Tema 4 El Modelo de Crecimiento Neoclásico de Ramsey

Tema 4
El Modelo de Crecimiento Neoclásico de
Ramsey-Cass-Koopmans
H
U
Índice
2. El óptimo social
-E
1. Introducción
1.1. Las familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Las empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El equilibrio competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5
8
9
11
PV
3. Equilibrio y óptimo
14
3.1. Equilibrio competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Estado estacionario
16
4.1. Concepto y obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2. Análisis del estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21
22
24
26
6. Apéndice: Notas técnicas
28
U
5. Dinámica de transición al estado estacionario
5.1. Aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Simulación de las series de kt , ct e yt . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Instrucciones para el trabajo de simulación . . . . . . . . . . .
1
1.
Introducción
En este último Tema 4 se trata de integrar en un mismo modelo a consumidores optimizadores (Tema 2) y a empresas optimizadoras (Tema 3) que
nos permita explicar el comportamiento agregado de toda la economía.
Hemos visto por separado a consumidores y empresas. Simplificando en
parte lo visto hasta ahora, tendremos
-E
H
U
CONSUMIDORES:
i) maximizadores de utilidad sujeto a una restricción presupuestaria intertemporal.
ii) previsión perfecta.
iii) sólo decisiones de consumo y ahorro en un contexto intertemporal (no
decisión de ocio / oferta de trabajo).
iv) horizonte infinito: familias dinásticas. Los individuos pertenecen a
familias en las que los individuos vivos en un instante t dado no sólo se
tienen en cuenta a sí mismos en la toma de decisiones, sino también a todos
sus descendientes futuros.
v) por simplicidad, no introducimos impuestos.
U
PV
EMPRESAS:
i) maximizadoras de beneficios sujeto a una restricción tecnológica.
ii) decisiones sobre demanda de trabajo y de capital.
iii) ausencia de costes de ajuste del empleo y del capital instalado, por lo
que el capital instalado es igual al “stock” de capital deseado siempre.
iv) previsión perfecta.
v) todos los precios (salarios incluidos) son flexibles: todos los mercados
se vacían (en particular, no existe desempleo).
El resultado es lo que se conoce como el modelo de crecimiento neoclásico
de Ramsey-Cass-Koopmans, una extensión del modelo de crecimiento básico
de Solow-Swan visto en la Macro I del primer ciclo. En aquél se suponía una
tasa de ahorro exógena y constante, esto es,
St = sYt , 0 < s < 1,
donde St es el ahorro agregado, Yt es la renta y s es la tasa de ahorro (exógena
y constante). En el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, sin embargo, la tasa
de ahorro es endógena: son los individuos quienes en función de sus preferencias y de su restricción presupuestaria eligen la senda óptima de consumo o,
2
equivalentemente, la senda óptima de ahorro. La tasa de ahorro será, pues,
endógena y en general, variable en el tiempo. De hecho, si los parámetros
del modelo cumplen una determinada propiedad, se demuestra que la tasa de
ahorro que maximiza la utilidad de los individuos en el modelo de RCK es
constante, obteniendo de este modo el modelo de Solow-Swan como un caso
particular del modelo de RCK.
El esquema del Tema es el siguiente.
H
U
Primero obtendremos el equilibrio competitivo: familias que maximizan
utilidad sujeto a la correspondiente restricción presupuestaria y para
precios de los factores de producción dados; empresas que maximizan
beneficios sujeto a la correspondiente restricción tecnológica y para
precios de los factores de producción dados; y, por último, precios y
cantidades de equilibrio que compatibilizan las decisiones de familias y
empresas.
PV
-E
En segundo lugar resolveremos el óptimo social: el problema que tendría
planteado un planificador central que fuera benevolente (su objetivo
fuera asignar los recursos disponibles en toda la economía entre los
diferentes agentes de suerte que maximizara la utilidad de las familias
(propietarias de las empresas).
U
En tercer lugar, veremos que ambos problemas tienen soluciones equivalentes: la asignación que obtenemos como solución al problema del
planificador y la asignación que obtenemos en el equilibrio competitivo
son iguales. El equilibrio competitivo es óptimo (Primer Teorema de
la Economía del Bienestar) y el óptimo de Pareto es insesgado, esto
es, cualquier óptimo de Pareto es posible obtenerlo como un equilibrio
competitivo (Segundo Teorema de la Economía del Bienestar). La consecuencia: planteemos el problema más fácil de resolver (el problema
del planificador social, y cuya solución es el óptimo de Pareto, la mejor
asignación de recursos posible). Si resolviéramos el equilibrio competitivo, necesitaríamos, además de la asignación de recursos, también el
correspondiente vector de precios.
En cuarto lugar estudiaremos una parte de la trayectoria dinámica de
la economía, el estadio estacionario, en el que las variables per cápita
crecen a una tasa constante.
3
Y, en quinto lugar, haremos un ejercicio de simulación por ordenador:
resolveremos para una condición inicial de la economía cómo evoluciona
ésta (sus principales agregados macroeconómicos) a lo largo del tiempo,
analizando si converge o no al estado estacionario.
Dos observaciones previas:
-E
H
U
1. Existen dos formas alternativas de tratar el tiempo t en Economía:
como variable discreta o como variable continua. En el primer caso, t
toma únicamente valores enteros, esto es, t = 0, 1, 2, ... En el segundo
caso, t toma valores reales. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans no
es una excepción. De manera más frecuente, se modela el tiempo como
variable continua. Es el caso de Novales y Sebastián (1999) y de Sala-iMartín (2000). Nosotros, siguiendo a Urrutia (1996), supondremos que
el tiempo es una variable discreta por dos razones: el álgebra es menos
complicada y, además, la simulación numérica por ordenador resulta
más sencilla.
PV
2. Por simplicidad, supondremos formas funcionales específicas muy sencillas tanto para la función de utilidad como para la función de producción.
U
Referencias:
Novales y Sebastián (1999), Análisis Macroeconómico II, Ed. Marcial
Pons, Cap. 8, Sec. 8.4
Sala-i-Martín, X. (2000), Apuntes de Crecimiento Económico, 2a Ed., Antoni Bosch, Cap. 3.
Urrutia, C. (1996), Notas sobre crecimiento y ciclos económicos, IladesGeorgetown University (mimeo), Cap. 3
4
1.1.
Las familias
Vamos a considerar el problema a maximizar de una familia tipo. En este
modelo sencillo, todas las familias serán iguales y crecerán a la misma tasa,
por lo que de alguna manera al resolver el problema de una familia, estamos
resolviendo el problema de todas las familias de una economía.
Función objetivo
∞
X
β t Lt u(ct ),
(1)
U=
t=0
-E
H
U
donde 0 < β < 1 es el factor de descuento subjetivo, Lt es el tamaño de
la familia en el periodo t, u es la utilidad de cada individuo de la familia
que depende de ct el consumo (per cápita) de cada individuo de la familia
en el periodo t. Cada individuo ofrece una unidad de trabajo por periodo,
y además hay pleno empleo, luego Lt denota tanto tamaño familiar como
cantidad de trabajo que ofrece una familia determinada en el periodo t. Se
trata de familias dinásticas que incluyen no sólo a los miembros actualmente
vivos, sino también a todos sus descendientes futuros (por tanto, les consideramos como si vivieran infinitos periodos, aunque ésto sea a través de sus
descendientes).
El tamaño de la familia crece a una tasa exógena n > 0, luego
Lt = (1 + n)Lt−1 = L0 (1 + n)t ,
PV
(2)
U
donde L0 es el tamaño de la familia en el periodo t = 0.
Por simplicidad suponemos que u(ct ) = ln ct , esto es, una función de
utilidad logarítmica y que, además, la población en el periodo t = 0 es 1, esto
es L0 ≡ 1, con lo cual Lt = (1 + n)t .
Por tanto, la función objetivo de la familia es
U=
∞
X
t
t
β (1 + n) ln ct =
t=0
∞
X
t
[β(1 + n)] ln ct =
t=0
∞
X
t
β̂ ln ct ,
(3)
t=0
donde β̂ ≡ β(1 + n).1
Restricción presupuestaria
Denotando por Bt el valor de los activos de la familia en el periodo t como
Bt , la restricción presupuestaria dinámica para el período t está dada por
Bt+1 − Bt = Renta t − Ct ,
1
(4)
Se puede demostrar que para que el problema esté bien definido es necesario que β̂ < 1.
5
para B0 > 0 dado: la variación de la riqueza (el ahorro) de la familia es igual
a la renta de la familia Renta t menos el consumo de ésta Ct .
La renta del periodo t Renta t es igual a las rentas de capital más las rentas
de trabajo. Las rentas de capital son iguales a Bt rt , donde rt es el tipo de
interés del periodo t. Las rentas de trabajo son Lt wt donde wt es el salario
por unidad de trabajo. Por tanto, Renta t = Bt rt + Lt wt . Sustituyendo en la
ecuación anterior, la restricción presupuestaria dinámica para el periodo t es
igual a
Bt+1 − Bt = rt Bt + Lt wt − Ct , t = 0, 1, 2, ...
y, reordenando términos,
(5)
H
U
Bt+1 = Bt (1 + rt ) + Lt wt − Ct , t = 0, 1, 2, ...
Podemos expresarla en términos per cápita (o por trabajador) dividiendo
los dos miembros por Lt :
Bt
Lt
Ct
Bt+1 Lt (1 + n)
=
(1 + rt ) + wt −
×
⇔
Lt
Lt+1
Lt
Lt
Lt
| {z }
=1
PV
-E
Bt+1
Ct
Bt
(1 + n) =
(1 + rt ) + wt − .
(6)
Lt+1
Lt
Lt
Denotando Bt+1 /Lt+1 = bt+1 , Bt /Lt = bt y Ct /Lt = ct , esto es, la riqueza
per cápita en t + 1 y en t, y el consumo per cápita en t, respectivamente, la
restricción presupuestaria dinámica para el periodo t es igual a
⇔
bt+1 (1 + n) = bt (1 + rt ) + wt − ct , t = 0, 1, 2, ...
(7)
para b0 > 0 dado.
U
El problema de las familias
Las familias tienen que encontrar la senda de consumo ct y de riqueza bt
per cápita que maximiza la utilidad de toda la familia dinástica, satisfaciendo
la restricción presupuestaria para cada periodo. Formalmente,
∞
X
t
máx U =
β̂ ln ct
(8)
{ct ,bt }
sujeto a
t=0

