Ejercicios

Teorı́a de las decisiones y de los juegos 2007 - 2008
Grupo 01 y 51
Ejercicios - Tema 2
Juegos estáticos con información completa
1. (a) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte
de ningún equilibrio de Nash en estrategias puras.
(b) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte
de ningún equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
2. Demuestra que si (s∗1 , s∗2 ) es un equilibrio de Nash en estrategias puras del juego de 2
personas G = {S1 , S2 ; u1 , u2 } entonces también lo será del juego G0 = {S1 , S2 ; v1 , v2 }
donde vi (si , sj ) = αui (si , sj ) + β para todo perfil (si , sj ) ∈ S y donde α > 0 y β ∈ IR
son constantes.
3. Calcula todos los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes del juego en forma
normal definida por la siguiente matriz de pagos:
1\2
I
A (2, 1)
B (1, 2)
D
(0, 2)
(3, 0)
4. Alfonso (A) y Bernardo (B) son dos hermanos que han sido arrestados bajo sospecha
de haber cometido un crimen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A
cada uno se le da la oportunidad de confesar el crimen e incriminar al otro. Si
sólo uno de ellos escoge esta opción, este es premiado con la libertad mientras su
compañero sufre una pena de 10 años. Si ambos confiesan, la evidencia recolectada
es suficiente para condenar a ambos con una pena de 5 años. En cambio si ninguno
confiesa no hay suficientes pruebas y ambos son condenados a 1 año de prisión.
(a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del juego.
(b) Hallar el equilibrio de Nash en estrategias puras. ¿Es el equilibrio de Nash
eficiente en el sentido de Pareto? Explicar. ¿Qué alternativa maximiza los
pagos conjuntos?
(c) Vamos a considerar una variante de este juego, es el dilema del prisionero con
preferencias altruistas. Los jugadores A y B son hermanos de modo que la
utilidad de A afecta la utilidad de B y viceversa. Supongamos que la utilidad
de A es UA = uA +αuB , analogamente para B, UB = uB +αuA , donde uj son los
pagos del jugador j = A, B y α > 0 una constante. ¿Cuál es la interpretación
de α > 0? Halla la matriz de pagos para las utilidades Uj , j = A, B.
(d) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias puras en función de α.
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(e) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias mixtas en función de α.
(f) Halla todos los valores de α para los cuales los jugadores cooperan en (algún)
equilibrio.
5. Considera una subasta simultánea con información completa en la que los valores
del bien para los dos jugadores son v1 = 5 y v2 = 3. Todas las pujas deben ser
múltiplos de 2 euros. Escribir la forma normal de la subasta al primer precio (el
jugador con la mayor puja gana el articulo y paga su puja). Si hay empate entonces
los dos tienen un pago de 0. (Puedes suponer que nadie pensar en ofrecer 6 o mas.)
(a) ¿Cuál es la predicción a base de la eliminación reiterativa de estrategias (dominadas.
(b) Halla los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes.
6. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos
pagos están resumidos en la matriz de pagos:
1\2
I
A (4, 2)
M (1, 1)
B (0, 1)
C
(0, 0)
(1, 5)
(3, 5)
D
(0, 1)
(1, 0)
(3, 0)
(a) Calcula los equilibrios que se obtienen aplicando el proceso de eliminación
iterativa de estategias dominadas.
(b) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras.
(c) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador 2 ante cualquier
estrategia mixta (p1 , p2 , 1 − p1 − p2 ) del jugador 1.
(d) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador 1 ante cualquier
estrategia mixta (q1 , q2 , 1 − q1 − q2 ) del jugador 2.
¡
¢ ¡
¢
(e) El perfil p1 = 13 , p2 = 13 , 1 − p1 − p2 = 31 y q1 = 13 , q2 = 13 , 1 − q1 − q2 = 13 ,
¿es un equilibrio de Nash?
(f) Halla los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.
7. Considera dos empresas que compiten en el mismo mercado. Ambas eligen simultáneamente las cantidades a producir: q1 , q2 ≥ 0. La función inversa de demanda
de mercado es p (q) = max {0, 10 − q}, donde q = q1 + q2 . Ambas empresas tienen
la misma tecnologı́a representada por la función de costes:
½
2qi + k si qi > 0;
C (qi ) =
0
si qi = 0.
Donde k ∈ [0, 16] es un coste fijo de producción (la publicidad, por ejemplo).
2
(a) Escribe el juego en su forma normal.
(b) Analiza el problema de la empresa 1 dado k y dada la oferta de la empresa 2.
Calcula la función de reacción de esta empresa y represéntala gráficamente.
(c) Calcula los equilibrios de Nash en estrategias puras en función de k.
8. Sea un juego con tres jugadores, S1 = {A, B}, S2 = {I, D}, S3 = {α, β} y las
matrices de pago representan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones
de estrategias, donde el primero pago corresponde con el jugador 1, el segundo pago
con el jugador 2 y el tercer pago con el jugador 3. Hallar los equilibrios de Nash en
estrategias puras y los pagos correspondientes:


