OPERACIONS AMB FRACCIONS EN 3er D` ESO

OPERACIONS AMB FRACCIONS EN 3er D’ ESO
•
•
•
•
Objectius
•
Comprendre el significat de les operacions amb fraccions i donar sentit a cadascun del
passos dels algorismes amb fraccions
•
Utilitzar diferents tècniques i algoritmes per a efectuar operacions amb fraccions i
decimals: estimació, calcule mental i ús de la calculadora.
•
Associar l'operació adequada a un enunciat de context que permeta resoldre el
problema proposat. Fer una estimació del resultat i comprovar el resultat en context.
Continguts
•
Operacions amb fraccions
•
El fraccionómetre
•
Passatemps amb fraccions
•
El nomograf
•
Resolució de problemes amb fraccions
Criteris d’ avaluació
•
Adquirir soltesa en les operacions amb fraccions, utilitzant estimacions i comprovant els
resultats amb la calculadora i en el context del problema.
•
Resoldre problemes contextualitzats per mitjà de productes i quocients de fraccions.
Resoldre altres problemes d'enunciat per mitjà de sumes i restes de fraccions o
operacions combinades en les que es pose en relleu l'obtenció de fraccions
equivalents.
•
Saber quins tipus de números i quines operacions cal usar per a resoldre un determinat
problema i ser capaç de comprovar si el resultat obtingut és d'acord amb el context.
Analitzar què ocorreria si es variaren les dades inicials.
•
Dotar de significat a les operacions amb fraccions. Resoldre problemes contextualitzats
per mitjà d'operacions amb decimals.
Temporalització
Unes tres setmanes (al voltant de 9 sessions).
−1−
1. Operaciones con fracciones
• PRODUCTOS Y COCIENTES
Ejemplo 1: Para multiplicar 2/3 por 3/4 procedemos asi:
Ejemplo 2: En el disco de la izquierda colorea la sexta parte de la porción sombreada. ¿Cuál es la
fracción del total del disco que queda marcada?
3
2
3 2 6 1
de
=
es × =
y que multiplicar fracciones
4
3
4 3 12 2
1
3
1
es equivalente a hallar un área. Observa también que
de
es
. Fíjate también que si
6
4
8
multiplicas los numeradores y los denominadores y simplificas obtienes los mismos resultados.
Observa en los ejercicios anteriores que
El producto de dos fracciones a / b y c / d es otra fracción que tiene por numerador el producto de
los numeradores y como denominador el producto de los denominadores:
a c a×c
× =
b d b×d
Ejemplo 3: ¿Cuál es el resultado de la división
1
÷3?
3
Tenemos que dividir un tercio de las bolas en tres partes iguales:
El resultado es una bola de un total de nueve, es decir, 1/9. Por tanto:
−2−
1
1
÷3 =
3
9
3 3
÷ ?
4 5
Tomamos tantas bolas como indica el producto de los denominadores, es decir, 20. Hay que
dividir tres cuartos de las 20 bolas (es decir, 15 bolas) entre los 3/5 de 20=12 bolas.
Ejemplo 4: ¿Cuál es el resultado de la división
Por tanto, el resultado de la división es 15/12 = 5/4 de las bolas. Así:
Ejemplo 5: ¿Cuál es el resultado de la división 2 ÷
3 3 15 5
÷ =
=
4 5 12 4
3
?
5
Tenemos que dividir 2 entre los 3/5 de 1. Pero como 1 no es divisible entre 5, necesitamos que la
unidad esté formada por un número de bolas múltiplo de 5. Vamos a suponer que dicha unidad
está formada por 5 bolas. Entonces, los 3/5 de 1 serán los 3/5 de 5 bolas, es decir, 3 bolas. Por
tanto, hay que dividir 2 unidades (=10 bolas) entre los 3/5 de 1 unidad (=3 bolas). El resultado de
3 10
.
la división es 2 ÷ =
5 3
−3−
Observa que para dividir una fracción entre un número entero hay que multiplicar el denominador
por el entero:
a
a
÷c=
.
b
b×c
Para dividir dos fracciones, basta multiplicar la primera por la inversa de la segunda:
a c a d a×d
: = × =
b d b c b×c
Para dividir un número entero entre una fracción hay que multiplicar el entero por el denominador
de la fracción y el resultado dividirlo entre el numerador:
a÷
b a×c
=
c
b
1) ¿Qué fracción del total representa en cada caso?
