Definición y propiedades de la Simetría axial

UNIDAD 2
CONCEPTOS REQUERIDOS –1b
SIMETRÍA AXIAL.
3 – SIMETRÍA AXIAL.
3.1 – Definición
Dada una recta (e), sea Ox una semirrecta cualquiera contenida en (e) y α un semiplano
de borde (e). Se llama simetría axial de eje (e) al movimiento en el cual la imagen de O
es O, la de Ox es Ox y la del semiplano α, es su opuesto.
Se (O, Ox, α) = O, Ox, opα
3.2 – Propiedades
1) Los puntos del eje son unidos.
Si P es un punto cualquiera de la semirrecta Ox y P’ es su imagen en S e, entonces P’
pertenecerá también a Ox.
Se(O) = O por lo tanto d(O, P’) = d(O, P) = ϕ y por el axioma métrico resulta P = P’
Análogamente se justifica que un punto de la opuesta de la semirrecta Ox es unido.
2) Las isometrías son transformaciones involutivas.
Se o Se = I
3) Las circunferencias con centro en el eje, son dobles.
Para todo punto A perteneciente a una circunferencia de centro Q y radio r, d(Q, A) = r.
Se(Q) = Q y Se(A) = A’ por lo que d(Q, A’) = d(Q, A).
De las igualdades anteriores se deduce que d(Q, A’) = r, lo cual significa que A’
pertenece a la misma circunferencia.
Para todo punto A de C(Q, r), A’ = S e(A) también pertenece a ella, entonces C(Q, r) es
doble en S e.
4) Las rectas determinadas por un punto no perteneciente al eje y por su imagen, es
perpendicular al eje.
Construcción de la imagen de un punto que no pertenece al eje :
Dada la simetría axial S e, para hallar la imagen de un punto A no perteneciente al eje e,
consideremos los puntos O y Q pertenecientes al eje y las circunferencias C(O, OA) y
C(Q, QA).
Los puntos de estas circunferencias pertenecientes a α tienen sus imágenes en las
mismas circunferencias pero en el semiplano op α por lo tanto
C(O, OA) ∩ C(Q, QA) = {A, A’}.
Observaciones:
Siendo M el punto de intersección del segmento AA' con el eje e, resulta que:
1 - S e (OMA) = OMA', S e (QMA) = QMA' , OMA y QMA' son opuestos por el vértice por lo
tanto concluimos que el eje corta al segmento AA' determinando 4 ángulos congruentes.
2 - S e (MA) = MA', por lo que MA = MA' , entonces, M es punto medio del segmento AA'.
Definiciones:
Dos rectas se llaman perpendiculares si y sólo si son secantes y determinan 4 ángulos
congruentes.
Se llaman ángulos rectos a los determinados por dos rectas perpendiculares.
Teorema:
La Condición Necesaria y Suficiente para que un ángulo sea recto, es que sea
congruente con uno de sus adyacentes.
5) Las rectas determinadas por un punto no perteneciente al eje y por su imagen, es
doble.
Supongamos que S e (A) = A', por ser S e involutiva se cumple que S e (A') = A, por lo tanto
Se (AA') = A'A = AA' o sea que AA' es doble.
6) Si una recta es doble y secante con el eje, es perpendicular a él.
(H) r ∩e={M}
( T)
∧
Se ( r ) = r
r⊥ e
Sea A un punto de la recta r, por ( H ) r es doble entonces, por la propiedad 4 resulta
r = AA' ⊥ e.
7) Las rectas perpendiculares al eje, son dobles.
(H )
p⊥ e
( T ) S e (p) = p
La tesis equivale a demostrar que para todo punto A de la recta p se cumple que S e (A)
también pertenece a la recta p.
p ⊥ e implica que existe M tal que p ∩ r = { M }
Dado un punto A cualquiera de la recta p (en el semiplano α), sea B de la semirrecta
opuesta de MA y S e (A) = A'.
Como p ⊥ e entonces OMA =c OMB con MB ⊂ α'
MA' ⊂ α'
Por el teorema del transporte del ángulo convexo resulta MB = MA' y por lo tanto A' ∈ p
Se (MA) = MA' entonces OMA =c OMA' con
8) Existencia y unicidad de la perpendicular a una recta por un punto.
Definido el concepto de perpendicularidad, a continuación demostraremos la existencia y
la unicidad de la perpendicular a una recta, por un punto. La justificación se realizará en
dos situaciones:
a) cuando el punto no pertenece a la recta.
b) cuando el punto pertenece a la recta.
a) Existencia:
Como estamos suponiendo q ue P no pertenece a la recta r, si S r (P) = P’, por la
propiedad 4, resulta PP’ perpendicular a r.
Unicidad:
Si existe s ⊥ r por P, por propiedad 7, s es doble en S r por lo que P' ∈ s
Como P ∉ r, entonces P ≠ P' y por lo tanto s = PP'.
La única perpendicular a (r) por el punto P es la recta PP'
b) Existencia:
Dada la recta r y el punto P perteneciente a ella, consideremos los puntos A y B también
pertenecientes a r, tales que d(P, A) = d(P, B) y el punto C exterior.