b0 > 0




b1 (1 + n) = b0 (1 + r0 ) + w0 − c0 ,



b2 (1 + n) = b1 (1 + r1 ) + w1 − c1 ,
...




 bt+1 (1 + n) = bt (1 + rt ) + wt − ct ,


...
6
y para {rt , wt }t=∞
t=0 dados.
Nota técnica 1: Es necesario suponer que las familias, al extinguirse en
el infinito, dejan una riqueza no negativa. Demostración en el apéndice.
Tendríamos, en consecuencia, infinitas restricciones presupuestarias, y a
cada una de ellas tendríamos asociado un multiplicador de Lagrange λt .
El anterior problema lo podemos resolver por medio del siguiente lagrangiano:
L=
∞
X
t=0
t
β̂ ln ct −
∞
X
t=0
λt [bt+1 (1 + n) − bt (1 + rt ) − wt + ct ] .
(9)
H
U
Las condiciones necesarias de primer orden son:
i) con respecto al consumo:
t1
∂L
= β̂ − λt = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂ct
ct
-E
ii) con respecto a la riqueza:
∂L
= −λt (1 + n) + λt+1 (1 + rt+1 ) = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂bt+1
(10)
(11)
PV
iii) con respecto a la restricción presupuestaria:
∂L
= bt+1 (1 + n) − bt (1 + rt ) − wt + ct = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂λt
(12)
U
iv) condición adicional:
lı́m λt bt+1 = 0.
t→∞
(13)
La última condición se denomina condición de transversalidad.2
Nota técnica 2: La condición de transversalidad (TVC) - Apéndice.
De la condición (10) se tiene
β̂
t
t+1 1
1
= λt ⇒ β̂
= λt+1 .
ct
ct+1
2
Se puede demostrar que las condiciones necesarias de segundo orden también se satisfacen y que, por tanto, las condiciones necesarias de primer orden son suficientes para
caracterizar las trayectorias de bt y ct que resuelven el problema de las familias.
7
Despejando de la ecuación anterior λt y λt+1 y sustituyendo en (11), se tiene
−β̂
t
t+1 1
1
(1 + n) + β̂
(1 + rt+1 ) = 0 ⇒
ct
ct+1
⇒
1
β̂
(1 + n) =
(1 + rt+1 ),
ct
ct+1
(14)
que es la ecuación de Euler para el consumo.
1.2.
Las empresas
-E
H
U
El problema de las empresas
Suponemos que existe una única empresa competitiva representativa, y
cuyo objetivo en cada periodo t es la maximización del beneficio π t para una
tecnología de producción dada.
Suponiendo que el salario por unidad es wt , que el coste de uso del capital
es el tipo de interés real rt (el coste de alquiler) más la tasa de depreciación
constante 0 < δ < 1 del capital físico, y que la tecnología de producción puede
ser representada por una función de producción Cobb-Douglas con rendimien,
tos constantes a escala en capital físico Kt y trabajo Lt , Yt = AKtα L1−α
t
A > 0, 0 < α < 1, el problema puede plantearse formalmente como
PV
máx π t = Yt − wt Lt − (rt + δ)Kt
{Kt ,Lt }
(15)
s.a Yt = AKtα L1−α
,
t
U
y para {rt , wt }t=∞
t=0 dados.
Sustituyendo la restricción en la función objetivo
máx π t = AKtα L1−α
− wt Lt − (rt + δ)Kt .
t
{Kt ,Lt }
(16)
Las condiciones necesarias de primer orden con respecto a Kt y Lt son
i) con respecto a Kt
∂π t
= αAKtα−1 L1−α
− (rt + δ) = 0,
t
∂Kt
(17)
ii) con respecto a Lt
∂π t
= (1 − α)AKtα L−α
− wt = 0.
t
∂Lt
8
(18)
Equivalentemente, denotando por kt el cociente entre capital físico y trabajo, kt ≡ Kt /Lt , esto es, el capital por trabajador o capital per cápita
(recuérdese que estamos suponiendo que cada individuo ofrece una unidad
de trabajo por periodo y que hay pleno empleo, luego población y empleo coinciden), las anteriores ecuaciones pueden reescribirse, respectivamente, como
= rt + δ ⇒ αA
αAKtα−1 L1−α
t
Ktα−1
= αAktα−1 = rt + δ ⇒
Lα−1
t
⇒ αAktα−1 = rt + δ,
(19)
− α)Aktα = wt ⇒
H
U
(1 − α)AKtα L−α
=
t
Ktα
wt ⇒ (1 − α)A α = (1
Lt
α
⇒ (1 − α)Akt = wt .
(20)
-E
Las ecuaciones (19) y (20) representan las ecuaciones de los precios de los
factores (de producción).3
Igualmente, podemos expresar la producción per cápita (o por trabajador)
yt ≡ Yt /Lt como una función del capital per cápita (o por trabajador) kt ≡
Kt /Lt . Nótese que Lt = Lαt L1−α
. Dividiendo los dos miembros de la función
t
α 1−α
de producción Yt = AKt Lt por Lt , se tiene
PV
Yt = AKtα L1−α
⇒
t
K α L1−α
Yt
= A αt t1−α ⇒
Lt
Lt Lt
⇒ yt = Aktα ,
(21)
que representa la función de producción en términos intensivos.
El equilibrio competitivo
U
1.3.
Hemos resuelto por separado i) el problema de las familias, y ii) el
problema de las empresas. Por último, estudiamos el equilibrio competitivo. Para esta economía, éste se define como sendas secuencias de cantidades
{kt , yt , ct }t=∞
t=0 (capital, producto y consumo per cápita) y de precios de los
factores {wt , rt }t=∞
t=0 (salario y tipo de interés) tales que:
i) a esos precios, las familias maximizan utilidad [y por tanto se satisfacen
las ecuaciones (10) − (13)];
3
Se puede demostrar que las condiciones necesarias de segundo orden también se satisfacen y que, por tanto, las condiciones necesarias de primer orden son suficientes para
caracterizar las trayectorias de Kt y Lt que resuelven el problema de las empresas.
9
-E
H
U
ii) a esos precios, las empresas maximizan beneficios [y por tanto se satisfacen las ecuaciones (19) y (20)]; y, además,
iii) a esos precios, los mercados de vacían: existe equilibrio en todos los
mercados (son compatibles las voluntades de familias y empresas)4 .
- equilibrio en el mercado de trabajo (estamos denotando igual a la cantidad de trabajo ofrecida por las familias, y la cantidad de trabajo demandada por las empresas, Lt ); alternativamente, el texto de Novales y Sebastián
(1999) denota Lt a la oferta de trabajo de las familias, Nt la demanda de
trabajo por parte de las empresas, y en equilibro impone que Lt = Nt .
- equilibrio en el mercado de activos: la demanda de activos por parte de
las familias Bt es justamente igual a los activos existentes en la economía:
el capital Kt instalado en las empresas (Bt = Kt , o en términos per cápita,
bt = kt ). Dicho de otro modo, el capital físico es el único activo del que
disponen las familias para acumular ahorro y mantener riqueza; y
- equilibrio en el mercado de bienes: la producción Yt es igual al gasto
agregado que, en una economía cerrada y sin sector público, es igual a la suma
de inversión bruta It ≡ Kt+1 −Kt +δKt (donde Kt+1 −Kt es la inversión neta
4
PV
Recordamos (de Micro III) cómo obteníamos el equilibrio competitivo en una economía
en la que existieran dos (tipos) de individuos y una empresa:
Equilibrio competitivo.
- para el indidviduo 1
máx U1 (X1 , Y1 )
X1 ,Y1
s.a PX X1 + PY Y1 ≤ PX X̄1 + PY Ȳ1
U
cuya solución será las demandas de X y de Y del individuo 1 en función de los precios:
X1d (PX /PY ), Y1d (PX /PY ).
- análogamente, para el indidviduo 2
máx U2 (X2 , Y2 )
X2 ,Y2
s.a PX X2 + PY Y2 ≤ PX X̄2 + PY Ȳ2
cuya solución será las demandas de X y de Y del individuo 2 en función de los precios:
X2d (PX /PY ), Y2d (PX /PY ).
- equilibrio: el mercado de X (y el de Y ) se equilibran
X1d (PX /PY ) + X2d (PX /PY ) = X̄1 + X̄2
Y1d (PX /PY ) + Y2d (PX /PY ) = Ȳ1 + Ȳ2
cuya solución es el equilibrio competitivo: un vector (una asignación) (X1 , Y1 , X2 , Y2 )eq y
también unos precios (relativos) (PX /PY )eq .
En nuestro caso tenemos sólo una clase de consumidores (familias) y, además, empresas
(una empresa representativa) que maximizan beneficios.
10
y δKt es la depreciación del capital físico instalado) más consumo agregado
Ct ≡ Lt ct ; esto es,
Yt = It + Ct ⇔ Yt = Kt+1 − Kt + δKt + Ct .
(22)
Nota técnica 3: Se puede demostrar (apéndice) que si existe equilibrio en
los mercados de activos y trabajo, se satisface la restricción presupuestaria
individual y se satisfacen las ecuaciones de los precios de los factores, entonces
también se tiene equilibrio en el mercado de bienes.
H
U
La condición de equilibrio en el mercado de bienes la expresamos en términos per cápita: dividiendo por Lt los dos miembros de la condición de
equilibrio en el mercado de bienes
Yt = Kt+1 − Kt + δKt + Ct ,
Kt+1 Lt (1 + n) Kt
Kt Ct
Yt
=
+δ
+
×
−
⇒
Lt
Lt
Lt+1
Lt
Lt
Lt
⇒ yt = kt+1 (1 + n) − kt + δkt + ct ,
-E
tenemos
(23)
PV
y expresando la producción per cápita en función del capital per cápita yt ≡
Aktα , ecuación (21), tendremos
Aktα = kt+1 (1 + n) − kt + δkt + ct ,
(24)
U
cuya utilidad veremos más adelante. En palabras, la producción per cápita
Aktα es igual al gasto per cápita: consumo per cápita ct , más inversión bruta
per cápita It /Lt = kt+1 (1 + n) − kt + δkt .
2.
El óptimo social
En este apartado resolvemos el problema del óptimo social: olvidémonos
de mercados y de agentes individuales (familias y empresas) que actúan por su
cuenta), y pensemos en un planificador central omniscente y benevolente cuyo
problema fuera asignar recursos de manera eficiente, esto es, que maximizara
el bienestar de las familias y buscara el óptimo desde el punto de vista social.
El problema que se plantea es cómo encontrar las sucesiones de consumo
y capital físico {ct , kt } que maximizan la utilidad de las familias dinásticas
sujeto a la restricción de recursos de la economía.
11
Formalmente, el problema se plantea como5
máx U =
{ct ,kt }
sujeto a
∞
X
t
β̂ ln ct
(25)
t=0

