APLICACIO

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA INDUSTRIAL
Existen muchos fenómenos naturales o provocados por el hombre que son descritos
mediante ecuaciones diferenciales. El fundamento teórico de esos problemas y las
condiciones especiales en que se desarrollan permiten plantear las ecuaciones
diferenciales correspondientes.
PROBLEMA: La población de la ciudad de Quito en el año 2000 fue de 2’000000 de
habitantes. Si el crecimiento poblacional es proporcional a la propia población y ha
sido estimado en 1.5% anual, determinar la ecuación diferencial que describe el
problema y la función primitiva equivalente a esa ecuación diferencial; basándose en la
ecuación diferencial estimar el año en que la ciudad tendrá 3´000000 de habitantes.
SOLUCION
En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
P: Población de la ciudad de Quito, que varia con el tiempo y tiene un valor de
2’000000 para el año 2000.
T: Tiempo medido en años, que al inicio del problema es el año 2000.
: Índice anual de crecimiento de la población que vale 0.015 (1.5%).
En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
Por definición, el crecimiento de la población en un instante cualquiera se calcularía
mediante la siguiente expresión:
P .P
T
Donde:
P. Incremento de la población.
T. Intervalo de tiempo en que se mide el incremento de población.
Para conseguir una igualdad es necesario llevar el cociente de los incrementos al
límite del mismo, lo que ocurre cuando “T” tiende a “cero”, lo que se expresa como:
Lím
P =.P
T 0 T
La expresión antes anotada es la derivada de la población respecto al tiempo:
dP =.P
dT
Ecuación Diferencial
Esta última expresión es la ecuación diferencial que describe la variación de la
población con respecto del tiempo.
Es una ecuación diferencial de primer orden de tipo Separable, pues cumple con la
siguiente forma:
dy = f(x)
dx g(y)
Para resolver la ecuación diferencial:
1. Separamos las variables:
dp = .dT
P
2. Integramos a ambos lados de la igualdad.
∫
dP=∫. dT
P
ln(P)+(C)=.T
La constante “C” puede ser reemplazada por el logaritmo natural de la constante “K”.
ln(P)+ln(K)=T
El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos.
ln(PK)=T
Aplicamos
e
a ambos lados de la igualdad.
e
PK= ( )^(T)
Despejando la población “P” se tiene su variación en función del tiempo, en términos
generales:
P= (e )^(T)
Solución General
K
Para el cálculo de la solución específica se debe aplicar las condiciones iniciales del
problema a la solución general, es decir:
e ) ^ (0.015)*(2000)
2’000000= (
K
Simplificando:
e
2’000000= ( ) ^ (30)
K
Despejando “K”:
e
K= ( ) ^ (30)
2’000000
K=5343237.291
Reemplazando “K” y “” en la ecuación general se tiene:
e ) ^ (0.015T)
P= (
Solución Especifica
5343237.291
Para conocer en qué año la ciudad tendrá una población de 3’000000 de habitantes,
despejamos T de la solución específica, así:
e ) ^ (0.015T)
P= (
Solución Especifica
5343237.291
P5343237.291= (
e ) ^ (0.015T)
Aplicamos ln a ambos laos de la igualdad:
ln(3’0000005343237.291)=0.015T
T= 2027.
RTA: La ciudad de Quito tendrá una población de 3’000000 de habitantes hacia el año
2027.
MAYRA GERALDINE GUTIERREZ CUBIDES
ING. INDUSTRIAL.