Comparemos los áng ulos ABC y BAC. Supongamos que ABC es el mayor:
Consideremos el movimiento M que transporta el ángulo BAC sobre la semirrecta BA en
el semiplano AB,C
M(A; AB; AB,C ) = B; BA; AB,C M(AC) = BC'
Puesto que el ángulo ABC es mayor que el BAC resulta que BC' es interior al ángulo ABC
y como AC tiene sus extremos en lados distintos del ángulo ABC, existe H intersección
de AC y BC'.
Teniendo en cuenta que d(A,B) = d(B,A) y que d(P,A) = d(P,B) resulta:
A
AB
B
P
AC
BC'
H
APH
B
BA
A
P
BC'
AC
H
BPH
M
Los ángulos APH y BPH son adyacentes y congruentes, entonces son rectos y por lo
tanto PH ⊥ r.
Unicidad:
Se demuestra suponiendo que x es otra perpendicular a r en P.
Consideremos las simetrías axiales S x y S PH.
⇒
S x (PA) = PB y SPH (PA) = PB.
Ambas invierten el sentido del plano ⇒ S x (PA,H) = PB,H y S PH (PA,H) = PB,H.
De estas relaciones se deduce que S x = S PH y por lo tanto que x = PH.
r es doble en ambas
9) La perpendicularidad se conserva en las isometrías.
10) Todos los ángulos rectos son congruentes.
11) Si una recta y su imagen en una simetría son secantes el punto de intersección
pertenece al eje.
3.3 – Mediatriz de un segmento.
Definición: La mediatriz de un segmento AB, no nulo, es la perpendicular a la recta AB en
el punto medio del segmento.
Teorema: La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de sus extremos.
Teorema directo: P equidista de A y B
⇒
P pertenece a la mediatriz del segmento AB.
Consideremos el movimiento M tal que M(PA, PA,B) = PB, PB,A
Como a la semirrecta PA le corresponde la PB y d(P, A) = d(P, B) entonces M(A) = B.
La imagen de la semirrecta PB debe formar con la imagen de PA, que es PB, un ángulo
congruente con el APB por lo cual M(PB) = PA. Con un razonamiento igual al anterior
M(B) = A.
Concluimos ento nces que la recta AB es doble y como d(N, A) = d(N, B) resulta que
M(N) = N.
M(P) = P, M(N) = N y M(A) = B ⇒ M(PN) = PN y M(PN,A) = PN,B ⇒
M = SPN ⇒ PN ⊥ AB y como N es el punto medio del segmento AB, la recta PN es la
mediatriz de este segmento.
Teorema recíproco: P pertenece a la mediatriz del segmento AB ⇒ P equidista de A y
B.
En la simetría axial S PN la recta AB es doble, entonces la imagen de la semirrecta NA es
NB y al ser N punto medio del segmento AB resulta que S PN (A) = B.
SPN (A) = B y SPN (P) = P ⇒ SPN (AP) = BP ⇒ P equidista de A y B.
Teorema: La condición necesaria y suficiente para que dos puntos A y B sean simétricos
respecto a una recta r, es que r sea mediatriz del segmento AB.
Demostrar utilizando lo justificado en la propiedad 4 y el procedimiento empleado en la
demostración anterior.
3.4 – Bisectriz de un ángulo.
Definición: La bisectriz de un ángulo, no nulo, es la semirrecta con origen en el vértice,
contenida en él, que determina con sus lados ángulos congruentes.
Definición: La distancia de un punto a una semirrecta es la distancia del punto a su
proyección ortogonal sobre la recta sostén de la semirrecta.
Teorema: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos interiores que
equidistan de sus lados.
Teorema directo: P es interior al ángulo xOy, d(P, Ox) = d(P, Oy) ⇒ P pertenece a la
bisectriz del ángulo xOy.
Si H y J son las proyecciones ortogonales de P sobre Ox y Oy, llamemos r a la recta
sostén de la bisectriz del ángulo HPJ.
En S r la imagen de la semirrecta PH es la semirrecta PJ y como d(P, Ox) = d(P, Oy)
entonces S r (H) = J.
La perpendicular a PH en H (que es la recta sostén de Ox) se corresponde con la
perpendicular a PJ en J (que es la recta sostén de Oy), por lo tanto S r (O) = O.
Hemos llegado a las siguientes conclusiones:
Sr (P) = P, Sr (O) = O, Sr (H) = J ⇒ POH =c POJ
Es decir POx =c POy y por lo tanto la semirrecta OP es la bisectriz del ángulo xOy.
Teorema recíproco: P pertenece a la bisectriz del ángulo xOy ⇒ d(P, Ox) = d(P, Oy)
Llamemos H y J a las proyecciones ortogonales de P sobre las rectas sostén de las
semirrectas Ox y Oy. Debemos probar que d(P, H) = d(P, J).
Por ser congruentes los ángulos zOx e yOz, en la simetría axial de eje r se corresponden
las semirrectas Ox y Oy.
Sr (P) = P por lo tanto a la perpendicular por P al sostén de Ox le corresponderá la
perpendicular al sostén de Oy, con lo cual S r (H) = J.
Sr (P) = P y Sr (H) = J ⇒ Sr (PH) = PJ ⇒ d(P, H) = d(P, J).