ B (-H/-T)
Proposición 2.30. Todo conjunto no vacío, cerrado y acotado tiene máximo y mínimo. Es
decir; C cerrado acotado , C 6= ∅
=⇒
sup (C) ,ı́nf (C) ∈ C
Demostración. Observar que por definición,
A = {x ∈ R : ∀ > 0 ∃ a ∈ A / a ∈ (x − ; x + )}.
>0
⇒
1,33
⇒
∃c ∈ C : sup (C) − < c ≤ sup (C)
⇒
c ∈ (sup (C) − ; sup (C) + )
sup (C) ∈ C = C ∵ C cerrado
Idem. ı́nf (C) ∈ C.
Teorema 2.31. C cerrado acotado
⇐⇒
∀ {cn } ⊂ C ∃ (cnk ) subsucesión de (cn ) : lı́mcnk ∈ C
k
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
Demostración. (→) {cn } ⊂ C
⇒
24
{cn } acotada. Entonces por el teorema de Bolzano2,29
Weierstrass, ∃ (cnk ) subsucesión convergente de (cn )
⇒
lı́mcnk ∈ C
k
(←) (bn ) converge : {bn } ⊂ C
⇒
2,23
∃ (bnk ) subsucesión de (bn ) : lı́mbnk = lı́m bn ∈ C
k
⇒
(-T) C no acotado
⇒
⇒
C cerrado
∀n ∈ N∃cn ∈ C : |cn | > n
|cnk | > nk , ∀ (nk ) ↑: N → N
⇒
(cnk ) subsucesión divergente de {cn } ⊂ C (-H) Proposición 2.32. R no es numerable.
Demostración. (-T) Si los Reales fuesen numerables, también lo sería todo subconjunto de
reales. Supongamos [0; 1] = {an }, entonces nos construimos la siguiente sucesión:
(bn ) : an ∈
/
1
1
1
1
bn − n ; bn + n ⊃ bn+1 − n+1 ; bn+1 + n+1 , ∀ n ∈ N
2
2
2
2
Esto es posible, por ejemplo, eligiendo b0 = 1/4 si
si b0 = 1/4 se elige b1 = 1/8 si
1
4
≤ a1 <
1
2
1
2
≤ a0 ≤ 1 y b0 = 3/4 si 0 ≤ a0 < 12 . Luego,
y b1 = 3/8 si 0 ≤ a1 <
1
4
y b1 = b0 si
1
2
≤ a1 ≤ 1. Y así
sucesivamente, partiendo los intervalos por mitad.
De este modo obtenemos 0 ≤ |bn − bn−1 | < 21n −→ 0, o sea que (bn ) es de Cauchy y por lo
tanto converge a un cierto real b ∈ [0; 1]. Pero por construcción,
an ∈
/ bn − 21n ; bn + 21n ∧ b ∈ bn − 21n ; bn + 21n , ∀ n ∈ N ⇒ b =
6 an , ∀ n ∈ N (-H) 2.3.
2.3.1.
Límites y continuidad de funciones Reales
Definiciones. Llamaremos función Real a toda función f : D → R, D ⊂ R. En
adelante, siempre que hagamos referencia a alguna función f , asumiremos que se trata de una
función Real de dominio D, salvo se explicite diferente.
Definición 2.33. Paridad
D = D+ ∪ D− ⊂ R : D− = {−x : x ∈ D+ }
f : D → R par
f : D → R impar
⇔
⇒
f (−x) = f (x) , ∀ x ∈ D
⇔
f (−x) = −f (x) , ∀ x ∈ D
Observación 2.34. Es fácil ver a partir de las definiciones de paridad que,
f : D → R par
=⇒
f no inyectiva
Definición 2.35. Monotonía
f % ⇔ f (x) ≤ f (y) , ∀ x < y, x, y ∈ D
f ↑ ⇔ f (x) < f (y) , ∀ x < y, x, y ∈ D
f & ⇔ f (x) ≥ f (y) , ∀ x < y, x, y ∈ D
f ↓ ⇔ f (x) > f (y) , x < y, x, y ∈ D
f monótona
⇔ f % ∨f &
f estrictamente monótona
⇔ f ↑ Yf ↓
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
Observación 2.36. Evidentemente, f estrictamente monótona
⇒
25
f monótona , como
ocurría con las sucesiones.
⇒
También resulta obvio a partir de la definición que f estrictamente monótona
f inyectiva.
Definición 2.37. Límite, continuidad y condición de Lipchitz
lı́m f (x) = L
x→a
⇔
∀ > 0 ∃ δ > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D
lı́m f (x) = L
⇔
∀ > 0 ∃ δ > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ x ∈ (a − δ; a) ∩ D
lı́m f (x) = L
⇔
∀ > 0 ∃ δ > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ x ∈ (a; a + δ) ∩ D
x→a+
x→a−
lı́m f (x) = L
⇔
∀ > 0 ∃ K > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ x > K, x ∈ D
lı́m f (x) = L
⇔
∀ > 0 ∃ K > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ x < −K, x ∈ D
lı́m f (x) = +∞
⇔
∀ M > 0 ∃ δ > 0 : f (x) > M, ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D
lı́m f (x) = −∞
⇔
∀ M > 0 ∃ δ > 0 : f (x) < −M, ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D
x→+∞
x→−∞
x→a
x→a
lı́m f (x) = ±∞
⇔
∀ M > 0 ∃ δ > 0 : f (x) ≷ ±M, ∀ x ∈ (a − δ; a) ∩ D
lı́m f (x) = ±∞
⇔
∀ M > 0 ∃ δ > 0 : f (x) ≷ ±M, ∀ x ∈ (a; a + δ) ∩ D
x→a+
x→a−
lı́m f (x) = ±∞
⇔
x→±∞
f continua en a
⇔
f : D → R continua
∀ M > 0 ∃ K > 0 : f (x) ≷ ±M, ∀ x ≷ ±K, x ∈ D
∀ > 0∃ δ > 0 : f (x) ∈ (f (a) − ; f (a) + ) , ∀x ∈ (a − δ; a + δ)∩D
⇔
f continua en x, ∀ x ∈ D
f : D → R uniformemente continua
⇔
∀ > 0 ∃δ > 0 :
|f (x) − f (y)| < , ∀ |x − y| < δ, x, y ∈ D
f : D → R Liptchitz
⇔
∃ K > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ K |x − y| , ∀ x.y ∈ D
Observación 2.38. Similar al límite de sucesiones, una función f tiene límite L cuando x
tiende a si, dado un real positivo , siempre podemos encontrar otro real δ > 0 tal que f (x) dista
de L en menos de cuando x dista de a menos que δ (con x 6= a).
De las definiciones anteriores resultan evidente las siguientes proposiciones:
f continua en a
⇔
lı́m f (x) = f (a)
x→a
f : D → R uniformemente continua
f : D → R Lipschitz
⇒
⇒
f continua
f uniformemente continua , pues dado un > 0, si K es la
constante de Lipschitz, entonces basta elegir puntos que disten menos de δ =
K
para satisfacer
la condición de continuidad uniforme.
Se define el gráfico de una función como los puntos del plano con coordenadas (x, f (x));
Gr (f ) = (x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ D . Las funciones continuas tienen la propiedad de que, justamente, su gráfico es una linea continua; dicho de otra forma, el gráfico de una función continua
puede dibujarse sin levantar el lápiz.
2.3.2.
Propiedades del Límite de funciones Reales.
Proposición 2.39. Unicidad del Límite
lı́m f (x) ∈ R
x→a
=⇒
∃! lı́m f (x) ∈ R
x→a
Demostración. (-T) L 6= L0 : ∀ > 0 ∃ δ, δ 0 > 0 :
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
26
f (x) ∈ (L − ; L + ) ∩ (L0 − ; L0 + ) , ∀ 0 < |x − a| < mı́n {δ, δ 0 } , x ∈ D
=
L−L0
2
⇒
(L − ; L + ) ∩ (L0 − ; L0 + ) = ∅ (-H)
Nota: Como se puede ver la demostración anterior es análoga a la de la proposición 2.12
(Unicidad del Límite de sucesiones). En adelante, demostraciones que resulten similares a las de
resultados sobre sucesiones quedarán a cargo del lector.
Proposición 2.40. Conservación local del signo
lı́m f (x) 6= 0 =⇒ ∃ δ > 0 : sg (f (x)) = sg lı́m f (x) , ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D
x→a
x→a
Demostración. Es análoga a la de la proposición 2.13 tomando = lı́m f (x).
x→a
Nota: También vale cuando lı́m f (x) = ±∞ si definimos sg (±∞) = ±1.
x→a
Corolario 2.41. f continua en a
=⇒
∃ δ > 0 : sg (f (x)) = sg (f (a)) , ∀ x ∈ (a − δ; a + δ)
Proposición 2.42. lı́m f (x) ∈ R
=⇒
∃ δ > 0 : f ((a − δ; a) ∪ (a; a + δ)) acotada
x→a
Demostración. Similar a la de la proposición 2.12. Trivial a partir de la definición.
Corolario 2.43. f continua en a
=⇒
∃ δ > 0 : f (a − δ; a + δ) acotada
Proposición 2.44. Límites de funciones monótonas
1) f %: D no acotado superiormente ∧ f (D) acotada superiormente
=⇒
lim f (x) = sup f (D)
x→+∞
2) f &: D no acotado superiormente ∧ f (D) acotada inferiormente
=⇒
lı́m f (x) = ı́nf f (D)
x→+∞
3) f &: D no acotado inferiormente ∧ f (D) acotada superiormente
=⇒
lı́m f (x) = sup f (D)
x→−∞
4) f %: D no acotado inferiormente ∧ f (D) acotada inferiormente
=⇒
lı́m f (x) = ı́nf f (D)
x→−∞
5) f %: D, f (D) no acotados
=⇒
6) f &: D, f (D) no acotados
=⇒
lı́m f (x) = ±∞
x→±∞
lı́m f (x) = ∓∞
x→±∞
Demostración. 1) > 0. Aplicando la proposición 1.33 del supremo encontramos un x0 ∈ D
que cumple sup f (D) − < f (x) ≤ sup f (D), y por ser f monótona creciente también satisfacen
la desigualdad los x > x0 , de donde se deduce el resultado.
Las proposiciones 2), 3) y 4) se deducen de manera similar y quedan a cargo del lector.
En cuanto a las proposiciones 5) y 6), es fácil ver a partir de la definición de límite que al ser
f (D) no acotada, f debe divergir (el límite de su valor absoluto debe ser +∞) en algún punto o
en el infinito. (-T) Si f divergiera en un punto a ∈ D quiere decir que,
∀ M > 0 ∃ δ > 0 : |f (x)| > M, ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D
en particular, ∃ δ > 0 : f (x) > f (y) , f (z) , ∀ y < a − δ < x < a + δ < z, lo que implica que
no es monótona. (-H)
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
27
El signo del infinito se desprende automáticamente de las definiciones de monotonía y límite.
Proposición 2.45. Límite de la función comprendida
1) ∃ δ > 0 : f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) , ∀ 0 < |x − a| < δ
=⇒
∧
lı́m f (x) = lı́m h (x) = L
x→a
x→a
lı́m g (x) = L
x→a
2) ∃ δ > 0 : f (x) ≤ g (x) , ∀ 0 < |x − a| < δ
=⇒
∧
lı́m f (x) = +∞
x→a
lı́m g (x) = +∞
x→a
3) ∃ δ > 0 : f (x) ≥ g (x) , ∀ 0 < |x − a| < δ
∧
lı́m f (x) = −∞
x→a
lı́m g (x) = −∞
=⇒
x→a
Demostración. 1) > 0
⇒
∃ δf , δh : f (x) , h (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ 0 < |x − a| < δf , δh
0 < |x − a| < δ 0 = mı́n {δ, δf , δh }
⇒
2) M > 0
⇒
L − < f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) < L + ∃ δf : f (x) ≥ M, ∀ 0 < |x − a| < δf
0 < |x − a| < δ 0 = mı́n {δ, δf }
⇒
M ≤ f (x) ≤ g (x)
3) Es completamente análoga a la 2).
Proposición 2.46. Operaciones con Límites
lı́m f (x) , lı́m g (x) ∈ R. Entonces,
x→a
x→a
1) lı́m (f (x) + g (x)) = lı́m f (x) + lı́m g (x)
x→a
x→a
x→a
2) lı́m (f (x) g (x)) = lı́m f (x)
lı́m g (x)
x→a
x→a
x→a
Demostración. Las propiedades anteriores se demuestran de forma análoga a las de la
proposición 2.18 (operaciones con límite de sucesiones).
Probaremos a modo de ejemplo la 1).
>0
⇒
∃δf , δg > 0 : |f (x) − Lf | , |g (x) − Lg | < 2 , ∀ 0 < |x − a| < δf , δg
δ = mı́n {δf , δg }
⇒
|f (x) + g (x) − (Lg + Lf )| = |f (x) − Lf + g (x) − Lg |
≤ |f (x) − Lf | + |g (x) − Lg | <
2
+
2
= , ∀ 0 < |x − a| < δ
Corolario 2.47. f, g continuas en a
=⇒
(f + g) : (f + g) (x) = f (x)+g (x) , (f g) : (f g) (x) = f (x) g (x) son continuas en a
Demostración. Es evidente a partir de la proposición anterior si recordamos que
f continua en a
⇔
lı́m f (x) = f (a)
x→a
Proposición 2.48. Límite de la función compuesta
∃ δ > 0 : g (x) 6= b, ∀ 0 < |x − a| < δ
=⇒
x→a
Demostración. > 0
⇒
∧
lı́m g (x) = b
x→a
lı́m (f ◦ g) (x) = lı́m f (u)
u→b
⇒
∃ δf > 0 : f (u) ∈ (L − ; L + ) , ∀ 0 < |u − b| < δf
∃ δg > 0 : g (x) ∈ (b − δf ; b + δf ) , ∀ 0 < |x − a| < δg
0 < |x − a| < δ 0 = mı́n {δ, δg }
⇒
0 < |g (x) − b| < δf
⇒
f (g (x)) ∈ (L − ; L + )
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
∧
Corolario 2.49. g continua en a
f continua en g (a)
=⇒
28
f ◦g continua en a
Proposición 2.50. ∃ δ > 0 : f (x) 6= 0, ∀ 0 < |x − a| < δ, x ∈ D. Entonces,
lı́m |f (x)| = +∞
lı́m 1
x→a f (x)
⇐⇒
x→a
=0
Demostración. La demostración es análoga a la de la proposición 2.19 y se deja como
ejercicio.
Ejemplo 2.51. Para entender un poco mejor la definición de Límite, al igual que se hizo
en la sección sobre sucesiones, estudiaremos el límite de la función constante, la identidad en los
Reales y un caso en el que no existe el límite:
f : R → R / f (x) = c constante
⇒
⇒ lı́m f (x) = c = f (a) , ∀ a ∈ R
f (x) ∈ (c − ; c + ) , ∀ > 0, x ∈ R
x→a
Lo que muestra además que la función f es continua.
g : R → R / g (x) = x
⇒
⇒
∀ > 0 ∃ δ = > 0 : |g (x) − a| < , ∀ 0 < |x − a| < δ
lı́m g (x) = a = g (a) , ∀ a ∈ R
x→a
Por lo que g es continua.
2,48
x→0
x≷0
⇒
1
x
≷ 0, entonces
1
g
⇒
En particular, lı́m g (x) = 0
lı́m x1
x→0±
diverge en x = 0, y estudiando el signo vemos que,
= lı́m
x→0±
1
g(x)
= ±∞.
Para estudiar un caso
 en el que no hay límite definimos,
1 si x ∈ Q
h : R → R / h (x) =
0 si x ∈ R \ Q
Tanto los Racionales como los Irracionales son densos en R, por lo que dado un δ > 0
siempre encontraremos elementos de Q y R \ Q en todo intervalo Real de radio δ, es decir;
(a − δ; a + δ) ∩ Q 6= ∅, (a − δ; a + δ) ∩ (R \ Q) 6= ∅, ∀a ∈ R.
(-T) El límite de la función h, de existir, debería ser 0 o 1, pues para cualquier otro número
L existe un = mı́n {|L| , |L − 1|} tal que h (x) ∈
/ (L − ; L + ) , ∀x. Pero h tampoco puede tener
límite 0, pues en todo intervalo real (a − δ; a + δ) existen números Racionales de modo que si
elegimos = 1
⇒
h (x) = 1 ∈
/ (−; ) , ∀x ∈ (a − δ; a + δ) ∩ Q 6= ∅. Por el mismo argumento
el límite de h tampoco puede ser 1. (-H)
Teorema 2.52. a ∈ D0 ∧ f : D → R. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) lı́m f (x) = L
x→a
2) lı́m f (x) = lı́m f (x) = L
x→a+
x→a−
3) {an } ⊂ D \ {a} : lı́m an = a
⇒
lı́mf (an ) = L
n
4) ∃ g : f (x) = L + g (x) ∧ lı́m g (x) = 0
x→a
Demostración. (1→2) ∀ > 0 ∃ δ > 0 :
f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ x ∈ ((a − δ; a) ∪ (a; a + δ)) ∩ D = ((a − δ; a) ∩ D) ∪ ((a; a + δ) ∩ D)
⇒
lı́m f (x) = lı́m− f (x) = L
x→a+
x→a
(2→1) ∀ > 0∃ δ + , δ − > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀x ∈ ((a − δ − ; a) ∩ D)∪((a; a + δ + ) ∩ D)
0 < |x − a| < δ = mı́n {δ − , δ + } ⇒ f (x) ∈ (L − ; L + ) ⇒ lı́m f (x) = L
x→a
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
29
(1→3) > 0, {an } ⊂ D \ {a} : lı́m an = a
⇒
∃ δ > 0 : f (x) ∈ (L − ; L + ) , ∀ 0 < |x − a| < δ
⇒
∃ N ∈ N : 0 < |an − a| < δ, ∀ n ≥ N
(3→1) (-T) lı́m f (x) 6= L
⇒
x→a
∀n ∈ N∃an ∈ a − n1 ; a +
1
n
⇒
f (an ) ∈ (L − ; L + ) , ∀ n ≥ N
∃ > 0 :
\ {a} : |f (an ) − L| ≥ (1→4) g : g (x) = f (x) − L
⇒
⇒
lı́m an = a ∧ lı́mf (an ) 6= L (-H)
n
2,45
lı́m g (x) = lı́m (f (x) − L) = lı́m f (x) − L = L − L = 0
x→a
2,45
x→a
x→a
(4→1) lı́m f (x) = lı́m (L + g (x)) = L + 0 = L
x→a
x→a
Observación 2.53. La proposición (1↔ 3) del teorema anterior nos permite aplicar muchos
de los resultas sobre límite de sucesiones al límite de funciones. En particular, las proposiciones
2.40, 2.42, 2.44, 2.45 y 2.46 se podrían haber deducido directamente de dicha equivalencia.
También resulta evidente el siguiente corolario:
f continua en a
⇔
lı́mf (an ) = f (a) , ∀ {an } ⊂ D : lı́m an = a
n
Notar que para el corolario anterior no es necesario pedir que a sea punto de acumulación de
D, pues si no lo es entonces es aislado, y por tanto an debe ser igual a a de un cierto natural en
adelante y en tal caso es obvia la continuidad de f en a.
Proposición 2.54. lı́m f (x) , lı́m g (x) ∈ R, lı́m g (x) > 0
x→a
∧
x→a
x→a
lı́m φ± (x) = lı́m ψ ± (x) = ±∞. Entonces,
x→a
x→a
1) lı́m (f (x) + φ± (x)) = ±∞
x→a
2) lı́m (φ± (x) + ψ ± (x)) = ±∞
x→a
3) lı́m − φ± (x) = ∓∞
x→a
4) lı́m (g (x) φ± (x)) = ±∞
x→a
5) lı́m (φ± (x) ψ + (x)) = ±∞
x→a
6) lı́m (φ± (x) ψ − (x)) = ∓∞
x→a
Demostración. 1) Probaremos el caso lı́m (f (x) + φ+ (x)) = +∞, el caso lı́m (f (x) + φ− (x)) =
x→a
x→a
−∞ se prueba de forma análoga.
, M > 0
⇒
∃ δf , δ φ > 0 :
L − < f (x) < L + , ∀ 0 < |x − a| < δf
∧
φ+ (x) > M − L + , ∀ 0 < |x − a| < δφ
0 < |x − a| < δ = mı́n {δf , δφ } ⇒ f (x) + φ+ (x) > L − + M − L + = M
2) M > 0 ⇒ ∃ δφ , δψ > 0 : φ+ (x) , ψ + (x) > M
2 , ∀ 0 < |x − a| < mı́n {δφ , δψ }
⇒
φ+ (x) + ψ + (x) > M
De igual forma se demuestra lı́m (φ− (x) + ψ − (x)) = −∞.
x→a
3) Es obvio a partir de la definición de límite recordando la proposición 1.24 y que
−φ± (x) = (−1) φ± (x).
4) M > 0
⇒
L
2
3L
2 ,
< g (x) <
∃ δg , δ φ > 0 :
∀ 0 < |x − a| < δg
∧
2M
L , ∀ 0 < |x
> L2 2M
L =M
φ+ (x) >
+
0 < |x − a| < δ = mı́n {δf , δφ } ⇒ g (x) φ (x)
De igual forma se prueba lı́m (g (x) φ− (x)) = −∞.
x→a
− a| < δφ
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
∃ δφ , δψ > 0 : φ+ (x) , ψ + (x) >
√ √
φ+ (x) ψ + (x) > M M = M
⇒
5) M > 0
⇒
√
30
M , ∀ 0 < |x − a| < mı́n {δφ , δψ }
6) Haremos uso nuevamente de la proposición 1.24, así como para demostrar 5) hicimos uso
de 1.23.
M > 0 ⇒ ∃ δφ , δψ > 0 : φ+ (x) >
√ √
⇒ φ+ (x) ψ + (x) < − M M = M
√
√
M , ψ − (x) < − M , ∀ 0 < |x − a| < mı́n {δφ , δψ }
Los dos casos restantes de las propiedades 5) y 6) se prueban de igual manera.
Observación 2.55. Es importante notar que en ningún caso aparecen límites de la forma
±∞ ∓ ∞ o 0 (±∞). Esta clase de límites se llaman indeterminados y para resolverlos es necesario
conocer las funciones implicadas en el cálculo. La proposición que sigue apunta a resolver algunos
de tales límites.
Observar también que, en las hipótesis de la proposición anterior, lı́m − g (x) < 0 y entonces,
x→a
por la propiedad 3), lı́m (−g (x) φ± (x)) = lı́m − (g (x) φ± (x)) = ∓∞.
x→a
x→a
(x)
Proposición 2.56. lı́m fg(x)
=L∈R
x→a
=⇒
lı́m f (x) h (x) = L lı́m g (x) h (x)
x→a
x→a
(x)
Demostración. lı́m f (x) h (x) = lı́m fg(x)
g (x) h (x) = L lı́m g (x) h (x)
x→a
x→a
x→a
Ejemplo 2.57. Los polinomios son equivalentes a su término de mayor grado en el infinito,
y al de menor grado en cero.