2) Haz las siguientes divisiones:
3) Calcula x en cada caso:
a)
a)
1 3
:
2 4
3
12
⋅x =
4
20
b)
a)
1
1
de
3
2
b)
b)
1 5
:
2 2
c) 5 :
2
2
⋅x =
5
15
c)
1
de
5
2
8
:x=
5
15
1
2
d)
3
4
c)
2
1
de
5
3
d)
1
:5
2
4
2
:x=
3
3
• PROBLEMAS
1
3
de ellas son inmigrantes, y
de los inmigrantes son jóvenes.
5
4
¿Qué fracción de la población representa a los inmigrantes jóvenes? ¿Cuántos son?
1) En una ciudad viven 20000 personas,
2) El 80% de las pizzas que hay en una tienda tienen anchoas y el 60% de las pizzas que tienen anchoas
tienen bacon. ¿Qué porcentaje de las pizzas tienen anchoas y bacon?
3) Hay que colocar 9 vallas (igualmente separadas) para una carrera de 1/10 km. Da en fracción de km la
distancia entre dos vallas consecutivas. Represéntala en la recta numérica.
4) Se quiere repartir 3 litros de gaseosa en recipientes de 1/5 litros. ¿Cuántos recipientes completos se
llenarán?. Represéntalo en la recta numérica. ¿Y si los recipientes fueran de 2/5 litros?.
−4−
• SUMA Y RESTA
Ejemplo 1: ¿Cuánto suman las partes coloreadas? ¿
1 1
+ =?
2 3
Para averiguarlo, dividimos cada círculo en 2×3=6 partes iguales.
Vemos que
1 1 3 2 5
+ = + =
2 3 6 6 6
Ejemplo 2: Resta las superficies coloreadas. ¿
2 1
− =?
3 9
Para averiguarlo dividimos los cuadrados en 9 partes iguales.
2 1 6 1 5
− = − =
3 9 9 9 9
11 1
Ejemplo 3: Calcula la suma
+
10 2
Vemos que
Usando la recta numérica o la regla graduada, vemos que
−5−
11 1 11 5 16
+ =
+
=
10 2 10 10 10
11 1
−
10 2
Ejemplo 4: Calcula la resta
Usando la recta numérica o la regla graduada, vemos que
Ejemplo 5: Calcula la suma
11 1 11 5
6
− =
−
=
10 2 10 10 10
1 1
+
4 3
Para ello dividimos el siguiente listón en un número de partes múltiplo de 3 y de 4.
Vemos que el resultado es
1 1 3 4
7
+ =
+
=
4 3 12 12 12
Para sumar (o restar) dos fracciones de igual denominador, se suman (o restan) los numeradores
y se deja el mismo denominador.
Para sumar o restar fracciones con distintos denominadores buscamos otras fracciones
equivalentes a las mismas, pero con los mismos denominadores.
Podemos obtener fracciones equivalentes a las dadas multiplicando la primera por denominador
de la segunda y la segunda por el denominador de la primera.
1) Representa y calcula las siguientes operaciones siguiendo el modelo anterior:
2 1
+ ,
4 3
1 1
− ,
3 4
3 2 1
+ −
4 3 2
2) Si Antonio se come un tercio de la tarta y María un cuarto, ¿cuánto se comen entre los dos?. ¿Cuánto se
come Antonio más que María?.
3) Un periódico dedica 2 / 5 de su contenido a información, 3 / 8 a artículos de opinión y el resto a
propaganda. ¿Qué fracción corresponde a propaganda?.