k0 > 0




Ak0α = k1 (1 + n) − (1 − δ)k0 + c0 ,



Ak1α = k2 (1 + n) − (1 − δ)k1 + c1 ,
...




Aktα = kt+1 (1 + n) − (1 − δ)kt + ct ,



...
H
U
Nota técnica 4: Al igual que con en el equilibrio competitivo, es necesario
suponer que la familia se extingue con una riqueza no negativa (condición
terminal sobre el capital) - Apéndice.
t
β̂ ln ct +
t=0
∞
X
t=0
µt [Aktα − kt+1 (1 + n) + (1 − δ)kt − ct ] .
PV
L=
∞
X
-E
Es decir, tendríamos infinitas restricciones presupuestarias, y a cada una
de ellas tendríamos asociado un multiplicador de Lagrange µt .
El anterior problema lo podemos resolver por medio del siguiente lagrangiano:
(26)
Las condiciones necesarias de primer orden son:
i) con respecto al consumo
U
t1
∂L
= β̂ − µt = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂ct
ct
(27)
ii) con respecto al capital físico
∂L
α−1
= −µt (1 + n) + µt+1 αAkt+1
+ µt+1 (1 − δ) = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂kt+1
(28)
5
Recordamos (de Micro III) para una economía de intercambio (sin producción) de dos
individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y ) el problema del óptimo de Pareto:
Óptimo de Pareto.
máx
X1 ,Y1 ,X2 ,Y2
U1 (X1 , Y1 )
s. a U2 (X2 , Y2 ) ≥ Ū2
X1 + X2 ≤ X̄
Y1 + Y2 ≤ Ȳ
y cuya solución será un vector (una asignación) (X1 , Y1 , X2 , Y2 )opt .
12
iii) restricción de recursos de la economía
∂L
= Aktα − kt+1 (1 + n) + (1 − δ)kt − ct = 0, t = 0, 1, 2, ...
∂µt
(29)
iv) condición de transversalidad
lı́m µt kt+1 = 0.
t→∞
(30)
La última condición se denomina condición de transversalidad.
Nota técnica 5: Condición de transversalidad en el óptimo social - Apéndice
De la condición (27) se tiene
t
t+1 1
1
= µt ⇒ β̂
= µt+1 .
ct
ct+1
H
U
β̂
(31)
Despejando µt y µt+1 en (31) y sustituyendo en (28), se tiene
t
t+1 1
t+1 1
1
α−1
(1 + n) + β̂
αAkt+1
+ β̂
(1 − δ) = 0 .
ct
ct+1
ct+1
-E
−β̂
Sacando factor común a β̂
t
al segundo y tercer términos,
¤
t+1 1 £
1
α−1
(1 + n) + β̂
+ (1 − δ) = 0.
αAkt+1
ct
ct+1
PV
−β̂
t+1 1
ct+1
(32)
Pasando el segundo término al segundo miembro y multiplicando por −1 los
dos miembros,
t
¤
t+1 1 £
1
α−1
(1 + n) = β̂
+ (1 − δ) .
αAkt+1
ct
ct+1
(33)
U
β̂
t
Simplificando β̂ en ambos miembros
¤
1
β̂ £
α−1
(1 + n) =
+ (1 − δ) ,
αAkt+1
ct
ct+1
(34)
que es la ecuación de Euler para el consumo que podemos reescribir como
"
#
α−1
β̂(αAkt+1
+ 1 − δ)
ct+1 =
(35)
ct ,
1+n
y que representa la trayectoria óptima del consumo. No olvidar que también se
satisfacen la ecuación que representa la restricción de recursos de la economía
[(29)] y la condición de transversalidad [(30)].
13
3.
Equilibrio y óptimo
Se trata de comparar la solución del equilibrio competitivo y la solución
del planificador central. Comprobaremos que ambas coinciden y que, por
tanto, el equilibrio competitivo es óptimo y que el óptimo puede obtenerse
de manera descentralizada a través del equilibrio de mercado competitivo.
En suma, se satisfacen los dos teoremas básicos de la economía del bienestar.
[Este punto se trata de manera muy rigurosa en el libro de Novales y Sebastián
(2001).]
3.1.
Equilibrio competitivo
H
U
En efecto, al resolver el equilibrio obteníamos (recordamos)
i) la ecuación de Euler para el consumo [ecuación (14)]:
1
β̂
(1 + n) =
(1 + rt+1 ),
ct
ct+1
-E
ii) el equilibrio en el mercado de bienes [ecuación (24)] :
Aktα = kt+1 (1 + n) − kt + δkt + ct ,
PV
iii) las ecuaciones de precios de los factores [ecuaciones (19) y (20)]:
αAktα−1 = rt + δ,
(1 − α)Aktα = wt .
U
De la ecuación para el tipo de interés (19) se tiene que en t + 1
α−1
= rt+1 + δ.
αAkt+1
α−1
Despejando rt+1 = αAkt+1
− δ y sustituyendo en la ecuación de Euler para
el consumo, nos queda
1
β̂
α−1
(1 + n) =
(1 + αAkt+1
− δ),
ct
ct+1
y despejando ct+1 ,
ct+1
"
#
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
=
ct .
1+n
14
(36)
En resumen, las dos ecuaciones (24) y (36)
Aktα = kt+1 (1 + n) − kt + δkt + ct ,
"
#
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct+1 =
ct ,
1+n
junto con la correspondiente condición de transversalidad
lı́m λt bt+1 = 0
t→∞
(37)
3.2.
Óptimo
H
U
(donde bt = kt ) y la condición sobre la riqueza por trabajador inicial b0 =
k0 > 0, caracterizan el equilibrio competitivo dinámico para esta economía a
falta tan sólo de los precios wt y rt . Nótese, sin embargo, que es inmediato
obtener los precios wt y rt una vez que tenemos kt mediante las ecuaciones
de precios (19) y (20).
-E
Y al resolver el óptimo teníamos (recordamos)
i) restricción de recursos para la economía [ecuación (29)]
PV
Aktα = kt+1 (1 + n) − (1 − δ)kt + ct ,
U
ii) ecuación de Euler para el consumo [ecuación (35)]
#
"
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct+1 =
ct ,
1+n
que junto con la correspondiente condición de transversalidad [ecuación (30)]
lı́m µt kt+1 = 0.
t→∞
y la condición sobre el capital por trabajador inicial k0 > 0 caracterizan el
óptimo para esta economía.
Luego las ecuaciones que caracterizan la asignación (las cantidades) del
equilibrio competitivo y el óptimo social coinciden: comparar (24) y (29), y
(35) y (36).
Nota técnica 6: Las condiciones de transversalidad del equilibrio competitivo y del óptimo social también coinciden (apéndice)
15
Hemos verificado, pues, que en esta economía el equilibrio competitivo (la
solución descentralizada al problema de la asignación de recursos) es óptimo,
y el óptimo (la solución centralizada al problema de la asignación de recursos)
puede obtenerse como un equilibrio competitivo (de manera descentralizada).
Se satisfacen, por tanto, los dos teoremas fundamentales de la economía del
bienestar.
4.
Estado estacionario
4.1.
Concepto y obtención
PV
-E
H
U
Dado el resultado anterior, vamos a trabajar sólo con las ecuaciones que
dan respuesta al problema del planificador central (más sencillas que las del