n
n
P
P
lı́m an1xn
ak xk = lı́m
x→+∞
⇒
k=0
lı́m h (x)
x→+∞
n
P
lı́m a10
ak xk
x→0
k=0
⇒
lim h (x)
x→0
2.3.3.
n
P
x→+∞k=0
n
P
ak
n−k
x→+∞k=0 an x
= lı́m
=
an
an
=1
ak xk = lı́m h (x) an xn , ∀ h : (K; +∞) → R
k=0
= lı́m
n
P
ak xk
an xn
x→+∞
n
P
x→0k=0
ak xk
a0
=
a0
a0
=1
ak xk = lim h (x) a0 , ∀ h : (−δ; 0) ∪ (0; δ) → R
k=0
x→0
Propiedades de las funciones continuas.
Proposición 2.58. f : [a; b] → R continua
⇐⇒
lı́mf (xn ) = f (lı́m xn ) , ∀ {xn } convergente ⊂ [a; b]
n
Demostración. (→) Supongamos {xn } convergente ⊂ [a; b]. Entonces, por el teorema 2.31
tenemos lı́m xn = x ∈ [a; b].
>0
⇒
⇒
∃δ > 0 : f (y) ∈ (f (x) − ; f (x) + ) , ∀ y ∈ (x − δ; x − δ)
∃N ∈ N : xn ∈ (x − δ; x − δ) , ∀ n ≥ N
(←) x ∈ [a; b] cerrado
2,51
⇒
2,29
⇒
⇒
f (xn ) ∈ (f (x) − ; f (x) + ) , ∀ n ≥ N
lı́m xn = x ∈ [a; b] = [a; b]
0
⇒
lı́mf (xn ) = f (x)
n
lı́m f (y) = f (x)
y→x
Proposición 2.59. f : [a; b] → R continua
⇐⇒
f uniformemente continua
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
31
Demostración. (→) (-T) δ > 0
⇒
∃ > 0 : |f (x) − f (y)| ≥ , ∀ |x − y| < δ, x, y ∈ [a; b]
x ∈ [a; b] = [a; b]
⇒
0
2,27
⇒
∃ (xn ) : N → [a; b] / lı́m xn = x
∃N ∈ N : |xn − x| < δ, ∀n ≥ N
2,57
⇒ |f (xn ) − f (x)| ≥ , ∀n ≥ N ⇒ lı́m f (xn ) 6= f (lı́m xn ) ⇒ f no continua (-H)
(←) Ya vimos en la observación 2.38 que esta implicación es obvia por definición.
Figura 2.3.1. Ejemplo proposición 2.59
La continuidad uniforme se puede entender facilmente con un gráfico:
Tomemos por ejemplo la función f (x) = 1/x, x > 0; dados intervalos de igual longitud , en este
caso 1/5, las preimágenes de sus extremos estarán cada vez mas cerca conforme nos aproximamos
a x = 0. Si restringimos la función a un intervalo cerrado, digamos [1; 4], basta elegir δ = 1/4 para
cumplir con la definición
de continuidad uniforme en dicho intervalo (con = 1/5). Si elegimos el
1
intervalo 2 ; 4 , tendremos que tomar δ 0 = 1/18. Pero si en cambio tomamos como dominio el
intervalo abierto (0; +∞), los intervalos preimagen se hacen cada vez más chicos cuanto más
cerca del cero y no podemos elegir un δ que satisfaga la definición de continuidad uniforme.
Teorema 2.60. Weierstrass
f : [a; b] → R continua
=⇒
∃ máx f ([a; b]) , mı́n f ([a; b]) ∈ R
Demostración. Probaremos primero que f ([a; b]) está acotado.
A = {x ∈ [a; b] : f ([a; x]) acotado}
> 0 ⇒ ∃δa > 0 : f (a) − < f (x) < f (a) + , ∀a ≤ x < a + δa
⇒ f a; a + δ2a
acotado
∧ A ⊂ [a; b]
⇒
A acotado 6= ∅
(-T) sup A 6= b
Si sup (A) > b ∧ 0 = sup (A) − b > 0
1,33
⇒
∃x ∈ A : b = sup (A) − 0 < x ≤ sup (A) (-H)
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
32
Si sup (A) < b entonces f es continua en sup (A), y por la proposición 2.42 sabemos existe
δ > 0 tal que f (sup (A) − δ; sup (A) + δ) está acotado. Pero por definición f ([a; sup (A)]) también
está acotado, entonces
f a; sup (A) + 2δ
acotado
⇒
sup (A) +
δ
2
∈ A / sup (A) +
δ
2
> sup (A) (-H)
Por lo tanto sup (A) = b y f ([a; b − δ]) acotado , ∀δ > 0
Por último resta notar que f también es continua en b, entonces,
∃δb > 0 : f (b) − < f (x) < f (b) + , ∀ b − δb < x ≤ b
⇒
f
b−
δb
2 ;b
acotado , con
lo que concluimos que A = [a; b], o sea que f ([a; b]) es acotado.
Solo queda probar que f tiene máximo y mínimo en [a; b], es decir, que el supremo e ínfimo
de f ([a; b]) pertenecen al conjunto.
1,33
⇒
∃xn , yn ∈ [a; b] :
M−
1
n
< f (xn ) ≤ M
{x
n } , {yn} ⊂ [a; b] cerrado y acotado
M − n1k , M −→ M ∧ m, m −
k
2,17
⇒
n ∈ N+
∧
M = sup f ([a; b]) , m = ı́nf f ([a; b])
lı́m f (xnk ) = f (lı́m xnk ) = M
∧
m ≤ f (yn ) < m +
1
n
2,31
⇒ ∃ (xnk ) , (ynk ) : lı́m xnk , lı́m ynk ∈ [a; b]
1
−→ m
nk
k
∧
lı́m f (ynk ) = f (lı́m ynk ) = m
Teorema 2.61. Bolzano
f : [a; b] → R continua ∧ f (a) f (b) < 0
∃ c ∈ (a; b) : f (c) = 0
=⇒
Demostración. Probaremos el teorema para el caso f (a) < 0
⇒
f (b) > 0, el caso en
que f (a) > 0 se demuestra de forma análoga.
A = {x ∈ [a; b] : f (x) < 0}
(-T) f (c) 6= 0
⇒
⇒
a ∈ A ⊂ [a; b]
⇒
A acotado 6= ∅
⇒ ∃δ > 0 : f (x) > 0, ∀x ∈ (c − δ; c + δ) ⇒
δ
c − 2 cota superior de A / c − 2δ < c = sup A (-H)
∃δ > 0 : f (x) < 0, ∀x ∈ (c − δ; c + δ)
sup A = c < c + 2δ ∈ A (-H)
f (c) < 0
⇒
∃ c = sup A
f (c) > 0 Y f (c) < 0
f (c) > 0
⇒
⇒
⇒
⇒
f c−
δ
2
>0
f c+
δ
2
<0
Con lo que concluimos que f (c) = 0.
Corolario 2.62. Darboux
f : [a; b] → R continua
∧
f (a) < λ < f (b)
Demostración. g : g (x) = f (x) − λ
g (a) < 0 < g (b)
2.3.4.
2,60
⇒
⇒
=⇒
∃ c ∈ (a; b) : f (c) = λ
g : [a; b] → R continua
∃ c ∈ (a; b) : g (c) = f (x) − λ = 0
/
Continuidad y Topología.
Proposición 2.63. f : [a; b] → R continua
=⇒
∃ c, d ∈ [a; b] : f ([a; b]) = [f (c) ; f (d)]
Demostración. Por el teorema de Weierstrass sabemos que f ([a; b]) tiene máximo y mínimo, llamémosles f (d) y f (c) respectivamente. Pero además, por el corolario de Darboux, sabemos
2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
33
que para todo Real λ comprendido entre f (d) y f (c) existe α ∈ (a; b) : f (α) = λ. Entonces
f ([a; b]) debe ser un intervalo cerrado.
Teorema 2.64. a, b ∈ R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) f : D → R continua
2) ∃ A abierto ⊂ R : f −1 (a; b) = A ∩ D
3) ∃ B cerrado ⊂ R : f −1 [a; b] = B ∩ D
Demostración. La demostración de este teorema, si bien no es difícil, es completamente
análoga a la que se da en cursos de Cálculo 2 y no reviste gran interés en lo que a éste curso
respecta. El lector interesado con conocimientos de Cálculo de varias variables puede leerla de las
Notas para el curso de Cálculo Diferencial e Integral 2 de Andrés Abella y Ernesto Mordecki. Proposición 2.65. f ↑: [a; b] → [f (a) ; f (b)] continua
=⇒
f biyectiva / f −1 ↑ continua
Demostración. Ya habíamos visto que la inyectividad de f es trivial por definición de
monotonía. También sabemos de la proposición 2.63 que f ([a; b]) es un intervalo cerrado, pero
como f es creciente es evidente que f ([a; b]) = [f (a) ; f (b)], pues si no lo fuera habría un c >
a : f (c) < f (a), o un d < b : f (d) > f (b), lo que es absurdo. Esto prueba que f , tal y como la
definimos, es biyectiva y por tanto tiene inversa.
Además f −1 es claramente creciente;
f (a) ≤ u < v ≤ f (b)
⇒
a≤x=f
−1
⇒
∃x, y ∈ [a; b] : f (x) = u, f (y) = v
(u) < y = f −1 (v) ≤ b
Sabemos que x < y porque de no ser así contradice que f sea creciente.
>0
⇒
∃ 0 < δ ≤ : f (x) − < f (y) < f (x) + , ∀ x − δ < y < x + δ
0
δ = mı́n {(f (x + δ) − f (x)) , (f (x) − f (x − δ))}
0
∧
u = f (x) , v = f (y)
0
f (x − δ) ≤ u − δ < v < u + δ ≤ f (x + δ)
⇒
⇒
x − δ = f −1 (u) − δ < f −1 (v) < x + δ = f −1 (u) + δ
f −1 (v) ∈ f −1 (u) − δ; f −1 (u) + δ ⊂ f −1 (u) − ; f −1 (u) + Esto prueba que f −1 es continua y concluye la demostración.
Capítulo 3
Integral de Riemann
El concepto de Integral podría entenderse, en el caso de funciones reales de una variable,
como una forma para encontrar áreas de regiones de contorno irregular. En efecto, la Integral de
una función positiva es el área comprendida entre su gráfico y el eje x, pero también tiene muchas
otras utilidades, como veremos en el capítulo 5.
Existen actualmente varias definiciones formales para la Integral de funciones reales, cada
una con sus ventajas y limitaciones. La primera definición rigurosa de Integral fue descubierta
por Bernhard Riemann y es la que pasamos a definir a continuación.
3.1.
3.1.1.
Definición
Sumas superiores e inferiores.
Definición 3.1. Particiones y sumas
P partición de [a; b] ⊂ R
⇔
P = {x0 , x1 , . . . , xn : a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
P [a; b] = {P : P partición de [a; b]}
n
P
S (f, P ) =
Mi (xi − xi−1 ) / P = {x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b] ∧ Mi = sup f ([xi−1 ; xi ])
S (f, P ) =
i=1
n
P
mi (xi − xi−1 )
/ P = {x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b] ∧ mi = ı́nf f ([xi−1 ; xi ])
i=1
Proposición 3.2. P, Q ∈ P [a; b] : P ⊂ Q
=⇒
S (f, P ) ≥ S (f, Q) ∧ S (f, P ) ≤ S (f, Q)
Demostración. Q = P ∪ {xm+1 , . . . , xn } = {x0 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn }
P1 = P ∪ {xm+1 } / xm+1 ∈ (xi−1 ; xi ) , xi , xi−1 ∈ P
Mi = sup f ([xi−1 ; xi ]) , M1 = sup f ([xi−1 ; xm+1 ]) , M10 = sup f ([xm+1 ; xi ])
mi = ı́nf f ([xi−1 ; xi ]) , m1 = ı́nf f ([xi−1 ; xm+1 ]) , m01 = ı́nf f ([xm+1 ; xi ])
⇒
M1 , M10 ≤ Mi
⇒
M1 (xm+1 − xi−1 )+M10 (xi − xm+1 ) ≤ Mi (xm+1 − xi−1 )+Mi (xi − xm+1 ) = Mi (xi − xi−1 )
⇒ S (f, P1 ) ≤ S (f, P )
De forma análoga vemos que m1 , m01 ≥ mi , entonces;
⇒
m1 (xm+1 − xi−1 )+m01 (xi − xm+1 ) ≥ mi (xm+1 − xi−1 )+mi (xi − xm+1 ) = mi (xi − xi−1 )
⇒
S (f, P1 ) ≥ S (f, P )
Por último definimos Pk = P ∪ {xm+1 , . . . , xm+k } , k = 1, . . . , (n − m), de modo que P0 =
P y Pn−m = Q. El mismo razonamiento anterior permite deducir S (f, Pk−1 ) ≥ S (f, Pk )
S (f, Pk−1 ) ≤ S (f, Pk ). Entonces,
34
∧
3.1. DEFINICIÓN
S (f, P ) ≥ S (f, P1 ) ≥ . . . ≥ S (f, Q)
∧
Proposición 3.3. P, Q ∈ P [a; b]
=⇒
35
S (f, P ) ≤ S (f, P1 ) ≤ . . . ≤ S (f, Q)
S (f, P ) ≥ S (f, Q)
Demostración. P ∪ Q = {x0 , . . . , xn }
Mi = sup f ([xi−1 ; xi ]) ≥ mi = ı́nf f ([xi−1 ; xi ]) ∀ i = 1, . . . , n
n
n
3,2
3,2
P
P
S (f, P ) ≤ S (f, P ∪ Q) =
mi (xi − xi−1 ) ≤
Mi (xi − xi−1 ) = S (f, P ∪ Q) ≤ S (f, Q)
i=1
i=1
Observación 3.4. Las proposiciones anteriores nos dicen que si nos tomamos una secuencia
estrictamente creciente de particiones de [a; b], P1 ⊂ P2 ⊂ P3 ⊂ . . ., entonces la sucesión de sumas
superiores correspondiente es decreciente y acotada inferiormente por las sumas inferiores, por lo
que tiende a un valor límite; el ínfimo de las sumas superiores. De la misma forma, la sucesión de
sumas inferiores correspondiente a dicha secuencia de particiones es creciente y acotada por las
sumas superiores y tiende al supremo de las sumas inferiores.
3.1.2.
La Integral.
Definición 3.5. Integral de Riemann
ˆ
b
f = ı́nf S (f, P ) : P ∈ P [a; b]
a
ˆ
b
f = sup {S (f, P ) : P ∈ P [a; b]}
a
ˆ
f : [a; b] → R Riemann-integrable
ˆ
b
⇔
f=
a
ˆ
ˆ
a
f =−
b
ˆ
b
f
a
∧
ˆ
b
f=
a
b
f
a
a
f =0
a
Figura 3.1.1. Integral de Riemann
Si la función es Riemann-integrable, a medida que agregamos puntos a la partición del intervalo
([0; 2] en este caso), las sumas superiores (izquierda - intervalos de longitud 1/4) y las sumas
inferiores (centro - intervalos de longitud 1/16) tienden a un mismo valor: la integral de la
función (derecha).
3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
3.2.
36
Propiedades de la integral de Riemann
Proposición 3.6. f : [a; b] → R Riemann-integrable
⇐⇒
∀ > 0 ∃P ∈ P [a; b] : S (f, P ) − S (f, P ) < 1,33
Demostración. (→) > 0 ⇒ ∃P 0 , P 00 ∈ P [a; b] :
1,34
´b
´b
´b
0
f
−
<
S
(f,
P
)
≤
f
≤
S
(f, P 00 ) < a f + 2
2
a
a
P = P 0 ∪ P 00 ⇒ S (f, P ) − S (f, P ) ≤ S (f, P 00 ) − S (f, P 0 ) <
´b
´b
´b
´b
(←) (-T) f < a f ∧ = a f − f > 0
a
a
´b
´b
⇒ S (f, P ) − S (f, P ) ≥ a f − f = , ∀ P ∈ P [a; b] (-H)
´b
a
f+
2
−
´b
a
f+
2
=
a
Proposición 3.7. f : [a; b] → R Riemann-integrable ∧ M = sup f ([a; b]) , m = ı́nf f ([a; b])
´b
=⇒
m (b − a) ≤ a f ≤ M (b − a)
Demostración. P = {x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b] ∧ Mi = sup f ([xi−1 ; xi ]) , mi = ı́nf f ([xi−1 ; xi ])
n
n
P
P
m ≤ f (x) ≤ M, ∀ x ∈ [a; b] ⇒ m (b − a) =
m (xi − xi−1 ) =
mi (xi − xi−1 ) =
S (f, P ) ≤
´b
a
f ≤ S (f, P ) =
n
P
Mi (xi − xi−1 ) =
i=1
n
P
i=1
i=1
M (xi − xi−1 ) = M (b − a)
i=1
Proposición 3.8. f, g : [a; b] → R Riemann-integrable / f (x) ≥ g (x) , ∀ x ∈ [a; b]
´b
´b
=⇒
f≥ ag
a
Demostración. P = {x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b]
Mi = sup f ([xi−1 ; xi ]) , mi = ı́nf f ([xi−1 ; xi ]) , Mi0 = sup g ([xi−1 ; xi ]) , m0i = ı́nf g ([xi−1 ; xi ])
Primero, observar que ∀ z ∈ g ([xi−1 ; xi ]) ∃ y ∈ f ([xi−1 ; xi ]) / y ≥ z
1,35
⇒
Mi ≥ Mi0 . Con
un argumento análogo, aplicando la proposición 1.36 tenemos que mi ≥ m0i . Entonces,
n
n
P
P
S (f, P ) =
Mi (xi − xi−1 ) ≥
Mi0 (xi − xi−1 ) = S (g, P )
S (f, P ) =
i=1
n
P
mi (xi − xi−1 ) ≥
i=1
i=1
n
P
i=1
m0i (xi − xi−1 ) = S (g, P )
Puesto que la integral entre a y b de ambas funciones son ínfimo y supremo de sus sumas,
´b
´b
superiores e inferiores respectivamente, concluimos que a f ≥ a g.
Proposición 3.9. Operaciones con integrales
f, g : [a; b] → R Riemann-integrable ∧ λ ∈ R
´b
´b
´b
1) a (f + g) = a f + a g
´b
´b
2) a (λf ) = λ a f
Demostración. 1) Usando la misma notación que en la demostración anterior sabemos, por
las proposiciones 1.37 y 1.38, que (Mi + Mi0 ) = sup (f + g) [xi−1 ; xi ] y (mi + m0i ) = ı́nf (f + g) [xi−1 ; xi ].
Entonces,
S (f + g, P ) =
n
X
i=1
(Mi + Mi0 ) (xi − xi−1 ) =
n
n
X
X
Mi (xi − xi−1 )+ Mi0 (xi − xi−1 ) = S (f, P )+S (g, P )
i=1
i=1
3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
S (f + g, P ) =
n
X
(mi + m0i ) (xi − xi−1 ) =
i=1
37
n
n
X
X
mi (xi − xi−1 )+ m0i (xi − xi−1 ) = S (f, P )+S (g, P )
i=1
i=1
El resultado se deduce de aplicar nuevamente las proposiciones 1.37 y 1.38 pero al los conjuntos de las sumas superiores e inferiores, junto con la hipótesis de integrabilidad:
´b
´b
´b
´b
(f + g) = a f + a g =
(f + g)
a
a
2) El caso λ = 0 es trivial, ya que las sumas superiores e inferiores de λf son nulas y por lo
tanto también lo será su integral.
Si λ > 0 sabemos por las proposiciones 1.39 y 1.40 que λMi = sup (λf ) [xi−1 ; xi ] y λmi =
ı́nf (λf ) [xi−1 ; xi ]. Entonces,
n
n
P
P
S (λf, P ) =
λMi (xi − xi−1 ) = λ Mi (xi − xi−1 ) = λS (f, P )
S (λf, P ) =
i=1
n
P
λmi (xi − xi−1 ) = λ
i=1
i=1
n
P
mi (xi − xi−1 ) = λS (f, P )
i=1
Aplicando las proposiciones 1.39 y 1.40 nuevamente y la hipótesis de integrabilidad obtenemos
el resultado:
´b
´b
´b
(λf ) = λ a f =
(λf )
a
a
Si λ < 0 entonces −λ > 0 y, por las proposiciones 1.39 y 1.40, −λMi = sup (−λf ) [xi−1 ; xi ]
y −λmi = ı́nf (−λf ) [xi−1 ; xi ]. Esto es;
c ≤ −λmi ≤ −λf (x) ≤ −λMi ≤ c, ∀ x ∈ [xi−1 ; xi ] , c, c cotas de (−λf ) [xi−1 ; xi ]
⇔
−c ≥ λmi ≥ λf (x) ≥ λMi ≥ −c
Es decir que λmi = sup (λf ) [xi−1 ; xi ] y λMi = ı́nf (λf ) [xi−1 ; xi ], entonces,
n
n
P
P
S (λf, P ) =
λmi (xi − xi−1 ) = λ mi (xi − xi−1 ) = λS (f, P )
S (λf, P ) =
i=1
n
P
i=1
n
P
λMi (xi − xi−1 ) = λ
i=1
Mi (xi − xi−1 ) = λS (f, P )
i=1
Nuevamente, aplicando las proposiciones 1.39 y 1.40 a los conjuntos de las sumas superiores
´b
´b
´b
e inferiores junto con la hipótesis de integrabilidad, obtenemos: a (λf ) = λ a f =
(λf )
a
Observación 3.10. Desde el punto de vista del álgebra lineal, la proposición anterior nos dice
que las funciones Riemann-integrables forman un subespacio de las funciones Reales (el cual es
un espacio vectorial sobre los Reales, con las operaciones suma y producto por escalares definidas
´b
punto a punto), y que el operador a actuando sobre dicho subespacio es un funcional lineal.
Proposición 3.11. f : [a; b] → R Riemann-integrable ∧ a < c < b
´b
´c
´b
=⇒
f= af+ c f
a
Demostración. P = {x0 , . . . , xm } ∈ P [a; c] , Q = {xm , . . . , xn } ∈ P [c; b]. Entonces P ∪Q =
{x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b] y además,
S (f, P ∪ Q) =
n
m
n
X
X
X
Mi (xi − xi−1 ) =
Mi (xi − xi−1 )+
Mi (xi − xi−1 ) = S (f, P )+S (f, Q)
i=1
S (f, P ∪ Q) =
i=1
i=m+1
n
m
n
X
X
X
mi (xi − xi−1 ) =
mi (xi − xi−1 )+
mi (xi − xi−1 ) = S (f, P )+S (f, Q)
i=1
i=1
i=m+1
3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
38
Aplicamos ahora las proposiciones 1.37 y 1.38 obtenemos que;
´b
´c
´b
´b
´c
´b
f = af + cf ∧
f= f+ f
a
a
a
c
Por último, es claro que las restricciones f |[a;c] : [a; c] → R y f |[c;b] : [c; b] → R son Riemann´c
´c
´b
´b
integrables, pues de no serlo (-T) tendríamos
f < a f y/o
f < c f , y entonces sería
a
c
´b
´c
´b
´c
´b
´b
f = f + f < a f + c f = a f (-H).
a
a
c
Ejemplo 3.12. Calcularemos la integral de una función constante y a continuación veremos
un caso de función no integrable (según Riemann).
f : R → R / f (x) = c
⇒
⇒
S (f, P ) = S (f, P ) =
n
P
sup f ([xi−1 ; xi ]) = ı́nf f ([xi−1 ; xi ]) = c, ∀ P ∈ P [a; b] , a, b ∈ R
n
P
c (xi − xi−1 ) = c (xi − xi−1 ) = c (b − a)
i=1
´b
a
i=1
Es decir, todas las sumas son iguales y entonces ese deberá ser el valor de su supremo/ínfimo;
f = c (b − a).