4) A la pregunta de si le gusta el fútbol, 3 / 7 contestaron que sí, 1 / 5 que no y el resto no quiso contestar.
¿Qué fracción no contestó?.
−6−
• MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, es necesario reducirlas a común
denominador. Para ello, una forma es utilizar el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Éste será el nuevo denominador y los numeradores se obtienen multiplicando cada fracción por el
mínimo común múltiplo.
Ejemplo: Queremos hallar la suma de fracciones
m.c.m.(4, 18, 12) = 22 ⋅32 =36.
Entonces:
3 11 5
. Procedemos de esta forma:
+
+
4 18 12
3 11 5 27 22 15 64
+
+
=
+
+
=
4 18 12 36 36 36 36
Efectúa las siguientes operaciones, utilizando el mínimo común múltiplo:
4 2
−
7 9
3 5
−
8 16
4 7
−
5 15
2 1 8
− +
3 5 15
1 4 2
+ +
6 5 3
1 1 5
+ +
2 6 12
1 4 7
+ +
3 9 18
1 1 1
+ +
5 3 15
⎛3 1⎞ ⎛5 3⎞
⎜ − ⎟⋅⎜ + ⎟
⎝5 2⎠ ⎝3 4⎠
⎛7 1 ⎞ ⎛3
⎞
⎜ − ⎟ : ⎜ − 2⎟
5
11
5
⎝
⎠ ⎝
⎠
11 13
+
2 5
3
3+
8
3 1
−
4 4
2 1
−
3 3
−7−
2. El fraccionómetro
•
FRACCIONÓMETRO I
a) Fijándote en la siguiente figura, escribe sumas de fracciones que den como resultado 3/4.
Completa los números que faltan: 1−
1
= 1−
4
=
3
;
8
1 2
− =
2 8
b) Fijándote en las siguientes plantillas, escribe sumas de fracciones que den como resultado 2/3, 5/6, 3/5
y 6/10.
Completa: 1−
1
= ;
3
1− =
4
;
6
2 2
−
=
3 12
; 1−
3
=
5
−8−
;
1− =
3
10
;
3 2
−
=
5 10
•
FRACCIONÓMETRO II
En los diagramas siguientes colorea:
1
1
de ;
4
2
1
1
de ;
2
4
1
3
de ;
2
4
1
1
de
3
2
1
1
de ;
3
4
1
3
de
3
4
1
1
de ;
5
2
2
1
de ;
5
2
1
3
de ;
3
4
Escribe la fracción correspondiente a cada uno de los trazos que has pintado.
−9−
3. Pasatiempos con fracciones
• FUGA DE SIGNOS
Sustituye los círculos por las operaciones adecuadas para que se obtengan los resultados que se indican en
la siguiente figura:
• ESTRELLAS MÁGICAS
Completa los círculos vacíos de forma que todos los lados de la estrella sumen lo mismo.
−10−
• MUROS DE LEIBNITZ
a) Completa las casillas vacías, de forma que cada número sea igual a la suma de los dos que tiene
situados abajo, a su izquierda y derecha.
b) Completa las casillas vacías, de forma que cada número sea igual al producto de los dos que tiene
debajo, a su izquierda y derecha.
• LA PIRÁMIDE
En la siguiente pirámide, la fracción de cada casilla es la suma de las dos fracciones de las casillas sobre
las que se apoya. Completa la pirámide con esta condición.
−11−
• CUADRADO MÁGICO
Completa las casillas vacías de forma que al multiplicar las fracciones de cada fila, cada columna y las dos
diagonales se obtenga el mismo resultado.
• EL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas formado por siete piezas, con las que se puede formar un cuadrado.
a) Si el cuadrado es la unidad, ¿qué fracción del cuadrado representa cada una de las siguientes figuras?
b) Construye y dibuja, con las piezas del tangram chino, figuras equivalentes a las siguientes fracciones:
1
4
5
8 11 12 14
,
,
,
,
,
,
16 16 16 16 16 16 16
−12−