INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. (J-99) y desviación típica

INFERENCIA ESTADÍSTICA
1. (J-99) Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media  y desviación típica . Si se
extraen muestras aleatorias de tamaño n:
a. ¿qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ?
b. Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución
N(165, 12), calcula P( X > 173,7).
2. (J-99) Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias de los estudiantes de Bachillerato de
Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los
valores siguientes para estos gatos: 100, 150, 90, 70, 75, 105, 200, 120, 80
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media
desconocida y de desviación típica igual a 12. Determina un intervalo de confianza al 95% para la
media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.
3. La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 10 cm. Calcula el tamaño
mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al
estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%. ¿ Y si el nivel de
confianza es del 95%? Explica los pasos seguidos.
4. Supongamos que a partir de una muestra aleatoria de tamaño n = 25 se ha calculado el intervalo
de confianza para la media de una población normal, obteniéndose una amplitud igual a  4. Si el
tamaño de la muestra hubiera sido n = 100, permaneciendo invariables todos los demás valores
que intervienen en el cálculo, ¿cuál habría sido la amplitud del intervalo?
5. La media de edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a la Universidad es
de 18,1 años y la desviación típica 0,6 años.
a) De los alumnos anteriores se elige al azar una muestra de 100 alumnos, ¿cuál es la
probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté 17,9 y 18,2 años?
b) ¿ Qué tamaño debe tener una muestra de dicha población para que su media esté
comprendida entre 17,9 y 18,3 años con una confianza del 99,5%?
6. Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos de distribuyen según una ley normal
con desviación típica 90.000 ptas. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos
9 meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas cuyos
extremos son 466.300 y 583.900 ptas. ¿ Cuál ha sido la media de las ventas en esos 9 meses? ¿
Cuál es el nivel de confianza de ese intervalo?
7. En una gran ciudad española la altura media de sus habitantes tiene una desviación típica de 8
cm. Se pide:
a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm, ¿ cuál sería la probabilidad de que la
altura media de una muestra de 100 individuos fuera superior a 176 cm?
b) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esa ciudad se obtiene una altura
media de 178 cm. Determina un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los
habitantes de esa ciudad.
8. En una empresa de exportación de cítricos se investiga el peso medio de cierta variedad de
naranjas. Se admite un error máximo de 10 gramos, con una confianza del 95%. Se sabe por
estudios de otros años que el peso medio se distribuye normalmente siendo la desviación típica de
60 gramos. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se va a elegir? ¿ y si se desea
una confianza del 99%?
9. (J-00) Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable media muestral.
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de una unidad de la media de la
población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar
en la muestra?
10. (J-98) Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una
distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses. Determina el mínimo
tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98, que la vida media de los
electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
11.(J-97) Se realizan 64 lanzamientos de un dado. ¿Cuántos cincos debemos obtener, como
mínimo y máximo, para aceptar que el dado no está trucado con un nivel de confianza del 95%?
12.(J-01) Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal
con desviación típica 1 kg. Se toma una muestra aleatoria de 100 sandías y se observa que el peso
medio es de 6 kg.
a) Calcula un intervalo de confianza al 95% para el peso medio de esa variedad de sandía.
b) ¿Puede aceptarse la hipótesis de que el verdadero peso medio de las sandías es de 5 kg,
frente a que su peso es diferente, con un nivel de significación de 0,05?
13. (J-99) Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen
comprimidos con un diámetro medio de 29 mm. Una muestra de 100 comprimidos dio como media
de los diámetros 25,18 mm. Suponiendo que el diámetro de los comprimidos es una variable
aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,89 mm. Se desea contrastar con un nivel de
significación del 5%, si el diámetro medio que afirma el fabricante es correcto. Para ello:
a) Plantea la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste.
b) Realiza el contraste al nivel de significación dado.
14. (J-98) Se ha llevado a cabo un estudio en diferentes países de la Unión Europea del porcentaje
de la población que accede a la enseñanza superior. En los países escogidos se han obtenido los
valores siguientes (medidos en tanto por ciento): 23,5; 35,0; 29,5; 31,0; 23,0; 33,5; 27,0; 28,0; 30,5.
Se supone que estos porcentajes siguen una distribución normal con desviación típica igual al 5 por
ciento. Se desea contrastar con un nivel de significación del 5% si los datos anteriores son
compatibles con un valor medio del porcentaje de la población que cursa estudios superiores igual
al 28 por ciento.
a) Plantea en el contraste cuáles son las hipótesis nula y la alternativa.
b) Determina la región crítica del contraste.
c) ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado?
15.(J-99) Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución
normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha observado la renta anual
de 16 individuos de esa localidad, escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6
millones de pesetas. Contrasta si la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas a un
nivel de significación del 5%.
a)¿Cuáles son las hipótesis nula y la alternativa del contraste?
b) Determina la región crítica.
c) ¿Se acepte la hipótesis nula, con el nivel de significación indicado?