1 si x ∈ Q
Consideremos ahora nuevamente la función h : R → R / h (x) =
. Tanto
0 si x ∈ R \ Q
los Racionales como los Irracionales son densos, por lo que en todo intervalo [a; b] tendremos elementos de ambos conjuntos y entonces sup h ([xi−1 ; xi ]) = 1 y ı́nf h ([xi−1 ; xi ]) = 0 para cualquier
partición P ∈ P [a; b]. Entonces,
n
P
S (h, P ) =
1 (xi − xi−1 ) = b − a
i=1
con lo que concluimos que
´b
a
∧
h=0<
S (h, P ) =
´b
a
n
P
0 (xi − xi−1 ) = 0
i=1
h = b − a.
Proposición 3.13. f : [a; b] → R monótona
=⇒ f Riemann-integrable
n
o
Demostración. Supongamos primero f %. Pn = xi = a + i(b−a)
:
i
=
0,
.
.
.
,
n
∈ P [a; b]
n
sup f ([xi−1 ; xi ]) = f (xi ) , ı́nf f ([xi−1 ; xi ]) = f (xi−1 ) ∧ xi − xi−1 = b−a
n , ∀ i = 1, . . . , n
n
n
n
P
P
P
S (f, Pn )−S (f, Pn ) =
f (xi ) (xi − xi−1 )− f (xi−1 ) (xi − xi−1 ) =
(f (xi ) − f (xi−1 )) b−a
n =
⇒
⇒
b−a
n
n
P
i=1
(f (xi ) − f (xi−1 )) =
i=1
b−a
n
i=1
i=1
(f (b) − f (a)) −→ 0
n
Es decir que ∀ > 0 ∃Pn ∈ P [a; b] : S (f, Pn ) − S (f, Pn ) < , verificando el criterio de
integrabilidad de la proposición 3.6.
Si fuera f & entonces sería (−f ) % y por tanto integrable, entonces por la proposición 3.9
(−1) (−f ) = f es integrable.
Proposición 3.14. f : [a; b] → R continua
=⇒
f Riemann-integrable
Demostración. Por la proposición 2.59 sabemos que f es uniformemente continua, es decir,
∀ > 0 ∃ δ > 0 : |f (x) − f (y)| < , ∀ |x − y| < δ, x, y ∈ [a; b]. Tomemos un > 0 cualquiera,
entonces existe δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| <
b−a ,
∀ |x − y| < δ, x, y ∈ [a; b].
P = {x0 , . . . , xn } ∈ P [a; b] : xi − xi−1 < δ, ∀ i = 0, . . . , n
2,59
⇒
∃ ci , ci ∈ [xi−1 ; xi ] : f (ci ) = máx f ([xi−1 ; xi ]) , f (ci ) = mı́n f ([xi−1 ; xi ])
|ci − ci | ≤ xi − xi−1 < δ
⇒
f (ci ) − f (ci ) <
b−a
3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
⇒
n
P
S (f, P ) − S (f, P ) =
n
P
f (ci ) (xi − xi−1 ) −
i=1
(f (ci ) − f (ci )) (xi − xi−1 ) <
i=1
n
P
i=1
n
P
39
f (ci ) (xi − xi−1 ) =
i=1
b−a
(xi − xi−1 ) =
b−a
(b − a) = Teorema 3.15. Teorema del valor medio del Cálculo integral
´b
f : [a; b] → R continua
=⇒
∃ c ∈ [a; b] : a f = f (c) (b − a)
Demostración. Por el teorema de Weierstrass sabemos que ∃ M = máx f [a; b] , m =
´b
mı́n f [a; b], y luego por la proposición 3.7 que m (b − a) ≤ a f ≤ M (b − a), o lo que es lo
´b
´b
2,62
1
1
mismo; m ≤ b−a
f ≤M
⇒ ∃ c ∈ [a; b] : f (c) = b−a
f
a
a
Para cerrar el capítulo enunciaremos un teorema (de Henri Lebesgue) que da una condición
necesaria y suficiente de integrabilidad que no involucra explícitamente la definición de integral
de Riemann. Para ello, antes debemos definir los conjuntos de medida nula;
Definición 3.16. A tiene medida nula ⊂ R
+∞
+∞
S
P
A⊂
[an ; bn ] ∧
(bn − an ) < n=1
⇔
∀ > 0 ∃ {[an ; bn ] ⊂ R : n ∈ N+ } :
n=1
Observación 3.17. Tal vez sea una definición algo difícil de digerir a priori, pero esencialmente dice que un conjunto es de medida nula si se lo puede cubrir con segmentos de longitud
suficientemente pequeña tal que la suma de sus largos sea tan chica como se desee. En los Reales,
esto es simplemente un conjunto numerable de puntos aislados.
Teorema 3.18. Lebesgue
f : [a; b] → R ∧ D = [a; b] \ {x ∈ [a; b] : f continua en x}
f Riemann-integrable
⇐⇒
D tiene medida nula
Demostración. La demostración de este teorema no es sencilla, por lo que nos limitaremos
al enunciado. Además, el mismo teorema se estudia en cursos de Cálculo 2, donde se generaliza
para funciones Reales de varias variables, y la demostración del mismo puede ser encontrada en las
Notas para el curso de Cálculo Diferencial e Integral 2 de Andrés Abella y Ernesto Mordecki. Capítulo 4
Derivadas
En este capítulo estudiaremos algunos conceptos básicos del cálculo diferencial y sus propiedades, siendo la derivada el concepto central. La derivada de una función en un punto es una
medida de cuánto crece la función entorno al punto y está estrechamente relacionado con la recta
tangente al gráfico de la función en dicho punto.
4.1.
Definición
Durante todo el capítulo, cuando hagamos referencia a alguna función f o punto a de su
dominio, asumiremos que se trata de una función Real f : D → R con a ∈ Do (punto interior a
D), salvo se explicite diferente.
Definición 4.1. Monotonía puntual y extremos relativos
f ↑ en a ⇔ ∃ δ > 0 : f (x) < f (a) < f (y) , ∀ a − δ < x < a < y < a + δ
f ↓ en a
⇔
∃ δ > 0 : f (x) > f (a) > f (y) , ∀ a − δ < x < a < y < a + δ
a ∈ M r (f )
⇔
∃ δ > 0 : f (x) ≤ f (a) ≥ f (y) , ∀ a − δ < x < a < y < a + δ
a ∈ mr (f )
⇔
∃ δ > 0 : f (x) ≥ f (a) ≤ f (y) , ∀ a − δ < x < a < y < a + δ
Observación 4.2. Primero notar que los casos anteriores son excluyentes; si una función es
creciente en un punto entonces no será decreciente en el mismo punto y éste no será extremo
relativo, y si un punto es extremo relativo de una función entonces la misma no será monótona
en dicho punto. Además es claro que si una función es estrictamente monótona entonces es puntualmente monótona en cada elemento de su dominio, y si alcanza su máximo/mínimo valor en
un cierto punto entonces éste será un máximo/mínimo relativo de la función.
Definición 4.3. Derivada de una función
f 0 (a) =
df
f (x) − f (a)
(a) = lı́m
x→a
dx
x−a
f (a + h) − f (a)
h=x−a h→0
h
=
lı́m
f (n) (a) = f (n−1)0 (a) , ∀ n ∈ N+ / f (0) (a) = f (a)
f : D → R derivable
⇔
40
∃ f 0 (x) ∈ R, ∀ x ∈ D
4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
41
Figura 4.1.1. Derivada de una función
Dada una función derivable f , la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (a + h, f (a + h))
(a)
está dada por la ecuación y = f (a+h)−f
(x − a) + f (a) −→ f 0 (a) (x − a) + f (a). Por lo tanto,
h
h→0
la derivada de una función en un punto es el coeficiente del término lineal (pendiente) de la
ecuación de la recta tangente al gráfico de la función en ese punto.
4.2.
Propiedades de las funciones derivables
Proposición 4.4. f : f 0 (a) ∈ R
=⇒
f continua en a
(a)
Demostración. f (x) = f (x)−f
(x − a) + f (a)
x−a
2,45
f (x)−f (a)
⇒
lı́m f (x) = lı́m
(x
−
a)
+
f
(a)
= f 0 (a) 0 + f (a) = f (a)
x−a
x→a
x→a
Corolario 4.5. f : D → R derivable
f |[a;b] Riemann-integrable , ∀ [a; b] ⊂ D
=⇒
Demostración. Trivial aplicando la proposición anterior y la 3.12.
Proposición 4.6. f, g : f 0 (a) , g 0 (a) ∈ R. Entonces,
0
1) (f + g) (a) = f 0 (a) + g 0 (a)
0
2) (f g) (a) = f 0 (a) g (a) + f (a) g 0 (a)
0
(a)−g(a)
Demostración. 1)(f + g) (a) = lı́m f (x)+g(x)−f
= lı́m
x−a
0
x→a
0
x→a
f (x)−f (a)
x−a
+
g(x)−g(a)
x−a
2,45
=
f (a) + g (a)
0
(a)g(a)
(x)g(a)−f (a)g(a)
2) (f g) (a) = lı́m f (x)g(x)−f
= lı́m f (x)g(x)+f (x)g(a)−f
=
x−a
x−a
x→a
x→a
2,45
(a)
lı́m f (x)−f
g (a) + f (x) g(x)−g(a)
= f 0 (a) g (a) + f (a) g 0 (a)
x−a
x−a
x→a
4,4
Proposición 4.7. Regla de la cadena
f, g : f 0 (g (a)) , g 0 (a) ∈ R
=⇒
0
(f ◦ g) (a) = f 0 (g (a)) g 0 (a)
Demostración. Llamemos E al dominio de f y D al de g. Como g (a) ∈ E o y g es continua
en a tenemos que,
∃δ 0 > 0 : (g (a) − δ 0 ; g (a) + δ 0 ) ⊂ E
⇒
∃δ > 0 : g (x) ∈ (g (a) − δ 0 ; g (a) + δ 0 ) , ∀ x ∈ (a − δ; a − δ) ∩ D
h : (g (a) − δ 0 ; g (a) + δ 0 ) → R / h (y) =