equilibrio competitivo pues éstas, además de las cantidades de equilibrio, nos
proporcionan también los precios de equilibrio).
De la trayectoria de capital y consumo por trabajador {ct , kt }∞
t=0 caracterizada por las ecuaciones (29) y (35), además de la condición de transversalidad
(30), supongamos que nos quedáramos con una parte sólo: aquélla en la que
las variables per cápita, yt además de ct y kt , crecen a una tasa, la misma
para las tres variables, constante. Esto define, precisamente, el estado estacionario: que la tasa de crecimiento para todas las variables per cápita es
constante y, además, la misma para todas ellas
kt+1 − kt
ct+1 − ct
yt+1 − yt
=
=
= g.
yt
kt
ct
U
En este modelo, tal y como está planteado, se puede demostrar que tal
tasa de crecimiento es nula, esto es, g = 0 o, lo que es lo mismo, que en el
estado estacionario las variables per cápita permanecen constantes
kt = k∗ , yt = y∗ , y ct = c∗ , para todo t.
Nota técnica 7: Tasa de crecimiento cero en el estado estacionario para
las variables per cápita (apéndice)
¿Cómo son tales constantes k∗ , y∗ y c∗ ?
De la ecuación (35) se tiene
"
#
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct+1 =
ct ⇒
1+n
16
sustituyendo ct+1 = ct = c∗ y kt+1 = k∗ ,
#
"
β̂(1 + αAk∗α−1 − δ)
c∗ ⇒
⇒ c∗ =
1+n
1 + n = β̂(1 + αAk∗α−1 − δ) ⇒
⇒
1+n
− 1 + δ = αAk∗α−1 ⇒
β̂
⇒
k∗α−1
=
Elevando los dos miembros a
1
1−α
αA
αA
− (1 − δ)
1+n
β̂
⇒
nos queda
"
1+n
β̂
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
-E
1
¡ 1−α ¢ 1−α
=
k∗
− (1 − δ)
H
U
k∗1−α =
1+n
β̂
⇒
1−α
1
teniendo en cuenta que (k∗1−α ) 1−α = k∗1−α = k∗ ,
1+n
β̂
PV
⇒ k∗ =
"
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
.
U
Recordando que β̂ ≡ β(1 + n), tenemos por último que
k∗ =
"
1
β
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
>0
(38)
que denota el capital por trabajador en el estado estacionario.
De la restricción de recursos de la economía (29) Aktα = kt+1 (1 + n) −
(1 − δ)kt + ct se tiene que, en el estado estacionario, sustituyendo kt+1 y kt
por k∗ ,
Ak∗α = k∗ (1 + n) − (1 − δ)k∗ + c∗
= k∗ (1 + n − 1 + δ) + c∗ ⇒
⇒ c∗ = Ak∗α − k∗ (n + δ),
17
(39)
esto es, sustituyendo el k∗ por su valor de (38)
c∗ = A
"
1
β
αA
− (1 − δ)
α
# 1−α
−
"
1
β
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
(n + δ),
(40)
el consumo per cápita en el estado estacionario.
4.2.
H
U
Por último, a partir de la función de producción en términos intensivos
yt = Aktα , sustituyendo kt por k∗ , se tiene la renta per cápita en el estado
estacionario
α
"
# 1−α
αA
.
(41)
y∗ = Ak∗α = A 1
− (1 − δ)
β
Análisis del estado estacionario
-E
Nos podemos preguntar: ¿de qué y cómo depende el estado estacionario
de esta economía y por qué?
Si nos fijamos, notamos que k∗ , c∗ e y∗ son función de los parámetros del
modelo α, A, n, β y δ. Tomando el caso, por ejemplo, de k∗ ,
k∗ = k∗ (α, A, n, β, δ),
PV
podemos preguntarnos, por ejemplo, acerca de qué efectos tienen las variaciones en el factor de descuento subjetivo β. Formalmente
∂k∗
=?,
∂β
U
debiendo ser capaces de
i) resolver analíticamente esta derivada parcial,
ii) obtener su signo, y
iii) justificar (interpretar) éste.
También podríamos preguntarnos acerca de los efectos de cambios en otros
parámetros como δ o n, esto es
∂k∗
∂k∗
=?,
=?.
∂δ
∂n
E, igualmente, tendríamos y∗ = y∗ (α, A, n, β, δ) y c∗ = c∗ (α, A, n, β, δ),
∗
∗
o ∂c
, por ejemplo.
pudiendo preguntarnos por ∂y
∂β
∂δ
Analicemos, en primer lugar, efectos de cambios en el factor de descuento
β.
18
•Factor de descuento β. A partir de la expresión para k∗ en (38),
derivando con respecto a β, se tiene
k∗ =
1
∂k∗
=
∂β
1−α
"
|
1
β
"
αA
− (1 − δ)
{z
1
β
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
−1
}
k∗−1
×h
1
# 1−α
(−αA)
1
β
(−1)
i2 × 2 > 0.
β
− (1 − δ)
1
β
αA
− (1 − δ)
α
# 1−α
−
"
1
β
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
(n + δ),
PV
c∗ = A
"
-E
H
U
En palabras, un aumento del tipo descuento β incrementa el capital por trabajador en el estado estacionario k∗ : cuanto mayor es β, más valoran las
familias el consumo futuro; dado que el horizonte de vida es infinito, las familias responderán consumiendo menos, ahorrando y acumulando más capital
por trabajador para en el futuro (estado estacionario) poder disponer de una
mayor renta por trabajador y un mayor consumo por trabajador.
El efecto sobre el consumo per cápita c∗ lo podemos obtener a partir de
la expresión para c∗ en la ecuación (40),
y derivando con respecto a β.
Pero lo podemos hacer más fácil a partir de la expresión para c∗ en (39)
c∗ = Ak∗α − k∗ (n + δ),
U
y aplicando la regla de la cadena de la diferenciación.6 Aparentemente c∗ no
depende de β; pero c∗ depende de k∗ , y k∗ sí depende de β (lo acabamos de
6
Recordamos: si tenemos una función f que depende de y y de x, y a su vez, x es una
función g de u y v, e y también es una función h de u y v,
f = [g(u, v), h(u, v)].
| {z } | {z }
x
y
Entonces, si estuviéramos interesados en conocer la derivada de f con respecto a u, tendríamos
∂f
∂f ∂g
∂f ∂h
=
+
.
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
O si f es función de x y de y, y a su vez y es función g de x,
f = [x, g(x)].
|{z}
y
19
ver). Luego
∂c∗
∂c∗ ∂k∗
=
=
×
∂β
∂k∗
∂β
∂k∗
∂k∗
− (n + δ)
= Aαk∗α−1
∂β
∂β
£
¤
∂k∗
.
= Aαk∗α−1 − (n + δ) ×
∂β
Parece que no sabemos el signo del corchete. Sin embargo, sustituyendo
k∗ por el valor que hemos obtenido en (38)
1
β
αA
− (1 − δ)
1
# 1−α
,
H
U
k∗ =
"
y operando un poco, tenemos
·
¸
∂k∗
∂c∗
1
> 0.
=
− (1 + n) ×
∂β
β
∂β
|{z}
{z
}
|
>0
-E
>0
U
PV
Ejercicio: obtener la expresión anterior y justificar el signo positivo.
Es decir, ante un aumento del factor de descuento β, el consumo per cápita
en el estado estacionario aumenta. ¿Por qué? Cuanto mayor es β, más valoran
las familias el consumo futuro; dado que el horizonte de vida es infinito,