17. (J-00) En una comunidad autónoma se estudia en número medio de hijos por mujer a partir de
los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este número sigue una distribución normal
con desviación típica igual a 0,08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta ser
igual a 1,17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de significación de 0,01, si el número
medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1,25.
a) Plantea las hipótesis nula y la alternativa.
b) Determina la región crítica del contraste.
c) ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado?
18.(J-01) Un establecimiento vende paquetes de carbón para barbacoa de peso teórico 10 kg. Se
supone que el peso de los paquetes sigue una distribución normal con desviación típica 1 kg. Para
contrastar la citada hipótesis, frente a que el peso teórico sea distinto de 10 kg, se escogen al azar
4 paquetes que pesan en kg, respectivamente: 8, 10, 9, 8.
Se desea que la probabilidad de aceptar la hipótesis nula, cuando ésta es cierta, sea 0,95. Se pide
a) La región crítica del contraste. b) ¿Se debe rechazar la hipótesis nula?
1. Se sabe que la desviación típica del número de pulsaciones por minuto de los individuos de una
cierta población es de 9 minutos. Se considera una muestra aleatoria de 100 individuos que revela
un número medio de pulsaciones por minuto de 68. Con un nivel de confianza del 99%, determina
el intervalo en el que se encontrará el número medio de pulsaciones por minuto de los individuos
de esa población. Explica los pasos seguidos.
2. En una determinada población juvenil, el peso en kg sigue una distribución normal
N (50 kg, 10 kg). Si se extrae una muestra aleatoria de 25 jóvenes y para un nivel de significación
del 5%, ¿en qué condiciones se rechazaría la hipótesis de que la media de la población es de 50 ?
3 Con la escolarización habitual, la mejora en la velocidad de lectura durante un año sigue una
distribución normal de media 35 palabras por minuto y desviación típica 5. Se ha puesto en marcha
un nuevo procedimiento de enseñanza y se ha obtenido una mejora media de 42 palabras por
minuto. Establece la hipótesis nula, la alternativa, la región crítica del test (contraste) de hipótesis
para decidir si el nuevo método es significativamente más eficaz que el habitual al nivel de
significación del 0,05.
4. La duración media de las bombillas fabricadas por una empresa siguen una distribución normal
con desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800
horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote, y después de comprobarlas se
obtiene una vida media de 750 horas. Teniendo en cuenta toda esta información y con un nivel de
significación de 0,01, ¿podemos rechazar el lote por no cumplir la garantía?
5. Una máquina se programa para que produzca tornillos de 15,50 mm y , en efecto, los produce
con una longitud media de 15,50 mm y una desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tiempo se
quiere comprobar si la máquina sigue funcionando correctamente,. Pues cabe sospechar que se
haya desajustado. Decidir si la longitud media sigue siendo 15,50 ( con un error o nivel de
significación 0,01), o si, por el contrario no lo es , en cuyo caso debe reajustarse la máquina. Para
verificarlo extraemos una muestra de 90 tornillos, en la que resulta una media de 15,54mm.
6. En una empresa avícola el peso de los patos adultos tiene una media de 2,81 kg. Para prevenir
cierta enfermedad se les administra en la comida un fármaco pero se teme que, como efecto
secundario, pierdan peso. A partir de una muestra de 150 patos se obtuvo un peso medio de 2,70
kg y una desviación típica de 0,32 kg. Haz un contraste de hipótesis adecuado con un nivel de
significación de 0,001.
7. La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según una ley normal de media desconocida y
desviación típica 25 cm2 . Se ha seleccionado una muestra aleatoria y con una confianza del 95%
se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es de 2,45 cm.
a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?
b) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional si la muestra tomada dio una
altura media de 170 cm.
8. Se conoce que el número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una
distribución normal de media 8,1 y desviación típica 9 días. Se elige, al azar, una muestra de 100
enfermos: a) Razona cuál es la distribución de la media muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 8 y 10 días?
9. Queremos estimar la media de una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una
desviación típica de 3,2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos, obteniéndose una media
de 32,5. ¿Con qué nivel de confianza se puede afirmar que la media de la polación está entre 31,5
y 33,5?
10. Se quiere contrastar si el nivel de colesterol en sangre de un grupo de enfermos es mayor que
el que tiene una población que se ha tomado de referencia, y que es de 160 u. Se sabe que la
desviación típica de la cantidad de colesterol en sangre es de 20 u .Si el tamaño de la muestra es
de 50 y la media muestral es 165 u, ¿se rechazará la hipótesis con un nivel de significación de
0,025?