 f (y)−f (g(a))
y−g(a)
si y 6= g (a)
f 0 (g (a))
si y = g (a)
4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
⇒
⇒
42
h continua en g (a) ∧ f (g (x))−f (g(a)) = h (g (x)) (g (x)
− g (a)) , ∀ x ∈ (a − δ; a − δ)
2,45
0
(g(a))
(f ◦ g) (a) = lı́m f (g(x))−f
= lı́m h (g (x)) g(x)−g(a)
x−a
x−a
x→a
= h (g (a)) g 0 (a) = f 0 (g (a)) g 0 (a)
x→a
2,47
Ejemplo 4.8. Derivada de un polinomio.
f : R → R / f (x) = c
(x)
f 0 (x) = lı́m f (x+h)−f
= lı́m c−c
h
h =0
⇒
h→0
h→0
g : R → R / g (x) = xn , n ∈ N+
⇒
0
g (x) =
lı́m g(x+h)−g(x)
h
h→0
=
n
n 1,53
lı́m (x+h)h −x = lı́m h1
h→0
h→0
n
P
k=0
n
k
k n−k
x h
−x
n
n−1
P
n
h→0 k=0 k
= lı́m
En la suma anterior todos los términos salvo el último tienden a cero por estar multiplicados
por potencias de h;
⇒
n
n−1
g 0 (x) =
xn−1 =
n!
n−1
(n−1)! x
= nxn−1
Habiendo calculado las derivadas anteriores estamos en condiciones, con la ayuda de la proposición 4.6, de calcular la derivada de un polinomio:
n
P
p : R → R / p (x) =
ak xk
⇒
k=0
n
P
0
p (x) =
ak xk
0
=0+
k=0
n
P
n
P
0xk + ak kxk−1 =
ak kxk−1
k=1
k=1
Observación 4.9. Al igual que pasaba con la integral de Riemann, desde un punto de vista
algebraico-lineal, la proposición 4.6 (junto con el cálculo de la derivada de la función constante
del ejemplo anterior) nos dice que las funciones derivables forman un subespacio de las funciones
Reales y que el operador
producto tenemos
d
dx
d
dx
actuando sobre dicho subespacio es lineal, ya que por la regla del
df
df
(λf ) (x) = 0f (x) + λ dx
(x) = λ dx
(x).
Proposición 4.10. f : f 0 (a) > 0
=⇒
f ↑ en a
Demostración. Por la proposición 2.40 sabemos existe un δ > 0 tal que,
f (x)−f (a)
x−a
> 0, ∀ 0 < |x − a| < δ
a−δ <x<a
⇒
x−a<0
⇒
f (x) − f (a) < 0
⇒
f (x) < f (a)
a<x<a+δ
⇒
x−a>0
⇒
f (x) − f (a) > 0
⇒
f (x) > f (a)
Proposición 4.11. f : f 0 (a) < 0
=⇒
f ↓ en a
Demostración. Es completamente análoga a la anterior.
Teorema 4.12. Función inversa
f : D → R derivable / f 0 : D → R continua / f 0 (a) 6= 0, a ∈ D
=⇒
∃ δ > 0 : f |(a−δ;a+δ) : (a − δ; a + δ) → f (a − δ; a + δ) biyectiva /
0
f −1 derivable / f −1 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
Demostración. Supongamos f 0 (a) > 0. Como f 0 es continua, sabemos por el corolario
2.41 que existe δ 0 > 0 tal que f 0 (x) > 0, ∀ x ∈ (a − δ 0 ; a + δ 0 ), entonces por la proposición
xk hn−k−1
4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
43
4.10 f |(a−δ0 ;a+δ0 ) ↑. En particular, f |ha− δ0 ;a+ δ0 i es continua y estrictamente creciente, de donde
2
2
deducimos que es biyectiva con inversa continua, en virtud de la proposición 2.65.
Para estudiar la derivabilidad de f −1 usaremos la parte 4) del teorema 2.52: Sabemos porhipóf x0 −f (x)
x0 −x
x →x
−1
tesis que lı́m
0
y queremos probar f
0
0
y ∈ f a − δ2 ; a + δ2 .
f0
= f 0 (x)
r
x0
x
f (x0 ) = f (x) + f 0 (x) (x0 − x) + rx (x0 ) / lı́m
= 0,
0
x0 →x x −x
0
0
sy y
(y 0 ) = f −1 (y) + f −1 (y) (y 0 − y) + sy (y 0 ) / lı́m
y 0 −y = 0 siempre que
0
⇔
y →y
0
0
Supongamos x ∈ a − δ2 ; a + δ2 y llamemos y = f (x) , y 0 = f (x0 ), entonces y 0 = y +
r f −1 y 0
f −1 (y) f −1 (y 0 ) − f −1 (y) + rx f −1 (y 0 ) . Si definimos ahora sy (y 0 ) = − fx0 (f −1 (y)) ob-
tenemos que f −1 (y 0 ) = f −1 (y) +
y) − sy (y 0 ). Resta estudiar el límite de sy
1
0
0
cuando y tiende a y. Notar primero que f (y ) − f −1 (y) ≤ |f 0 (f −1
(y))| |y − y| + |sy (y )| ≤
f −1 y0 −f −1 (y) 1
1
0
0
−1
(y) 6= 0, por lo que ≤ |f 0 (f −1
|f 0 (f −1 (y))| |y − y| con f f
y 0 −y
(y))| . Entonces,
0
sy y 0
0 −y
y
y →y
lı́m
0
1
0
f 0 (f −1 (y)) (y −
−1
0
rx f −1 y 0
1
0 (f −1 (y))
f
y 0 −y
y →y
= − lı́m
0
rx f −1 y 0
f −1 y 0 −f −1 (y)
1
0 (f −1 (y)) f −1 (y 0 )−f −1 (y)
0 −y
f
y
y →y
= − lı́m
0
= 0
ya que es el límite de una constante, por algo que tiende a cero, por algo acotado.
0
1
Es claro entonces que f −1 es derivable, con derivada f −1 (y) = f 0 (f −1
(y)) . Esta igualdad
también se puede deducir de la regla de la cadena (4.7):
f −1 ◦ f (x) = x, ∀ x ∈ (a − δ; a + δ)
0
0
0
⇒
f −1 ◦ f (x) = f −1 (f (x)) f 0 (x) = f −1 (y) f 0 f −1 (y) = 1x0 = 1
Proposición 4.13. f presenta un extremo relativo en a, donde existe además su derivada
0
f (a) ∈ R. Entonces, f 0 (a) = 0.
Demostración. (-T) f 0 (a) 6= 0
Si f 0 (a) > 0 entonces, por la proposición 4.9, f ↑ en a, y si f 0 (a) < 0 entonces, por la
proposición 4.10, f ↓ en a. En ambos casos se contradice con la definición de extremo relativo;
a∈
/ M r (f ) , mr (f ). (-H)
Teorema 4.14. Rolle
f : [a; b] → R continua / f |(a;b) derivable ∧ f (a) = f (b)
∃ c ∈ (a; b) : f 0 (c) = 0
=⇒
Demostración. Por Weierstrass (2.60) sabemos ∃ M = máx f [a; b] , m = mı́n f [a; b] ∈ R.
Si M = m es trivial, pues entonces f es constante y f 0 (c) = 0, ∀c ∈ (a; b).
M >m
⇒
M 6= f (a) = f (b) ∨ m 6= f (a) = f (b)
Supongamos M 6= f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a; b) : f (c) = M > f (x).
δ = mı́n {(c − a) , (b − c)} ⇒ f (c) ≥ f (x) , ∀ x ∈ (a − δ; a) ∪ (a; a + δ)
⇒
c ∈ M r (f )
4,13
⇒
f 0 (c) = 0
Teorema 4.15. Lagrange (Teorema del valor medio del Cálculo diferencial)
f : [a; b] → R continua / f |(a;b) derivable
=⇒
∃ c ∈ (a; b) : f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
44
Demostración. Definimos la función auxiliar g : [a; b] → R /
g (x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a) − f (a)
b−a
Entonces g es continua, y derivable en (a; b), y además
g (a) = f (a) −
f (b)−f (a)
0
b−a
− f (a) = 0
g (b) = f (b) − (f (b) − f (a)) − f (a) = 0 = g (a)
entonces, por el teorema 4.14, existe c ∈ (a; b) tal que g 0 (c) = f 0 (c) −
f (b)−f (a)
b−a
=0
Proposición 4.16. Clasificación de extremos relativos
1) f : f 0 (a) = 0, f 00 (a) > 0
0
00
2) f : f (a) = 0, f (a) < 0
=⇒
a ∈ mr (f )
=⇒
a ∈ M r (f )
Demostración. 1) De la proposición 4.10 sabemos que f 0 ↑ en a, es decir;
a−δ <x<a<y <a+δ
⇒
f 0 (x) < 0 < f 0 (y), para algún δ > 0.
4,15
f |[x;a] , f |[a;y] continuas ∧ f |(x;a) , f |(a;y) derivables
⇒
⇒
∃ c1 ∈ (x; a) , c2 ∈ (a; y) :
f (a) − f (x)
f (y) − f (a)
= f 0 (c1 ) < 0 ∧
= f 0 (c2 ) > 0
a−x
y−a
f (x) > f (a) < f (y) , ∀ a − δ < x < a < y < a + δ
La demostración de 2) es completamente análoga.
Proposición 4.17. f : (a; b) → R derivable / f 0 (x) = 0
⇐⇒
∃ c ∈ R : f (x) = c, ∀ x ∈ (a; b)
Demostración. (←) Ya lo probamos en el ejemplo 4.8, probemos ahora el recíproco.
(→) x < y, x, y ∈ (a; b)
⇒
4,15
⇒
∃ α ∈ (x; y) :
f (y)−f (x)
y−x
= f 0 (α) = 0
f (y) = f (x) = c
Teorema 4.18. Cauchy
f, g : [a; b] → R continuas / f |(a;b) , g |(a;b) derivables / g 0 (x) 6= 0, ∀ x ∈ (a; b)
=⇒
g (a) 6= g (b) ∧ ∃ c ∈ (a; b) :
f 0 (c)
g 0 (c)
=
f (b)−f (a)
g(b)−g(a)
Demostración. Primero que nada, es claro que g (a) 6= g (b), porque de ser iguales (-T) por
el teorema de Rolle tendría que existir un α ∈ (a; b) : g 0 (α) = 0 (-H).
Utilizaremos la siguiente función auxiliar:
h : [a; b] → R / h (x) = (f (b) − f (a)) g (x) − (g (b) − g (a)) f (x)
h es continua, y derivable en (a; b). Además,
h (a) = (f (b) − f (a)) g (a) − (g (b) − g (a)) f (a) = f (b) g (a) − g (b) f (a)
h (b) = (f (b) − f (a)) g (b) − (g (b) − g (a)) f (b) = −f (a) g (b) + g (a) f (b) = h (a)
Es decir que h cumple las hipótesis del teorema de Rolle y por tanto debe existir un c ∈ (a; b)
tal que h0 (c) = 0. Esto es,
(f (b) − f (a)) g 0 (c) − (g (b) − g (a)) f 0 (c) = 0
⇔
f (b)−f (a)
g(b)−g(a)
=
f 0 (c)
g 0 (c)
4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
45
Teorema 4.19. Regla de l’Hôpital
0
(x)
f, g : (a − δ; a + δ) → R derivables / f (a) = g (a) = 0, g (x) 6= 0, ∀ x 6= a ∧ lı́m fg0 (x)
∈R
x→a
=⇒
f (x)
f 0 (x)
= lı́m 0
x→a g (x)
x→a g (x)
lı́m
Demostración. a − δ < x < a < y < a + δ
f (a) − f (x)
f (x)
f 0 (c1 )
=
= 0
g (a) − g (x)
g (x)
g (c1 )
∧
4,17
⇒
∃ c1 ∈ (x; a) , c2 ∈ (a; y) :
f (y) − f (a)
f (y)
f 0 (c2 )
=
= 0
g (y) − g (a)
g (y)
g (c2 )
(x)
Supongamos lı́m fg(x)
= L, entonces para todo > 0 existe δ 0 > 0 tal que;
x→a
0 < |x − a| < δ 0
es decir,
0
(x)
lı́m fg0 (x)
x→a
⇒
∃ c, 0 < |c − a| < |x − a| < δ 0
/
f (x)
g(x)
=
f 0 (c)
g 0 (c)
∈ (L − ; L + )
= L.
La siguiente definición no será de gran trascendencia para este curso pero justifica una notación más práctica para las integrales que veremos más adelante.
Definición 4.20. Diferencial y 1-formas en R.
dfa : R → R / dfa (h) = f 0 (a) h ,
df : df (h) = hf 0
0
Observación 4.21. En el caso de la identidad queda dx (h) = h (x) = h1 = h, o sea que dx
también es la identidad. Entonces podemos escribir df (h) = f 0 dx (h), es decir, df = f 0 dx.
Capítulo 5
Teorema fundamental del Cálculo y sus consecuencias
5.1.
Teorema fundamental del Cálculo diferencial e integral
Como su nombre lo sugiere, este teorema es uno de los más importantes del Cálculo diferencial
e integral, ya que que permite relacionar ambos conceptos y es a partir de esta relación que muchos
otros resultados son posibles; en definitiva, es aquí cuando la magia del Cálculo comienza.
Teorema 5.1. Teorema fundamental del Cálculo diferencial e integral
x́
f, F : [a; b] → R / f continua ∧ F (x) = f
a
F 0 (x) = f (x) , ∀ x ∈ [a; b]
=⇒
Demostración. Comencemos directamente por
! calcular la derivada de F . !
x+h
x́
x́
x+h
x́
x+h
´
´
´
3,11
(x)
F 0 (x) = lı́m F (x+h)−F
= lı́m h1
f− f
= lı́m h1
f+
f − f = lı́m h1
f
h
h→0
h→0
a
h→0
a
a
x
a
h→0
x
Aplicando ahora el Teorema del valor medio del Cálculo integral (3.15) vemos que,
x+h
´
si h > 0 entonces existe c ∈ [x; x + h] tal que
f = f (c) h,
x
y si h < 0 también existe un c ∈ [x + h; x] tal que
x+h
´
x́
x
x+h
f =−
f = −f (c) (−h) = f (c) h,
como en el caso anterior.
Por lo tanto, como f es continua, concluimos que, ∀ > 0 ∃ δ > 0 :
|h| < δ
⇒
|c − x| < |h| < δ ⇒ |f (c) − f (x)| < x+h
´
y entonces F 0 (x) = lı́m h1
f = lı́m f (c) = f (x).
h→0
c→x
x
Corolario 5.2. Regla de Barrow
f : [a; b] → R continua ∧ F : F 0 (x) = f (x)
ˆb
f = F (b) − F (a)
=⇒
a
x́
Demostración. G : [a; b] → R / G (x) = f
5,1
⇒
G0 (x) = F 0 (x) = f (x) , ∀ x ∈ [a; b]
a
4,17
⇒
G (x) = F (x) + c / G (a) = F (a) + c = 0
⇒
F (a) = −c
b́
⇒
G (b) = f = F (b) + c = F (b) − F (a)
a
Nota: Diremos que F es una primitiva de f si F 0 = f .
46
5.2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN I
47
Notación: Según el teorema fundamental, siempre que integramos funciones continuas estamos en realidad sumando sobre un intervalo el valor puntual de la derivada de su primitiva
por la longitud del incremento (recordar que la integral es el “límite” de las sumas superiores e
inferiores). Este hecho junto con la regla de Barrow motivan la siguiente notación, que además
encontraremos muy práctica más adelante:
ˆb
ˆb
f (x) dx =
a
f
F |ba = F (b) − F (a)
,
a
De esta forma por la definición 4.20, si F es una primitiva de f entonces dF = f dx, y
´
sustituyendo en la regla de Barrow nos queda dF = F |. Y si bien esto no deja de ser un abuso
de notación, las proposiciones siguientes muestran que la sustitución efectivamente se puede hacer
y la notación vale.
5.2.
Técnicas de integración I
Proposición 5.3. Integración por partes
f : D → R, g : E → R derivables , [a; b] ⊂ D ∩ E
ˆb
=⇒
ˆb
f (x) g 0 (x) dx = (f g) |ba − f 0 (x) g (x) dx
a
a
0
Demostración. Por la proposición 4.6 tenemos que (f g) (x) = f 0 (x) g (x)+f (x) g 0 (x) , ∀ x ∈
[a; b], entonces al integrar obtenemos;
b́
0
5,2
b́
(f g) (x) dx = (f g) |ba =
a
3,9
(f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x)) dx =
a
b́
b́
f 0 (x) g (x) dx + f (x) g 0 (x) dx
a
a
Observación 5.4. Recordar que por la definición 4.19, df = f 0 dx y dg = g 0 dx, entonces
haciendo el mismo abuso de notación que antes la proposición anterior queda;
ˆ
ˆ
f dg = (f g) | −
gdf
Aún así, esta forma de escribir el resultado 5.3 solo tiene sentido si es posible encontrar la
relación implícita entre f y g, y ésta es invertible, de modo de poder integrar una función respecto
a la otra.
Proposición 5.5. Integración por cambio de variable
g : D → R derivable , [a; b] ⊂ D / f : g [a; b] → R, g 0 |[a;b] continuas
ˆb
g(b)
ˆ
0
=⇒
f (g (x)) g (x) dx =
a
f (u) du
g(a)
Demostración. Por la regla de Barrow (5.2) es claro que si F es una primitiva de f entonces,
5.3. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL
g(b)
´
48
f (u) du = F (g (b)) − F (g (a)).
g(a)
0
Pero la regla de la cadena (4.7) a su vez nos dice que (F ◦ g) (x) = f (g (x)) g 0 (x), entonces,
g(b)
b́
b́
´
5,2
0
f (g (x)) g 0 (x) dx = (F ◦ g) (x) dx = F (g (b)) − F (g (a)) =
f (u) du
a
a
g(a)
Observación 5.6. Esta es la proposición que justifica el temido abuso de notación de antes,
ya que nos dice explícitamente que,
g(b)
ˆ
ˆb
f (g (x)) g 0 (x) dx
f dg =
a
g(a)
5.3.
5.3.1.
Las funciones Logaritmo y Exponencial
Logaritmo.
Definición 5.7. log : R+ → R /
ˆx
log (x) =
1
dt
t
1
Proposición 5.8. Propiedades del Logaritmo
1) log (1) = 0
2) x > 0
log0 (x) =
=⇒
3) x, y > 0
=⇒
1
x
log (xy) = log (x) + log (y)
Demostración. 1) Obvio por definición.
2) Trivial aplicando el Teorema fundamental (5.1) a la definición de logaritmo.
xy
xy
xy
ý
ý
x́
´
´
´
3,11
5,5
1
3) log (xy) = 1t dt = 1t dt+ 1t dt = log (x)+ 1t dt = log (x)+ xu
xdu = log (x)+ du
u =
1
x
1
x
u=t/x