las familias responderán consumiendo menos, ahorrando y acumulando más
capital por trabajador para en el futuro (estado estacionario) poder disponer
de una mayor renta por trabajador y un mayor consumo por trabajador.
El efecto de cambios en β sobre la renta per cápita en el estado estacionario
y∗ lo podemos hallar de la ecuación (41) derivando con respecto a β. Al igual
que en el caso anterior, resulta mucho más fácil si empleamos la regla de la
cadena. Así, tenemos que y∗ = Ak∗α , y sabemos cómo afectan cambios en β a
k∗ . Luego
∂y∗
dy∗ ∂k∗
=
=
×
∂β
dk∗
∂β
∂k∗
.
= Aαk∗α−1 ×
∂β
Entonces tendríamos
df
∂f
∂f dg
=
+
.
dx
∂x ∂y dx
20
∂k∗
∂β
Como A, α, k∗α−1 y
son positivos, entonces
∂y∗
> 0.
∂β
H
U
¿Por qué? Cuanto mayor es β, más valoran las familias el consumo futuro; dado que el horizonte de vida es infinito, las familias responderán consumiendo
menos, ahorrando y acumulando más capital por trabajador para en el futuro
(estado estacionario) poder disponer de una mayor renta por trabajador y un
mayor consumo por trabajador.
•Productividad total de los factores A. Siguiendo el mismo procedimiento que hemos visto que acabamos de ver, obtener e interpretar los
siguientes resultados:
∂k∗
1
=
× k∗−1 ×
∂A
1−α
1
β
α
> 0.
− (1 − δ)
-E
¸
·
∂k∗
1
∂c∗
α
= k∗ +
− (1 + n) ×
> 0.
∂A
β
∂A
PV
∂y∗
∂k∗
= k∗α + Aαk∗α−1 ×
> 0.
∂A
∂A
•Tasa de depreciación del capital físico δ. Siguiendo el mismo procedimiento, obtener e interpretar los siguientes resultados:
∂k∗
(−αA)
1
=
× k∗−1 × h
i2 < 0.
∂δ
1−α
1
− (1 − δ)
β
U
·
¸
∂k∗
∂c∗
1
= −k∗ +
− (1 + n) ×
< 0.
∂δ
β
∂δ
5.
∂k∗
∂y∗
= Aαk∗α−1 ×
< 0.
∂A
∂δ
Dinámica de transición al estado estacionario
Pregunta: ¿convergerá esta economía al estado estacionario?
Nos podemos preguntar: para una situación de partida dada k0 > 0,
¿convergerán las secuencias de consumo {ct }, de capital {kt }, y de renta {yt }
al estado estacionario c∗ , k∗ , y∗ ? Esto es,
¿ lı́m ct = c∗ , lı́m kt = k∗ , lı́m yt = y∗ ?
t→∞
t→∞
t→∞
21
La respuesta es sí: se puede demostrar que para cada k0 > 0 existe,
y además es único, un c0 > 0 tal que lı́mt→∞ ct = c∗ , lı́mt→∞ kt = k∗ y
lı́mt→∞ yt = y∗ .
Tomemos de nuevo las ecuaciones (29) y (35):
Aktα = kt+1 (1 + n) − (1 − δ)kt + ct ,
#
"
α−1
− δ)
β̂(1 + αAkt+1
ct+1 =
ct .
1+n
U
PV
-E
H
U
Dado un par (k0 , c0 ), sustituyendo en la ecuación (29) obtendríamos k1 .
Sustituyendo k1 en la ecuación (35) obtenemos c1 : ya tenemos el par (k1 , c1 ).
Sustituyendo éste en la ecuación (29) obtenemos k2 . Y sustituyendo k2 y c1 en
la ecuación (35) obtenemos c2 : ya tenemos el par (k2 , c2 ). Y así sucesivamente
tendríamos (k3 , c3 ), (k4 , c4 ), ...
¿Cómo sabemos que si iteramos hasta el infinito llegaremos al estado
estacionario (k∗ , c∗ )? Tal y como lo hemos hecho hasta ahora, no tenemos
ninguna garantía. Es más: la probabilidad de que esto ocurra es 0. ¿Por qué?
Pues porque el consumo del primer periodo c0 lo hemos elegido al azar (k0 > 0
sí lo conocemos, es un dato del problema). Si hubiéramos elegido otro c0 , la
secuencia {kt , ct } habría sido otra y tampoco, con probabilidad 1, llegaríamos
al estado estacionario (k∗ , c∗ ). ¿Qué está ocurriendo? Nos estamos olvidando
de la tercera condición que [junto con (29) y (35)] nos caracteriza la dinámica
de kt y ct a lo largo de la trayectoria óptima: la ecuación (30), la condición
de transversalidad, que en el apéndice se demuestra que puede reescribirse
como
t−1
Y
1
t
lı́m (1 + n)
kt+1 = 0.
α−1
t→∞
αAks+1 + 1 − δ
s=0
¿Cómo aplicamos la condición anterior? Tendríamos que ir probando diferentes c0 ’s hasta dar con ella, una que satisficiera la condición anterior. Dicho
de otro modo: no sabemos.
Sin embargo, si transformamos el modelo ligeramente, sí sabemos cómo
obtener para un k0 > 0 dado aquel único c0 > 0 que hace que la sucesión
{kt , ct } converja a {k∗ , c∗ }.
5.1.
Aproximación lineal
El ejercicio consiste en tomar una aproximación lineal del verdadero modelo de las ecuaciones (29) y (35) en torno al estado estacionario. Recordamos
22
las ecuaciones (29) y (35), respectivamente:
Aktα = kt+1 (1 + n) − (1 − δ)kt + ct ,
#
"
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct .
ct+1 =
1+n
Si despejáramos kt+1 de (29) como función de kt y ct y lo sustituyéramos
en (35) tendríamos ct+1 como una función de kt y ct . Es decir tendríamos 2
ecuaciones NO LINEALES (2 monstruos) del tipo
kt+1 = f (kt , ct ),
H
U
ct+1 = g(kt , ct ).
Se puede demostrar que la aproximación lineal tales ecuaciones en el entorno del estado estacionario caracterizado k∗ y c∗ en (38) y (40) es igual
a
-E
kt+1 = a1 + a2 kt + a3 ct ,
ct+1 = b1 + b2 kt + b3 ct ,
(42)
(43)
U
PV
donde sabemos el valor que toma k0 > 0, y donde las constantes se definen
como
µ
¶
1
c∗
+
,
a1 ≡ k∗ 1 −
1+n
β̂
1
a2 ≡
,
β̂
−1
a3 ≡
,
1+n
b1 ≡ c∗ β̂Φ − k∗ Φ(1 + n),
b2 ≡ Φ(1 + n), y
b3 ≡ 1 − β̂Φ,
donde Φ se define como
Φ≡
c∗ Aα(α − 1)k∗α−2
.
(1 + n)2
Nota técnica 8: Algo más sobre cómo llegar a esta aproximación lineal
(apéndice)
23
Además, al resolver el sistema anterior (42) y (43) [un sistema de dos
ecuaciones en diferencias lineales de primer grado] se obtienen dos candidatos posibles para c0 : uno de ellos que hace que se satisfaga la condición de
transversalidad y que, por tanto, la sucesión de valores {kt , ct } converja el estado estacionario {k∗ , c∗ }, y otro que no satisface la TVC. Puede demostrarse
que los dos candidatos posibles a c0 se encuentran dados por
c0 = c∗ + B1 , y
c0 = c∗ + B2 ,
donde
B2 ≡
1
β̂
µ
1
β̂
r³
+ 1 − β̂Φ +
PV
λ1 ≡
1
β̂
− λ1 (k0 − k∗ ) (1 + n),
¶
− λ2 (k0 − k∗ ) (1 + n),
λ2 ≡
´2
+ 1 − β̂Φ −
-E
donde λ1 y λ2 son
¶
H
U
B1 ≡
µ
1
β̂
+ 1 − β̂Φ −
1
β̂
2
r³
1
β̂
2
4
β̂
´2
+ 1 − β̂Φ −
, y
4
β̂
.
U
Ahora estamos en condiciones de generar dos series {kt , ct } que SÍ convergerán al estado estacionario k∗ , c∗ . ¿Cómo?