I
D
I
D
 1\2
 1\2
A (2, 2, −2)
(0, 0, 0)
A (6, 6, −12) (0, 0, 0)
α
β


B
(0, 0, 0) (8, 8, −16)
B
(0, 0, 0)
(2, 2, −4)
9. Tres empresas deben decidir si invertir en Investigación, Desarrollo e Innovación
(I+D+I). Supongamos que toda empresa que invierte es exitosa y consigue una
mayor cuota de mercado siempre y cuando las empresas competidoras no invierten.
Si una empresa invierte mientras sus rivales no lo hacen ésta tiene unos beneficios
extraordinarios de 10 unidades monetarias (u.m.); las otras empresas tendrı́an unas
perdidas de 1 u.m. cada una, un pago de -1, representando ası́ la perdida de poder
de mercado. Si dos empresas invierten, los beneficios extraordinarios se reducen a
5 y la empresa que ha decidido no invertir obtiene -2 u.m. Si ninguna invierte o si
todas deciden invertir los beneficios extraordinarios se reducen a cero.
(a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del mismo.
(b) Hallar lo(s) equilibrios de Nash y los pagos en equilibrio.
(c) Este es un caso donde la inversión no es demasiado costosa. Supongamos ahora
que la inversión simultánea de las empresas disminuye sus beneficios en 3 u.m.
(el pago es de (−3, −3, −3) en lugar de (0, 0, 0) cuando todas invierten). ¿En
qué cambia la predicción del resultado del juego?
10. Considera una subasta en sobre cerrado. Se subastan unos pantalones de Elvis
Presley. Hay n > 3 “concursantes” y cada concursante debe elegir cuánto va a
pujar por el bien y escribirlo en un papel e introducirlo en un sobre cerrado. El
jugador con la mayor puja gana el artı́culo y paga por su puja (subasta de primer
precio). La valoración del bien por parte de los n jugadores es: Los jugadores
1, ..., m tienen una valoración de w > 0 y los jugadores m + 1, ..., n (n > m + 1)
tiene una valoración de v > w. Si no ganan el bien su utilidad es cero. Si hay varias
pujas iguales se decide el ganador al azar. Suponemos que los jugadores tienen
conocimiento de las valoraciones de los demás jugadores.
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(a) ¿Hay estrategias dominadas?
(b) Calcula los equilibrios de Nash de este juego.
(c) ¿Cuál es la utilidad esperada del ganador?
11. En otra ciudad subastan otros pantalones de Elvis Presley. Aquı́ el ganador pagará
en lugar de su puja la segunda puja más alta (subasta de segundo precio).
(a) ¿Hay estrategias dominadas?
(b) Para cada jugador hay una estrategia que domina débilmente a todas las demás
estrategias. ¿Cuál es?
(c) Analiza el equilibrio de las estrategias del apartado anterior. ¿Cuál es la utilidad esperada del ganador?
(d) ¿Hay otros equilibrios?
12. Supongamos que el mercado de coches es un duopolio (dos empresas i = 1, 2) cuyas
funciones de costes vienen dadas por
Ci (qi ) = cqi ;
(c > 0).
Las función de demanda del coche i (el bien producido por la empresa i) es
Pi (q1 , q2 ) = max{0, M − qi − bqj };
(i, j = 1, 2,
i 6= j).
donde M > c > 0. Es natural suponer que |b| ≤ 1, es decir, el efecto sobre el precio
del bien i de un aumento en la propia cantidad qi es al menos tan importante como
el de la otra cantidad qj . Suponemos además que b > 0 (los bienes son parcialmente
sustitutivos). Las empresas escogen simultáneamente las cantidades q1 ≥ 0 y q2 ≥ 0.
(a) Calcula la funcion de reacción de la empresa 1.
(b) Halla el/los equilibrio(s) de Nash.
(c) Calcula los beneficios de las empresas en equilibrio. ¿Qué relación hay entre
estos y el parámetro b? ¿Las empresas buscarán diferenciar sus coches o más
bien homogeneizarlos más?
13. La madre de Antonio y Benjamı́n les ha comprado una tarta. Sabe que a ambos
les gusta mucho comer tarta. Les propone la siguiente regla de repartición. Ambos
escriben, simultáneamente, en un papel que porción de la tarta desean comer. Si la
suma de las porciones es mayor que 1 (la totalidad) de la tarta, le regalarán ésta
a la vecina teniendo una utilidad de cero tanto A como B. Si la suma de ambas
porciones es inferior o igual a 1 se reparten la tarta de acuerdo a las porciones
escritas.
4
(a) ¿Cuál es el conjunto de estrategias posibles para A y B? Escribir el juego en
forma normal.
(b) ¿Hay alguna estrategia estrictamente dominada?
(c) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras.
14. Anna (A), Berta (B) y Carles (C) son tres estudiantes de teorı́a de juegos. Juntos
deben resolver algunos ejercicios del tema 1 y para ello deben elegir un esfuerzo
ei , i = A, B, C. La nota obtenida es una función creciente del esfuerzo conjunto.
Suponemos para simplificar que la nota N = p1 (eA + eB + eC ), donde p es el numero
de estudiantes que participan. Si son A, B y C, p = 3. Supongamos que los niveles
de esfuerzo pueden tomar cualquier valor entre cero y diez, ei ∈ [0, 10]. La utilidad
1
1
de cada estudiante es ui = N − 20
(ei )2 , donde 20
(ei )2 representa la desutilidad de
hacer esfuerzo.
(a) Si los estudiantes eligen simultáneamente el nivel de esfuerzo. ¿Cuál es el nivel
de esfuerzo de mejor respuesta dado el nivel de esfuerzo de los otros estudiantes?
(b) Halla el equilibrio de Nash de este juego si A, B y C eligen hacer el trabajo
juntos.
(c) ¿Qué nivel de esfuerzo maximiza la utilidad conjunta de los estudiantes (uA +
uB + uC )? ¿De qué manera podrı́an los estudiantes asegurar dicho nivel de
esfuerzo?
(d) Anna decide hacer el trabajo sola. ¿En que cambiarı́an las predicciones del
modelo? Explicar el resultado.
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