1
1
log (x) + log (y)
Proposición 5.9. log ↑ continuo
Demostración. Que el logaritmo es una función continua es evidente ya que es derivable
(proposición 4.4);
1
x
es continua en R+ , así que podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo
(5.1). Luego, es creciente porque tiene derivada positiva (proposición 4.10);
1
x
> 0, ∀x ∈ R+ .
Puede resultar instructiva una demostración que compruebe directamente las definiciones de
monotonía y continuidad. Tal demostración se muestra a continuación.
Veamos primero que el logaritmo es creciente.
Si 1 < x < y, como
1
x
es continua, podemos aplicar el teorema del valor medio para integrales
(3.15) y vemos que existen c1 ∈ [1; x] , c2 ∈ [x; y] tales que;
x́
log (x) =
1
ý
log (y) =
1
1
t dt
=
x−1
c1
3,11
1
t dt =
x́
1
ý
1
t dt
+
x
1
t dt
=
x−1
c1
+
y−x
c2
=
c2 (x−1)+c1 (y−x)
c1 c2
>
c2 (x−1)
c1 c2
=
x−1
c1
= log (x)
5.3. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL
49
Se deja como ejercicio verificar que lo mismo sucede para los casos x ≤ 1 < y y x < y ≤ 1,
con lo que concluimos que log ↑.
Probemos ahora que es una función continua, es decir, que log es continuo en a para todo
a > 0. Sea > 0. Por el mismo argumento que antes, si 0 < x < a < y existen c01 ∈ [x; a] , c02 ∈ [a; y]
tales que;
á
0 < log (a) − log (x) =
1
ý
0 < log (y) − log (a) =
1
1
t dt
1
t dt
x́
1
t dt
−
1
á
−
|x − a| < δ = mı́n {c01 , c02 }
1
1
t dt
⇒
x́
=
1
á
=
1
1
t dt
1
t dt
á
+
x
ý
+
a
1
t dt
1
t dt
x́
−
1
á
−
1
á
1
t dt
=
1
t dt
=
x
ý
a
1
t dt
=
a−x
c01
1
t dt
=
y−a
c02
|log (x) − log (a)| < Corolario 5.10. log biyectivo / log−1 ↑ continua
Demostración. Es simplemente aplicar la proposición (2.65) y el resultado anterior a todo
intervalo cerrado [a; b] ⊂ R+ .
Figura 5.3.1. Logaritmo
5.3.2.
Exponencial.
Definición 5.11. exp : R → R+ /
exp (x) = log−1 (x)
Proposición 5.12. Propiedades de la exponencial
1) exp (0) = 1
2) x ∈ R ∧ y ∈ R+
=⇒
3) x, y ∈ R
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
=⇒
4) exp ↑ continua
log (exp (x)) = x ∧ exp (log (y)) = y
5.3. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL
⇔
Demostración. 1) log (1) = 0
50
log−1 (0) = exp (0) = 1
2) Por definición de exp.
5,8
3) log (exp (x) exp (y)) = log (exp (x)) + log (exp (y)) = x + y
⇒
exp (log (exp (x) exp (y))) = exp (x) exp (y) = exp (x + y)
4) Por corolario 5.10.
Proposición 5.13. x ∈ R
exp0 (x) = exp (x)
=⇒
exp(h)−1
Demostración. exp0 (x) = lı́m exp(x+h)−exp(x)
= lı́m exp(x) exp(h)−exp(x)
= lı́m exp (x) log(exp(h))
h
h
h→0
h→0
h→0
Teniendo en mente que la exponencial es continua con exp (0) = 1, hacemos el cambio de
variable k = exp (h) − 1 −→ 0 y obtenemos,
h→0
exp0 (x) = lı́m exp (x)
k→0
k
k
1
= lı́m exp (x)
= exp (x)
= exp (x) 1 = exp (x)
log (k + 1) k→0
log (1 + k) − log (1)
log0 (1)
Figura 5.3.2. Exponencial
5.3.3.
Exponenciación y logaritmos de base positiva.
Definición 5.14.
e = exp (1)
x ∈ R, a > 0. Entonces,
ax = exp (x log (a))
b, y > 0, b 6= 1. Entonces,
logb y =
log (y)
log (b)
5.3. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL
51
Proposición 5.15. a, b, x, y ∈ R, a, b > 0. Entonces,
1) ex = exp (x)
2) loge = log
3) b 6= 1
x
=⇒
logb b = 1
x x
4) (ab) = a b
5) ax+y = ax ay
6) b 6= 1
=⇒
x y
xy
logb (ax ) = x logb (a)
7) (a ) = a
Demostración. 1) ex = exp (x log (exp (1))) = exp (x1) = exp (x)
2) loge (x) =
log(x)
log(exp(1))
=
log(x)
1
= log (x) , ∀x > 0
3) Obvio por definición.
x
4) (ab) = exp (x log (ab)) = exp (x (log (a) + log (b))) = exp (x log (a) + x log (b)) =
exp (x log (a)) exp (x log (b)) = ax bx
5) ax+y = exp ((x + y) log (a)) = exp (x log (a) + y log (a)) =
exp (x log (a)) exp (y log (a)) = ax ay
6) logb (ax ) =
x y
7) (a ) = e
log(ax )
log(b)
=
x log(a) y
log(exp(x log(a)))
log(b)
=e
y log ex log(a)
=
x log(a)
log(b)
= x logb (a)
= eyx log(a) log(e) = exy log(a) = axy
Proposición 5.16. a > 0, n ∈ R, entonces a−1 es el inverso multiplicativo de a (a−1 a = 1)
n
y a coincide con la potencia n-ésima de a.
Demostración. a = exp (log (a)) = a1
a−1 a = a−1+1 = a0 = exp (0 log (a)) =
⇒
exp (0) = 1, es decir que a−1 es efectivamente el inverso de a.
Veremos ahora que an verifica la definición de potenciación (1.50).
Como vimos recién, a0 = 1, y además an+1 = an a1 = an a, lo que concluye la demostración.
Nota: La proposición anterior no solo justifica la notación usada para el inverso multiplicativo
en la definición de Número Real (capítulo 1), también muestra que la exponenciación es una
extensión natural de la potenciación a todos los Reales, pues ax+1 = ax a, ∀x ∈ R con a0 = 1.
Ejemplo 5.17. Ahora que tenemos la exponenciación bien definida, calcularemos la siguiente
integral como ejemplo de aplicación de las técnicas de integración vistas hasta ahora:
ˆ1
3 −x2
x e
0
dx
5,5
=
u=−x2
1
2
−1
ˆ
1
1
ue du = ueu |−1
0 −
2
2
u
0
5,3
−1
ˆ
1
1
e du = − −
2e 2
u
0
5,2
1
1 1
−1 = −
e
2 e
5.4. TEOREMA DE TAYLOR
5.4.
52
Teorema de Taylor
De los teoremas de este curso este es sin duda uno de los más importantes por su extensa
aplicación a las ciencias naturales (entre otras), pues nos dice que las funciones “suaves” (derivables
con derivadas de todos los órdenes) se pueden aproximar por un polinomio en el entorno de un
punto, y con un error calculable, además. Un ejemplo sencillo de aplicación sería el siguiente:
En Física todas las magnitudes vienen acompañadas de un cierto error, que incluye la apreciación de los instrumentos de medida, errores por manipulación humana, la forma en que cada
error en las medidas afecta al cálculo de dicha magnitud, etc. De modo que si queremos verificar
una predicción hecha por alguna función “suave” no es necesario calcular su valor en los puntos de
interés; basta calcular el valor de su aproximación polinomial en estos puntos con un error menor
al de la magnitud a comparar.
Teorema 5.18. Fórmula de Taylor
f, f 0 , . . . , f (n+1) : (a − δ; a + δ) → R continuas
=⇒
n
X
f (k) (a)
f (x) =
k!
k=0
ˆx
k
(x − a) +
f (n+1) (t)
n
(x − t) dt
n!
a
Demostración. Definimos las funciones auxiliares G y R por;
x́ (n+1)
n
P
k
n
f (k) (z)
f
(t)
G (z) = f (x) −
(x
−
z)
,
R
(z)
=
(x − t) dt
k!
n!
k=0
z
Probaremos que son iguales.
Claramente G (x) = R (x) = 0, veamos que sucede con sus derivadas.
i0 4,6
n h (k)
n h (k+1)
P
P
4,6
k
k
f
(z)
f
(z)
0
G0 (z) = −
(x
−
z)
=
−f
(z)
−
(x − z) −
k!
k!
k=0
=−
n
P
k=0
f (k+1) (z)
k!
R0 (z) = −
ź
x
4,17
⇒
k=1
k
(x − z) +
n−1
P
k=0
f (n+1) (t)
n!
f (k+1) (z)
k!
k
(x − z) = − f
(n+1)
f (k) (z)
k! k (x
− z)
k−1
i
=
n
(z)
(x − z)
n!
0
(n+1)
5,1
n
n
(x − t) dt = − f n! (z) (x − z) = G0 (z)
G (z) = R (z)+c /
⇒
G (x) = R (x) = 0
Concluimos entonces que f (x) −
n
P
k=0
f (k) (z)
k!
c=0
x́
k
(x − z) =
z
⇒
G (z) = R (z) , ∀z ∈ (a − δ; a + δ)
f (n+1) (t)
n!
n
(x − t) dt, y el resultado se
deduce haciendo z = a.
Corolario 5.19. Taylor con resto de Lagrange
f, f 0 , . . . , f (n+1) : (a − δ; a + δ) → R continuas
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
k
(x − a) +
=⇒
∃ c ∈ [a; x] :
f (n+1) (c)
n+1
(x − a)
(n + 1)!
Demostración. f (n+1) : (a − δ; a + δ) → R continua , x ∈ (a; a + δ)
máx f
(n+1)
3,8
x́
⇒
a
[a; x] , m = mı́n f
m
n!
n
(x − t) dt =
(n+1)
m
(n+1)!
2,59
⇒
∃M =
[a; x]
n+1
(x − a)
x́
≤
a
f (n+1) (t)
n!
n
x́
(x − t) dt ≤
a
M
n!
n
(x − t) dt =
M
(n+1)!
n+1
(x − a)
5.4. TEOREMA DE TAYLOR
⇒
m≤
(n+1)!
(x−a)n+1
x́
f (n+1) (t)
n!
a
n
(x − t) dt ≤ M
x́
Por el teorema fundamental sabemos que
(n+1)!
(x−a)n+1
x́
a
a
f (n+1) (t)
n!
53
f (n+1) (t)
n!
n
(x − t) dt es derivable (en x) entonces
n
(x − t) dt es continua (como función de x) y por lo tanto (por corolario 2.62),
∃ c ∈ [a; x] : f (n+1) (c) =
(n+1)!
(x−a)n+1
x́
a
f (n+1) (t)
n!
n
(x − t) dt
⇔
f (n+1) (c)
(n+1)!
(x − a)
n+1
x́
=
a
f (n+1) (t)
n!
Corolario 5.20. Taylor con resto de Cauchy
f, f 0 , . . . , f (n+1) : (a − δ; a + δ) → R continuas
∃ c ∈ [a; x] :
=⇒
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
k
(x − a) +
f (n+1) (c)
n
(x − c) (x − a)
n!
Demostración. f (n+1) : (a − δ; a + δ) → R continua
⇒
f (n+1) (t)
n!
3,15
x>a
x<a
n
(x − t)
continua en t
x́
⇒
∃ c ∈ [a; x] :
z
x́
3,15
⇒
∃ c ∈ [x; a] :
z
f (n+1) (t)
n!
(x − t) dt =
n
f (n+1) (c)
n!
(x − c) (x − a)
f (n+1) (t)
n!
(x − t) dt =
n
f (n+1) (c)
n!
(x − c) (x − a)
n
n
2
Ejemplo 5.21. Es sabido que la función e−x no tiene primitiva elemental (su integral no
puede expresarse mediante combinación algebraica o composición de polinomios, logaritmos, exponenciales o funciones trigonométricas). Daremos, sin embargo, una aproximación de la siguiente
función:
ˆx
2
e−t dt
F (x) =
0
y calcularemos el error cometido. Para ello hallaremos su expansión de Taylor hasta orden 5
entorno a x = 0, de modo que precisaremos sus derivadas hasta orden 6 (la sexta para estimar el
error). Comencemos por calcularlas.
2
Por el teorema fundamental del cálculo (5.1), F 0 (x) = e−x . Se sigue que,
F 00 (x) = −2xe−x
2
2
F 000 (x) = 4x2 − 2 e−x
2
F (4) (x) = −4x 2x2 − 3 e−x
2
F (5) (x) = 4 4x4 − 12x2 + 3 e−x
2
F (6) (x) = −8x 4x4 − 20x2 + 15 e−x
o sea que,
ˆx
2
e−t dt = 0 + x + 0 − 2
F (x) =
0
x3
x5
x3
x5
+ 0 + 12 + E (x) = x −
+
+ E (x)
3!
5!
3
10
n
(x − t) dt
5.4. TEOREMA DE TAYLOR
siendo E (x) =
F (6) (c) 6
x
6!
54
el error de la aproximación (corolario 5.19), para algún c ∈ [0; x]. Nos
proponemos estimar el error máximo de la aproximación en el intervalo [−1;
ello
r 1]. Para
r observar
q
q
que el polinomio 4x4 −20x2 +15 tiende a +∞ para x → ±∞, tiene raíces 52 ± 52 , − 52 ± 52 ,
r
q
0
con 52 − 52 ' 1, y que tiene un máximo relativo en cero; 4x4 − 20x2 + 15 = 16x2 − 40 x =
q
00
2
0 ⇒ x = 0, 52 , 4x4 − 20x2 + 15 = (48x − 40) |x=0 = −40 < 0. e−x también alcanza su
máximo (absoluto) en x = 0. Por lo tanto, el error máximo que podemos cometer en dicho
intervalo es:
(6)
6
F (c) 6 2 x
8 × 15
1
|E (x)| = x = 8 |c| 4c4 − 20c2 + 15 e−c
≤
= ' 0,17
6!
6!
6!
6
1 1
Si en cambio nos consideramos el intervalo − 2 ; 2 , el máximo error será:
|E (x)| ≤
8 × 15
1
=
' 0,001
27 × 6!
768
Capítulo 6
Series e Integrales impropias
6.1.
Series
n
P
Le llamaremos serie a sucesiones de la forma sn =
ai , donde (an ) : N → R es una sucesión
i=0
de números Reales. En tal caso, diremos que (sn ) es la serie generada por (an ), al valor sn le
llamaremos suma parcial de la serie, y el límite de (sn ) será la suma de la serie.
P
Notación: Mientras no de lugar a confusión escribiremos
an en lugar de (sn ) o de lı́m sn ,
según el contexto en que se encuentre.
P
Proposición 6.1.
an converge
=⇒
lı́m an = 0
Demostración. sn =
n
P
ai
⇒
/ lı́m sn = s
⇒
sn = sn−1 + an
lı́m an =
i=0
lı́m (sn − sn−1 ) = s − s = 0
Proposición 6.2. 0 ≤ an ≤ bn , ∀ n ≥ N . Entonces,
P
P
1)
bn converge
=⇒
an converge
P
P
2)
bn diverge
=⇒
an diverge
Demostración. an ≥ 0, ∀ n ≥ N
0 ≤ an ≤ bn , ∀ n ≥ N
⇒
0≤
+∞
P
⇒
+∞
P
n=N
an ∈ R Y
n=N
+∞
P
an ≤
+∞
P
an = +∞
n=N
bn
n=N
(la última implicación es obvia, pues las series son crecientes y por tanto sus límites son sus
respectivos supremos)
Los resultados 1) y 2) se deducen de la desigualdad anterior observando que
NP
−1
+∞
P
P
an =
an +
an
n=0
n=N
Proposición 6.3. (an ) : N → R. Entonces,
P
P
1)
|an | converge
=⇒
an converge
P
P
2)
an diverge
=⇒
|an | diverge
Demostración. Por hipótesis sabemos que |an | → 0
⇒
an → 0, entonces o bien
P
an
converge o suma ±∞.
El resultado se obtiene de aplicar la desigualdad triangular; 0 ≤ |
P
Teorema 6.4.
|an | converge ∧ (nk ) : N → N biyectiva
P
P
=⇒
ank = an
k
n
55
P
an | ≤
P
|an |.
6.1. SERIES
56
Demostración. Observar que (ank ) no es, en general, subsucesión de (an ) puesto que (nk )
no tiene por qué ser creciente (de hecho, para ser biyectiva y creciente debería ser la identidad),
es decir, (nk ) es una permutación. En otras palabras, el teorema nos dice que si una serie es absolutamente convergente entonces cualquier reordenación de términos de la serie suma lo mismo.
La demostración no revierte mayor interés a los efectos de este curso y se deja como ejercicio para
el lector interesado.
lı́m abnn > 0. Entonces,
Proposición 6.5. an , bn > 0, ∀ n ≥ N ∧
P
P
1)
an converge
⇐⇒
bn converge
P
P
2)
an diverge
⇐⇒
bn diverge
Demostración. lı́m abnn = k ∧ 0 < < k
⇒
⇒
∃N ∈ N : k − <
an
bn
< k + , ∀n ≥ N
0 < (k − ) bn < an < (k + ) bn , ∀n ≥ N
Aplicando ahora la proposición 6.2 obtenemos;
P
P
P
1) bn converge
⇒ (k + ) bn = (k + ) bn converge
⇒
P
P
P
⇒
(k − ) bn = (k − ) bn converge
⇒
bn converge
P
an =
P
an converge
De forma similar se deduce 2) aplicando la proposición 6.3.
Teorema 6.6. Serie Telescópica
P
(an ) : N → R =⇒
(an − an+1 ) = a0 − lı́m an
n
P
Demostración.
(an − an+1 ) = a0 − an+1
i=0
P
⇒
(an − an+1 ) = a0 − lı́m an+1 = a0 − lı́m an
Corolario 6.7.
P
(an − an+1 ) converge
⇐⇒
(an ) converge
Teorema 6.8. Serie Geométrica
P n
n
x 6= 1 =⇒
x = lı́m 1−x
1−x
Demostración.
n
P
xi =
i=0
1−x
1−x
n
P
xi =
i=0
1
1−x
n
P
xi − xi+1 =
i=0
1−xn+1
1−x ,
de donde se deduce el
resultado.
Corolario 6.9.
P
xn converge
⇐⇒
|x| < 1
Teorema 6.10. Serie Alternada
(an ) : an > 0, ∀n ≥ N ∧ lı́m an = 0
Demostración. sn =
n
P
i
(−1) ai
=⇒
⇒
sn − sn+1
i=0
⇒
P
n
(−1) an converge