5.2.
Simulación de las series de kt , ct e yt
Para simular las series de kt , ct e yt el procedimiento es el siguiente:
1. Dar valores a los parámetros estructurales del modelo: A, α, δ, β, n y
a k0 .
2. Obtener el parámetro β̂.
3. Obtener los estados estacionarios de k∗ , c∗ e y∗ .
4. Obtener el parámetro Φ.
24
5. Obtener los parámetros λ1 y λ2 . Para ello puede ser conveniente definir
dos parámetros auxiliares:
aux1 =
aux2 =
de manera que
1
β̂
s
+ 1 − β̂Φ, y
(aux1 )2 −
4
β̂
,
aux1 + aux2
, y
2
aux1 − aux2
λ1 =
.
2
λ1 =
H
U
6. Obtener los parámetros B1 y B2 .
7. Obtener los dos candidatos a c0 .
8. Obtener los coeficientes a1 , a2 , a3 , b1 , b2 y b3 .
PV
-E
9. Para k0 y uno de los dos valores de c0 obtener k1 y c1 utilizando la
aproximación lineal de las ecuaciones (42) y (43). Además, dada la
función de producción en términos intensivos yt = Aktα , obtenemos y0
e y1 , las rentas per cápita de los periodos 0 y 1.
10. Utilizando las mismas ecuaciones (42) y (43), y a partir de k1 y c1 ,
obtener k2 y c2 , además de y2 . Y así sucesivamente (k3 , c3 , y3 ), (k4 , c4 , y4 ),
... hasta kT , cT e yT donde T es el número de iteraciones que se precisen.
U
11. Repetir los dos pasos anteriores para el otro candidato a c0 .
12. Comprobar cuál de las dos series converge al estado estacionario.
13. Representar las series {kt , ct , yt }t=T
t=0 .
¿Cómo hacemos todos los cálculos anteriores? Hay dos maneras (legales)
posibles. Una muy fácil pero muy ineficiente: papel, lápiz, calculadora y paciencia; la menos aconsejable. Otra, con un posible coste de entrada, pero
mucho más retadora y a la larga eficiente: con la ayuda de un ordenador.
Una simple hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) nos servirá para poder hacer todos los cálculos y simular y representar las series. Además, una vez
que construimos el programa, el mismo nos servirá para cualquier conjunto
paramétrico que se nos ocurra.
25
5.3.
Instrucciones para el trabajo de simulación
Para que el trabajo de simulación sea evaluado favorablemente deberá
cumplir los siguientes requisitos:
1. Deberá ser mecanografiado a doble espacio.
2. El número máximo de coautores será de 2.
H
U
3. Quienes estén interesados en hacer el trabajo deberán ponerse en contacto con el profesor antes del final del período de clases. El trabajo
deberá entregarse personalmente al profesor a más tardar el día del
examen final de la asignatura. Además del texto escrito, también deberá entregarse el archivo electrónico con el que se hayan efectuado
los cálculos, preferiblemente enviándoselo por correo electrónico como
documento anexo al profesor de la asignatura. El nombre del archivo
deberá indicar el número de DNI del primero de los coautores.
-E
4. Las referencias bibliográficas (suficientes, aunque la lista podría ser
interminable) son las que siguen:
PV
a) Novales, A. y C. Sebastián (1999), Análisis Macroeconómico, Volumen II, Ed. Marcial Pons, Madrid: Marcial Pons, Cap. 8, Sec.
4.
b) Romer, D. (2002), Macroeconomía Avanzada 2a Edición, Madrid:
McGraw-Hill, Cap. 2. [la más difícil]
U
c) Sala-i-Martin, X. (2000), Apuntes de Crecimiento Económico 2a
Edición, Barcelona: Antoni Bosch Editor, Cap. 3.
5. Tanto para la confección del documento como para la elaboración de
los cálculos, en el Centro de Cálculo están disponibles un tratamiento
de textos: Word y una hoja de cálculo: Excel.
6. La estructura del trabajo deberá seguir el siguiente esquema
a) La portada deberá incluir el título MODELO DE CRECIMIENTO EXÓGENO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS. UN EJERCICIO DE SIMULACIÓN, los datos del (de los) autor(es) [nombre
y dos apellidos, número de DNI], y el nombre del profesor.
26
b) Una sección de Introducción donde se describa en qué consiste
el trabajo (cuestiones analizadas, resultados, método utilizado y
esquema del mismo)
c) Una sección donde se detallen los datos (los valores de los parámetros del modelo)
H
U
d) Una sección donde se detallen los resultados: estado estacionario
y las dos dinámicas de transición para un número de periodos
suficiente que permita a las variables relevantes del modelo ct ,
kt , yt una distancia al estado estacionario inferior a 0,0001. No
es suficiente con presentar las tablas y los gráficos de las series
de un modo “mudo”. Es imprescindible, como mínimo, comentar
el trabajo: describir el modelo de crecimiento de Ramsey-CassKoopmans, y comentar cómo se han obtenido los resultados y el
significado de éstos.
-E
e) Por supuesto, la redacción ha de ser original, quiere decirse, en
ningún caso se tratará de una mera copia de las fuentes originales
consultadas.
PV
f ) Una sección con resultados adicionales a elección de los autores y
bajo su propia iniciativa siempre será bienvenida.
g) Una sección de conclusiones.
U
h) Una sección de bibliografía consultada.
27
6.
Apéndice: Notas técnicas
Nota técnica 1: Restricción sobre riqueza terminal de los individuos:
H
U
Es importante suponer que la familia, en el infinito, se extingue con una
riqueza no negativa. Esto implica lo siguiente:
Si el horizonte fuera finito (la familia terminara en el periodo T ), tendríamos
BT ≥ 0 ⇔ (1 + n)T bT ≥ 0.
-E
En términos de valor presente descontado, para un tipo de interés constante
r, tendríamos
¶T
µ
(1 + n)T
1+n
bT ≥ 0 ⇔
bT ≥ 0.
(1 + r)T
1+r
Si el tipo de interés fuera variable para cada periodo, tendríamos
t=T
Y−1 µ 1 + n ¶
bT ≥ 0.
1
+
r
t
t=0
U
PV
Y si además, por último, [y éste es nuestro caso], el horizonte fuera infinito,
tendríamos
t=T
Y−1 µ 1 + n ¶t
lı́m
bT ≥ 0.
T →∞
1+r
t=0
Nota técnica 2: La condición de transversalidad:
¿De dónde viene? Supongamos que el horizonte fuera finito, con T periodos. El problema sería
T
X
t
β̂ ln ct
máx U =
{ct ,bt }
t=0
sujeto a

