Cálculo diferencial e integral para funciones de varias variables

Análisis Matemático curso 2016–2017
Grado en Biotecnología. Primer curso.
Relación de ejercicios 3. Cálculo diferencial e integral para funciones de varias variables.
1. Describir el interior, la adherencia, la acumulación y la frontera de los siguientes conjuntos y decir si son
abiertos, cerrados, están acotados o son compactos (hacer un dibujo puede ayudar):
(a) Q
(f) {(x, y) ∈ R2 : y < x2 + 1}
(b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}
(g) {(x, y) ∈ R2 : y = 3x}
(c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}
(h) {(x, y) ∈ R2 : x = 0, 0 < y < 1}
(d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
(i) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}
(e) {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x}
(j) {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, −1 6 y 6 3}
2. Calcular el vector gradiente de la función f en cada uno de los siguientes casos:
a) f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y, ∀(x, y) ∈ R2 .
b) f (x, y) = sen(x sen y), ∀(x, y) ∈ R2 .
c) f (x, y, z) = ey+z , ∀x ∈ R+ , y, z ∈ R.
3. Calcular el plano tangente a las siguientes superficies en el punto que se indica:
a) z = ln(1 + x2 + y2 ) , en (0, 0, 0).
b) z2 + 3x − x2 − y2 = 2 , en (1, 1, 1).
√
c) z = sen x sen y , en (π/2, π/4, 2/2).
4. Sea f : R −→ R derivable. Sea g : R2 −→ R definida por g(x, y) = f (x2 y). Probar que
x
∂g
∂g
= 2y .
∂x
∂y
5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función f en cada uno de los siguientes casos:
a) f (x, y) = sen x sen y
b) f (x, y, z) = ex+y+z
c) f (x, y, z) = (x + y)z
6. Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y
(e) f (x, y) = 2x4 + y2 − 3x2 y
(b) f (x, y) = x4 + 2x2 y − x2 + 3y2
(f) f (x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy
(c) f (x, y) = x3 + y3 − 3x − 12y + 20
(g) f (x, y, z) = xy + xz + yz
(d) f (x, y) = (x − 1)4 + (x − y)4
(h) f (x, y) = x4 + y4 − 4a2 xy (a > 0)
1
7. Encontrar los puntos donde la función f : A −→ R definida por
f (x, y) = x2 + y2 − xy − x − y
alcanza sus extremos absolutos, siendo
A = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0, x + y 6 3}.
8. Encontrar los puntos del conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2x, y > 0} donde la función f (x, y) =
x2 − 2xy + y2 alcanza sus extremos absolutos.
9. Una placa circular plana tiene la forma del disco x2 + y2 6 1. La placa, incluyendo el borde, se calienta
de manera que la temperatura en un punto (x, y) es
T (x, y) = x2 + 2y2 − x.
Determinar los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la temperatura en cada uno
de ellos.
10. Determinar el punto P(x, y, z) en el plano 2x + y − z = 5 que está más cerca del origen.
11. Hallar dos números reales cuya suma de cuadrados sea 18 y la suma de sus cubos sea máxima. Hacer lo
mismo con tres números reales con suma de cuadrados 12.
12. Calcular el mínimo relativo de f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 condicionado a que
2x + y + z = 2 , x − y − 3z = 4.
Dar una interpretación geométrica del resultado.
13. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f (x, y, z) = xyz cuando el punto (x, y, z) pertenece a
la curva definida por la intersección del plano x + y + z = 0 y la esfera x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
14. Calcular las siguientes integrales:
Z
x2
d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1].
a)
2
I 1+y
Z
1
b)
d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1].
(1
+
x
+ y)2
I
Z
c)
y cos(xy) d(x, y), I = [0, 1] × [0, π].
I
15. Sea f : A −→ R. Calcular su integral en los siguientes casos:
a) f (x, y) =
x
x2 + y2
, siendo A la región limitada por y =
x2
2,
y = x.
b) f (x, y) = xy2 , siendo A la región limitada por y2 = 2x, x = 1.
c) f (x, y) = x + y, A = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : x2 6 y 6 2x2 }.
Z
16. Calcular
f en cada uno de los casos siguientes:
A
a) f (x, y) = y2 , A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 r2 }
b) f (x, y) = x, A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x2 + y2 6 1, x2 + y2 − 2x > 0}
3
c) f (x, y) = (x2 + y2 )− 2 , A = {(x, y) ∈ R2 : x 6 y, x + y > 1, x2 + y2 6 1}
2
17. Calcular el volumen de la región A definida por:
a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 r2 , x2 + y2 − ry 6 0}, r > 0.
b) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 > 1, x2 + y2 6 2, z(x2 + y2 ) 6 1, z > 0}.
c) A = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 6 x2 + y2 6 z}.
d) A = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 z 6 1 − (x2 + y2 )}.
18. Calcular las siguientes integrales triples:
Z
2
2
a)
z e−(x +y ) d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2(x2 + y2 ) 6 z2 , 0 6 z 6 1}.
ZA
b)
z d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6 z2 , 0 6 z 6 1}
A
Z
c)
x2 d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, x2 + y2 + (z − 1)2 6 1, 4z2 > 3(x2 + y2 )}
A
Z
d)
z d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 2, x2 + y2 6 z}
A
3