−a
si n = 2m, m ∈ N
n+1
=
a
si n = 2m + 1, m ∈ N
n+1
|sn − sn+1 | = an , ∀ n ≥ N
Vemos entonces que (sn ) converge, pues es una sucesión de Cauchy;
∀ > 0 ∃N 0 ≥ N : |sn − sn+1 | = an < , ∀ n ≥ N 0
6.1. SERIES
Teorema 6.11. Serie Armónica
P 1
1)
⇐⇒
α>1
α converge
P n1
2)
⇐⇒
α≤1
nα diverge
P 1
Demostración. 2) α = 1 ⇒
nα = 1 +
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
1
8
1
8
1
2
1
2
57
+
1
3
+
2
4
1
4
+
1
5
+
1
6
+
4
8
≥ 1 + + + + + + + + ... = 1 + + + + ... = 1 +
P1
P1
2 es claramente divergente, de modo que
n también diverge.
P 1
6,2
1
1
α
α < 1 ⇒ n < n ⇒ nα > n ⇒
nα diverge
P 1
1
1
1
1
1
1
1) α > 1 ⇒
nα = 1 + 2 α + 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + 7 α + . . . ≤
1
7 +
P
1
1
8
+ ... ≥
2
1
1
≤ 1+ 21α + 21α + 41α + 41α + 41α + 41α +. . . = 1+ 22α + 44α +. . . = 1+ 2α−1
+ 22(α−1)
+. . . =
P
6,9
n
1
1
α−1
α−1>0 ⇒ 2
> 1 ⇒ 0 < 2α−1 < 1 ⇒
converge
2α−1
P 1
⇒
nα converge
P
n
1
2α−1
Nota: Al sustituir cada término de la serie por uno mayor o menor para evaluar su convergencia lo que estamos haciendo formalmente es aplicar la proposición 6.2.
Teorema 6.12. Criterio de convergencia de D’Alembert
P
an > 0, ∀ n ≥ N ∧ lı́m aan+1
<1
=⇒
an converge
n
Demostración. lı́m aan+1
=L<1
n
⇒
∃ N0 > N :
an+1
an
<
1+L
2
= k, ∀ n ≥ N 0
Entonces aN 0 +1 < kaN 0 , y al ser k < 1 vemos que (an ) es decreciente y positiva y por tanto
tiende a cero. Es decir que la serie o bien converge o suma ±∞.
Por la relación de recursión anterior vemos que
aN 0 +m < kaN 0 +m−1 < k 2 aN 0 +m−2 < . . . < k m aN 0 , entonces;
0
0
n
NP
−1
n
NP
−1
n
P
P
P
n > N0 ⇒
ai =
ai +
ai <
ai +
k i aN 0
n
P
i
i=0
n
P
i=N 0
i=0
i
P
i=0
i=0
n
k , tal que
k serie geométrica con |k| < 1, o sea que converge (corolario
P
6.9), con lo que concluimos que
an está acotada;
0
NP
−1
P
P n
an ≤
an + aN 0 k , y por lo tanto converge.
k aN 0 = aN 0
i=0
i=0
n=0
Teorema 6.13. Criterio de convergencia de Cauchy
P
√
an > 0, ∀ n ≥ N ∧ lı́m n an < 1
=⇒
an converge
Demostración. lı́m
⇒
√
n
an = L < 1
⇒
∃ N0 > N :
√
n
an <
1+L
2
= k, ∀ n ≥ N 0
an < k n , ∀ n ≥ N 0
Observar que (an ) es positiva y acotada por k n que tiende a cero, ya que k < 1, de modo
que an → 0. Como en el teorema anterior, bastará probar que la serie está acotada para probar
su convergencia.
0
0
NP
−1
+∞
NP
−1
+∞
P
P
P n
an =
an +
an ≤
an +
k
n=0
n=0
n=N 0
n=N 0
P
Nuevamente, aplicando el corolario 6.8 concluimos que
an está acotada, pues la suma
0
+∞
−1
P n P n NP
k = k −
k n claramente converge, lo que finaliza la demostración.
n=N 0
n=0
6.2. INTEGRALES IMPROPIAS
6.2.
58
Integrales impropias
Definición 6.14. f : [a; +∞) → R Riemann-integrable / f [a; +∞) acotada
+∞
ˆ
=⇒
ˆb
f (x) dx = lı́m
f (x) dx
b→+∞
a
a
f : (−∞; b] → R Riemann-integrable / f (−∞; b] acotada
ˆb
=⇒
ˆb
f (x) dx = lı́m
f (x) dx
a→−∞
−∞
a
f : R → R Riemann-integrable / f (R) acotada
+∞
ˆ
=⇒
ˆa
f (x) dx =
−∞
+∞
ˆ
f (x) dx +
−∞
Proposición 6.15. f : [a; +∞) → R continua /
f (x) dx
a
+∞
´
f (x) dx converge
a
=⇒
lı́m f (x) = 0
x→+∞
´b
⇒ ∃ c ∈ [a; b] : a f (x) dx = f (c) (b − a)
´
´ +∞
b
1
lı́m f (c) = lı́m b−a
f (x) dx = lı́m 1b a f (x) dx = 0
a
Demostración. b > a
⇒
c→+∞
3,15
b→+∞
b→+∞
Proposición 6.16. f, g : [a; +∞) → R Riemann-integrable / 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀ x ≥ a.
Entonces,
+∞
´
1)
g (x) dx converge
2)
a
+∞
´
g (x) dx diverge
+∞
´
=⇒
=⇒
f (x) dx converge
a
+∞
´
f (x) dx diverge
a
a
´x
f (x) dx ∧ y > x > a
a´
´x
´y
y
f (t) ≥ 0, ∀t ≥ a ⇒ F (y) = a f (t) dt = a f (t) dt + x f (t) dt ≥
´x
≥ a f (t) dt = F (x) ⇒ F ↑ ⇒
lı́m F (x) ∈ R Y lı́m F (x) = +∞
x→+∞
x→+∞
´
´
´ +∞
´ +∞
3,8
x
x
x > a ⇒ 0 ≤ a f (x) dx ≤ a g (x) dx ⇒ 0 ≤ a f (x) dx ≤ a g (x) dx
Demostración. F : F (x) =
Ambos resultados se deducen de la desigualdad anterior.
Proposición 6.17. f : [a; +∞) → R Riemann-integrable ∧
=⇒
+∞
´
+∞
´
|f (x)| dx converge
a
f (x) dx converge
a
Demostración. Para la demostración definiremos las siguientes funciones:


x si x ≥ 0
0
si x ≥ 0
x+ =
,
x− =
0 si x < 0
−x si x < 0
6.3. MÁS PROPIEDADES DEL LOGARITMO Y LA EXPONENCIAL
59
Vemos entonces que se cumplen las siguientes identidades:
x = x+ − x−
Por lo tanto, si
+∞
´
+
f (x) dx,
a
+∞
´
|f (x)| dx =
a
+∞
´
|x| = x+ + x−
,
+∞
´
+
f (x) dx +
a
−
f (x) dx y entonces la integral
a
+∞
´
+∞
´
−
f (x) dx converge, también lo hacen
a
f (x) dx =
+∞
´
a
+
f (x) dx −
+∞
´
a
−
f (x) dx con-
a
verge.
Teorema 6.18. Criterio integral de convergencia de series
f ↓: [0; +∞) → R+ . Entonces,
+∞
+∞
´
P
f (n) converge
⇐⇒
f (x) dx converge
n=0
0
Demostración. Sabemos de proposición 3.13 que f es integrable. Además, al ser positiva,
n
´n
P
tanto 0 f (x) dx como
f (i) crecen con n ∈ N y por lo tanto o bien convergen o tienden a
i=0
infinito.
P = {0, 1, . . . , n} ∈ P [0; n]
⇒
⇒
mı́n f [i; i − 1] = f (i − 1) , máx f [i; i − 1] = f (i) , ∀i = 1, . . . , n
n−1
n
´n
P
P
f (i) = S (f, P ) ≤ 0 f (x) dx ≤ S (f, P ) =
f (i)
i=0
i=1
Al tomar límite en n ∈ N concluimos que,
+∞
+∞
P
P
f (n) = f (0)+
f (n) converge
⇒
n=0
+∞
´
f (x) dx converge
n=1
⇒
+∞
P
f (n) converge
n=0
0
6.3.
Más propiedades del Logaritmo y la Exponencial
Proposición 6.19. x ∈ R
=⇒
ex = lı́m 1 +
n
x n
n
=
+∞
P
n=0
xn
n!
Demostración. Comencemos por
igualdad.
la primera
x n
x n
x
e = lı́m 1 + n
⇔ x = log lı́m 1 + n
n
n
n n
Por continuidad del logaritmo, log lı́m 1 + nx
= lı́m log 1 + nx
= lı́mn log 1 + nx =
n
x
log 1+ n
x/n
n
xlı́m
n
n
= x lı́m log(1+h)−log(1)
= x log0 (1) = x
h
h→0
La segunda igualdad se obtiene al aplicar la fórmula del binomio de Newton a la primera;
n
n
+∞
n
P
P
P xk
n(n−1)···(n−k+1) k
n!
x k
ex = lı́m 1 + nx = lı́m
=
lı́m
x
=
k
k!(n−k)! n
k!
k!n
n
n k=0
n k=0
(la última igualdad resulta de aplicar el ejemplo 2.57)
Corolario 6.20. x ∈ R
=⇒
xn
n!
k=0
−→ 0
Observación 6.21. Recordando que la derivada de la exponencial es la misma exponencial,
+∞
P xn
x
y que e0 = 1, vemos que
n! es simplemente el desarrollo de Taylor de e en a = 0 hasta
n=0
orden infinito. Esto es, el resto de Taylor tiende a cero en todo el dominio de la función. A tales
6.3. MÁS PROPIEDADES DEL LOGARITMO Y LA EXPONENCIAL
60
funciones se les dice analíticas y son de gran importancia ya que cumplen ciertas propiedades en
general muy deseables, como ser derivables con derivadas de todos los órdenes, entre otras.
Proposición 6.22. Límites
1) lı́m log (x) = +∞
x→+∞
2) lı́m+ log (x) = −∞
x→0
3) lı́m ex = +∞
x→+∞
4) lı́m ex = 0
x→−∞
+
5) n ∈ N
6) n ∈ N
=⇒
+
log(x)
xn
lı́m
x→+∞
n
lı́m xex
x→+∞
=⇒
=0
=0
7) lı́m log(1+x)
=1
x
x→0
8) lı́m e
x→0
x
−1
x
=1
Demostración. 1)
+∞
P
n=1
tenemos que lı́m log (x) =
1
n
diverge a +∞ (serie armónica con α = 1), entonces, por 6.18
+∞
´
x→+∞
1
dt
t
= +∞.
2) Usando la propiedad 6 de 5.15; lı́m log (x) = − lı́m log
x→0+
x→0+
1
x
= − lı́m log (u) = −∞.
u→+∞
Las propiedades 3) y 4) se deducen de que la exponencial es la inversa del logaritmo;
lı́m ex = lı́m elog u = lı́m u = +∞, lı́m ex = lı́m+ elog u = lı́m+ u = 0.
x→+∞
u→+∞
1
t
5) t ≥ 1
x>1
⇒
8)
⇒
0<
log(x)
xn
n
6.3.1.
u→+∞
x→−∞
u→0
n
x́
dt
t
x́
n
≤ t 2 −1 dt =
n
x 2 −1
n
2
<
1
1
2 −n
2
x
−→
0
⇒
lı́m log(x)
n
n
x→+∞
x→+∞ x
n
n n
lı́m (loguun ) = lı́m nn logu u
=
u→+∞
u→+∞
<
1
x
= lı́m log (1 + x) = lı́m log 1 +
n
x→0
=
u→0
< t 2 −1
0 < log (x) =
x
x =
x→+∞ e
lı́m log(1+x)
x
x→0
log(1+x)
lı́m
x
x→0
6) lı́m
7)
⇒
u
−1)
lı́m log(1+e
eu −1
u→0
1 n
=0
0 por la propiedad anterior.
6,19
n
= lı́m euu−1 = 1
u→0
Funciones hiperbólicas.
Definición 6.23. sinh : R → R /
sinh (x) =
ex − e−x
2
cosh (x) =
ex + e−x
2
tanh (x) =
sinh (x)
cosh (x)
cosh : R → R /
tanh : R → R /
Proposición 6.24. sinh es impar y cosh es par.
2 n
2
nx
= log e = 1
6.3. MÁS PROPIEDADES DEL LOGARITMO Y LA EXPONENCIAL
61
Demostración. Es obvio a partir de la definición que sinh (−x) = − sinh (x) y cosh (−x) =
cosh (x).
Proposición 6.25. sinh0 = cosh, cosh0 = sinh
Demostración. Trivial aplicando las reglas de derivación ya vistas y la derivada de la
exponencial.
Proposición 6.26. cosh2 − sinh2 = 1
2
2
Demostración. (cosh x) − (sinh x) =
1
2x
+ e−2x + 2 − e2x − e−2x + 2 = 1
4 e
ex +e−x
2
2
−
ex −e−x
2
2
=
Figura 6.3.1. Funciones hiperbólicas
Izquierda: sinh. Derecha: cosh.
Ejemplo 6.27. Las funciones hiperbólicas pueden resultar útiles a la hora de integrar: Si
tenemos una integral de la forma
ˆ
F
q
u (x) ,
2
u (x) ± 1 u0 (x) dx
la podemos simplificar con los siguientes cambios de variable:
ˆ
ˆ
q
2
F u (x) , u (x) + 1 u0 (x) dx =
F (sinh (v) , cosh (v)) cosh (v) dv
sinh v=u
ˆ
F
q
u (x) ,
2
u (x) − 1 u0 (x) dx
ˆ
=
cosh v=u
F (cosh (v) , sinh (v)) sinh (v) dv
Al deshacer el cambio de variable podemos encontrarnos con hiperbólicas inversas. Notar que
sinh es estrictamente creciente, pues sinh0 = cosh > 0, y por lo tanto su inversa está bien definida
√
en todo R. Además, se puede probar que sinh−1 (x) = log x + 1 + x2 ; ambas valen cero en
x = 0 y sus derivadas coinciden (se deja como ejercicio verificarlo).
Veamos un ejemplo concreto de lo anterior.
ˆ
ˆ
p
x
1
1
1
√
dx
= 2
dv = sinh−1 x2 |= log x2 + 1 + x4 |
2
2
x4 + 1 sinh v=x 2
6.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
6.4.
62
Las funciones Trigonométricas
Definición 6.28. sin : R → R /
sin (x) =
+∞
X
n
(−1)
n=0
x2n+1
(2n + 1)!
cos : R → R /
cos (x) =
+∞
X
(−1)
n=0
n
x2n
(2n)!
Proposición 6.29. Las funciones seno y coseno están bien definidas, es decir;
+∞
+∞
P
P
n x2n+1
n x2n
(−1) (2n+1)!
,
(−1) (2n)!
convergen ∀ x ∈ R.
n=0
n=0
Demostración. En primer lugar,
x2n+1
x2n
(2n+1)! , (2n)!
→ 0 por corolario 6.20, de modo que las
series o bien convergen o tienden a ±∞. Veremos que convergen absolutamente;
+∞
+∞
+∞
P P |x|2n+1
P |x|n 6,19 |x|
n x2n+1 ≤
= e ∈R
(−1) (2n+1)!
=
(2n+1)!
n!
n=0
n=0
n=0
+∞
+∞
+∞
P
P x2n
P |x|n 6,19 |x|
n x2n = e ∈R
(−1) (2n)!
=
(2n)! ≤
n!
n=0
n=0
n=0
Concluimos, en virtud de la proposición 6.3, que ambas series convergen para todo x.
Proposición 6.30. sin es impar y cos es par.
Demostración. sin (−x) =
+∞
P
cos (−x) =
(−1)
n=0
n (−x)2n
(2n)!
+∞
P
(−1)
n=0
+∞
P
=
n (−x)2n+1
(2n+1)!
(−1)
n=0
n x2n
(2n)!
=−
+∞
P
(−1)
n=0
n x2n+1
(2n+1)!
= − sin (x)
= cos (x)
Proposición 6.31. sin0 = cos, cos0 = − sin
Demostración.
Comencemos
calcular la derivada de las sumas parciales.
n
0 por
0
n n
P
P
P
2k+1
k x
k x2k+1
(−1)k
2k
Sn0 (x) =
(−1) (2k+1)!
=
(−1) (2k+1)!
=
=
(2k+1)! (2k + 1) x
=
n
P
k=0
k=0
k x2k
(−1) (2k)!
Cn0 (x) =
k=0
−→ cos (x) , ∀ x ∈ R
n
0
n
n P
P
k x2k
k
(−1) (2k)! =
(−1)
k=0
=
n−1
P
k=0
(−1)
k=0
k+1 x2k+1
(2k+1)!
k=0
x2k
(2k)!
0
= 0+
n
P
k=1
(−1)k
2k−1
(2k)! 2kx
=
n
P
(−1)
k=1
k x2k−1
(2k−1)!
=
−→ − sin (x) , ∀ x ∈ R
n
Ahora bien, es un teorema de Análisis Real el que dice que si una sucesión de funciones fn
converge en algún punto (lı́m fn (x) ∈ R), y la sucesión de sus derivadas converge uniformemente
U
(fn0 → g), entonces la sucesión converge uniformemente a una función f cuya derivada es el límite
de la sucesión de derivadas (f 0 = g). A continuación, la definición de convergencia uniforme:
U
fn : D → R , f n → f
⇔
∀ > 0∃N ∈ N : |fn (x) − f (x)| < , ∀ n ≥ N, x ∈ D
Es claro que si una función converge uniformemente entonces converge puntualmente.
No demostraremos el teorema (una prueba del mismo se puede encontrar en CALCULUS
I - Tom M. Apostol), pero es importante notar (y se deja como ejercicio probarlo *) que las
6.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
63
sucesiones Sn0 y Cn0 convergen uniformemente a cos y − sin, respectivamente, y recordemos que
Sn y Cn convergen puntualmente (a sin y cos , respectivamente) en todo R, de modo que se
cumplen las hipótesis del teorema recién mencionado y por lo tanto, sin0 = cos y cos0 = − sin.
* Sugerencia: Probar ∀ > 0∃N ∈ N : |Sn (x) − Sm (x)| , |Cn (x) − Cm (x)| <
N, x ∈ R. Luego, lı́m |Sn (x) − Sm (x)| = |Sn (x) − sin (x)| ≤
m
2
< , ∀ n ≥ N, x ∈ R
2,
∀ m, n ≥
⇒
U
Sn →
U
sin. El mismo argumento prueba Cn → cos. Por último, Sn0 = Cn y Cn0 = −Sn−1 , lo que concluye
el ejercicio.
Corolario 6.32. sin, cos continuas
Proposición 6.33. sin2 + cos2 = 1
0 6,31
2
2
Demostración. (sin x) + (cos x)
= 2 sin (x) cos (x) − 2 cos (x) sin (x) = 0, ∀ x ∈ R
4,17
⇒
sin2 + cos2 = c
Por último, resulta obvio de la definición de seno y coseno que sin (0) = 0, cos (0) = 1,
2
2
entonces (sin 0) + (cos 0) = 1 = c.
Corolario 6.34. −1 ≤ sin (x) , cos (x) ≤ 1, ∀x ∈ R
Proposición 6.35. a, b ∈ R. Entonces,
1) sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)
2) cos (a + b) = cos (a) cos (b) − sin (a) sin (b)
+∞
2n+1
n (a+b)2n+1 1,53 P (−1)n P
(2n+1)!
k 2n+1−k
=
(2n+1)!
(2n+1)!
k!(2n+1−k)! a b
n=0
n=0
k=0
+∞
+∞
+∞
+∞
P 2n+1
P
P
P
2 P
n k b2n+1−k
n b2n+1
n b2n
n b2n−1
=
(−1) ak! (2n+1−k)!
=
(−1) (2n+1)!
+a
(−1) (2n)!
+ a2
(−1) (2n−1)!
+
n=0 k=0
n=0
n=0
n=1
+∞
+∞
+∞
P
P
P
n b2n−2
n b2(n−m)+1
n b2(n−m)
a3
a2m
a2m+1
(−1) (2n−2)!
+ · · · + (2m)!
(−1) (2(n−m)+1)!
+ (2m+1)!
(−1) (2(n−m))!
+ ··· =
3!
n=m
n=m
n=1
+∞
+∞
+∞
+∞
P
P
P
2 P
n b2n+1
n b2n
n+1 b2n+1
n+1 b2n
a3
=
(−1) (2n+1)!
+a
(−1) (2n)!
+ a2
(−1)
+
(−1)
(2n+1)!
3!
(2n)! + · · · +
n=0
n=0
n=0
n=0
+∞
+∞
P
P
n+m b2n+1
n+m b2n
a2m
a2m+1
(−1)
(−1)
(2m)!
(2n+1)! + (2m+1)!
(2n)! + · · · =
n=0
n=0
Demostración. 1) sin (a + b) =
= sin (b)+a cos (b)−
= sin (b)
+∞
P
m=0
(−1)
+∞
P
(−1)
2m
a2
a3
a2m+1
m a
m
sin (b)− cos (b)+· · ·+(−1)
sin (b)+(−1)
cos (b)+· · · =
2
3!
(2m)!
(2m + 1)!
m a2m
(2m)!
+ cos (b)
+∞
P
m=0
m a2m+1
(2m+1)!
(−1)
= sin (b) cos (a) + cos (b) sin (a)
La ecuación 2) la podemos obtener derivando la 1) respecto a a:
d
da sin (a + b) = cos (a + b) = cos (a) cos (b) − sin (a) sin (b)
Definición 6.36. π = mı́n R+ ∩ sin−1 (0)
tan : R \ (2n + 1) π2 : n ∈ Z → R /
tan (x) =
sin (x)
cos (x)
=
6.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
64
Proposición 6.37. sin, cos son periódicas de periodo 2π;
2π = mı́n {T > 0 : sin (x + T ) = sin (x) , ∀x ∈ R} = mı́n {T > 0 : cos (x + T ) = cos (x) , ∀x ∈ R}
6,33
2
Demostración. sin (π) = 0 ⇒ (cos π) = 1
Aplicamos ahora la proposición 6.35 y obtenemos,
2
2
sin (x + 2π) = sin (x) cos (2π)+cos (x) sin (2π) = sin (x) (cos π) − (sin π) +cos (x) 2 sin (π) cos (π) = sin (x)
2
2
cos (x + 2π) = cos (x) cos (2π)−sin (x) sin (2π) = cos (x) (cos π) − (sin π) −sin (x) 2 sin (π) cos (π) = cos (x)
⇒
(-T) 0 < T < 2π : sin (x + T ) = sin (x)
sin (T ) = sin (0) = 0
⇒
π ≤ T < 2π
sin0 (0) = cos (0) = 1 > 0 ∧ sin impar
⇒ sin (x) > 0, ∀x ∈ (0; π) ∧ sin (x) < 0, ∀x ∈ (−π; 0)
0 < sin 34 π = sin − π4 + π 6= sin − π4 < 0 ⇒ T 6= π
π < T < 2π
⇒
0 < sin (−π + T ) 6= sin (−π) = 0 (-H)
6,35
Para terminar observar que sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)
⇒
cos (x) =
sin(2x)
2 sin(x) ,
entonces el
periodo del coseno debe ser el mismo que el del seno.
Proposición 6.38. lı́m sin(x)
=1
x
x→0
Demostración. Aplicamos la regla de l’Hôpital (4.19) y obtenemos,
lı́m sin(x)
= lı́m cos(x)
= 1, por ser cos continua.
x
1
x→0
x→0
Figura 6.4.1. Funciones trigonométricas
Izquierda: sin. Derecha: cos.
Ejemplo 6.39. Similar a como sucedía con las funciones hiperbólicas, podemos simplificar
integrales de la forma
ˆ
F
q
u (x) ,
2
1 − u (x)
haciendo el siguiente cambio de variable:
ˆ
q
2
F u (x) , 1 − u (x) u0 (x) dx
u0 (x) dx
ˆ
=
sin v=u
F (sin (v) , cos (v)) cos (v) dv
6.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
65
A continuación dos ejemplos ilustrativos de lo anterior:
ˆ0
e2x
√
dx = x
sin v=e
1 − e2x
− 12 log 2
ˆ1 p
ˆ
π/2
1
π/2
sin (v) dv = − cos (v) |π/4 = √
2
π/4
ˆ
ˆ
π/2
1 − x2 dx
sin v=x
−1
π/2
−π/2
π/2
2
cos (v) dv = cos (v) sin (v) |−π/2 +
=
ˆ
π/2
5,3
2
sin2 (v) dv
sin (v) dv =
−π/2
−π/2
Para terminar de calcular esta última integral, observemos que
π/2
π/2
π/2
π/2
´
´
´
´
2
2
π=
dv =
sin (v) dv +
cos (v) dv = 2
sin2 (v) dv, por lo tanto,
−π/2
−π/2
−π/2
−π/2
ˆ1 p
1 − x2 dx =
π
2
−1
Es interesante notar que la integral anterior es el área del semicírculo de radio 1, lo que
implica que el área del círculo de radio 1 es dos veces el valor hallado: π.
Terminaremos el ejemplo calculando la derivada de arctan = tan−1 . Aplicando la derivada
de la función inversa (teorema 4.12) tenemos:
tan0 (x) = 1 +
sin2 (x)
cos2 (x)
= 1 + tan2 (x)
1
1
1
=
=
2
tan (arctan (x))
1 + x2
1 + tan (arctan (x))
´ u0 (x)
Esto nos será de utilidad para calcular integrales de la forma 1+u(x)
2 dx y para la sección 7.2
⇒
arctan0 (x) =
(Técnicas de integración II).
0
Capítulo 7
Polinomios y Números Complejos
7.1.
Números Complejos
Es sabido que ciertos polinomios (de coeficientes reales) no tienen raíces en el cuerpo de los
Números Reales. Un ejemplo típico es el de la ecuación algebraica x2 + 1 = 0; bien sabemos que
no existe real tal que x2 = −1, pues el cuadrado de un número (real) es siempre mayor o igual
a cero. Definiremos a continuación un conjunto de números que contiene a los Reales y a la vez
resuelve este problema (teorema 7.11).
Definición 7.1. R2 = {(x, y) : a, b ∈ R}
+ : R2 × R2 → R2 /
× : R2 × R2 → R2 /
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y) × (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 )
C = R2 , +, ×
Teorema 7.2. Los Números Complejos forman un Cuerpo
z, z 0 , z 00 ∈ C
=⇒
1) z + z 0 = z 0 + z
2) (z + z 0 ) + z 00 = z + (z 0 + z 00 )
3) z + (0, 0) = z
4) (x, y) + (−x, −y) = 0
5) z × z 0 = z 0 × z
6) (z × z 0 ) × z 00 = z × (z 0 × z 00 )
7) (1,
0) × z = z −y
x
8) x2 +y
× (x, y) = (1, 0)
2 , x2 +y 2
9) z × (z 0 + z 00 ) = z × z 0 + z × z 00
Demostración. La demostración de las anteriores propiedades es sencilla, por lo que probaremos
a modo de
8) y dejamos el resto como ejercicio.
ejemplo la 2 2
−y
−y
−y
x +y
xy−yx
x
x
x
= (1, 0)
x2 +y 2 , x2 +y 2 × (x, y) =
x2 +y 2 x − x2 +y 2 y, x2 +y 2 y + x2 +y 2 x =
x2 +y 2 , x2 +y 2
Observación 7.3. X = (x, 0) , Y = (y, 0)
⇒
X + (0, 1) × Y = (x, 0) + (0, 1) × (y, 0) = (x, 0) + (0, y) = (x, y)
66
7.1. NÚMEROS COMPLEJOS
67
Definición 7.4. (x, y) ∈ C
i = (0, 1) ∈ C
(x, y) = (x, −y)
|(x, y)| =
< (x, y) = x ,
p
x2 + y 2
= (x, y) = y
Notación: En virtud de la observación 7.3 usaremos de ahora en más la siguiente notación
que, como veremos a continuación, es más práctica e intuitiva:
(x, y) × (x0 , y 0 ) = (x + iy) (x0 + iy 0 )
(x, y) = x + iy ,
Observación 7.5. Por definición vemos que (0, 1)×(0, 1) = (−1, 0), que en la nueva notación
se escribe simplemente i2 = −1.
Proposición 7.6. z, z 0 ∈ C. Entonces,
1) z + z 0 = z + z 0
2) zz 0 = zz 0
2
3) zz = |z|
4) < (z) =
z+z
2 ,
= (z) =
z−z
2i
5) |z| ≥ 0 ∧ |z| = 0 ⇔ z = 0
6) |zz 0 | = |z||z 0 |
7) |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
Demostración. 1) x + iy + x0 + iy 0 = x + x0 + i (y + y 0 ) = x + x0 − i (y + y 0 ) =
= x − iy + x − iy 0 = x + iy + x + iy 0
2) x + iy x0 + iy 0 = (x − iy) (x0 − iy 0 ) = xx0 −yy 0 +i (−xy 0 − yx0 ) = xx0 −yy 0 −i (xy 0 + yx0 ) =
xx0 − yy 0 + i (xy 0 + yx0 ) = (x + iy) (x0 + iy 0 )
3) (x + iy) (x − iy) = x2 + y 2 + i (−xy + yx) = |x + iy|
2
4) Es trivial y se deja como ejercicio.
p
⇒
x2 + y 2 ≥ 0
p
(-T/-H) x 6= 0 ∨ y 6= 0 ⇔ x2 + y 2 > 0 ⇔
x2 + y 2 > 0 (-H/-T)
q
2
2
6) |(x + iy) (x0 + iy 0 )| = |xx0 − yy 0 + i (xy 0 + yx0 )| = (xx0 − yy 0 ) + (xy 0 + yx0 ) =
p
p
x2 x02 + y 2 y 02 − 2xx0 yy 0 + x2 y 02 + y 2 x02 + 2xy 0 yx0 = x2 x02 + y 2 y 02 + x2 y 02 + y 2 x02 =
p
p
p
= (x2 + y 2 ) (x02 + y 02 ) = x2 + y 2 x02 + y 02
2
2
2
7) |z + z 0 | = (z + z 0 ) (z + z 0 ) = (z + z 0 ) z + z 0 = |z| + |z 0 | + 2R zz 0 ≤
2
2
2
2
2
≤ |z| + |z 0 | + 2 zz 0 = |z| + |z 0 | + 2 |z| |z 0 | = (|z| + |z 0 |)
5) x + iy ∈ C
⇒
x, y ∈ R
⇒
x2 , y 2 ≥ 0
Queda a cargo del lector verificar los detalles de esta última demostración.
7.1. NÚMEROS COMPLEJOS
68
Observación 7.7. De las propiedades 1) y 2) es evidente la siguiente proposición:
n
X
ak z k = 0 / a0 , . . . , an ∈ R
=⇒
k=0
n
X
ak z k = 0
k=0
Nota: La expresión ak ∈ R formalmente quiere decir ak ∈ C : = (ak ) = 0. En adelante no
haremos distinción entre R y {z ∈ C : = (z) = 0} (en efecto, los complejos con parte imaginaria
nula, = (z) = 0, cumplen los axiomas que definen a los Números Reales).
Definición 7.8. x + iy ∈ C
ex+iy = ex (cos (y) + i sin (y))
Proposición 7.9. x ∈ R, z, z 0 ∈ C. Entonces
eix −e−ix
2i
ix
−ix
= e +e
2
z z0
1) sin (x) =
2) cos (x)
0
3) ez+z = e e
4) ∃ θ ∈ R : z = |z| eiθ
Demostración. 2) eix = cos x + i sin x
eix + e−ix − cos (−x) = eix + e−ix − cos x
1) Aplicando 2) obtenemos, sin x =
0
0
⇒
eix −cos x
i
x0
cos x = eix − i sin x = eix + i sin (−x) =
⇒
2 cos x = eix + e−ix
=
eix −e−ix
.
2i
0
3) ex+iy ex +iy = ex (cos (y) + i sin (y)) e (cos (y ) + i sin (y 0 )) =
6,35
0
ex+x (cos (y) cos (y 0 ) − sin (y) sin (y 0 ) + i (cos (y) sin (y 0 ) + sin (y) cos (y 0 ))) =
0
0
ex+x (cos (y + y 0 ) + i sin (y + y 0 )) = ex+x +i
y+y
0
Es un ejercicio de Cálculo 2 probar que el mapa [0; +∞) × [0; 2π) → R2 :
(r cos θ, r sin θ) es una biyección continua. Dicho esto, es inmediato que se cumple 4).
(r, θ) 7→
Corolario 7.10. Identidad de Euler
eiπ + 1 = 0
Demostración. Es inmediato a partir de la definición 7.8.
La identidad presenta un interés principalmente simbólico, pues tiene la peculiaridad de
relacionar los cinco principales números de la matemática; 0 (neutro aditivo), 1 (neutro multiplicativo), e (la raíz de la función logaritmo), π (la razón de la longitud de una circunferencia a su
diámetro) y i (la unidad imaginaria del plano complejo).
Nota: La exponencial compleja se puede definir como la serie hallada en 6.19, y a partir
de ésta definir las funciones trigonométricas por las fórmulas de la proposición 7.9. Sin embargo
para ello habría sido necesario desarrollar conceptos de convergencia en C, es decir, definir una
topología, al igual que se hizo en el capítulo 2 para los números Reales. De igual forma se puede
también definir una derivada e integral para funciones de variable compleja, dando lugar a una
teoría de Cálculo diferencial e integral en C. Todos estas cuestiones son objeto de estudio en
Análisis Complejo y no se atenderán en este texto puesto que nos interesaremos solo por algunas
propiedades algebraicas de C. Sin embargo vale la pena mencionar que las mismas reglas de
7.2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN II
69
derivación de funciones reales se aplican a los números complejos, con el complejo i actuando
como una constante. Por ejemplo, aplicando la derivada de un producto y la regla de la cadena,
la derivada de la exponencial compleja queda,
d x+iy
d
e
= ex eiy = ex ieiy = iex+iy
dy
dy
⇒
d2 x+iy
d
e
= iex eiy = iex ieiy = −ex+iy
2
dy
dy
Se deja como ejercicio verificar las relaciones anteriores partiendo de la definición 7.8 (tratando
a i como una constante).
Teorema 7.11. Teorema fundamental del Álgebra
n
P
a0 , . . . , an ∈ C
=⇒
∃z ∈ C :
ak z k = 0
k=0
El teorema anterior nos dice que todo polinomio tiene raíces en el cuerpo de los Números
Complejos, o dicho de otro modo, los Números Complejos son algebraicamente cerrados (toda
ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene solución en C). Su demostración se puede
encontrar en cualquier texto de Análisis Complejo. También se puede probar que C es la clausura
algebraica de R (C es el “menor” cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R).
7.2.
Técnicas de integración II
Definición 7.12. p : C → C polinomio
p : p (z) =
n
P
⇔
∃ a0 , . . . , an ∈ C : p (z) =
n
P
ak z k
k=0
ak z k
⇒
gr (p) = máx {k = 0, . . . , n : ak 6= 0}
k=0
Teorema 7.13. p, q polinomios / q 6= 0
=⇒
∃! c, r polinomios : gr (r) < gr (q) ∧ p = qc + r
Demostración. La demostración se basa en el algoritmo de división de polinomios.
Observación 7.14. Claramente, si p, q, c, r son polinomios con gr (r) < gr (q) y p = qc + r,
entonces gr (p) = gr (q) + gr (c).
Corolario 7.15. p : C → C polinomio / gr (p) = n
n
Q
=⇒
∃! α1 , . . . , αn ∈ C : p (z) =
a (z − αk ) , ∀ z ∈ C
k=1
Demostración. Sea p (z) =
n
P
ak z k . Sabemos por el teorema fundamental del álgebra
k=0
(7.11) que existe un complejo α1 que anula a p (p (α1 ) = 0). Pero además, por el teorema anterior
sabemos que existe un complejo r y un polinomio c1 tales que p (z) = (z − α1 ) c1 (z) + r, ∀z ∈ C.
Es claro entonces que p (α1 ) = r = 0.
Razonando análogamente con c1 encontramos α2 ∈ C, c2 polinomio tales que
c1 (z) = (z − α2 ) c2 (z) , ∀z ∈ C, es decir; p (z) = (z − α1 ) (z − α2 ) c2 (z) , ∀z ∈ C.
Si repetimos el razonamiento eventualmente encontramos αn , a = cn ∈ C tales que
p (z) = (z − α1 ) (z − α2 ) · · · (z − αn ) a, ∀z ∈ C.
7.2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN II
Proposición 7.16. q : q (x) =
n
Q
b (x − αj )
pj
70
, b 6= 0, αi 6= αj , ∀i 6= j
∧
p polinomio :
j=1
gr (p) <
n
P
pj
∃ Cjk ∈ C, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pj :
=⇒
j=1
n
pj
p (x) XX Cjk
=
k
q (x) j=1
(x − αj )
k=1
Demostración. La demostración se puede hacer por inducción en n, se deja como ejercicio
para el lector interesado. De todos modos la fórmula se puede verificar para cada caso particular,
hallando las constantes Cjk , como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.17. Considérese los polinomios p (x) = x5 − 5x4 + 12x3 − 26x2 + 33x − 10 y
´
q (x) = x2 + 4 x2 − 2x + 1 . Queremos calcular p(x)
q(x) dx.
Comencemos por observar que gr (p) = 5 > gr (q) = 4, o sea que no satisfacen las hipótesis de
la proposición anterior, pero podemos usar el algoritmo de división de polinomios para obtener
polinomios c y r tales que p = qc + r con gr(r) < gr(q) (teorema 7.13), de modo que r(x)
si
q(x)
2
2
satisfaga las hipótesis de 7.16. Dividamos entonces p entre q : q (x) = x + 4 x − 2x + 1 =
x4 − 2x3 + 5x2 − 8x + 4.
x5
−5x4
+12x3
−26x2
+33x
−10 | x4 −2x3
+5x2
−8x
+4
5
4
3
2
−x
+2x
−5x
+8x
−4x
| _ ____ ____ ___ ___
___ ____ _____ _____ ____ ____ | x
−3
−3x4
+7x3
−18x2
+29x
−10
+3x4
−6x3
+15x2
−24x
+12
____ _____ _____ ____ ____
x3
−3x2
+5x
+2
r(x)
3
2
Obtuvimos entonces c (x) = x−3 y r (x) = x −3x +5x+2, p(x)
q(x) = c (x)+ q(x) , con r y q en las
2
2
hipótesis de 7.16. Desarrollemos ahora r(x)
x − 2x + 1 =
q(x) ; para ello vemos que q (x) = x + 4
2
(x − 2i) (x + 2i) (x − 1) , entonces
r (x)
x3 − 3x2 + 5x + 2
A
B
C
D
7,16
=
2 = x − 2i + x + 2i + x − 1 +
2
q (x)
(x − 2i) (x + 2i) (x − 1)
(x − 1)
Las constantes A, B, C, D pueden hallarse factorizando la expresión anterior:
x3 − 3x2 + 5x + 2 = [A (x + 2i) + B (x − 2i)] x2 − 2x + 1 + [C (x − 1) + D] x2 + 4
Antes de continuar, notar que los polinomios involucrados son funciones Reales, lo que implica
que C y D son Reales puros y A, B deben cumplir:
= [A (x + 2i) + B (x − 2i)] = = [(A + B) x + 2i (A − B)] = = (A + B) x+2i< (A − B) = 0, ∀x
⇒
= (A + B) = = (A) + = (B) = 0
< (A − B) = < (A) − < (B) = 0
⇒
B=A
Llamemos a = < (A) y b = = (A), entonces A = a + ib, B = a − ib. Sustituyendo ahora en la
expresión factorizada nos queda:
7.2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN II
71
x3 − 3x2 + 5x + 2 = (2a + C) x3 − (4a + 4b + C − D) x2 + (2a + 8b + 4C) x − 4 (b + C − D)