 b0 > 0,
bt+1 (1 + n) = bt (1 + rt ) + wt − ct , t = 0, 1, 2, ..., T

bT +1 ≥ 0.
La última de las restricciones bT +1 ≥ 0 indica que, en el último periodo la
riqueza (per cápita) familiar no puede ser negativa, esto es, que la familia no
28
puede extinguirse endeudada. En este caso, el lagrangiano correspondiente
sería
L=
T
X
t=0
t
β̂ ln ct −
T
X
t=0
λt [bt+1 (1 + n) − bt (1 + rt ) − wt + ct ] + γ T +1 bT +1 ,
donde γ T +1 es el multiplicador asociado a la restricción bT +1 ≥ 0.
Las condiciones necesarias de primer orden con respecto a bT +1 serían
∂L
= −λT (1 + n) + γ T +1 = 0, γ T +1 ≥ 0, bT +1 ≥ 0, y γ T +1 bT +1 = 0.
∂bT +1
PV
-E
H
U
Las tres últimas condiciones son las condiciones de holgura de Kuhn-Tucker.
De la primera condición, se tiene λT (1+n) = γ T +1 . Sustituyendo en la última,
nos queda λT (1+n)bT +1 = 0. Y dado que 1+n > 0, la condición γ T +1 bT +1 = 0
finalmente queda λT bT +1 = 0.
Dado que λt = β̂ c1t (la utilidad marginal del consumo en t descontada a 0,
λT bT +1 = 0 indica que la utilidad del consumo de la riqueza terminal bT +1 ha
de ser 0. Una de dos: o la utilidad marginal es positiva λT > 0 y entonces lo
óptimo es no dejara nada de sobra y comérselo todo antes de morir bT +1 = 0,
o la utilidad marginal es nula λT = 0, el individuo está saturado de consumo,
y entonces puede dejar de sobra bT +1 > 0. En ambos casos λT bT +1 = 0.
Si tuviéramos infinitos periodos, que es nuestro caso, nos quedaría la
condición de transversalidad anterior
lı́m λt bt+1 = 0.
U
t→∞
Nota técnica 3:
Vamos a demostrar que
i) si se tiene equilibrio en el mercado de activos y de trabajo,
ii) se satisface la restricción presupuestaria individual, y
iii) se satisfacen las ecuaciones de los precios de los factores, entonces
también se tiene equilibrio en el mercado de bienes.
En efecto, de la restricción presupuestaria de las familias, se tiene
Bt+1 = Bt (1 + rt ) + Lt wt − Ct .
Teniendo en cuenta que Bt = Kt , rt = αAktα−1 − δ, y wt = (1 − α)Aktα ,
29
sustituimos en la ecuación anterior
Kt+1 = Kt (1 + αAktα−1 − δ) + Lt (1 − α)Aktα − Ct =
= Kt + αKt Aktα−1 − δKt + (1 − α)ALt ktα − Ct =
Kα
Ktα−1
= Kt + αKt A α−1
− δKt + (1 − α)ALt αt − Ct =
Lt
Lt
α
Kt
− δKt + (1 − α)AKtα L1−α
− Ct =
= Kt + αA α−1
t
Lt
= Kt + αAKtα L1−α
− δKt + (1 − α)AKtα Lt1−α − Ct =
| {z t }
| {z }
Yt
Yt
= Kt + αYt − δKt + (1 − α)Yt − Ct =
H
U
= Kt − δKt + [α + (1 − α)]Yt − Ct =
= Kt − δKt + Yt − Ct ⇒
⇒
Yt = Kt+1 − Kt + δKt + Ct ⇔ Yt = It + Ct ,
|
{z
}
It
-E
esto es, hay equilibrio en el mercado de bienes.
PV
Nota técnica 4: Condición terminal sobre el capital
Además, existiría una restricción terminal sobre el capital per cápita en el
infinito. Si el horizonte fuera finito (la familia y el horizonte del planificador
central terminaran en el periodo T ), tendríamos
KT ≥ 0 ⇔ (1 + n)T kT ≥ 0,
U
esto es, la familia se extingue con una riqueza no negativa. En términos
de valor presente descontado, para un capital por trabajador constante k,
tendríamos
¶T
µ
1+n
(1 + n)T
kT ≥ 0 ⇔
kT ≥ 0.
(1 + αAk α−1 − δ)T
1 + αAk α−1 − δ
Si el capital por trabajador kt fuera variable para cada periodo, tendríamos
t=T
Y−1 µ
t=0
1+n
1 + αAktα−1 − δ
¶
kT ≥ 0.
Y si, además, como es nuestro caso, el horizonte fuera infinito, tendríamos
lı́m
T →∞
t=T
Y−1 µ
t=0
1+n
1 + αAktα−1 − δ
30
¶
kT ≥ 0.
Nota técnica 5: Condición de transversalidad en el óptimo social
¿De dónde viene? Supongamos que el horizonte fuera finito, con T periodos. El problema sería
T
X
t
máx U =
β̂ ln ct
{ct ,kt }
t=0
sujeto a

 k0 > 0,
Aktα = kt+1 (1 + n) − (1 − δ)kt + ct , t = 0, 1, 2, ..., T, y

kT +1 ≥ 0,
L=
T
X
t=0
t
β̂ ln ct +
T
X
t=0
H
U
es decir, en el último periodo el planificador central no puede dejar un “stock”
de capital físico negativo. En este caso, el lagrangiano correspondiente sería
µt [Aktα − kt+1 (1 + n) + (1 − δ)kt − ct ] + ϑT +1 kT +1 .
Las condiciones necesarias de primer orden con respecto a kT +1 serían
-E
∂L
= −µT (1 + n) + ϑT +1 = 0, ϑT +1 ≥ 0, kT +1 ≥ 0, y ϑT +1 kT +1 = 0.
∂kT +1
PV
Las tres últimas condiciones son las condiciones de holgura de Kuhn-Tucker.
De la primera condición, se tiene µT (1+n) = ϑT +1 . Sustituyendo en la última,
nos queda µT (1+n)kT +1 = 0. Y dado que 1+n > 0, la condición ϑT +1 kT +1 = 0
finalmente queda µT kT +1 = 0. Y si tuviéramos infinitos periodos, nos quedaría
la condición de transversalidad anterior
lı́m µt kt+1 = 0.
U
t→∞
Nota técnica 6: Comparando las condiciones de transversalidad del
equilibrio competitivo y del problema del planificador:
Las condiciones de transversalidad de ambos problemas también coinciden. En efecto.
El óptimo. De la condición necesaria de primer orden con respecto a kt+1
teníamos la ecuación (28)
α−1
+ µt+1 (1 − δ) = 0, t = 0, 1, 2, ...
−µt (1 + n) + µt+1 αAkt+1
de donde para t = 0
¤
£
−µ0 (1 + n) + µ1 αAk1α−1 + 1 − δ = 0.
31
Despejando µ1 , se tendrá
µ1 =
µ0 (1 + n)
.
αAk1α−1 + 1 − δ
Para t = 1 tendríamos
¤
£
−µ1 (1 + n) + µ2 αAk2α−1 + 1 − δ = 0.
Despejando µ2 , se tendrá
µ2 =
µ1 (1 + n)
.
αAk2α−1 + 1 − δ
µ2 =
H
U
Sustituyendo µ1 , se tendrá
µ0 (1 + n)
(1 + n)
.
×
α−1
αAk2 + 1 − δ αAk1α−1 + 1 − δ
Y así sucesivamente. En general, pues, para cualquier t tendremos
PV
-E
µ0 (1 + n)
(1 + n)
=
× ... ×
α−1
αAkt + 1 − δ
αAk1α−1 + 1 − δ
t−1
Y
1
t
.
= µ0 (1 + n)
α−1
αAks+1 + 1 − δ
s=0
µt =
Luego la condición de transversalidad (30) puede reescribirse como
t
lı́m µt kt+1 = 0 = lı́m µ0 (1 + n)
t→∞
t→∞
t−1
Y
1
kt+1 = 0.
+1−δ
α−1
αAks+1
s=0
0
U
Nótese que de (27) µ0 = β̂c0 = c10 > 0. Luego, finalmente, la condición de
transversalidad puede reescribirse como
t
lı́m (1 + n)
t→∞
t−1
Y
1
kt+1 = 0.
+1−δ
α−1
αAks+1
s=0
(TVC1)
El equilibrio. Al resolver el problema de las familias, teníamos de la
condición necesaria de primer orden con respecto a bt+1 , la ecuación (11)
−λt (1 + n) + λt+1 (1 + rt+1 ) = 0, t = 0, 1, 2, ...
Para t = 0 tendríamos
λ0 (1 + n) = λ1 (1 + r1 ).
32
Despejando λ1 , se tiene
λ1 =
λ0 (1 + n)
.
1 + r1
λ2 =
λ1 (1 + n)
.
1 + r2
Para t = 1 tendríamos
Sustituyendo λ1 , se tiene
λ2 =
λ0 (1 + n)
1+n
.
×
1 + r2
1 + r1
Y así sucesivamente. En general, para cualquier t, se tendrá
λ0 (1 + n)
(1 + n)
=
× ... ×
1 + rt
1 + r1
t−1
Y
1
t
= λ0 (1 + n)
1 + rs+1
s=0
H
U
λt =
Luego la condición de transversalidad (13) puede reescribirse como
t
t→∞
1
bt+1 = 0.
1 + rs+1
s=0
-E
lı́m λt bt+1 = 0 = lı́m λ0 (1 + n)
t−1
Y
t→∞
0
PV
Nótese que de (10) λ0 = β̂c0 = c10 > 0. Luego, finalmente, la condición de
transversalidad para el problema individual puede reescribirse como
t
lı́m (1 + n)
t→∞
t−1
Y
1
bt+1 = 0.
1 + rs+1
s=0
(TVC2)
U
Teniendo en cuenta que bt = kt y que rt + δ = Aαktα−1 ⇔ rt = Aαktα−1 − δ ⇔
α−1
1 + rt = Aαktα−1 + 1 − δ ⇔ 1 + rs+1 = Aαks+1
+ 1 − δ. En suma, ambas
(el equilibrio competitivo y del óptimo) condiciones de transversalidad (13)
y (30) coinciden.
Nota técnica 7: La tasa de crecimiento para las variables per cápita
en el estado estacionario es cero.
Vamos a demostrar que la tasa de crecimiento de las variables per cápita
en el estado estacionario es igual a 0.
En efecto, de la ecuación (35) se tiene
"
#
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct ⇒
ct+1 =
1+n
33
α−1
β̂(1 + αAkt+1
− δ)
ct+1
=
⇒
⇒
ct
1+n
|{z}
1+gtc
⇒1+
gtc
α−1
− δ)
β̂(1 + αAkt+1
,
=
1+n
H
U
donde gtc es la tasa de crecimiento del consumo entre t y t + 1, gtc ≡ ct+1ct−ct .
Por definición de estado estacionario gtc = g, constante. Luego si el primer
miembro de la ecuación anterior es constante, el segundo miembro también
será constante: en el estado estacionario kt ha de ser constante, kt = k∗ . Dado
que yt = Aktα , yt también es constante yt = y∗ . Y dado que Aktα = kt+1 (1 +n)
− (1 − δ)kt + ct , ct también es constante, ct = c∗ .
PV
-E
Nota técnica 8: ¿Cómo se llega a esta aproximación lineal?
Recordatorio previo
Recordando las Matemáticas de primer curso.
•Función de una variable. Si tenemos una función no lineal y diferenciable de una variable f (x) y conocemos el valor que toma la función f (x) y
su primera derivada f 0 (x) en un punto concreto xo , entonces en un entorno
suficientemente próximo a xo podemos expresar f (x) aproximadamente como
una función lineal de x:
¯
df (x) ¯¯
o
f (x) = f (x ) +
× (x − xo ).
dx ¯x=xo
U
•Función de dos variables. Y si tenemos una función no lineal y diferenciable de dos variables f (x, y) y conocemos el valor que toma la función
f (x, y) y sus primeras derivadas fx (x, y) y fy (x, y) en un punto concreto
(xo , y o ), entonces en un entorno suficientemente próximo a (xo , y o ) podemos
expresar f (x, y) aproximadamente como una función lineal de x e y:
f (x, y) =
¯
∂f (x, y) ¯¯
× (x − xo ) +
= f (x , y ) +
∂x ¯(x=xo ,y=yo )
¯
∂f (x, y) ¯¯
+
× (y − y o ).
¯
∂y
o
o
o
o
(x=x ,y=y )
34
Reordenando términos, tenemos
f (x, y) =
¯
∂f (x, y) ¯¯
= f (x , y ) −
× xo −
∂x ¯(x=xo ,y=yo )
¯
∂f (x, y) ¯¯
−
× yo +
¯
∂y
o
o
¯(x=x ,y=y )
∂f (x, y) ¯¯
+
×x+
∂x ¯(x=xo ,y=yo )
¯
∂f (x, y) ¯¯
+
× y.
∂y ¯(x=xo ,y=yo )
Definiendo
o
H
U
o
¯
¯
∂f (x, y) ¯¯
∂f (x, y) ¯¯
o
A1 ≡ f (x , y ) −
×x −
× yo ,
∂x ¯(x=xo ,y=yo )
∂y ¯(x=xo ,y=yo )
o
o
-E
¯
∂f (x, y) ¯¯
A2 ≡
, y
∂x ¯(x=xo ,y=yo )
¯
∂f (x, y) ¯¯
A3 ≡
.
∂y ¯(x=xo ,y=yo )
PV
De donde, finalmente, tenemos la aproximación lineal:
f (x, y) = A1 + A2 x + A3 y.
U
En nuestro caso tenemos dos funciones [(29) y (35)] no lineales de kt y ct :
kt+1 = f (kt , ct ),
ct+1 = g(kt , ct ),
y querríamos expresar kt+1 y ct+1 como sendas funciones lineales de kt y ct
en el entorno de (k∗ , c∗ ).
¡Tranquilos y tranquilas! Se puede demostrar que la aproximación lineal de
las ecuaciones (29) y (35) en el entorno del estado estacionario caracterizado
en (38) y (40) es igual a
kt+1 = a1 + a2 kt + a3 ct ,
ct+1 = b1 + b2 kt + b3 ct ,
35
donde sabemos el valor que toma k0 > 0, y donde las constantes se definen
como
µ
¶
1
c∗
,
a1 ≡ k∗ 1 −
+
1+n
β̂
1
a2 ≡
,
β̂
−1
a3 ≡
,
1+n
b1 ≡ c∗ β̂Φ − k∗ Φ(1 + n),
b2 ≡ Φ(1 + n), y
donde Φ se define como
c∗ Aα(α − 1)k∗α−2
.
(1 + n)2
U
PV
-E
Φ≡
H
U
b3 ≡ 1 − β̂Φ,
36