2a + C = 1




4a + 4b + C − D = 3
⇒


2a + 8b + 4C = 5




2b + 2C − 2D = −1
La solución al sistema anterior es a = b = 1/2, C = 0, D = 1.
Un posible atajo para resolver el sistema anterior hubiese sido usar el método comunmente
conocido como “la tapadita”:
2
2
A (x − 1)
B (x − 1)
x3 − 3x2 + 5x + 2
+
+ C (x − 1) + D =
x − 2i
x + 2i
(x2 + 4)
1−3+5+2
=1
(1 + 4)
Del mismo modo podemos proceder con A y B si permitimos a x tomar valores complejos, lo que
1−i
en este caso resulta en A = 1+i
2 , B = 2 , hecho que concuerda con nuestra observación inicial
x=1
⇒
D=
de que B = A. Para obtener una expresión Real basta factorizar;
A
x−2i
+
B
x+2i
=
x−2
x2 +4 .
Solo resta calcular la constante C, lo que puede hacerse despejándola y haciendo tender x a
infinito:
lı́m
x→+∞
(x − 2) (x − 1)
1
x3 − 3x2 + 5x + 2
+
C
+
= 1 + C = lı́m
=1
2
x→+∞ (x2 + 4) (x − 1)
x +4
x−1
Volviendo a la integral, sabemos ahora que podemos expresarla de la siguiente forma:
ˆ 5
ˆ
ˆ
ˆ
x − 5x4 + 12x3 − 26x2 + 33x − 10
x−2
dx
dx = (x − 3) dx +
dx +
2
(x2 + 4) (x2 − 2x + 1)
x2 + 4
(x − 1)
2
La primera integral da x2 − 3x |.
´
´ x
´ dx
La segunda la podemos separar en dos partes: xx−2
2 +4 dx =
x2 +4 dx−2
x2 +4 . Ambas partes
pueden resolverse con el cambio de variable adecuado;
ˆ
ˆ
x
1
du
1
dx =
= log x2 + 4 |
x2 + 4 u=x2 +4 2
u
2
ˆ
ˆ
x
dx
1
du
1
=
=
arctan
|
x2 + 4 u=x/2 2
u2 + 1
2
2
Falta la última integral.
ˆ
ˆ
dx
du
1
=
=−
|
2 u=x−1
2
u
x−1
(x − 1)
ˆ
Por lo tanto, el resultado es:
x5 − 5x4 + 12x3 − 26x2 + 33x − 10
dx =
(x2 + 4) (x2 − 2x + 1)
x2
− 3x
2
x
1
1
| + log x2 + 4 | − arctan
|+
|
2
2
1−x
Capítulo 8
Breve introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Llamamos Ecuación Diferencial a toda ecuación E (t, x, x0 , x00 , . . .) = 0 en la que intervengan
una cierta función incógnita x : x (t) y sus derivadas. Son de gran utilidad en ciencias naturales
ya que surgen del estudio de sistemas dinámicos; sistemas en los que, por ejemplo, la variación de
cierta magnitud está relacionada con la magnitud misma. Para tener una idea de su importancia
basta recordar que la 2a ley de Newton, aquella que rige el movimiento de los cuerpos, es una
ecuación diferencial: mx00 = F (t, x).
8.1.
Ecuaciones de variables separables
Teorema 8.1. f : (x0 − ; x0 + ) → R, g : (t0 − δ; t0 + δ) → R derivables / f 0 , g 0 continuas ∧
f (x0 ) 6= 0
=⇒
∃! x : (t0 − δ 0 ; t0 + δ 0 ) → R solución de

x0 = f (x) g (t)
x (t ) = x
0
/
0
ˆt

x (t) = F −1 F (x0 ) +

g (s) ds
/
t0
F : (x0 − 0 ; x0 + 0 ) → R / F 0 (x) =
1
∧ F (x0 ) = t0
f (x)
Demostración. f (x0 ) 6= 0 ∧ f continua
∃0 < 0 < : f (x) 6= 0, ∀x ∈ (x0 − 0 ; x0 + 0 )
x(t)
´t x0 (s)
´ dx
´t
5,6
x0 (t)
=
g
(t)
⇒
ds
=
=
g (s) ds
f (x(t))
f (x(s))
f (x)
⇒
t0
x́
F : F (x) =
x1
F 0 (x) =
dx
f (x)
x0
/ x1 ∈ (x0 − 0 ; x0 + 0 )
t0
⇒
´t
F (x (t)) = F (x0 ) + g (s) ds
t0
4,12
6= 0, ∀x ∈ (x0 − 0 ; x0 + 0 ) ⇒ ∃ F −1 : (t0 − δ 0 ; t0 + δ 0 ) → (x0 − 0 ; x0 + 0 ) /
!
!!
´t
´t
4,12
d
−1
−1
F (x0 ) + g (s) ds = f F
F (x0 ) + g (s) ds
g (t) ∧
dt F
t0
t0
!
t´0
−1
F
F (x0 ) + g (s) ds = F −1 ◦ F (x0 ) = x0
1
f (x)
t0
La unicidad de la solución viene garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf (8.12), puesto
que f g satisface las hipótesis del mismo; es localmente Lipschitz respecto a x:
72
8.2. ECUACIONES LINEALES
73
Dado un t ∈ (t0 − δ; t0 + δ), f es derivable en todo intervalo [x; y] ⊂ (x0 − ; x0 + ), entonces
existe c ∈ (x; y) tal que
f (x)−f (y)
x−y
= f 0 (c). Entonces (f (x) − f (y)) g (t) = g (t) f 0 (c) (x − y), de
donde se sigue que (f g) |{t} es localmente Lipschitz.
Observación 8.2. Dejando los formalismos de lado, es de destacar que la solución al problema

x0 = f (x) g (t)
x (t ) = x
0
0
será aquella que cumpla
x(t)
ˆ
dx
=
f (x)
x0
ˆt
g (s) ds
t0
Nota: A la condición x (t0 ) = x0 se le dice condición inicial de la ecuación.
8.2.
Ecuaciones Lineales
Una ecuación diferencial es lineal si es de la forma
n
X
ak (t) x(k) = g (t)
k=0
La ecuación se dice que es homogénea si g = 0.
Observación 8.3. Si α, β ∈ R y x, y soluciones a la ecuación homogénea
n
P
ak (t) x(k) = 0,
k=0
entonces,
n
n
n
n
P
P
P
P
(k)
ak (t) (αx + βy) =
ak (t) αx(k) + βy (k) = α ak (t) x(k) + β
ak (t) y (k) = 0
k=0
k=0
k=0
k=0
es decir, (αx + βy) también es solución. En términos de Álgebra lineal, el conjunto de soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea es un espacio vectorial sobre los Reales.
Veremos a continuación dos proposiciones que nos serán de gran utilidad.
Teorema 8.4. ak , g : (a; b) → R continuas , ∀ k = 0, . . . , n
=⇒
∧
t0 ∈ (a; b)
∃! x : (a; b) → R solución de
 n
P


ak (t) x(k) = g (t)



k=0





x (t0 ) = x0
x0 (t0 ) = x1



..



.




x(n−1) (t ) = x
0
n
Proposición 8.5. Sean x solución a la ecuación
ecuación homogénea
n
P
k=0
n
P
ak (t) x(k) = g (t), y xH solución a la
k=0
ak (t) x(k) = 0. Entonces (x + xH ) solución de
n
P
k=0
ak (t) x(k) = g (t).
8.2. ECUACIONES LINEALES
Demostración.
n
P
ak (t) (x + xH )
(k)
=
k=0
n
P
k=0
74
n
n
P
P
(k)
(k)
ak (t) x(k) + xH =
ak (t) x(k) + ak (t) xH =
k=0
k=0
g (t) + 0 = g (t)
8.2.1.
Ecuación lineal de primer orden. Apliquemos lo que hemos visto hasta ahora
para resolver una ecuación como la siguiente.
x0 + a (t) x = g (t)
(8.2.1)
Según la proposición anterior (8.5) podemos buscar una solución particular xP de la misma
para sumarla a la solución de la ecuación homogénea x0H + a (t) xH = 0 y obtener una nueva
solución de (8.2.1). Observar que la homogénea es de variables separables como la del teorema
8.1;
xH
ˆ(t)
x0H
= −a (t) xH
⇐⇒
dx
= log (xH (t)) − log (C) = log
x
xH (t)
C
ˆt
= − a (t) ds
c
t0
Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:
t́
− a(t)ds
xH (t) = Ce
t0
y estará definida en todo intervalo real donde a sea continua, como establece el teorema 8.4.
En cuanto a la solución particular xP a la ecuación (8.2.1), su forma dependerá en general
de g. Por ejemplo, si fuera g (t) = λa (t) , λ ∈ R entonces es claro que xP (t) = λ satisface la
ecuación. Un método más general para hallar xP es el de variación de constantes:
Dada xH solución de la ecuación, suponemos xP (t) = c (t) xH (t). Entonces, si sustituimos
en la ecuación (8.2.1) obtenemos,
c0 xH + cx0H + a (t) cxH = c0 xH + c (x0H + a (t) xH ) = c0 xH + 0 = g
´t
⇒ c0 = xgH ⇒ c (t) = xg(s)
ds
H (s)
t1
Por último, si nos proponemos dar solución al problema

x0 + a (t) x = g (t)
x (t ) = x
0
0
bastará ajustar la constante de la solución encontrada
t́
− a(t)ds
x = xH + xP : x (t) = Ct0 ,x0 e
t0
+ xP (t)
de modo que x (t0 ) = x0 , y gracias al teorema 8.4 sabremos que, si x satisface ambas condiciones
(la ecuación diferencial y la condición inicial), entonces será la (única) solución.
8.2. ECUACIONES LINEALES
8.2.2.
75
Ecuación lineal de segundo orden. Supongamos que queremos resolver la si-
guiente ecuación:
x00 + a (t) x0 + b (t) x = g (t)
(8.2.2)
Evidentemente, su versión homogénea x00 + a (t) x0 + b (t) x = 0 no es, en general, de variables
separables, de modo que no podemos proceder como antes. Sin embargo, daremos solución a
algunos casos particulares.
Comencemos en un principio asumiendo que conocemos xH , la solución a la versión homogénea de (8.2.2), y apliquemos nuevamente el método de variación de constantes.
⇒ x0P =
0 0
00
c xH +2c xH +cxH +a (c0 xH
c0 (2x0H + axH ) + 0 = g
c0 xH + cx0H
xP (t) = c (t) xH (t)
⇒
c00 xH +
00
+ cx0H )+bcxH = c00 xH +c0 (2x0H + axH )+c (x00H + ax0H + bxH ) =
Llegamos a la siguiente ecuación:
x0H
g
c + 2
+ a c0 =
xH
xH
00
que no es más que una ecuación lineal de primer orden en c0 como la (8.2.1), así que sabemos
resolverla; simplemente hayamos la solución general c0H a la ecuación homogénea, buscamos una
solución particular c0P a la no homogénea, y las sumamos (c0 = c0H + c0P ). La función c será
una primitiva de c0 determinada por las condiciones iniciales que deberá cumplir x = xH +
xP = (1 + c) xH . Recordar que para que el problema tenga solución única, se deben dar tantas
condiciones iniciales como derivadas intervengan en la ecuación. Así, en este caso, el problema


x00 + a (t) x0 + b (t) x = g (t)


x (t0 ) = x0



x0 (t ) = v
0
0
está completamente determinado; basta ajustar las constantes en las soluciones para que x (t0 ) =
x0 , x0 (t0 ) = v0 .
Consideremos ahora una versión más sencilla de (8.2.2): la ecuación lineal de segundo orden
con coeficientes constantes.
x00 + ax0 + bx = g (t)
Para la ecuación homogénea x00 +ax0 +bx = 0 propondremos soluciones del tipo xH (t) = Ceλt .
Entonces, sustituyendo obtenemos,
Cλ2 eλt + aCλeλt + bCeλt = 0
⇒
λ2 + aλ + b = 0
⇒
λ = − a2 ±
q
a2
4
−b
2
Observar que cada λ produce soluciones distintas (siempre que a 6= 4b) y, al ser una ecuación
lineal, la suma de soluciones es solución. Concluimos que la solución general a la ecuación lineal
homogénea de coeficientes constantes es:
xH (t) = Ae
q
a2
−a
2+
4 −b t
+ Be
−a
2−
q
a2
4
−b t
8.2. ECUACIONES LINEALES
76
Nota: Si para encontrar una solución particular a la ecuación no homogénea
se recurre
q
al método
de variación
de constantes, tener en cuenta que x+
H (t) = Ae
Be
−a
2−
q
a2
4
−b t
−a
2+
a2
4
−b t
y x−
H =
son soluciones independientes, de modo que la mejor candidata a solución par-
ticular será
xP (t) = A (t) e
q
a2
−a
2+
4 −b t
+ B (t) e
−a
2−
q
a2
4
−b t
Ejemplo 8.6. Oscilador armónico forzado.
Daremos solución al siguiente problema de valores iniciales:


x00 + ω02 x = f cos (ωt)


x (0) = A



x0 (0) = 0
En este caso tenemos xH (t) = Ceλt
⇒
λ = ±iω0 , entonces
xH (t) = C1 eiω0 t + C2 e−iω0 t = a cos (ω0 t) + b sin (ω0 t)
donde a = C1 + C2 y b = i (C1 − C2 ).
Por otro lado, de solo mirar la ecuación parece evidente que acepta soluciones del tipo xP (t) =
c cos (ωt);
−ω 2 c cos (ωt) + ω02 c cos (ωt) = f cos (ωt)
⇒
c=
f
ω02 − ω 2
por lo tanto, la solución general a la ecuación es:
x (t) = a cos (ω0 t) + b sin (ω0 t) +
f
cos (ωt)
ω02 − ω 2
f
0
Ajustemos las constantes a y b; x (0) = a + ω2 −ω
2 = A, x (0) = ω0 b = 0. Concluimos que la
0
solución a nuestro problema es:
f
f
x (t) = A − 2
cos (ω0 t) + 2
cos (ωt)
2
ω0 − ω
ω0 − ω 2
Por último, es interesante estudiar lo que sucede cuando la frecuencia del forzante ω se
aproxima a la frecuencia natural del sistema ω0 ;
5,19
f
f
f
x (t) = A − ω2 −ω
cos (ω0 t) + ω2 −ω
A − ω2 −ω
cos (ω0 t) +
2
2 cos (ωt) =
2
0
0
0
2
f
+ ω2 −ω
cos (ω0 t) − t sin (ω0 t) (ω − ω0 ) − 12 t2 cos (ω1 t) (ω − ω0 ) =
2
0
A cos (ω0 t) −
f t sin (ω0 t) f t2 cos (ω1 t)
f
−
(ω − ω0 ) ≈ A cos (ω0 t) −
t sin (ω0 t) −→ ∞
ω→ω0
t→+∞
(ω0 + ω)
2 (ω0 + ω)
2ω0
8.3. COMENTARIOS FINALES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
8.3.
8.3.1.
77
Comentarios finales sobre Ecuaciones diferenciales
Estabilidad. Limitaremos esta sección al estudio de ecuaciones diferenciales autó-
0
nomas x = f (x), y supondremos en todo momento que f es derivable con derivada continua en
un entorno de la condición inicial.
Definición 8.7. Flujo

x0 = f (x)
φ : φ (t, x0 ) = x (t) / x solución de
x (0) = x
0
Observación 8.8. Al estar trabajando con ecuaciones autónomas, podemos prescindir del
t0 en la condición inicial, pues la solución al problema

x0 = f (x)
x (t ) = x
0
0
viene dada por φ (t − t0 , x0 ). Es importante observar que el flujo está inequívocamente definido,
en algún entorno de (0, x0 ), en virtud del teorema 8.12.
El teorema 8.12 también nos asegura que dos soluciones distintas nunca se cortan, pues si
fuesen iguales en algún punto (x (t0 ) = y (t0 )) implicaría que cumplen la misma condición inicial
y por unicidad deben ser la misma solución.
Definición 8.9. x0 = f (x) , f (x0 ) = 0
x0 estable (en el futuro)
⇔
∀ > 0∃δ > 0 : |φ (t, x) − x0 | < , ∀ |x − x0 | < δ, t ≥ 0
x0 asintóticamente estable (en el futuro)
⇔
∃ρ > 0 : lı́m φ (t, x) = x0 , ∀ |x − x0 | < ρ
t→+∞
Observación 8.10. Cuando f (x0 ) = 0 se dice que x0 es punto crítico de x0 = f (x). Notar
0
que si f (x0 ) = 0 entonces φ (t, x0 ) = x0 , ∀t ∈ R; (x0 ) = 0 = f (x0 ).
Teorema 8.11. x0 = f (x) , f (x0 ) = 0
1) f 0 (x0 ) < 0
2) f 0 (x0 ) > 0
=⇒
=⇒
x0 asintóticamente estable
x0 inestable
Demostración. Para mayor comodidad escribiremos φ |x : φ |x (t) = φ (t, x).
1)f 0 (x0 ) < 0 implica f ↓ en x0 , es decir, existe δ > 0 tal que x0 = f (x) > 0, ∀x0 − δ < x < x0
0
y x = f (x) < 0, ∀x0 < x < x0 + δ, y podemos suponer que x0 es el único punto crítico en
(x0 − δ; x0 + δ). Entonces φ |x ↑ en (x0 − δ; x0 ) y φ |x ↓ en (x0 ; x0 + δ). Por otro lado sabemos que
soluciones distintas no se cortan (observación 8.10), entonces
φ (t, x) < φ (t, x0 ) = x0 , ∀x0 − δ < x < x0 y φ (t, x) > φ (t, x0 ) = x0 , ∀x0 < x < x0 + δ
Por lo tanto, lı́m φ (t, x) = x0 .
t→+∞
La demostración de 2) es similar y se deja de ejercicio (sugerencia: probar el contrarrecíproco).
8.3. COMENTARIOS FINALES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
8.3.2.
78
Existencia y unicidad de soluciones. Presentamos en esta sección uno de los
resultados más trascendentes en lo que respecta a Ecuaciones diferenciales ordinarias: el teorema
de Picard-Lindelöf. Su enunciado esencialmente brinda una condición suficiente para la existencia
y unicidad de soluciones, al menos en un entorno de la condición inicial.
Teorema 8.12. Teorema de Picard-Lindelöf
f : I × U → Rn continua / t0 ∈ I abierto ⊂ R, x0 ∈ U abierto ⊂ Rn ∧ f |{t}×U
localmente Liptchitz
=⇒
∃! ϕ : (t0 − δ; t0 + δ) → Rn solución de

ẋ = f (t, x)
x (t ) = x
0
0
Este teorema tiene muchas consecuencias interesantes (los teoremas 8.1 y 8.4, por ejemplo).
Una de ellas es la posibilidad de definir una función mediante un cierto problema de valores
iniciales:
Recordemos, por ejemplo, que exp0 = exp, y que exp (0) = 1. Con esto en mente, el teorema
8.12 nos asegura la existencia y unicidad de la exponencial definida como sigue;

exp0 = exp
Definición 8.13.
exp (0) = 1
Del mismo modo, si recordamos algunas propiedades de las funciones trigonométricas, vemos
que estas pueden definirse mediante;

 


sin0
0



=


 cos0
−1
 
Definición 8.14. 


sin (0)
0



=


 cos (0)
1
1
0




sin
cos


Bibliografía
[1] CALCULUS I - Tom M. Apostol
[2] Curso de análise vol. 1 - Elon Lages Lima
[3] http://www.wikipedia.org
[4] Notas para el curso de Cálculo Diferencial e Integral 2 - Andrés Abella y Ernesto Mordecki
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